Что такое односторонние пределы функции
Предел функции: основные понятия и определения
В этой статье мы расскажем, что из себя представляет предел функции. Сначала поясним общие моменты, которые очень важны для понимания сути этого явления.
Понятие предела
Если мы не можем определить ни конечное, ни бесконечное значение, это значит, что такого предела не существует. Примером этого случая может быть предел от синуса на бесконечности.
Что такое предел функции
В этом пункте мы объясним, как найти значение предела функции в точке и на бесконечности. Для этого нам нужно ввести основные определения и вспомнить, что такое числовые последовательности, а также их сходимость и расходимость.
При x → ∞ предел функции f ( x ) является бесконечным, если последовательность значений для любой бесконечно большой последовательности аргументов будет также бесконечно большой (положительной или отрицательной).
Решение
Далее мы запишем то же самое, но для бесконечно большой отрицательной последовательности.
Здесь тоже видно монотонное убывание к нулю, что подтверждает верность данного в условии равенства:
Ответ: Верность данного в условии равенства подтверждена.
Решение
Мы видим, что данная последовательность бесконечно положительна, значит, f ( x ) = lim x → + ∞ e 1 10 x = + ∞
Наглядно решение задачи показано на иллюстрации. Синими точками отмечена последовательность положительных значений, зелеными – отрицательных.
Перейдем к методу вычисления предела функции в точке. Для этого нам нужно знать, как правильно определить односторонний предел. Это пригодится нам и для того, чтобы найти вертикальные асимптоты графика функции.
Теперь сформулируем, что такое предел функции справа.
Теперь мы разъясним данные определения, записав решение конкретной задачи.
Решение
Значения функции в этой последовательности будут выглядеть так:
Чтобы более глубоко изучить теорию пределов, советуем вам прочесть статью о непрерывности функции в точке и основных видах точек разрыва.
Односторонний предел
Односторо́нний преде́л в математическом анализе — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторо́нним преде́лом (или преде́лом сле́ва) и правосторо́нним преде́лом (преде́лом спра́ва).
Содержание
Определения
Пусть на некотором числовом множестве 
задана числовая функция 
и число 
— предельная точка области определения 
. Существуют различные определения для односторонних пределов функции 
в точке , но все они эквивалентны.
Односторонний предел по Гейне
Односторонний предел по Коши
\exists \delta = \delta \left( \varepsilon \right) > 0
\exists \delta = \delta \left( \varepsilon \right) > 0
Односторонний предел как предел вдоль фильтра
Односторонний предел является частным случаем общего понятия предела функции вдоль фильтра. Пусть 
и 
Тогда системы множеств
0 \>» border=»0″ />
0 \>» border=»0″ />
являются фильтрами. Пределы вдоль этих фильтров совпадают с соответствующими односторонними пределами:
Обозначения
Свойства
Примеры
См. также
Примечания
Полезное
Смотреть что такое «Односторонний предел» в других словарях:
ОДНОСТОРОННИЙ ПРЕДЕЛ — предел функции в нек рой точке справа или слева. Пусть f отображение упорядоченного множества X(напр., множества, лежащего на числовой прямой), рассматриваемого как топологич. пространство с топологией, порожденной отношением порядка, в топологич … Математическая энциклопедия
Предел функции — x 1 0.841471 0.1 0.998334 0.01 0.999983 Хотя функция (sin x)/x в нуле не определена, когда x приближается к нулю, значение (sin x)/x становится сколь угодно близко к 1. Другими словами, предел функции (sin x)/x при x, стремящемся к … Википедия
Предел слева — Односторонний предел в математическом анализе предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторонним пределом (или пределом слева) и правосторонним пределом… … Википедия
Предел справа — Односторонний предел в математическом анализе предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторонним пределом (или пределом слева) и правосторонним пределом… … Википедия
ПРЕДЕЛ — одно из основных понятий математики, означающее, что какая то переменная, зависящая от другой переменной, при определенном изменении последней, неограниченно приближается к нек рому постоянному значению. Основным при определении П. является… … Математическая энциклопедия
Левосторонний предел — Односторонний предел в математическом анализе предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторонним пределом (или пределом слева) и правосторонним пределом… … Википедия
Правосторонний предел — Односторонний предел в математическом анализе предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторонним пределом (или пределом слева) и правосторонним пределом… … Википедия
Замечательный предел — Содержание 1 Первый замечательный предел 2 Второй замечательный предел 2.1 … Википедия
нижний доверительный предел — 3.4 нижний доверительный предел (lower confidence limit) sLCL, МПа: Величина, определяющая свойство рассматриваемого материала, представляющая собой 97,5 % нижнего доверительного предела предсказанной длительной гидростатической прочности при 20… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
нижний доверительный предел прогнозируемого гидростатического давления pLPL, МПа — 3.7 нижний доверительный предел прогнозируемого гидростатического давления pLPL, МПа: Величина с размерностью давления, представляющая собой 97,5 % ный (односторонний) нижний доверительный предел прогнозируемого гидростатического давления при… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
Что такое односторонние пределы функции
Что такое односторонние пределы функций, и как вычисляются односторонние пределы.
Название односторонних пределов говорит само за себя. Это предел, который вычисляется с какой-то одной стороны: слева или справа.
Для того, что определить односторонний предел, в определении предела функции мы должны рассматривать не любые последовательности значений переменной, а только те, которые стремятся к своему предельному положению с какой-то одной стороны. Тогда получающийся предел функции называется односторонним пределом.
Часто бывает так, что односторонний предел, вычисленный слева, отличается от одностороннего предела, вычисленного справа. Иди даже так: один из односторонних пределов существует, а второго одностороннего предела не существует.
Если же оба односторонних предела существуют и равны между собой, то в этом (и только в этом) случае существует и общий предел функции.
Односторонние пределы, как правило, вычисляются непосредственно по определению: берем последовательность, сходящуюся к предельному значению с одной стороны, и смотрим, куда сойдется (и сойдется ли вообще) соответствующая последовательность значений функции.
Односторонние пределы не так распространены в материалах математического анализа как обычные, двусторонние пределы. Тем не менее, вам нужно представлять себе приемы работы с односторонними пределами, так как это помогает лучше понимать технику вычисления пределов вообще.
Просмотрите видео по теме «Односторонние пределы». Затем перейдите к вопросам по теме «Односторонние пределы» и попробуйте самостоятельно вычислить односторонние пределы предложенных вам функций. Наконец, проверьте себя, просмотрев ответы на вопросы по теме «Односторонние пределы».
Односторонние пределы
Односторонние пределы
Определение 3.4. Число А называется правым (левым) пределом функции 
в точке 
, если для любой последовательности 
, сходящейся к , элементы которой больше (меньше) , соответствующая последовательность значений функции 
сходится к А при 
.
Таким образом, определение правого предела:
определение левого предела:
Предел справа обозначается 
, предел слева — 
.
Теорема 3.2*. Функция 
имеет предел в точке тогда и только тогда, когда в этой точке существуют правый и левый пределы и они равны. В этом случае их общее значение и является пределом функции в точке .
Пример 3.3.
Найти односторонние пределы функции 
в х точке 
.
Решение:
Вывод. Так как односторонние пределы функции 
в точке 
существуют, но не равны между собой, то данная функция не имеет предела в этой точке.
Эта лекция взята со страницы лекций по предмету математический анализ:
Возможно вам будут полезны эти страницы:
Образовательный сайт для студентов и школьников
Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.
© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института
Односторонние пределы
Односторо́нний преде́л в математическом анализе — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторо́нним преде́лом (или преде́лом сле́ва) и правосторо́нним преде́лом (или преде́лом спра́ва).
Содержание
Определения
Пусть задана числовая функция 
и 
— предельная точка области определения M.
Обозначения
Односторонний предел как предел вдоль фильтра
Односторонний предел является частным случаем общего понятия предела функции вдоль фильтра. Пусть 
и 
Тогда системы множеств
являются фильтрами. Пределы вдоль этих фильтров совпадают с соответствующими односторонними пределами:
Свойства
Примеры
См. также
Полезное
Смотреть что такое «Односторонние пределы» в других словарях:
Замечательные пределы — Эта статья или раздел нуждается в переработке. Пожалуйста, улучшите статью в соответствии с правилами написания статей. Замечательные пределы тер … Википедия
ГОСТ Р ЕН 848-1-2011: Безопасность деревообрабатывающих станков. Станки фрезерные односторонние. Часть 1. Станки фрезерные одношпиндельные с вертикальным нижним расположением шпинделя — Терминология ГОСТ Р ЕН 848 1 2011: Безопасность деревообрабатывающих станков. Станки фрезерные односторонние. Часть 1. Станки фрезерные одношпиндельные с вертикальным нижним расположением шпинделя: 3.2.16 время выбега (run down time): Время от… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
ГОСТ Р ЕН 860-2010: Безопасность деревообрабатывающих станков. Станки рейсмусовые односторонние — Терминология ГОСТ Р ЕН 860 2010: Безопасность деревообрабатывающих станков. Станки рейсмусовые односторонние: 3.2.11 время выбега (run down time): Время от приведения в действие командного устройства остановки станка до остановки вращения… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
Предел вдоль фильтра — обобщение понятия предела. Содержание 1 Определение фильтра 2 Определение предела … Википедия
Левосторонний предел — Односторонний предел в математическом анализе предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторонним пределом (или пределом слева) и правосторонним пределом… … Википедия
Правосторонний предел — Односторонний предел в математическом анализе предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторонним пределом (или пределом слева) и правосторонним пределом… … Википедия
Предел слева — Односторонний предел в математическом анализе предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторонним пределом (или пределом слева) и правосторонним пределом… … Википедия
Предел справа — Односторонний предел в математическом анализе предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторонним пределом (или пределом слева) и правосторонним пределом… … Википедия
Замечательный предел — Содержание 1 Первый замечательный предел 2 Второй замечательный предел 2.1 … Википедия
Непрерывность (математика) — Непрерывное отображение или непрерывная функция это такое отображение, у которого небольшие изменения аргумента приводят к небольшим изменениям значения отображения. Это понятие определятся немного по разному в различных разделах математики;… … Википедия