Что такое однородное уравнение с 1 неизвестной

О дифференциальных уравнениях первого порядка

Что такое дифференциальные уравнения первого порядка

Обыкновенным дифференциальным уравнением называют такое уравнение, которое содержит функцию у(х) только от единственной переменной, к примеру, х.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Таким образом, в первой части можно наблюдать независимую переменную х, неизвестную функцию у(х) и производную данной функции y′(x). Во второй части заметна лишь вторая производная функции y″(x). Можно сделать вывод, что дифференциальным уравнение будет в том случае, когда имеется производная у(х) любого порядка.

Порядок дифференциального уравнения представляет собой порядок наибольшей производной неизвестной функции у(х) в выражении.

В первом варианте имеем наибольшую производную первого порядка. Из этого можно сделать вывод, что дифференциальное выражение также первого порядка. Во втором случае в уравнении имеется вторая производная y″(x), таким образом, данное дифференциальное уравнение второго порядка.

Общим решением дифференциального уравнения является комплекс функций y=f(x,C), подстановка которых в определенное выражение приводит к равенству обеих частей этого уравнения.

В данном выражении С является произвольной константой. Поиск подобных решений представляет собой интегрирование дифференциального уравнения.

Частным решением дифференциального уравнения называют такое решение, которое было получено в результате поиска константы С, согласно дополнительным условиям задачи.

Дифференциальные уравнения первого порядка делят на несколько основных видов, которые наиболее часто можно встретить при решении задач:

Алгоритм поиска решений дифференциальных уравнений:

Как определить однородное дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение, которое относится к первому порядку, имеет вид:

Данное дифференциальное уравнение можно считать однородным в том случае, когда правая часть выражения соответствует условию:

В этом случае справедливы все значения t.

Таким образом, правая часть представляет собой однородную функцию нулевого порядка, относительно переменных x и y:

Другой вид записи однородного дифференциального уравнения:

Кроме того, уравнение можно представить с помощью дифференциалов:

\(P\left( \right)dx + Q\left( \right)dy = 0\)

где \(P\left( \right)\) и \(Q\left( \right)\) являются однородными функциями, порядок которых одинаковый.

Функцию \(P\left( \right)\) называют однородной функцией порядка n, если для всех t, которые больше нуля, характерно такое равенство:

Основным способом решения однородного дифференциального уравнения является подстановка y = ux, что позволяет преобразовать исходное выражение в уравнение, в котором присутствуют разделяющие переменные.

Таким образом, дифференциальное уравнение, записанное в виде:

\(\left( <x + y + > \right)dx + \left( <x + y + > \right)dy = 0\)

будет преобразовано в выражение, в котором имеются разделяющие переменные, путем перемещения начальной части координатной системы в точку пересечения прямых, заданных уравнением. В том случае, когда эти линии параллельны друг другу, дифференциальное уравнение можно свести к виду уравнения с разделяющими переменными с помощью подстановки переменной:

Метод решения однородного дифференциального уравнения

Проверка однородности предложенного уравнения выполняется путем замены x и y на λx и λy. Производная при этом остается неизменной. В том случае, когда все λ после преобразований будут удалены, можно сделать вывод о том, что искомое дифференциальное уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка.

Решить дифференциальное уравнение первого порядка можно с помощью выполнения последовательных действий:

Примеры решения

Задача 1

Требуется найти решение дифференциального уравнения:

Решение

Заметим, что многочлены \(P\left( \right)\) и \(Q\left( \right)\) при dx и dy представляют собой однородные функции первого порядка. Из этого можно сделать вывод о том, что записанное дифференциальное уравнение будет однородным.

Допустим, y = ux, где u – представляет собой какую-то новую функцию с зависимостью от х. В таком случае:

\(dy = d\left( \right) = udx + xdu\)

Полученное выражение можно подставить в дифференциальное уравнение:

\(\require 2xdx + \cancel — \cancel — du = 0\)

Можно поделить две части выражения на х, получим:

С помощью деления на x, можно было утратить решение x = 0. Благодаря прямой подстановке, удалось понять, что x = 0 действительно представляет собой одно из решений заданного уравнения.

Последнее выражение следует интегрировать:

В этом случае C является постоянной интегрирования.

Если вернуться к первоначальной переменной, то запись будет выглядеть следующим образом:

Получается, что у уравнения существует пара решений:

Задача 2

Необходимо найти решение для дифференциального уравнения:

\(xy’ = y\ln \large\frac\normalsize\)

Решение

Можно заметить, что корень x = 0 не относится к области определения данного дифференциального уравнения. Следует представить выражение в таком виде:

Из чего становится понятно, что уравнение однородное.

Далее можно заменить y = ux. Таким образом:

Затем следует выполнить подстановку полученного выражения в первоначальное дифференциальное уравнение:

Если разделить две части уравнения на \(x \ne 0\) :

Таким образом, выражение будет записано в виде уравнения с разделяющимися переменными:

Следует проинтегрировать обе части равенства:

В результате получим:

Постоянная С в данном случае может быть записана, как:

В этом случае уравнение примет вид:

По итогам вычислений получаем пару решений:

В итоге, все решения дифференциального уравнения можно записать с помощью одного равенства:

где C является произвольным действительным числом.

Задача 3

Дано дифференциальное уравнение, решение которого требуется найти:

Решение

В данном примере также записано однородное дифференциальное уравнение. Выражение можно представить следующим образом:

Можно подставить y = ux. В таком случае, y’ = u’x + u. Подставляя y и y’ в исходное уравнение, получим:

Преобразованное уравнение будет записано в таком виде:

Найти общее решение можно путем интеграции:

следует записать последнее уравнение в виде:

Обратная функция \(x\left( y \right)\) будет записана в таком виде:

Исходя из того, что C является произвольным числом, знак «минус» перед этой константой можно заменить на знак «плюс». Путем преобразований получим:

\(x = y\ln \left| y \right| + Cy\)

В итоге представим запись дифференциального решения:

\(x = y\ln \left| y \right| + Cy,\;\;y = 0\)

Задача 4

Требуется решить дифференциальное уравнение, которое записано в виде:

Решение

Проанализировав правую часть уравнения, можно сделать вывод, что x \ne 0 и y \ne 0. Можно выполнить подстановку: y = ux, y’ = u’x + u. В итоге получим уравнение, в котором есть разделяющие переменные:

Далее следует интегрировать полученное выражение:

Заменим 2C на постоянную C. Получаем:

Общее решение дифференциального уравнения будет иметь вид:

Источник

Однородные уравнения (ЕГЭ 2022)

В этой статье ты научишься решать однородные уравнения.

В частности, тригонометрические и показательные.

И это не так сложно, как выглядит!

Потому что алгоритм решения однородных уравнений один и тот же!

Для этого эти уравнения и выделили в одну группу – чтобы было легче решать. По одному алгоритму.

Читай статью, решай примеры и все поймешь!

Однородные уравнения — коротко о главном

Определение однородных уравнений

Однородные уравнения – это уравнения вида \( <_<0>><^>+<_<1>><^>y+<_<2>><^><^<2>>+…+<_>x<^>+<_><^>=0\) с двумя неизвестными, в каждом из слагаемых которых одинаковая сумма степеней этих неизвестных.

Решение всех однородных уравнений сводится к делению на одну из неизвестных в степени \( n\) и дальнейшей заменой переменных.

Алгоритм решения однородных уравнений

Однородные уравнение — подробнее

Что такое однородные уравнения? Давай посмотрим на определение.

Однородные уравнения – это уравнения вида \( <_<0>><^>+<_<1>><^>y+<_<2>><^><^<2>>+…+<_>x<^>+<_><^>=0\) с двумя неизвестными, в каждом из слагаемых которых одинаковая сумма степеней этих неизвестных.

Совершенно пугающее определение, поэтому разберемся на примере.

Пример №1

Это уравнение однородное. Почему? Давай посмотрим на определение.

Стоп! Давай все-таки попытаемся разобраться в этой громоздкой формуле.

На первом месте должна идти первая переменная в степени \( n\) с некоторым коэффициентом. В нашем случае это \( 1\cdot <^<2>>,\ \ k=1,\ \ x=a,\ \ n=2\)

Дальше идет первая переменная в степени \( n-1\) и вторая переменная в первой степени.

Как мы выяснили, \( n=2\), значит здесь степень \( n-1=1\) при первой переменной \( \left( a \right)\) – сходится.

Первая переменная \( \left( a \right)\) в степени \( n-2=0\), и вторая переменная \( \left( b \right)\) в квадрате, с коэффициентом \( \left( 3 \right)\). Это последний член уравнения.

Как видишь, наше уравнение подходит под определение в виде формулы.

Давай рассмотрим вторую (словесную) часть определения.

…с двумя неизвестными, в каждом из слагаемых которого одинаковая сумма степеней этих неизвестных.

У нас две неизвестные \( (a\) и \( b)\). Здесь сходится.

Рассмотрим все слагаемые. В них сумма степеней неизвестных должна быть одинакова.

\( 3<^<2>>\) — сумма степеней равна \( 2\).

Как видишь, все сходится! Это однородное уравнение.

Теперь давай потренируемся в определении однородных уравнений.

Определи какие из уравнений — однородные

Однородные уравнения — уравнения под номерами:

Рассмотрим отдельно \( 11\) уравнение.

Если мы разделим каждое слагаемое на разложим каждое слагаемое, то получим:

А это уравнение полностью попадает под определение однородных уравнений.

Как решать однородные уравнения

Решение всех однородных уравнений сводится к делению на одну из неизвестных в степени \( n\) и дальнейшей заменой переменных.

Пример №2

Найдите \( \displaystyle \frac\).

Разделим уравнение на \( <^<2>>\).

Нужно всегда помнить, что делить (и умножать) на переменную мы можем только тогда, когда мы уверены, что эта переменная не может быть равна \( 0\). Например, если нас просят найти \( \frac\), то мы сразу понимаем, что \( y\ne 0\), поскольку на \( 0\) делить нельзя.

Когда это не так очевидно, необходимо отдельно проверять случай, когда эта переменная равна \( 0\).

У нас по условию y не может быть равен \( 0\). Поэтому мы можем смело делить на \( <^<2>>\)

Произведя замену \( t=\frac\), мы получим простое квадратное уравнение:

Так как это приведенное квадратное уравнение, воспользуемся теоремой Виета:

Произведя обратную замену, получаем ответ

Ответ: \( 2;5\)

Пример №3

Нужно найти: \( \displaystyle \ \frac.\)

Решение:

Разделим уравнение на \( <^<2>>\) (\( y\ne 0\) по условию).

Произведем замену \( \displaystyle t=\frac\) и решим квадратное уравнение:

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Пример №4

Здесь нужно не делить, а умножать.

Умножим все уравнение на \( <^<2>>\):

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Решение однородных тригонометрических уравнений

Решение однородных тригонометрических уравнений ничем не отличается от способов решения, описанных выше.

Только здесь, помимо прочего, нужно немного знать тригонометрию. И уметь решать тригонометрические уравнения (для этого можешь прочитать раздел «Тригонометрические уравнения»).

Рассмотрим такие уравнения на примерах.

Пример №5

Решите уравнение \( <<\sin >^<2>>x-3\sin x\cdot \cos x-4<<\cos >^<2>>x=0\).

Мы видим типичное однородное уравнение: \( \sin x\) и \( \cos x\) – это неизвестные, а сумма их степеней в каждом слагаемом равна \( 2\).

Подобные однородные уравнения решаются не сложно, но перед тем, как разделить уравнения на \( <<\cos >^<2>>x\), рассмотрим случай, когда \( \cos x=0\)

В этом случае уравнение примет вид: \( <<\sin >^<2>>x=0\), значит \( \sin x=0\). Но синус и косинус не могут одновременно быть равны \( 0\), ведь по основному тригонометрическому тождеству \( <<\cos >^<2>>x+<<\sin >^<2>>x=1\). Поэтому \( \cos x\ne 0\), и на него можно смело делить:

Сделаем замену \( t=tgx\) и решим квадратное уравнение:

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Пример №6

Решите уравнение \( 5<<\sin >^<2>>x-2\sin x\cdot \cos x-3<<\cos >^<2>>x=0\).

Как и в примере \( 5\), нужно разделить уравнение на \( <<\cos >^<2>>x\).

Рассмотрим случай, когда \( \cos x=0\) :

Но синус и косинус не могут одновременно быть равны \( 0\), ведь по основному тригонометрическому тождеству \( <<\cos >^<2>>x+<<\sin >^<2>>x=1\).

Поэтому \( \cos x\ne 0\).

Сделаем замену \( t=tgx\) и решим квадратное уравнение:

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Решение однородных показательных уравнений

Однородные уравнения решаются так же, как рассмотренных выше. Если ты забыл, как решать показательные уравнения – посмотри соответствующий раздел («Показательные уравнения»)!

Рассмотрим несколько примеров.

Пример №7

Мы видим типичное однородное уравнение, с двумя переменными и суммой степеней \( 2x\). Разделим уравнение на \( <<18>^<2x>>\):

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Пример №8

Разделим уравнение на \( <<16>^<2x>>\):

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Пример №9

На примере этой задачи повторим, что такое однородные уравнения и как их решать.

Здесь можно заметить любопытную вещь: если поделить каждое слагаемое на \( <^<2>>\), получим:

То есть, теперь нет отдельных \( a\) и \( b\), – теперь переменной в уравнении является искомая величина \( \frac\). И это обычное квадратное уравнение, которое легко решить с помощью теоремы Виета: произведение корней равно \( 2\), а сумма \( 3\) – это числа \( 2\) и \( 1\).

Ответ: \( 1;\text< >2.\)

называется однородным.

То есть это уравнение с двумя неизвестными, в каждом слагаемом которого одинаковая сумма степеней этих неизвестных. Например, в примере выше эта сумма равна \( 2\).

Решение однородных уравнений осуществляется делением на одну из неизвестных в этой степени:

И последующей заменой переменных: \( t=\frac\). Таким образом получаем уравнение \( n\) степени с одной неизвестной \( t\):

Чаще всего нам будут встречаться уравнения второй степени (то есть квадратные), а их решать мы умеем:

\( \displaystyle \Leftrightarrow\ a<^<2>>+bt+c=0\).

Отметим, что делить (и умножать) все уравнение на переменную можно только если мы убеждены, что эта переменная не может быть равна нулю!

Например, если нас просят найти \( \displaystyle \frac\), сразу понимаем, что \( y\ne 0\), поскольку на \( 0\) делить нельзя.

В случаях, когда это не так очевидно, необходимо отдельно проверять случай когда эта переменная равна нулю. Например:

Решите уравнение \( <<\sin >^<2>>x+3\sin x\cdot \cos x+2<<\cos >^<2>>x=0\).

Пример №10

Видим здесь типичное однородное уравнение: \( \sin x\) и \( \cos x\) – это неизвестные, а сумма их степеней в каждом слагаемом равна \( 2\).

Но, прежде чем разделить на \( <<\cos >^<2>>x\) и получить квадратное уравнение относительно \( \displaystyle \frac<\sin x><\cos x>\), мы должны рассмотреть случай, когда \( \cos x=0\).

Источник

Что такое однородное уравнение с 1 неизвестной

Однородное дифференциальное уравнение можно решить с помощью подстановки \(y = ux,\) которая преобразует однородное уравнение в уравнение с разделяющимися переменными.

Дифференциальное уравнение вида \[\left( <x + y + > \right)dx + \left( <x + y + > \right)dy = 0\] преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными посредством переноса начала системы координат в точку пересечения прямых линий, заданных в уравнении. Если указанные прямые параллельны, то дифференциальное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными путем замены переменной: \[z = ax + by.\]

Нетрудно заметить, что многочлены \(P\left( \right)\) и \(Q\left( \right),\) соответственно, при \(dx\) и \(dy,\) являются однородными функциями первого порядка. Поэтому, данное дифференциальное уравнение также будет однородным.

Интегрируем последнее выражение: \[\int = 2\int <\frac<>> \;\;\text<или>\;\;u = 2\ln \left| x \right| + C,\] где \(C\) − постоянная интегрирования.

Возвращаясь к старой переменной \(y,\) можно записать: \[y = ux = x\left( <2\ln \left| x \right| + C>\right).\] Таким образом, уравнение имеет два решения: \[y = x\left( <2\ln \left| x \right| + C>\right),\;\;x = 0.\]

Заметим, что корень \(x = 0\) не принадлежит области определения заданного дифференциального уравнения. Перепишем уравнение в следующей форме: \[y’ = \frac\ln \frac = f\left( <\frac> \right).\] Как видно, уравнение является однородным.

Здесь мы снова встречаемся с однородным уравнением. В самом деле, запишем его в виде: \[ >><>> > = <\frac<<\frac<<>><<>>>><<\frac<><<>> + \frac<<>><<>>>> > = <\frac<<<<\left( <\frac> \right)>^2>>><<\frac + <<\left( <\frac> \right)>^2>>> > = > \right).> \] Сделаем подстановку \(y = ux.\) Тогда \(y’ = u’x + u.\) Подставляя \(y\) и \(y’\) в исходное уравнение, получаем: \[ <\left( > \right)\left( \right) = ,>\;\; <\Rightarrow u\left( \right)\left( \right) = .> \] Разделим обе части уравнения на \(u.\) Заметим, что корень \(x = 0\) не является решением, но можно убедиться, что корень \(u = 0\) (или \(y = 0\)) будет одним из решений данного дифференциального уравнения.

Источник

Однородные уравнения

Однородные уравнения

Это означает, что однородный многочлен n-й степени f (х, у) можно представить в виде

где — коэффициенты многочлена, одновременно не обращающиеся в нуль.

т.е. условие (1) из определения выполняется (n = 2).

Итак, однородное алгебраическое уравнение — это уравнение, не меняющее своего вида при одновременном умножении всех его неизвестных на одно и то же число, отличное от нуля. Можно распространить понятие однородности на случай неалгебраических уравнений.

Пусть р(х) и q(x) — две произвольные функции, определённые на одном и том же множестве, .

В частности, если функции р(х) и q(x) являются целыми алгебраическими многочленами, то и уравнение (2) будет относиться к аналогичному классу. В качестве другого примера рассмотрим уравнение вида

Оно является однородным тригонометрическим уравнением 2-й степени относительно функций

Перейдём к процедуре решения уравнения (2).

Если хотя бы один из коэффициентов или обращается в нуль, то левая часть уравнения легко раскладывается на множители. В результате уравнение оказывается равносильно на ОДЗ совокупности двух уравнений. Например, если , то получим совокупность

Если же и , то для решения однородного уравнения (2) необходимо рассмотреть два возможных случая.

решив которое и сделав обратную подстановку, найдём часть решений однородного уравнения.

2) Если q(х) = 0. то, подставив в уравнение вместо q(x) нуль, получим, что тогда и р(х) должно обращаться в нуль. Таким образом, этот случай сводится к решению системы уравнений

Осталось объединить все найденные решения. Уравнение (2) решено. Обратимся к примерам.

Пример №185.

Решить уравнение

Решение:

Пример №186.

Решить в целых числах уравнение

Решение:

Заметим, что если у = 0, то x = 0, и, значит, пара (0;0) удовлетворяет уравнению. Пусть , тогда поделим обе части уравнения на :

Ответ: где .

Пример №187.

Для каждого действительного значения параметра а решить уравнение

Решение:

Заметим, что данное уравнение можно рассмотреть как однородное алгебраическое уравнение 4-й степени относительно x и а.

2) Если , то поделим на , и положим :

Первый сомножитель в нуль не обращается, а второй имеет два корня

Ответ: при а = 0 единственное решение x = 0 ;

при два решения

Пример №188.

Найти действительные корни уравнения

Решение:

Данное уравнение в исходном виде не является однородным, но может быть сведено преобразованиями к однородному. Действительно, достаточно привести его к виду

Получили однородное уравнение 2-й степени относительно x + 1 и у — 1.

1) Если , то, поделив на и обозначив , получим нет решений.

Ответ:

Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:

Эти страницы возможно вам будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник