Что такое одночлены в алгебре

Определение одночлена: сопутствующие понятия, примеры

Одночлены являются одним из основных видов выражений, изучаемых в рамках школьного курса алгебры. В этом материале мы расскажем, что это за выражения, определим их стандартный вид и покажем примеры, а также разберемся с сопутствующими понятиями, такими как степень одночлена и его коэффициент.

Что такое одночлен

В школьных учебниках обычно дается следующее определение этого понятия:

К одночленам относятся числа, переменные, а также их степени с натуральным показателем и разные виды произведений, составленные из них.

Что такое стандартный вид одночлена и как привести выражение к нему

Для удобства работы все одночлены сначала приводят к особому виду, называемому стандартным. Сформулируем конкретно, что же это значит.

Стандартным видом одночлена называют такой его вид, в которой он представляет из себя произведение числового множителя и натуральных степеней разных переменных. Числовой множитель, также называемый коэффициентом одночлена, обычно записывают первым с левой стороны.

Теперь приведем примеры одночленов, которые нужно привести к стандартному виду: 4 · a · a 2 · a 3 (здесь нужно объединить одинаковые переменные), 5 · x · ( − 1 ) · 3 · y 2 (тут нужно объединить слева числовые множители).

Привести к стандартному виду можно любой одночлен. Для этого нужно выполнить все необходимые тождественные преобразования.

Понятие степени одночлена

Очень важным является сопутствующее понятие степени одночлена. Запишем определение данного понятия.

Сам нуль принято считать одночленом с неопределенной степенью.

Приведем примеры степеней одночлена.

Одночлен, приведенный к стандартному виду, и исходный многочлен будут иметь одинаковую степень.

Понятие коэффициента одночлена

Если у нас есть одночлен, приведенный к стандартному виду, который включает в себя хотя бы одну переменную, то мы говорим о нем как о произведении с одним числовым множителем. Этот множитель называют числовым коэффициентом, или коэффициентом одночлена. Запишем определение.

Коэффициентом одночлена называют числовой множитель одночлена, приведенного к стандартному виду.

Возьмем для примера коэффициенты различных одночленов.

Источник

Одночлены

Часто при решении задач мы используем буквенные множители и числа вместе.

Из чего состоит одночлен

Числовой множитель, который есть в одночлене, принято называть коэффициентом одночлена. Буквенные множители иногда называют переменными.

Примеры одночленов и их коэффициентов

Приведение одночлена к стандартному виду

Одночлен, у которого единственный числовой множитель стоит на первом месте и буквенные множители в различных степенях не повторяются, называется одночленом стандартного вида. Буквенные множители следует располагать в алфавитном порядке.

Примеры одночленов нестандартного вида : 2acа, 4xy 2 · 3, x 4 y &middot (−7).

Не забывайте, что одночлен — это произведение числовых и буквенных множителей, поэтому внутри одночлена действуют все законы умножения, в том числе переместительный закон умножения.

Чтобы привести одночлен к стандартному виду нужно сделать следующее.

Что такое степень одночлена

Степень одночлена — это сумма всех степеней буквенных множителей.

Примеры степеней одночленов

Число «0» (ноль) называется нулевым одночленом. Степень нулевого одночлена не определена.

Но не путайте с одночленом нулевой степени! Одночлен нулевой степени — это любое число (например, 123; 0,5; −324 ).

Любое число можно записать как произведение числа на буквенный множитель в нулевой степени. Т.е. 123 = 123 · a 0 = 123 · 1 = 123 (одночлен нулевой степени).

Одночлен нулевой степени получил свое название, потому что любой буквенный множитель можно представить как 1 через нулевую степень.

Источник

Одночлены

Одночлен — это алгебраическое выражение, представляющее собой число, переменную, их степени с натуральным показателем, а также любые произведения, составленные из них.

Выражения x + 2 или не являются одночленами, так как представляют сумму или частное переменных и числа.

Число 0 называют нулевым одночленом.

Буквы и числа одночлена, представляющего собой произведение, называют множителями данного одночлена. При этом числа называют числовыми множителями одночлена, а буквы — буквенными множителями одночлена.

Пример. Назовите числовые и буквенные множители одночлена 5abc.

Множителями данного одночлена являются число 5 и буквы a, b, c:

Числовой множитель: 5.

Стандартный вид одночлена

Стандартный вид одночлена — это запись одночлена, представляющая собой число, степень переменной или произведение, в котором только один числовой множитель, записанный на первом месте, а каждая его буква участвует в его записи лишь один раз, при этом буквы записаны в алфавитном порядке.

А вот следующие одночлены записаны не в стандартном виде:

так как первый содержит одинаковые буквы, а во втором два числовых множителя и буквенные множители записаны не в алфавитном порядке.

Стандартный вид нулевого одночлена есть 0.

Коэффициент одночлена

Коэффициент одночлена — это числовой множитель в одночлене стандартного вида, который содержит хотя бы одну переменную. Понятие коэффициент также относят к одночленам стандартного вида, представляющим собой числа без буквенных множителей. Коэффициентами таких одночленов считаются сами числа.

Целый положительный коэффициент означает, сколько раз повторяется слагаемым буквенное выражение, перед которым он стоит.

Дробный положительный коэффициент означает, какая часть берётся от буквенного выражения, к которому он относится.

Пример. В одночлене коэффициент означает, что от x 2 берётся , потому что , а умножить на значит взять от множимого.

Отрицательный коэффициент означает, что буквенное выражение, перед которым он стоит, умножается на абсолютную величину этого коэффициента и результат берётся с противоположным знаком.

Приведение одночлена к стандартному виду

С одночленами удобнее работать, когда они записаны в стандартном виде. Любой одночлен можно привести к стандартному виду путём тождественных преобразований. Процесс таких преобразований называют приведением одночлена к стандартному виду.

Привести одночлен к стандартному виду — значит выполнить с ним такие тождественные преобразования, чтобы он принял стандартный вид.

Чтобы привести одночлен к стандартному виду надо:

Используя переместительное и сочетательное свойства умножения, сгруппируем по отдельности числовые и одинаковые буквенные множители. В результате исходный одночлен примет вид:

Записываем на первом месте числовой множитель, а после него располагаем буквенные множители в алфавитном порядке. В итоге получаем одночлен стандартного вида:

Среди своих множителей, данный одночлен имеет множитель 0, значит всё произведение в результате будет равно 0. Стандартный вид нулевого одночлена есть 0:

Источник

Одночлен и его стандартный вид

теория по математике 📈 алгебраические выражения

Одночлен – это простейшее алгебраическое выражение, которое состоит из произведения чисел, переменных и их степеней. Никаких других действий одночлен не имеет. Числовой множитель у одночлена называется коэффициентом.

Пример №1. Рассмотрим примеры одночленов.

Стандартный вид одночлена

Чтобы определить коэффициент у одночлена, он должен быть представлен в стандартном виде.

Что такое одночлен стандартного вида?

Одночлен стандартного вида – это одночлен, у которого на первом месте стоит коэффициент, а далее – буквенные множители (переменные).

Такие одночлены приведены в примере №1. Рассмотрим, как привести одночлен к стандартному виду.

Здесь выполняем умножение чисел 3 и (-2), затем степеней х и у (при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываем, а основание оставляем тем же); записываем на первом месте число (коэффициент одночлена), а затем уже степени. Получаем одночлен стандартного вида.

-12a 3 b 2 (-4b 7 )=48a 3 b 9

Данный ответ получен после умножения чисел и степеней с одинаковым основанием. Записан на первом месте коэффициент 48, а затем остальные множители.

Степень одночлена

Сумму показателей степени переменных называют степенью одночлена.

Рассмотрим, как найти степень одночлена.

– 113с 3 х 6

У переменных показатели степени равны 3 и 6, складываем их и получаем 9. Значит, степень одночлена равна 9. Пример №5.

18ху

У этого одночлена степень равна 2, так как у переменных х и у первая степень, складывая 1 и 1, получаем 2.

Источник

Что такое одночлены в алгебре

Ключевые слова конспекта: Одночлены, стандартный вид одночлена, коэффициент и степень одночлена, умножение одночленов,

Выражения 15а 2 b, 3ху • 2у, –3с 7 представляют собой произведения чисел, переменных и их степеней. Такие выражения называют одночленами. Числа, переменные и их степени также считаются одночленами. Например, выражения –11, а, а 6 — одночлены.

Мы представили данный одночлен в виде произведения числового множителя, записанного на первом месте, и степеней различных переменных. Такой вид одночлена называют стандартным видом. Числа, переменные, их степени также считаются одночленами стандартного вида.

Коэффициент и степень одночлена

Любой одночлен можно преобразовать так, чтобы получился одночлен стандартного вида. Если одночлен записан в стандартном виде, то числовой множитель называют коэффициентом одночлена. Например, в одночлене –10а 2 b 4 коэффициент равен –10. Если коэффициент одночлена равен 1 или –1, то его обычно не пишут.

Степенью одночлена стандартного вида называют сумму показателей степеней входящих в него переменных. Если одночлен представляет собой число, отличное от нуля, то его степень считается равной нулю.

Например, степень одночлена 12х 2 у 3 равна 5, степень одночлена –6аb равна 2. Выражение 2,32 является одночленом нулевой степени.

Число нуль — это одночлен, степень которого не определена.

Умножение одночленов

При умножении одночленов снова получается одночлен, который обычно записывают в стандартном виде, используя для этого свойства умножения и правило умножения степеней с одинаковыми основаниями.

Возведение одночлена в степень

Докажем это, воспользовавшись определением степени и свойствами умножения:

Отсюда следует правило:

Аналогичное свойство выполняется для произвольных степеней с натуральными показателями.

Если а — произвольное число, m и n — любые натуральные числа, то
( а m ) n = а m • n

Из этого свойства следует правило:

Правила возведения в степень произведения и степени используются при возведении одночленов в степень.

Это конспект по математике на тему «Одночлены и действия над ними». Выберите дальнейшие действия:

Источник