Что такое одночлен и многочлен в алгебре 7 класс определение
Что такое многочлен
Часто путают понятия одночлена и многочлена.
Давайте разберемся, что называют одночленом, а что многочленом. Прежде всего, вспомним, что называли одночленом в уроке «Одночлены».
Обратите внимание, что «внутри» одночлена (между буквами и числовым коэффициентом) есть только знак умножения. Например, в одночлене: 3ab = 3 · a · b
Многочленом называется алгебраическая сумма нескольких одночленов.
Одночлены, из которых составлен многочлен, называют членами многочлена.
Примеры многочленов: a + 2b 2 − c; 3t 5 − 4b; 4 − 6xy
Несложно заметить, что любой многочлен состоит из нескольких одночленов.
Рассмотрим многочлен подробнее.
Возникает вопрос, почему многочленом называют алгебраическую сумму одночленов, если в многочлене присутствует знак минуса.
Это объясняется тем, что на самом деле знак « − » относится к числовому коэффициенту одночлена, который стоит справа от знака.
Любой многочлен можно записать по правилу знаков как сумму одночленов.
В многочлене знак, который стоит слева от одночлена относится к числовому коэффициенту самого одночлена.
Как найти степень многочлена
Степенью многочлена называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов.
То есть, чтобы найти степень многочлена, нужно сначала найти
степень каждого одночлена, который входит в состав многочлена.
Степени многочленов
| Многочлен | Степень многочлена | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| a 2 − 3a 2 b + x = a 2 (степень одночлена 2) − 3a 2 b(степень одночлена 3 ) + x(степень одночлена 1) | 3 | ||||
x 2 y 2 + 4x 2 =
x 2 y 2 (степень одночлена 4 ) + 4x 2 (степень одночлена 2) | 4 | ||||
| 8x 2 − 3a + 4 = 8x 2 (степень одночлена 2 ) − 3a(степень одночлена 1) + 4(степень одночлена 0) | 2 |
Любой одночлен является многочленом. В самом деле, любой одночлен, по сути, является многочленом, который состоит всего из одного одночлена.
Примеры таких многочленов: 2a 2 b; −3d 3 ; a.
Многочлен, его стандартный вид, степень и коэффициенты членов
После изучения одночленов переходим к многочленам. Данная статья расскажет о всех необходимых сведениях, необходимых для выполнения действий над ними. Мы определим многочлен с сопутствующими определениями члена многочлена, то есть свободный и подобный, рассмотрим многочлен стандартного вида, введем степень и научимся ее находить, поработаем с его коэффициентами.
Многочлен и его члены – определения и примеры
Определение многочлена было дано еще в 7 классе после изучения одночленов. Рассмотрим его полное определение.
Многочленом считается сумма одночленов, причем сам одночлен – это частный случай многочлена.
Рассмотрим еще определения.
Членами многочлена называются его составляющие одночлены.
Отсюда следует, что выражение вида x + y – является двучленом, а выражение 2 · x 3 · q − q · x · x + 7 · b – трехчленом.
Подобные члены многочлена – это подобные слагаемые, находящиеся в многочлене.
Многочлен стандартного вида
У всех одночленов и многочленов имеются свои определенные названия.
Многочленом стандартного вида называют многочлен, у которого каждый входящий в него член имеет одночлен стандартного вида и не содержит подобных членов.
Если того требуют обстоятельства, иногда многочлен приводится к стандартному виду. Многочленом стандартного вида считается и понятие свободного члена многочлена.
Свободным членом многочлена является многочлен стандартного вида, не имеющий буквенной части.
Степень многочлена – как ее найти?
Определение самой степени многочлена базируется на определении многочлена стандартного вида и на степенях одночленов, которые являются его составляющими.
Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней, входящих в его запись.
Следует выяснить, каким образом находится сама степень.
Когда многочлен записан не в стандартном виде, но нужно найти его степень, необходимо приведение к стандартному, после чего находить искомую степень.
Для начала представим многочлен в стандартном виде. Получим выражение вида:
3 · a 12 − 2 · a · b · c · a · c · b + y 2 · z 2 − 2 · a 12 − a 12 = = ( 3 · a 12 − 2 · a 12 − a 12 ) − 2 · ( a · a ) · ( b · b ) · ( c · c ) + y 2 · z 2 = = − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2
Коэффициенты членов многочлена
Когда все члены многочлена являются одночленами стандартного вида, то в таком случаем они имеют название коэффициентов членов многочлена. Иначе говоря, их можно называть коэффициентами многочлена.
Одночлены. Многочлены 7 класс
Описание презентации по отдельным слайдам:
Описание слайда:
Тема урока: «Одночлены.
Многочлены.»
Описание слайда:
Определение одночлена
Одночленом называется выражение, которое содержит числа, натуральные степени переменных и их произведения, и при этом не содержит никаких других действий с этими числами и переменными.
Среди перечисленных выражений на экране назовите одночлены:
Описание слайда:
Какое определение неверное?
В результате умножения одночлена на одночлен получается одночлен
Одночленом называют сумму числовых и буквенных множителей
Числовой множитель у одночлена стандартного вида называется коэффициентом одночлена
Описание слайда:
Действия над одночленами
Записать одночлен в стандартном виде.
Описание слайда:
Найдите значение одночлена при
Проверяем
Выполнить умножение одночленов
Описание слайда:
Возведите одночлен в степень
Проверяем
Записать выражение в виде квадрата одночлена
Проверяем
Описание слайда:
Описание слайда:
Соединить линиями соответствующие части определений.
В результате умножения многочлена на многочлен
получается многочлен
При умножении степеней с одинаковыми основаниями
показатели степеней складываются
При возведении в степень дроби возводят в эту степень
отдельно ее числитель и знаменатель
Описание слайда:
Действия над многочленами
Преобразовать сумму и разность многочленов в многочлен стандартного вида
Описание слайда:
Умножить многочлен на одночлен, преобразовать
Проверяем
Преобразовать выражение в многочлен стандартного вида
Проверяем
Описание слайда:
Вспоминаем формулы сокращенного умножения:
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Общая информация
Похожие материалы
Задачи по математике на тему «Математическая статистика»»
Презентация к уроку «Симметрия»
Анализ ВПР по алгебре 7 класс
Практическая работа по математике на тему «Корень n-ой степени»
Тест по теме «Неравенства и их системы»
Презентация к уроку алгебры в 7 классе » Преобразование произведения двух многочленов»
Конспект урока алгебры в 7 классе » Преобразование произведения двух многочленов»
Адаптированная рабочая программа по алгебре 7 класс
Не нашли то что искали?
Воспользуйтесь поиском по нашей базе из
5398915 материалов.
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Пик использования смартфонов приходится на 16 лет
Время чтения: 1 минута
В Петербурге школьникам разрешили уйти на каникулы с 25 декабря
Время чтения: 2 минуты
НИУ ВШЭ откроет первую в России магистратуру по управлению низкоуглеродным развитием
Время чтения: 2 минуты
Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате
Время чтения: 1 минута
В России утвердили новый порядок формирования федерального перечня учебников
Время чтения: 1 минута
Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Многочлен. Упрощение, степень, стандартный вид, нуль-многочлены
Содержание
Мы с вами уже разобрали, чем являются одночлены, и выяснили, что при произведении одночленов также получится одночлен. Однако совсем иная ситуация обстоит с суммой одночленов. Давайте рассмотрим на примере:
Если данные выражения не являются одночленами, то какое название мы можем им дать? Все просто – такие примеры называют многочленами.
Многочлены – это выражения, которые являются суммой нескольких одночленов.
Упрощение многочленов
Многочлены могут быть как небольшими, так и состоящими из нескольких частей. Давайте рассмотрим несколько примеров таких выражений:
В выражениях может находиться несколько подобных членов, что позволяет упростить само выражение. В данном выражении мы можем увидеть подобные одночлены, которые закрашены одинаковыми цветами:
Для упрощения такого многочлена нам нужно использовать правило подобных слагаемых, т.е. произвести отдельные арифметические действия над каждой подобной частью. В конце у нас получится такое выражение:
Такое упрощение называют приведением подобных членов многочлена. Это преобразование позволяет заменить многочлен на тождественно равный ему, но более простой – с меньшим количество членов.
Стандартный вид многочленов
Многочлен, состоящий из одночленов стандартного вида, расположенных в порядке убывания степеней и среди которых нет подобных, называют многочленом стандартного вида.
Одночлены в многочлене стандартного вида располагают в порядке убывания их степени, а свободный одночлен записывают в самом конце. Для примера можно привести следующие выражения:
Стоит отметить, что любой многочлен можно привести к стандартному виду, если привести подобные. То есть из выражения нестандартного вида:
Мы можем получить выражение стандартного вида:
Степень многочлена
Рассмотрим многочлен стандартного вида:
Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней одночленов, из которых этот многочлен составлен.
Давайте рассмотрим еще несколько примеров многочленов с их степенями:
$\color
$\color
$\color
Коэффициенты многочленов
Выделенные числа и будут являться коэффициентами переменных множителей.
Нуль-многочлены
Число 0, а также многочлены, которые тождественно равны нулю, называют нуль-многочленами. Примеры таких выражений:
Их не относят к многочленам стандартного вида и считается, что нуль-многочлены не имеют степени.
Важность понятия
Пик развития математики пришёлся на XVI век, когда учёные разных стран начали обобщать известные сведения и формулировать различные теоремы и доказательства. Но перед этим появились такие понятия, как одночлен и многочлен. Запись уравнения или любой другой формулы, в которой не использовалось сложение или вычитание, получило название одночлен. А суммирование нескольких таких выражений или их разность назвали многочленом.
Карл Фридрих Гаусс, считающийся королём математиков, утверждал, что коэффициенты многочлена могут быть не только вещественными, но и комплексными. Свои доказательства этому он привёл в основной теореме алгебры. Из-за этого роль неизвестных в выражениях начала меняться. Буквенные обозначения стали не только символами, подменяющими числовые значения, но и начали заменять функции.
Таким образом, было принято, что любое математическое выражение состоит из совокупности одночленов. Ими могут быть:
Изучение уравнений и равенств, состоящих из нескольких одночленов, стало главным объектом в развитии классической алгебры. С их преобразованием связаны такие разделы, как теория групп, анализ функций, изучение комплексных чисел, алгебраическая геометрия.
Над одночленами можно выполнять различные действия. Их можно возводить в корень с разным основанием, перемножать или делить между собой, возводить в степень. Это позволяет выполнять упрощения и приведения выражений к стандартной форме, что впоследствии облегчает вычисление многочленов.
Впервые с понятием «одночлен» знакомят учеников в среднеобразовательной школе в седьмом классе на уроке алгебры. Изучение видов одночленов и правил действий над ними является стартовой площадкой для понимания сущности многочлена, то есть фактически основ алгебры.
С помощью одночлена можно описать простые события, при которых происходит умножение. Это могут быть как количественно известные параметры, так и переменные или неизвестные. Для того чтобы понять важность введения в математике термина «одночлен», лучше всего провести аналогию с фруктами. Яблоко и груши — это отдельный вид деревьев, но их всех объединяет одинаковое свойство, поэтому их называют «фруктами». Так и с формулами: они хотя и разные, но обладают общими свойствами. Поэтому и придумали название — одночлен.
Общие сведения
Алгебраическое выражение, в состав которого входит переменная и постоянная часть, объединённая произведением, принято называть одночленом. Фактически эта запись представляет умножение чисел и степеней неизвестных с натуральным показателем. Каждое неопределённое или известное число занимает одну позицию. Количество таких позиций неограниченно.
Если перед буквенным значением стоит цифра, то её называют коэффициентом одночлена. Он может быть как положительным, так и отрицательным. Когда коэффициент не указан, в зависимости от знака он принимается равным единице или минус единице. При этом понятие коэффициент зачастую применительно и к числу. Например, считают, что у числа девять он равен девяти.
Наиболее типичные записи рассматриваемого вида выражений имеют следующий вид:
В алгебре часто используется понятие «степень одночлена». Под ним понимают сумму показателей переменных значений, входящих в состав выражения. Примечательно что нуль, входящий в состав одночлена, степени не имеет, при этом если степень не указана, то она принимается нулевой. Когда выражения похожи друг на друга, они считаются подробными. Например, 5 * d 2 * k 10 и 1/8 * d 2 * k 10 — подобны.
Действия над выражениями
После умножения одночленов получается также одночлен, указываемый в стандартной записи. Для того чтобы выполнить операцию произведения, используют свойства умножения, а также правила действия со степенями. Умножить одно выражение на другое, значит, определить сумму слагаемых множителя, каждое из которых равно умножаемому.
Существует три закона умножения:
Таким образом, для того чтобы возвести выражение в степень, необходимо каждый множитель отдельно возвести в степень, а затем результаты перемножить. Это правило действует и для любых степеней, показатель которых натуральный. Закон применим и для дробного отношения, только после возведения числитель делят на знаменатель.
Принцип преобразования
Пусть имеется сложный одночлен, состоящий из ненулевых степеней, квадратов, дробных чисел и букв следующего вида: 5 * 7 * a * m * c7 * 3 *2/9 * 2 (1/7) * am * bn * c * x5 * 120. Тут следует обратить внимание, что дроби в выражении могут быть любого типа, кроме случая, когда в знаменателе будет стоять буква. Такая запись неудобна для восприятия и дальнейшего использования из-за хаотично расставленных подобных членов. Поэтому нужно преобразовать её к стандартному виду.
В основе способа упрощения одночлена лежат следующие принципы:
При этом математиками было решено не писать знак умножения между числовым и буквенным множителем, а также между буквенными множителями, перемножающимися между собой.
Решения одночленов
Примеры для самостоятельной работы по преобразованию многочленов помогут понять, как правильно выполняются простые арифметические действия, что важно для решения последующих задач, связанных с многочленами.
Можно выделить следующие виды типовых заданий:
При выполнении различных действий с одночленом нужно знать всего лишь несколько правил и быть предельно аккуратным при вычислении. Особенно это важно для длинных выражений, состоящих из различного вида членов.
Упрощение на онлайн-калькуляторе
Привести одночлены к удобному виду, значит, упростить их до стандартной записи. Однако зачастую приходится иметь дело с выражениями большого порядка. При этом они могут включать в себя одновременно различные арифметические операции. Выполнять тождественные преобразования самостоятельно бывает довольно трудно, причём возникает вероятность допущения ошибки.
Поэтому использовать специализированные сайты, которые умеют быстро и безошибочно упрощать одночлены любого вида, не зазорно. Порталы предлагают свои услуги бесплатно и для решения примеров не требуют даже регистрации. Что интересно, кроме быстрого расчёта, пользователь, зашедший на такой ресурс, сможет увидеть всю цепочку упрощения, а при желании на страницах онлайн-калькулятора ознакомиться с теорией и основными определениями.
Из всего множества сайтов можно выделить следующие три:
Рекомендованные сайты имеют российский домен, а программы написаны русскими программистами. Поэтому проблем с пониманием, как пользоваться приложениями, возникнуть не должно. Интерфейс онлайн-калькуляторов не содержит нагромождения ненужной информации и интуитивно понятен. Ответ вычисляется буквально за несколько секунд, а используемые алгоритмы исключают возникновение ошибки.