Что такое одз в математике
Что такое одз в математике
ОДЗ. Зачем, когда и как?
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Введение
Я начал работу с того, что в Интернете пересмотрел множество тем по математике и выбрал эту тему, потому что уверен, что важность нахождения ОДЗ играет огромную роль в решении уравнений и задач. В своей исследовательской работе я рассмотрел уравнения, в которых достаточно только нахождения ОДЗ, опасность, необязательность, ограниченность ОДЗ, некоторые запреты в математике. Самое главное для меня хорошо сдать ЕГЭ по математике, а для этого надо знать: когда, зачем и как находить ОДЗ. Это и подтолкнуло меня к исследованию темы, целью которой, стало показать, что овладение данной темой поможет учащимся правильно выполнить задания на ЕГЭ. Чтобы достичь этой цели, я исследовал дополнительную литературу и другие источники. Мне стало интересно, а знают учащиеся нашей школы: когда, зачем и как находить ОДЗ. Поэтому я провёл тест по теме «Когда, зачем и как находить ОДЗ?» (было дано 10 уравнений). Количество учащихся – 28. Справились – 14 %, опасность ОДЗ (учли) – 68 %, необязательность (учли) – 36 %.
Цель: выявление: когда, зачем и как находить ОДЗ.
Проблема: уравнения и неравенства, в которых нужно находить ОДЗ, не нашли места в курсе алгебры систематического изложения, возможно поэтому я и мои сверстники часто делаем ошибки при решении таких примеров, уделив много времени их решению, забыв при этом об ОДЗ.
Задачи:
Я думаю полученные мною, знания и навыки помогут мне решить вопрос: искать ОДЗ или не надо? Я перестану делать ошибки, научившись правильно делать ОДЗ. Получится ли у меня это, покажет время, точнее ЕГЭ[4].
Глава 1
Что такое ОДЗ?
Важно. Для нахождения ОДЗ мы не решаем пример! Мы решаем кусочки примера для нахождения запретных мест.
Некоторые запреты в математике. Таких запретных действий в математике очень мало. Но их не все помнят…
Как записать ОДЗ? Очень просто. Всегда рядом с примером пишите ОДЗ. Под этими известными буквами, глядя на исходное уравнение, записываем значения х, которые разрешены для исходного примера. Преобразование примера может изменить ОДЗ и, соответственно ответ.
Алгоритм нахождения ОДЗ:
Область допустимых значений
В школьном курсе алгебры есть всего пять элементарных функций, которые имеют ограниченную область определения. Вот они:
1. 
ОДЗ: 
Выражение, стоящее под знаком корня четной кратности, должно быть больше или равно нулю.
2. 
ОДЗ: 
Выражение, стоящее в знаменателе дроби, не может быть равно нулю.
3. 
ОДЗ: 
Выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть строго больше нуля; выражение, стоящее в основании логарифма должно быть строго больше нуля и отлично от единицы.
4. 
, 
ОДЗ: 
5. Есть две функции, которые содержат «скрытую» дробь:
и 
6. 
ОДЗ: 
Таким образом, функции и 
имеют разную область определения.
Если выражение содержит одну или несколько функций, которые определены на ограниченном множестве значений аргумента, то для того, чтобы найти ОДЗ выражения, нужно учесть все ограничения, которые накладываются этими функциями.
Чтобы найти область допустимых значений выражения, нужно исследовать, присутствуют ли в выражении функции, которые я перечислила выше. И по мере обнаружения этих функций, записывать задаваемые ими ограничения, двигаясь «снаружи» «внутрь».
Найти область определения функции:
Чтобы найти область определения функции, нужно найти область допустимых значений выражения, которое стоит в правой части уравнения функции
Я специально выбрала «страшную», на первый взгляд, функцию, чтобы показать вам, на какие простые операции разбивается процесс нахождения области допустимых значений.
«Просканируем» выражение, стоящее в правой части равенства:
Знаменатель дроби не равен нулю. Записываем:
2. Мы видим в знаменателе логарифм:
Выражение, стоящее под знаком логарифма должно быть строго больше нуля; выражение, стоящее в основании логарифма должно быть строго больше нуля и отлично от единицы.
3.Мы видим квадратный корень:
Выражение, стоящее под знаком корня четной кратности, должно быть больше или равно нулю.
Теперь запишем все ограничения в систему неравенств:
Решение этой системы неравенств посмотрите в ВИДЕУРОКЕ:
Область допустимых значений (ОДЗ), теория, примеры, решения
Каждому выражению с переменными соответствует область допустимых значений (ОДЗ) переменных, которую ОБЯЗАТЕЛЬНО нужно учитывать при работе с этим выражением. Акцент на слове «обязательно» сделан не случайно: при решении примеров и задач халатное отношение к ОДЗ может привести к получению неверных результатов.
Чтобы у нас не возникало подобных проблем, давайте внимательно изучим все, что связано с ОДЗ. Для начала узнаем, что это такое, после этого разберем на характерных примерах, как найти ОДЗ переменных для заданного выражения, а в заключение остановимся на важности учета ОДЗ при преобразовании выражений.
Навигация по странице.
Допустимые и недопустимые значения переменных
Определение области допустимых значений переменных для выражения дается через термин допустимые значения переменной. Введем это вспомогательное определение, для чего проследим, что нас приводит к нему.
На уроках математики в школе вплоть до 7 класса познаются азы работы преимущественно с числами и числовыми выражениями. А с 7 класса начинается изучение такой математической дисциплины как алгебра, и начинается оно с того, что вводится определение выражения с переменными, а также связанное с ним определение значения выражения при выбранных значениях переменных.
выражение с переменными имеет смысл при данных значениях переменных, если при этих значениях переменных можно вычислить его значение
выражение с переменными не имеет смысла при данных значениях переменных, если при этих значениях переменных нельзя вычислить его значение.
Вот теперь мы обладаем всеми сведениями, позволяющими дать определение допустимых и недопустимых значений переменных:
Допустимые значения переменных – это такие значения переменных, при которых выражение имеет смысл. А значения переменных, при которых выражение не имеет смысла, называют недопустимыми значениями переменных.
Что такое ОДЗ?
Практически у всех, так или иначе имеющих отношение к алгебре, на слуху словосочетание «область допустимых значений», также довольно часто аббревиатуру ОДЗ можно встретить в описаниях решений, но как такового определения области допустимых значений (ОДЗ) нет в основных учебниках, используемых в школе. Поэтому интересно, откуда берет начало этот термин. Ну а с позиций практики интереснее знать, какой смысл в него вкладывают.
Под областью допустимых значений (ОДЗ) понимают множество всех допустимых значений переменных для данного выражения.
Как найти ОДЗ? Примеры, решения
Прежде чем обратиться к главной теме этого пункта, нужно понимать, что значит найти ОДЗ, хотя это достаточно отчетливо ясно из определения. Это значит, что надо указать множество всех допустимых значений переменных для заданного выражения. На это можно посмотреть и с другой стороны: найти ОДЗ – это значит указать условия, которые исключают те и только те значения переменных, при которых выражение не имеет смысла. Теперь можно двигаться дальше.
Заданий с формулировкой «найти ОДЗ» не так много. Однако почти постоянно приходится преобразовывать выражения, а это неявно требует нахождения области допустимых значений для ее контроля. В этом свете вопрос, как найти ОДЗ, очень злободневен.
В поисках ответа на него поразмыслим, значения каких выражений мы не можем вычислить.
Что нам это дает? А то, что перечисленные выше моменты и нужно учитывать при поиске ОДЗ. Как это делать, станет понятно из следующих примеров.
Найти ОДЗ переменной x для выражения 
.
Найти ОДЗ 
.
В более сложных случаях приходится учитывать одновременно несколько условий из приведенного выше списка. Это дает системы неравенств, задающие ОДЗ.
Определите ОДЗ переменной x для выражения 
.
Здесь лишь заметим, что во многих случаях на практике нет необходимости в решении составленных систем.
В заключении остается сказать, что такой подход используется и тогда, когда нужно найти область определения функции.
Почему важно учитывать ОДЗ при проведении преобразований?
Решая различные задачи, нам очень часто приходится проводить тождественные преобразования выражений. Но бывает, что какое-то преобразование в одних случаях допустимо, а в других – нет. Существенную помощь в плане контроля допустимости проводимых преобразований оказывает ОДЗ. Остановимся на этом подробнее.
Суть подхода состоит в следующем: сравниваются ОДЗ переменных для исходного выражения с ОДЗ переменных для выражения, полученного в результате выполнения тождественных преобразований, и на основании результатов сравнения делаются соответствующие выводы.
Вообще, тождественные преобразования могут
Давайте поясним каждый случай примером.
При преобразовании выражений надо строго избегать преобразований, сужающих ОДЗ. Почему? Для пояснения приведем пример.
Так что надо придерживаться таких тождественных преобразований выражения, которые не изменяют ОДЗ.
А как быть с преобразованиями выражений, при которых расширяется ОДЗ? Их можно проводить, но при этом стоит придерживаться такого взгляда: полученное в результате преобразования выражение рассматривать на ОДЗ переменных исходного выражения.
Итак, на каждом шаге преобразования выражения постоянно спрашивайте себя: «Не изменяет ли это преобразование ОДЗ»? Если не изменяет, то выполняйте его. Если сужает, то откажитесь от него. А если расширяет, то выполняйте его, но оставайтесь в рамках ОДЗ переменных для исходного выражения.
Как найти область допустимых значений функции
Область допустимых значений алгебраического выражения (сокращенно ОДЗ) — это множество значений переменной, при которых это выражение определено.
В школьном курсе алгебры есть всего пять элементарных функций, которые имеют ограниченную область определения. Вот они:
1. ОДЗ:
Выражение, стоящее под знаком корня четной кратности, должно быть больше или равно нулю.
2. ОДЗ:
Выражение, стоящее в знаменателе дроби, не может быть равно нулю.
3. ОДЗ:
Выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть строго больше нуля; выражение, стоящее в основании логарифма должно быть строго больше нуля и отлично от единицы.
4. , ОДЗ:
5. Есть две функции, которые содержат «скрытую» дробь:
и
6. ОДЗ:
Степень корня — натуральное число, отличное от 1.
Таким образом, функции и имеют разную область определения.
Если выражение содержит одну или несколько функций, которые определены на ограниченном множестве значений аргумента, то для того, чтобы найти ОДЗ выражения, нужно учесть все ограничения, которые накладываются этими функциями.
Чтобы найти область допустимых значений выражения, нужно исследовать, присутствуют ли в выражении функции, которые я перечислила выше. И по мере обнаружения этих функций, записывать задаваемые ими ограничения, двигаясь «снаружи» «внутрь».
Найти область определения функции:
Чтобы найти область определения функции, нужно найти область допустимых значений выражения, которое стоит в правой части уравнения функции
Я специально выбрала «страшную», на первый взгляд, функцию, чтобы показать вам, на какие простые операции разбивается процесс нахождения области допустимых значений.
«Просканируем» выражение, стоящее в правой части равенства:
Знаменатель дроби не равен нулю. Записываем:
2. Мы видим в знаменателе логарифм:
Выражение, стоящее под знаком логарифма должно быть строго больше нуля; выражение, стоящее в основании логарифма должно быть строго больше нуля и отлично от единицы.
3.Мы видим квадратный корень:
Выражение, стоящее под знаком корня четной кратности, должно быть больше или равно нулю.
Теперь запишем все ограничения в систему неравенств:
Решение этой системы неравенств посмотрите в ВИДЕУРОКЕ:
Каждому выражению с переменными соответствует область допустимых значений (ОДЗ) переменных, которую ОБЯЗАТЕЛЬНО нужно учитывать при работе с этим выражением. Акцент на слове «обязательно» сделан не случайно: при решении примеров и задач халатное отношение к ОДЗ может привести к получению неверных результатов.
Чтобы у нас не возникало подобных проблем, давайте внимательно изучим все, что связано с ОДЗ. Для начала узнаем, что это такое, после этого разберем на характерных примерах, как найти ОДЗ переменных для заданного выражения, а в заключение остановимся на важности учета ОДЗ при преобразовании выражений.
Навигация по странице.
Допустимые и недопустимые значения переменных
Определение области допустимых значений переменных для выражения дается через термин допустимые значения переменной. Введем это вспомогательное определение, для чего проследим, что нас приводит к нему.
На уроках математики в школе вплоть до 7 класса познаются азы работы преимущественно с числами и числовыми выражениями. А с 7 класса начинается изучение такой математической дисциплины как алгебра, и начинается оно с того, что вводится определение выражения с переменными, а также связанное с ним определение значения выражения при выбранных значениях переменных.
выражение с переменными имеет смысл при данных значениях переменных, если при этих значениях переменных можно вычислить его значение
выражение с переменными не имеет смысла при данных значениях переменных, если при этих значениях переменных нельзя вычислить его значение.
Вот теперь мы обладаем всеми сведениями, позволяющими дать определение допустимых и недопустимых значений переменных:
Допустимые значения переменных – это такие значения переменных, при которых выражение имеет смысл. А значения переменных, при которых выражение не имеет смысла, называют недопустимыми значениями переменных.
Что такое ОДЗ?
Практически у всех, так или иначе имеющих отношение к алгебре, на слуху словосочетание «область допустимых значений», также довольно часто аббревиатуру ОДЗ можно встретить в описаниях решений, но как такового определения области допустимых значений (ОДЗ) нет в основных учебниках, используемых в школе. Поэтому интересно, откуда берет начало этот термин. Ну а с позиций практики интереснее знать, какой смысл в него вкладывают.
Под областью допустимых значений (ОДЗ) понимают множество всех допустимых значений переменных для данного выражения.
Как найти ОДЗ? Примеры, решения
Прежде чем обратиться к главной теме этого пункта, нужно понимать, что значит найти ОДЗ, хотя это достаточно отчетливо ясно из определения. Это значит, что надо указать множество всех допустимых значений переменных для заданного выражения. На это можно посмотреть и с другой стороны: найти ОДЗ – это значит указать условия, которые исключают те и только те значения переменных, при которых выражение не имеет смысла. Теперь можно двигаться дальше.
Заданий с формулировкой «найти ОДЗ» не так много. Однако почти постоянно приходится преобразовывать выражения, а это неявно требует нахождения области допустимых значений для ее контроля. В этом свете вопрос, как найти ОДЗ, очень злободневен.
В поисках ответа на него поразмыслим, значения каких выражений мы не можем вычислить.
Что нам это дает? А то, что перечисленные выше моменты и нужно учитывать при поиске ОДЗ. Как это делать, станет понятно из следующих примеров.
Найти ОДЗ переменной x для выражения 
.
Найти ОДЗ 
.
В более сложных случаях приходится учитывать одновременно несколько условий из приведенного выше списка. Это дает системы неравенств, задающие ОДЗ.
Определите ОДЗ переменной x для выражения 
.
Здесь лишь заметим, что во многих случаях на практике нет необходимости в решении составленных систем.
В заключении остается сказать, что такой подход используется и тогда, когда нужно найти область определения функции.
Почему важно учитывать ОДЗ при проведении преобразований?
Решая различные задачи, нам очень часто приходится проводить тождественные преобразования выражений. Но бывает, что какое-то преобразование в одних случаях допустимо, а в других – нет. Существенную помощь в плане контроля допустимости проводимых преобразований оказывает ОДЗ. Остановимся на этом подробнее.
Суть подхода состоит в следующем: сравниваются ОДЗ переменных для исходного выражения с ОДЗ переменных для выражения, полученного в результате выполнения тождественных преобразований, и на основании результатов сравнения делаются соответствующие выводы.
Вообще, тождественные преобразования могут
Давайте поясним каждый случай примером.
При преобразовании выражений надо строго избегать преобразований, сужающих ОДЗ. Почему? Для пояснения приведем пример.
Так что надо придерживаться таких тождественных преобразований выражения, которые не изменяют ОДЗ.
А как быть с преобразованиями выражений, при которых расширяется ОДЗ? Их можно проводить, но при этом стоит придерживаться такого взгляда: полученное в результате преобразования выражение рассматривать на ОДЗ переменных исходного выражения.
Итак, на каждом шаге преобразования выражения постоянно спрашивайте себя: «Не изменяет ли это преобразование ОДЗ»? Если не изменяет, то выполняйте его. Если сужает, то откажитесь от него. А если расширяет, то выполняйте его, но оставайтесь в рамках ОДЗ переменных для исходного выражения.
Любое выражение с переменной имеет свою область допустимых значений, где оно существует. ОДЗ необходимо всегда учитывать при решении. При его отсутствии можно получить неверный результат.
В данной статье будет показано, как правильно находить ОДЗ, использовать на примерах. Также будет рассмотрена важность указания ОДЗ при решении.
Допустимые и недопустимые значения переменных
Данное определение связано с допустимыми значениями переменной. При введении определения посмотрим, к какому результату приведет.
Начиная с 7 класса, мы начинаем работать с числами и числовыми выражениями. Начальные определения с переменными переходят к значению выражений с выбранными переменными.
Если имеется выражение с переменными, то оно имеет смысл только тогда, когда при их подстановке значение может быть вычислено.
Если имеется выражение с переменными, то оно не имеет смысл, когда при их подстановке значение не может быть вычислено.
То есть отсюда следует полное определение
Существующими допустимыми переменными называют такие значения, при которых выражение имеет смысл. А если смысла не имеет, значит они считаются недопустимыми.
Для уточнения вышесказанного: если переменных более одной, тогда может быть и пара подходящих значений.
Что такое ОДЗ?
Область допустимых значений – важный элемент при вычислении алгебраических выражений. Поэтому стоит обратить на это внимание при расчетах.
Область ОДЗ – это множество значений, допустимых для данного выражения.
Рассмотрим на примере выражения.
Как найти ОДЗ? Примеры, решения
Найти ОДЗ означает найти все допустимые значения, подходящие для заданной функции или неравенства. При невыполнении этих условий можно получить неверный результат. Для нахождения ОДЗ зачастую необходимо пройти через преобразования в заданном выражении.
Существуют выражения, где их вычисление невозможно:
Все это говорит о том, как важно наличие ОДЗ.
Найти ОДЗ выражения x 3 + 2 · x · y − 4 .
Решение
В куб можно возводить любое число. Данное выражение не имеет дроби, поэтому значения x и у могут быть любыми. То есть ОДЗ – это любое число.
Ответ: x и y – любые значения.
Решение
Видно, что имеется одна дробь, где в знаменателе ноль. Это говорит о том, что при любом значении х мы получим деление на ноль. Значит, можно сделать вывод о том, что это выражение считается неопределенным, то есть не имеет ОДЗ.
Решение
Решение
Почему важно учитывать ОДЗ при проведении преобразований?
При тождественных преобразованиях важно находить ОДЗ. Бывают случаи, когда существование ОДЗ не имеет место. Чтобы понять, имеет ли решение заданное выражение, нужно сравнить ОДЗ переменных исходного выражения и ОДЗ полученного.
Рассмотрим на примере.
Рассмотрим пример с наличием подкоренного выражения.
Нужно избегать преобразований, которые сужают ОДЗ.
Следует придерживаться тождественных преобразований, которые ОДЗ не изменят.
Если имеются примеры, которые его расширяют, тогда его нужно добавлять в ОДЗ.
При наличии логарифмов дело обстоит немного иначе.
При решении всегда необходимо обращать внимание на структуру и вид данного по условию выражения. При правильном нахождении области определения результат будет положительным.