Что такое однородное уравнение

Однородное уравнение

Смотреть что такое «Однородное уравнение» в других словарях:

однородное уравнение — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN homogeneous equation … Справочник технического переводчика

Однородное уравнение — Однородным уравнением n й степени, называется уравнение вида: Такое уравнение после исключения отдельно рассматриваемого случая и деления уравнения на сводится с помощью замены к алгебраическому уравнению … Википедия

Уравнение Коши — Эйлера — В математике ( дифференциальных уравнениях), уравнение Коши Эйлера (Эйлера Коши) является частным случаем линейного дифференциального уравнения (см. линейное дифференциальное уравнение), приводимым к линейному дифференциальному уравнению с… … Википедия

Уравнение теплопроводности — Пример численного решения уравнения теплопроводности. Цветом и высотой поверхности передана температура данной точки. Уравнение теплопроводности важное уравнение в частных производных, которое описывает распространение тепла в заданной… … Википедия

Уравнение Коши — В математике (дифференциальных уравнениях), уравнение Коши Эйлера (Эйлера Коши) является частным случаем линейного дифференциального уравнения (см. линейное дифференциальное уравнение), приводимым к линейному дифференциальному… … Википедия

Уравнение диффузии — Механика сплошных сред … Википедия

Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами — Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами обыкновенное дифференциальное уравнение вида: где искомая функция, её тая производная, фиксированные числа … Википедия

Источник

Однородные уравнения (ЕГЭ 2022)

В этой статье ты научишься решать однородные уравнения.

В частности, тригонометрические и показательные.

И это не так сложно, как выглядит!

Потому что алгоритм решения однородных уравнений один и тот же!

Для этого эти уравнения и выделили в одну группу – чтобы было легче решать. По одному алгоритму.

Читай статью, решай примеры и все поймешь!

Однородные уравнения — коротко о главном

Определение однородных уравнений

Однородные уравнения – это уравнения вида \( <_<0>><^>+<_<1>><^>y+<_<2>><^><^<2>>+…+<_>x<^>+<_><^>=0\) с двумя неизвестными, в каждом из слагаемых которых одинаковая сумма степеней этих неизвестных.

Решение всех однородных уравнений сводится к делению на одну из неизвестных в степени \( n\) и дальнейшей заменой переменных.

Алгоритм решения однородных уравнений

Однородные уравнение — подробнее

Что такое однородные уравнения? Давай посмотрим на определение.

Однородные уравнения – это уравнения вида \( <_<0>><^>+<_<1>><^>y+<_<2>><^><^<2>>+…+<_>x<^>+<_><^>=0\) с двумя неизвестными, в каждом из слагаемых которых одинаковая сумма степеней этих неизвестных.

Совершенно пугающее определение, поэтому разберемся на примере.

Пример №1

Это уравнение однородное. Почему? Давай посмотрим на определение.

Стоп! Давай все-таки попытаемся разобраться в этой громоздкой формуле.

На первом месте должна идти первая переменная в степени \( n\) с некоторым коэффициентом. В нашем случае это \( 1\cdot <^<2>>,\ \ k=1,\ \ x=a,\ \ n=2\)

Дальше идет первая переменная в степени \( n-1\) и вторая переменная в первой степени.

Как мы выяснили, \( n=2\), значит здесь степень \( n-1=1\) при первой переменной \( \left( a \right)\) – сходится.

Первая переменная \( \left( a \right)\) в степени \( n-2=0\), и вторая переменная \( \left( b \right)\) в квадрате, с коэффициентом \( \left( 3 \right)\). Это последний член уравнения.

Как видишь, наше уравнение подходит под определение в виде формулы.

Давай рассмотрим вторую (словесную) часть определения.

…с двумя неизвестными, в каждом из слагаемых которого одинаковая сумма степеней этих неизвестных.

У нас две неизвестные \( (a\) и \( b)\). Здесь сходится.

Рассмотрим все слагаемые. В них сумма степеней неизвестных должна быть одинакова.

\( 3<^<2>>\) — сумма степеней равна \( 2\).

Как видишь, все сходится! Это однородное уравнение.

Теперь давай потренируемся в определении однородных уравнений.

Определи какие из уравнений — однородные

Однородные уравнения — уравнения под номерами:

Рассмотрим отдельно \( 11\) уравнение.

Если мы разделим каждое слагаемое на разложим каждое слагаемое, то получим:

А это уравнение полностью попадает под определение однородных уравнений.

Как решать однородные уравнения

Решение всех однородных уравнений сводится к делению на одну из неизвестных в степени \( n\) и дальнейшей заменой переменных.

Пример №2

Найдите \( \displaystyle \frac\).

Разделим уравнение на \( <^<2>>\).

Нужно всегда помнить, что делить (и умножать) на переменную мы можем только тогда, когда мы уверены, что эта переменная не может быть равна \( 0\). Например, если нас просят найти \( \frac\), то мы сразу понимаем, что \( y\ne 0\), поскольку на \( 0\) делить нельзя.

Когда это не так очевидно, необходимо отдельно проверять случай, когда эта переменная равна \( 0\).

У нас по условию y не может быть равен \( 0\). Поэтому мы можем смело делить на \( <^<2>>\)

Произведя замену \( t=\frac\), мы получим простое квадратное уравнение:

Так как это приведенное квадратное уравнение, воспользуемся теоремой Виета:

Произведя обратную замену, получаем ответ

Ответ: \( 2;5\)

Пример №3

Нужно найти: \( \displaystyle \ \frac.\)

Решение:

Разделим уравнение на \( <^<2>>\) (\( y\ne 0\) по условию).

Произведем замену \( \displaystyle t=\frac\) и решим квадратное уравнение:

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Пример №4

Здесь нужно не делить, а умножать.

Умножим все уравнение на \( <^<2>>\):

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Решение однородных тригонометрических уравнений

Решение однородных тригонометрических уравнений ничем не отличается от способов решения, описанных выше.

Только здесь, помимо прочего, нужно немного знать тригонометрию. И уметь решать тригонометрические уравнения (для этого можешь прочитать раздел «Тригонометрические уравнения»).

Рассмотрим такие уравнения на примерах.

Пример №5

Решите уравнение \( <<\sin >^<2>>x-3\sin x\cdot \cos x-4<<\cos >^<2>>x=0\).

Мы видим типичное однородное уравнение: \( \sin x\) и \( \cos x\) – это неизвестные, а сумма их степеней в каждом слагаемом равна \( 2\).

Подобные однородные уравнения решаются не сложно, но перед тем, как разделить уравнения на \( <<\cos >^<2>>x\), рассмотрим случай, когда \( \cos x=0\)

В этом случае уравнение примет вид: \( <<\sin >^<2>>x=0\), значит \( \sin x=0\). Но синус и косинус не могут одновременно быть равны \( 0\), ведь по основному тригонометрическому тождеству \( <<\cos >^<2>>x+<<\sin >^<2>>x=1\). Поэтому \( \cos x\ne 0\), и на него можно смело делить:

Сделаем замену \( t=tgx\) и решим квадратное уравнение:

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Пример №6

Решите уравнение \( 5<<\sin >^<2>>x-2\sin x\cdot \cos x-3<<\cos >^<2>>x=0\).

Как и в примере \( 5\), нужно разделить уравнение на \( <<\cos >^<2>>x\).

Рассмотрим случай, когда \( \cos x=0\) :

Но синус и косинус не могут одновременно быть равны \( 0\), ведь по основному тригонометрическому тождеству \( <<\cos >^<2>>x+<<\sin >^<2>>x=1\).

Поэтому \( \cos x\ne 0\).

Сделаем замену \( t=tgx\) и решим квадратное уравнение:

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Решение однородных показательных уравнений

Однородные уравнения решаются так же, как рассмотренных выше. Если ты забыл, как решать показательные уравнения – посмотри соответствующий раздел («Показательные уравнения»)!

Рассмотрим несколько примеров.

Пример №7

Мы видим типичное однородное уравнение, с двумя переменными и суммой степеней \( 2x\). Разделим уравнение на \( <<18>^<2x>>\):

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Пример №8

Разделим уравнение на \( <<16>^<2x>>\):

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Пример №9

На примере этой задачи повторим, что такое однородные уравнения и как их решать.

Здесь можно заметить любопытную вещь: если поделить каждое слагаемое на \( <^<2>>\), получим:

То есть, теперь нет отдельных \( a\) и \( b\), – теперь переменной в уравнении является искомая величина \( \frac\). И это обычное квадратное уравнение, которое легко решить с помощью теоремы Виета: произведение корней равно \( 2\), а сумма \( 3\) – это числа \( 2\) и \( 1\).

Ответ: \( 1;\text< >2.\)

называется однородным.

То есть это уравнение с двумя неизвестными, в каждом слагаемом которого одинаковая сумма степеней этих неизвестных. Например, в примере выше эта сумма равна \( 2\).

Решение однородных уравнений осуществляется делением на одну из неизвестных в этой степени:

И последующей заменой переменных: \( t=\frac\). Таким образом получаем уравнение \( n\) степени с одной неизвестной \( t\):

Чаще всего нам будут встречаться уравнения второй степени (то есть квадратные), а их решать мы умеем:

\( \displaystyle \Leftrightarrow\ a<^<2>>+bt+c=0\).

Отметим, что делить (и умножать) все уравнение на переменную можно только если мы убеждены, что эта переменная не может быть равна нулю!

Например, если нас просят найти \( \displaystyle \frac\), сразу понимаем, что \( y\ne 0\), поскольку на \( 0\) делить нельзя.

В случаях, когда это не так очевидно, необходимо отдельно проверять случай когда эта переменная равна нулю. Например:

Решите уравнение \( <<\sin >^<2>>x+3\sin x\cdot \cos x+2<<\cos >^<2>>x=0\).

Пример №10

Видим здесь типичное однородное уравнение: \( \sin x\) и \( \cos x\) – это неизвестные, а сумма их степеней в каждом слагаемом равна \( 2\).

Но, прежде чем разделить на \( <<\cos >^<2>>x\) и получить квадратное уравнение относительно \( \displaystyle \frac<\sin x><\cos x>\), мы должны рассмотреть случай, когда \( \cos x=0\).

Источник

Дифференциальное однородное уравнение: особенности и решение

Однородные уравнения

Чтобы убедиться в их однородности, достаточно аргументы функции F или A умножить на какой-либо коэффициент и посмотреть, не сократится ли он.

Замена e(t) = f(1, t)

Выше говорилось о том, что дифференциальные уравнения с однородными функциями сводятся к разделяющимся за счет замены. Для объяснения этого рассмотрим лемму.

Доказывается данная лемма тривиальным образом: для этого просто нужно положить k = 1/x для всех ненулевых x.

Применение замены в решение y’ = f(x, y)

Интегрируя, получим решение E = ln|x| + C.

Заметка

Рассмотрим, почему вышеописанная замена работает при решении однородных дифференциальных уравнений. Для этого возьмем общее решение E = ln|x| + C и заменим x на kx и y на ky: E = ln|kx| + C = ln(k) + ln|x| + C. В свою очередь выражение ln(k) + C может быть представлено как W, и тогда решение будет выглядеть как E = ln|x| + W.

Получается, что замена x на kx и y на ky приводит лишь к замещению одного решения другим, но из того же класса. Иными словами, другое решение также удовлетворяет исходному уравнению. Описанное свойство на координатной плоскости называется гомотетией, т. е. интегральные кривые однородных дифференциальных уравнений переходят друг в друга.

Пример 1

Дано уравнение l 2 + ml + m 2 l’ + m 2 = 0. Найдем его решение. Неопытный глаз может по ошибке торопливо заключить, что данное уравнение не однородно, так как подстановка km вместо m и kn вместо n не дает исходное уравнение. Ошибка в данном случае заключается в том, что уравнение предварительно не было разрешено относительно производной n’. Сделаем.

В данном виде легко определить, что уравнение однородно.

Приступим к решению, совершив замену l/m = v. Получим l = vm и l’ = mv’ + v. Подставим эти значения в уравнение:

Из получившегося уравнения в дифференциальной форме легко находится общий интеграл:

Проведем обратную замену:

Линейные дифференциальные уравнения

Часто однородные дифференциальные уравнения путают с линейными. Для полноты вопроса рассмотрим немного и этот класс. Итак, линейным называется дифференциальное уравнение, в котором функция и ее производная располагаются в линейной зависимости, т. е. получаем уравнение, которому присущ следующий вид:

Для разрешения этого уравнения относительно y’ необходимо рассмотреть все корни o(x). Положим, что для некоторого числа o(x₀) = 0, тогда одним из решений описанного уравнение будет x₀, т.к. получаем o(x₀)dy = 0 и dx = 0. Это становится очевидным, если записать дифференциальную форму уравнения, умножив на dx обе части: o(x)dy + w(x)ydx = e(x)dx.

Исключив нулевые значения o(x), для оставшихся значений x записываем уравнение в разрешенном виде, поделив его на o(x).

Решение линейных дифференциальных уравнений

В общем случае линейное уравнение (неоднородное) решается в несколько этапов:

Еще одна путаница однородных уравнений возникает при рассмотрении однородных систем уравнений. Однако это другой вопрос, рассмотрение которого выходит за пределы данной статьи.

Примеры

Дана задача. Нужно найти решение.

Очевидно, данное уравнение неоднородно, поэтому решим сначала следующее уравнение:

Следует отметить, что одним из решений уравнения является y = 0. Нахождение общего решения происходит через дифференциальную форму, которая позволяет воспользоваться разделением переменных:

Решение неоднородного уравнения выполним другим, аналогичным способом, который называется методом вариации постоянной, или метод Лагранжа. Опишем его теоретически.

Применяя метод Лагранжа для нашей задачи, положим:

Мы рассмотрели способы решения линейных однородных уравнений.

Источник

Однородные уравнения

Однородные уравнения

Это означает, что однородный многочлен n-й степени f (х, у) можно представить в виде

где — коэффициенты многочлена, одновременно не обращающиеся в нуль.

т.е. условие (1) из определения выполняется (n = 2).

Итак, однородное алгебраическое уравнение — это уравнение, не меняющее своего вида при одновременном умножении всех его неизвестных на одно и то же число, отличное от нуля. Можно распространить понятие однородности на случай неалгебраических уравнений.

Пусть р(х) и q(x) — две произвольные функции, определённые на одном и том же множестве, .

В частности, если функции р(х) и q(x) являются целыми алгебраическими многочленами, то и уравнение (2) будет относиться к аналогичному классу. В качестве другого примера рассмотрим уравнение вида

Оно является однородным тригонометрическим уравнением 2-й степени относительно функций

Перейдём к процедуре решения уравнения (2).

Если хотя бы один из коэффициентов или обращается в нуль, то левая часть уравнения легко раскладывается на множители. В результате уравнение оказывается равносильно на ОДЗ совокупности двух уравнений. Например, если , то получим совокупность

Если же и , то для решения однородного уравнения (2) необходимо рассмотреть два возможных случая.

решив которое и сделав обратную подстановку, найдём часть решений однородного уравнения.

2) Если q(х) = 0. то, подставив в уравнение вместо q(x) нуль, получим, что тогда и р(х) должно обращаться в нуль. Таким образом, этот случай сводится к решению системы уравнений

Осталось объединить все найденные решения. Уравнение (2) решено. Обратимся к примерам.

Пример №185.

Решить уравнение

Решение:

Пример №186.

Решить в целых числах уравнение

Решение:

Заметим, что если у = 0, то x = 0, и, значит, пара (0;0) удовлетворяет уравнению. Пусть , тогда поделим обе части уравнения на :

Ответ: где .

Пример №187.

Для каждого действительного значения параметра а решить уравнение

Решение:

Заметим, что данное уравнение можно рассмотреть как однородное алгебраическое уравнение 4-й степени относительно x и а.

2) Если , то поделим на , и положим :

Первый сомножитель в нуль не обращается, а второй имеет два корня

Ответ: при а = 0 единственное решение x = 0 ;

при два решения

Пример №188.

Найти действительные корни уравнения

Решение:

Данное уравнение в исходном виде не является однородным, но может быть сведено преобразованиями к однородному. Действительно, достаточно привести его к виду

Получили однородное уравнение 2-й степени относительно x + 1 и у — 1.

1) Если , то, поделив на и обозначив , получим нет решений.

Ответ:

Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:

Эти страницы возможно вам будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник