Что такое оду в математике
Дифференциальные уравнения для «чайников». Примеры решения
Часто одно лишь упоминание дифференциальных уравнений вызывает у студентов неприятное чувство. Почему так происходит? Чаще всего потому, что при изучении основ материала возникает пробел в знаниях, из-за которого дальнейшее изучение диффуров становиться просто пыткой. Ничего не понятно, что делать, как решать, с чего начать?
Однако мы постараемся вам показать, что диффуры – это не так сложно, как кажется.
Основные понятия теории дифференциальных уравнений
Со школы нам известны простейшие уравнения, в которых нужно найти неизвестную x. По сути дифференциальные уравнения лишь чуточку отличаются от них – вместо переменной х в них нужно найти функцию y(х), которая обратит уравнение в тождество.
Дифференциальные уравнения имеют огромное прикладное значение. Это не абстрактная математика, которая не имеет отношения к окружающему нас миру. С помощью дифференциальных уравнений описываются многие реальные природные процессы. Например, колебания струны, движение гармонического осциллятора, посредством дифференциальных уравнений в задачах механики находят скорость и ускорение тела. Также ДУ находят широкое применение в биологии, химии, экономике и многих других науках.
Дифференциальное уравнение (ДУ) – это уравнение, содержащее производные функции y(х), саму функцию, независимые переменные и иные параметры в различных комбинациях.
Существует множество видов дифференциальных уравнений: обыкновенные дифференциальные уравнения, линейные и нелинейные, однородные и неоднородные, дифференциальные уравнения первого и высших порядков, дифуры в частных производных и так далее.
Решением дифференциального уравнения является функция, которая обращает его в тождество. Существуют общие и частные решения ДУ.
Общим решением ДУ является общее множество решений, обращающих уравнение в тождество. Частным решением дифференциального уравнения называется решение, удовлетворяющее дополнительным условиям, заданным изначально.
Порядок дифференциального уравнения определяется наивысшим порядком производных, входящих в него.
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Обыкновенные дифференциальные уравнения – это уравнения, содержащие одну независимую переменную.
Рассмотрим простейшее обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно имеет вид:
Решить такое уравнение можно, просто проинтегрировав его правую часть.
Примеры таких уравнений:
Уравнения с разделяющимися переменными
В общем виде этот тип уравнений выглядит так:
Решая такое уравнение, нужно разделить переменные, приведя его к виду:
После этого останется проинтегрировать обе части и получить решение.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Такие уравнения имеют вид:
Здесь p(x) и q(x) – некоторые функции независимой переменной, а y=y(x) – искомая функция. Приведем пример такого уравнения:
Решая такое уравнение, чаще всего используют метод вариации произвольной постоянной либо представляют искомую функцию в виде произведения двух других функций y(x)=u(x)v(x).
Для решения таких уравнений необходима определенная подготовка и взять их “с наскока” будет довольно сложно.
Пример решения ДУ с разделяющимися переменными
Вот мы и рассмотрели простейшие типы ДУ. Теперь разберем решение одного из них. Пусть это будет уравнение с разделяющимися переменными.
Сначала перепишем производную в более привычном виде:
Затем разделим переменные, то есть в одной части уравнения соберем все «игреки», а в другой – «иксы»:
Теперь осталось проинтегрировать обе части:
Интегрируем и получаем общее решение данного уравнения:
Конечно, решение дифференциальных уравнений – своего рода искусство. Нужно уметь понимать, к какому типу относится уравнение, а также научиться видеть, какие преобразования нужно с ним совершить, чтобы привести к тому или иному виду, не говоря уже просто об умении дифференцировать и интегрировать. И чтобы преуспеть в решении ДУ, нужна практика (как и во всем). А если у Вас в данный момент нет времени разбираться с тем, как решаются дифференциальные уравнения или задача Коши встала как кость в горле или вы не знаете, как правильно оформить презентацию, обратитесь к нашим авторам. В сжатые сроки мы предоставим Вам готовое и подробное решение, разобраться в подробностях которого Вы сможете в любое удобное для Вас время. А пока предлагаем посмотреть видео на тему «Как решать дифференциальные уравнения»:
Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.
Что такое оду в математике
отсек двигательной установки
Словарь: С. Фадеев. Словарь сокращений современного русского языка. — С.-Пб.: Политехника, 1997. — 527 с.
обыкновенное дифференциальное уравнение
объединённая двигательная установка
на космическом корабле
Словарь: С. Фадеев. Словарь сокращений современного русского языка. — С.-Пб.: Политехника, 1997. — 527 с.
ориентировочный допустимый уровень
Источник: СанПиН 2.1.5.980-00
общий допустимый улов
объём допустимого улова
основная двигательная установка
Словари: Словарь сокращений и аббревиатур армии и спецслужб. Сост. А. А. Щелоков. — М.: ООО «Издательство АСТ», ЗАО «Издательский дом Гелеос», 2003. — 318 с., С. Фадеев. Словарь сокращений современного русского языка. — С.-Пб.: Политехника, 1997. — 527 с.
объединённое диспетчерское управление
Словарь: С. Фадеев. Словарь сокращений современного русского языка. — С.-Пб.: Политехника, 1997. — 527 с.
обмывочно-дезинфекционная установка
обмывочно-дегазационная установка
Словарь: Словарь сокращений и аббревиатур армии и спецслужб. Сост. А. А. Щелоков. — М.: ООО «Издательство АСТ», ЗАО «Издательский дом Гелеос», 2003. — 318 с.
оперативно-диспетчерское управление
оперативное диспетчерское управление
Полезное
Смотреть что такое «ОДУ» в других словарях:
оду́л — одул, а; р. мн. ов … Русское словесное ударение
Оду — Оду, Маргарита Маргарита Оду Marguerite Audoux Маргарита Оду, 1911 Имя при рожд … Википедия
Оду — Маргарита (Marguerite Audoux) современная французская писательница. В юности была работницей на ферме. Позже добывала средства к жизни шитьем. Первый ее роман «Marie Claire», вышедший в 1910 (есть ряд русских переводов), принес ей известность.… … Литературная энциклопедия
ОДУ — Обыкновенное дифференциальное уравнение Объединённое диспетчерское управление в электроэнергетике Ориентировочные допустимые уровни химических веществ … Википедия
Оду М. — Маргарита Оду Маргарита ОДУ (фр. Marguerite Audoux, собственно Маргарита Донкишот, в литературе взяла фамилию матери; 7 июля 1863, Сан Куэн, Шер 31 января 1937, Сен Рафаэль, Вар) французская писательница. Содержание … Википедия
ҷоду — I [جادو] 1. ҷодугар, афсунгар, соҳир, сеҳркунанда 2. сеҳр, афсун, он чи ҷозибаи пурқувват ва фиребу мафтункунанда дошта бошад; наргиси (чашми) ҷоду маҷ. чашми ҷозибадор, нигоҳи мафтункунанда; сеҳру ҷоду а) соҳирӣ ва ҷодугарӣ, сеҳру афсун; б) чизи … Фарҳанги тафсирии забони тоҷикӣ
Оду — Очаг в алтайской конической юрте. (Термины российского архитектурного наследия. Плужников В.И., 1995) … Архитектурный словарь
ОДУ — См. Объединенное диспетчерское управление … Коммерческая электроэнергетика. Словарь-справочник
ОДУ — – Объединенное диспетчерское управление … Коммерческая электроэнергетика. Словарь-справочник
ОДУ — обмывочно дезинфекционная установка объединённая двигательная установка объединённое диспетчерское управление основная двигательная установка отсек двигательной установки … Словарь сокращений русского языка
Вычислительная математика копия 1
ОДУ порядка n называется уравнение вида
Примеры дифференциальных уравнений:
Здесь y(x) – неизвестная функция.
Уравнение (4.2) имеет порядок 2, уравнение (4.3) – порядок 1.
Если уравнение линейно по 
, то оно называется линейным. (4.2) – линейное уравнение, (4.3) – нелинейное.
Запишем дифференциальное уравнение n порядка в явном виде:
Уравнение в виде (4.1) – уравнение в неявной форме.
При любом наборе конкретных констант получаются частные решения.
Задача Коши есть задача о нахождении частного решения уравнения (4.4), удовлетворяющего начальным условиям
Здесь 
— некоторые заданные числа.
Рассмотрим два численных метода решения ОДУ первого порядка.
Пусть дифференциальное уравнение первого порядка задано в виде
Задача (4.7) – задача Коши для ОДУ первого порядка.
Решением этой задачи Коши будет единственная функция
Так решались ДУ в курсе высшей математики.
Перепишем уравнение (4.7) в виде
Формула (4.8) – формула метода Эйлера решения ОДУ первого порядка.
Результатом численного решения дифференциального уравнения является таблица
Короткие стихи и четверостишия про математику для детей
Математика важна,
Математика нужна,
Математика – наука,
Мыслить учит нас она.
Математика – царица всех наук,
Только не дается все без мук.
Если хочешь ты на свете умным быть,
Непременно нужно математику учить.
Занимайся и старайся, не ленись.
На пятерки все смелее ты учись.
Все получится, конечно, у тебя.
И со знаниями будешь ты всегда.
Математика – наука.
Очень нужная она.
Без нее не обойдутся
Ни директор и ни я.
Математика – гимнастика ума.
Логично мыслить учит нас она.
Из всех наук важнейшая,
Мудрая, точнейшая.
Математику люблю я:
Равенства, задачки.
Буду я решать примеры,
Складывать в заначку.
Раз, два, три, четыре, пять!
Математика опять!
Научились мы считать
Точно с калькулятором.
Чтоб голов нам не ломать,
Дайте операторов!
Математика – царица наук!
Претерпели мы с тобой много мук!
Нам задачи задают – вот беда,
Но решать мы их стараемся всегда!
И чтоб стать нам хоть немножечко умней,
Мы с царицей этой дружим с первых дней!
Сколько нужно перебрать?
Где прибавить,
Что отнять?
Математика поможет разобраться и понять.
Чтоб задачки нам решать,
Надо очень много знать.
Надо знать про Пифагора.
Теоремы… И готово!
Чтоб водить корабли,
Чтобы в небо взлететь,
Надо многое знать,
И при этом, и при этом,
Вы заметьте-ка,
Очень важная наука
Ма-те-ма-ти-ка!
Почему корабли
Не садятся на мель,
А по курсу идут
Сквозь туман и метель?
Потому что, потому что,
Вы заметьте-ка,
Капитанам помогает
Ма-те-ма-ти-ка!
Чтоб врачом, моряком
Или лётчиком стать.
Надо прежде всего
Математику знать.
И на свете нет профессий
Вы заметьте-ка,
Где бы вам не пригодилась
Математика!
Две строчки о предмете,
Который надо знать,
И в нашей жизни этой
К нему необходимо привыкать.
О математике два слова,
О том, как нам она нужна,
Нам важно выучить все цифры,
Уметь должны мы вычислять.
Понять ее, бывает трудно,
Еще труднее заучить,
Но как же жили бы мы скудно,
Коль не могли б в уме сложить!
Стихотворения про математику для старшеклассников
Математика – Царица всех наук,
Тебе с ней подружиться советую, мой друг.
Если сложные законы в школе изучаешь,
То любые трудности ты преодолеешь.
Сможешь ты решить задачу,
Сможешь в космос полететь,
Сможешь по морю ты плавать,
Не боясь сойти с пути.
Не ленись, трудись, старайся,
Познавая соль наук,
Все доказывать пытайся
Ты не покладая рук.
Станет пусть бином Ньютона
Для тебя, как друг родной,
Как в футболе Марадонна,
В алгебре он основной.
Если твердо все изучишь,
Будешь знать ты все на «5»,
То, возможно, ты сумеешь
Звезды в небе посчитать.
Как воздух, математика нужна,
Самой отваги офицеру мало.
Расчеты! Залп! И цель поражена
Могучими ударами металла.
И воину припомнилось на миг,
Как школьником мечтал в часы ученья:
О подвиге, о шквалах огневых,
О яростном порыве наступленья.
Но строг учитель был,
И каждый раз он обрывал мальчишку грубовато:
— Мечтать довольно, повтори рассказ
О свойствах круга и углах квадрата.
И воином любовь сохранена
К учителю далекому, седому.
Как воздух, математика нужна
Сегодня офицеру молодому.
Ах, эта математика —
Наука очень строгая.
Учебник математики
Всегда берёшь с тревогою.
Там функции и графики
И уравнений тьма,
А модуль может запросто
Свести тебя с ума.
И правила, и формулы-
Всё так легко забыть.
Но всё ж без математики
Нам невозможно жить
Любите математику
И вы поймёте вдруг,
Что правда «Математика-царица всех наук!
Математику мы любим,
В жизни нам она нужна!
Изучаем классом дроби:
Число делим на число.
Вычитание, сложение,
Знаки «больше» и «равно».
Да! Великая наука!
Ты даешься нелегко.
Мы задачки все решаем
И примерчики считаем.
Потому что «классный» наш –
Математик –высший класс.
Поругает, пожурит
И …простит.
Обижать мы Вас не будем,
Математику мы любим.
Математика – наука сложная,
Но осилить ее вполне возможно.
Нужно только постараться
И с желанием заниматься.
На уроки ходить, теоремы учить,
У доски отвечать и в тетради писать.
Слушать внимательно.
Вопросы задавать, а не «ворон считать».
И тогда обязательно
Математику будешь знать —
На пять!
Математику надо учить,
Она приводит ум в порядок.
И не стоит ее не любить,
Ведь она страна вечных загадок.
Пифагор доказал утверждение,
И теперь без него никуда.
А Евклид написал «Начала»,
Что дошли до нас сквозь года.
Лобачевский, Фалес, Архимед…
В мире много известных ученых,
Что любили важнейший предмет
И открыли в нем много нового.
Математика – это наука,
Без которой сейчас никуда.
Математика – сложная штука,
И придумана неспроста.
Постучит в окно апрель-
Зазвенит в душе капель,
В сердце Алгебра поет,
А удача в путь зовет.
Жизнь, словно воплощенная мечта.
Ты Алгебра — и ум, и красота!
Желаю, чтоб спокойствия полна,
С тобой дорога к счастью привела.
Чтоб с Алгеброй
Судьба удачу мне дарила,
Чтоб вечная весна
В душе царила.
Научная страна,
Ты издали видна.
Привет тебе наука –
Алгебра моя!
Несет меня в науку,
Учебник и тетрадь.
И скоро я в науке
Начну соображать.
Гео – Гео – Геометрия!
Загадка для меня.
Да здравствует наука,
Чертежная страна!
Белеет двойка одиноко,
На фоне тройки голубой.
Что надо ей в моей тетрадке,
Неужто ищет там покой.
Ей здесь не место, точно знаю.
Сюда ее я не пущу.
Свои я знания преумножу,
Тогда пятерку получу.
Красивые стихи про математику известных поэтов
Нет, не всегда смешон и узок
Мудрец, глухой к делам земли:
Уже на рейде в Сиракузах
Стояли римлян корабли.
Это ложь, что в науке поэзии нет.
В отраженьях великого мира
Сотни красок со звуков уловит поэт
И повторит волшебная лира.
За чертогами формул, забыв о весне,
В мире чисел бродя, как лунатик,
Вдруг гармонию выводов дарит струне,
К звучной скрипке, прильнув, математик.
Настоящий учёный, он тоже поэт,
Вечно жаждущий знать и предвидеть.
Кто сказал, что в науке поэзии нет?
Нужно только понять и увидеть.
Почему торжественность вокруг?
Слышите, как быстро смолкла речь?
Это о царице всех наук
Начинаем мы сегодня вечер.
Не случайно ей такой почет.
Это ей дано давать ответы.
Как хороший выполнить расчет
Для постройки здания, ракеты.
Есть о математике молва,
Что они в порядок ум приводит,
Потому хорошие слова
Часто говорят о ней в народе.
Ты нам, математика, даешь
Для победы трудностей закалку,
Учится с тобою молодежь
Развивать и волю, и смекалку.
И за то, что в творческом труде
Выручаешь в трудные моменты,
Мы сегодня искренне тебе
Посылаем гром аплодисментов.
Когда-то многие считали,
Что нуль не значит ничего.
И как ни странно, полагали,
Что нуль совсем не есть число.
Но на оси средь прочих чисел
Он все же место получил.
И все действительные числа
На два разряда разделил.
Коль нуль к числу ты прибавляешь,
Иль отнимаешь от него,
В ответе тотчас получаешь
Опять то самое число.
Попав, как множитель, средь чисел
Он сводит мигом все на нет.
И потому в произведеньи
Один за всех несет ответ.
А относительно деленья
Во-первых, нужно помнить то,
Что уж давно в научном мире
Делить на нуль запрещено.
Причина всем ведь очевидна,
А состоит причина в том,
Что смысла нет в таком деленьи
Противоречье в нем само.
Зачем являешься ты мне во снах?
Зачем терзаешь мозг мой понапрасну?
О математика! Ты друг мой и мой враг.
Измучила меня! Но ты прекрасна!
Держу конспект, как Библию в руках.
Его читаю вслух я беспрестанно.
Порой в своих студенческих мечтах
Прощаюсь я с тобою, окаянной!
Но ты преследуешь меня всегда
И интегралами мне бороздишь сознание.
Жду-не дождусь минуты той, когда
любя, друг другу скажем «До свидания!».
Пребудет вечной истина, как скоро
Ее познает слабый человек!
И ныне теорема Пифагора
Верна, как и в далекий век.
Обильно было жертвоприношенье
Богам от Пифагора: сто быков
Он отдал на закланье и сожженье
За света луч, пришедший с облаков.
Поэтому всегда с тех самых пор,
Чуть истина рождается на свет —
Быки ревут, ее почуя, вслед.
Они не в силах свету помешать,
А могут лишь, закрыв глаза, дрожать
От страха, что вселил в них Пифагор.
Как символ вечного союза,
Как вечный символ знак простой,
Связала гипотенуза
Навеки катеты собой.
Путей окольных избегая
И древней истине верна,
Ты по характеру — прямая
И по обычаю — точна.
Скрывала тайну ты, но скоро
Явился некий мудрый грек
И теоремой Пифагора
Тебя прославил он навек.
Хранит тебя, безмолвно, чинно
Углов сторожевой наряд,
И копья — острые вершины
На обе стороны грозят.
И если двоечник, конфузясь,
Немеет пред твоим лицом.
Пронзит его, гипотенуза,
Своим отточенным копьем.
Смешные стихи о математике для детей
Четыре года Светику,
Он любит арифметику.
Светик радостную весть
Объявляет всем:
— Если к двум прибавить шесть, —
Это будет семь! —
Услыхав его слова,
Юра стал считать:
— Нет, к шести прибавить два —
Это будет пять!
Спор горячий начался,
Разделились голоса.
Загибает пальчики
Толстенькая Тая:
— Не мешайте, мальчики,
Тише! Я считаю!
Трудно шесть прибавить к двум,
Не смолкает крик и шум.
Тут как раз, на счастье,
Прибежала Настя.
Настя знает правила:
Два к шести прибавила,
И, скажи на милость,
Восемь получилось!
Что такое умножение?
Это умное сложение.
Ведь умней – умножить раз,
Чем слагать всё целый час.
Умножения Таблица
Всем нам в жизни пригодится,
И недаром названа
УМНОжением она!
Учитель был ужасно удивлён:
«Ты все примеры смог решить, Антон?!»
«А что вам показалось удивительным?
Я просто стал примерным и решительным!»
Прибавить 2 руки к лопате,
Потом ещё желание.
Чтоб потрудиться хорошо,
Умножить на старание.
Позвать сюда детей и взрослых
И разделить на них работу,
Да так, чтоб поровну всем было,
А после вычесть неохоту.
Получим тогда неплохой результат:
Красивый, цветущий черешневый сад.
Призналась нам Призма:
– Скажу без обмана:
Я очень капризна,
Но так многогранна.
Чудак математик
В Германии жил.
Он хлеб с колбасою
Случайно сложил.
Затем результат
Положил себе в рот.
Вот так человек
Изобрел Бутерброд.
Поздравления с днем математика (1 апреля)
Математики это особый народ
Кто не знает, тот их никогда не поймет.
В цифрах-формулах жизнь они всю измеряют
И такие вершины легко покоряют.
Что же им пожелать в этот праздничный день?
Пусть не съедут от счета мозги набекрень.
Пусть карьера стремится графически ввысь.
Чтобы все их мечты непременно сбылись.
Математическая точность- ваш конек.
И цифры вы давно все обуздали.
Все изучили вдоль и поперек,
Но до сих пор от них вы не устали.
Вас с праздником поздравить я хочу
Пусть в жизни все решается так просто
Как те задачи, что вам по плечу.
Без всяких дополнительных вопросов.
Заработать уйму денег
Вам велит сама судьба.
Кто «иксы гонять» умеет,
Тем богатство по зубам.
И силён кто в логарифмах,
Никогда не пропадёт.
Ведь не всем подвластны цифры —
Математику почёт!
Вам всех благ земных желаем
Столько, чтоб никак не счесть.
Ведь любой вопрос решаем
Тем, кто может всё учесть.
Математик, без сомненья,
И талантлив, и умён.
И за труд свой вдохновенный
Быть счастливым обречён!
Чтобы жить как в аксиоме
Было просто и легко.
Но ведь сложностью влекомый,
Герой наш мыслит далеко.
Без затруднений — ему скука
И чужд ему сей столбик рифм.
Переведём все эти строки
В условный слово-алгоритм:
Здоровья, счастья, понимания
И чтоб яичница в кровати.
Чтоб исполнялись все желания,
С днем рождения, математик!
Почему-то считают, что все математики
Так скучны, и зануды они и прагматики.
Только вы-то у нас ну совсем не такой.
Вы отличный товарищ с широкой душой.
В математике вы гениальны, как Бог.
И всегда без ошибок конечный итог.
В праздник ваш я хочу от души пожелать
Вам с наукой своей без забот процветать.
Любые операции с числом
Возможны только, зная математику.
Эта наука манит волшебством
Можно просчитать доход и выгоду.
Математика – царица всех времен
Мы по жизни постоянно с ней.
Кто-то Пифагором рожден,
А кому-то просто поможет стать умней.
Пусть будет лад и мир вокруг
С Днем математика!
Поздравляю, математик,
Тебя я с днем рождения,
День всегда ты начинаешь
Таблицей умножения.
В жизни все считаешь ты,
Умножаешь, делишь,
Просчитать жизнь наперед
Ты себе умеешь
Я желаю, чтоб к тебе
В жизнь любовь ворвалась,
Формулы все спутала
И с тобой осталась.
Чтоб сумел решить ты в жизни
Уравнение любви,
И чтобы сошлись с ответом
Все решения твои.
Желаем получать удовольствие от процесса,
Работать без стресса все четыре семестра.
Чтобы начальство лишних часов не навесило,
И росли знания учеников в геометрической прогрессии.
Чтоб никто не забывал теорему Пифагора,
Не забыл тетрадь, дневник и голову дома.
Желаем, чтоб задачи каждый развязывал,
А ещё доказать то, что никто не доказывал.
Логарифмы и таблицы,
Цифр и чисел длинный ряд,
Формулы, расчеты, знаки —
Вам известно все подряд!
Вы отличный математик,
Поддается вам легко
Эта точная наука,
Вы пойдете далеко.
Пожелаем в день рожденья
Вам удачу отыскать,
А профессия поможет
Варианты рассчитать.