Что такое окрестность точки в математике
Окрестность
Окре́стность точки — множество, содержащее данную точку, и близкие (в каком-либо смысле) к ней. В разных разделах математики это понятие определяется по-разному.
Содержание
Определения
Математический анализ
Пусть 
0″ border=»0″ /> произвольное фиксированное число.
Окрестностью точки 
на числовой прямой (иногда говорят 
-окрестностью) называется множество точек, удаленных от не более чем на , то есть 
.
В многомерном случае роль окрестности выполняет открытый -шар с центром в точке .
В банаховом пространстве 
окрестностью с центром в точке называют множество 
.
В метрическом пространстве 
окрестностью с центром в точке 
называют множество 
.
Общая топология
Замечания
Пример
Пусть дана вещественная прямая со стандартной топологией. Тогда 
является открытой окрестностью, а 
— замкнутой окрестностью точки 
.
Вариации и обобщения
Проколотая окрестность
Проколотой окрестностью точки называется окрестность точки, из которой исключена эта точка.
Строго говоря, проколотая окрестность не является окрестностью точки, так как согласно определению окрестности окрестность должна включать и саму точку.
Формальное определение: Множество 
называется проко́лотой окре́стностью (вы́колотой окрестностью) точки 
, если
где 
— окрестность 
.
См. также
Примечания
Литература
Полезное
Смотреть что такое «Окрестность» в других словарях:
ОКРЕСТНОСТЬ — [окресность], окрестности, жен. 1. Местность, прилегающая к чему нибудь. Окрестность города. Деревня с живописными окрестностями. 2. только ед. Окружающее пространство. «Месяц стоял высоко и ясно озарял окрестность.» А.Тургенев. « И всё в ужасной … Толковый словарь Ушакова
окрестность — округа, окружность; местность, околоток, окружение Словарь русских синонимов. окрестность округа (разг.); околоток, окружность (устар.) Словарь синонимов русского языка. Практический справочник. М.: Русский язык. З. Е. Александрова. 2011 … Словарь синонимов
ОКРЕСТНОСТЬ — точки в метрическом пространстве множество всех точек, расстояние которых до данной точки меньше некоторого положительного числа. Это т. н. сферическая окрестность. В более общем случае под окрестностью понимают любое открытое множество,… … Большой Энциклопедический словарь
Окрестность — область, примыкающая к точечному объекту и рассматриваемая с точки зрения принадлежности к ней иных близких объектов. См. также: Пространственные данные Финансовый словарь Финам … Финансовый словарь
окрестность — ОКРЕСТНОСТЬ, устар. околоток, устар. окружность, разг. округа … Словарь-тезаурус синонимов русской речи
ОКРЕСТНОСТЬ — ОКРЕСТНОСТЬ, и, жен. Местность, прилегающая к чему н., окружающее пространство. Окрестности столицы. • В окрестности чего, в знач. предлога с род. недалеко от, близ чего н. Прогулки в окрестности озера. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю … Толковый словарь Ожегова
окрестность — близость соседство — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом Синонимы близостьсоседство EN vicinity … Справочник технического переводчика
окрестность — Местность, прилегающая к какому либо географическому объекту, окружающее его пространство … Словарь по географии
окрестность — и; ж. Местность, прилегающая к чему л. Окрестности города, деревни, озера. // обычно мн.: окрестности, ей. Окружающая местность, окружающее пространство. Осматривать достопримечательности окрестностей города. Гулять по окрестностям посёлка. * * * … Энциклопедический словарь
Окрестность — точки в метрическом пространстве, множество всех точек, расстояние которых до данной точки меньше некоторого положительного числа R (см. Метрическое пространство). О. такого типа называется сферической, число R её радиусом. Часто… … Большая советская энциклопедия
Окрестность точки
Определение окрестности точки
Окрестности конечных точек
Также широко используют понятия левосторонних, правосторонних и проколотых окрестностей конечных точек. Приводим их определения.
Проколотые окрестности конечных точек
Проколотые окрестности точки x 0 – это те же самые окрестности, из которых исключена сама точка. Они обозначаются с кружочком над буквой. Приводим их определения.
Проколотая окрестность точки x 0 :
.
Проколотая эпсилон окрестность точки x 0 :
;
.
Проколотая левосторонняя окрестность :
;
.
Проколотая правосторонняя окрестность :
;
.
Окрестности бесконечно удаленных точек
Наряду с конечными точками, также вводят понятие окрестности бесконечно удаленных точек. Все они являются проколотыми, поскольку не существует бесконечно удаленного действительного числа (бесконечно удаленная точка определяется как предел бесконечно большой последовательности).
Свойство окрестности
Также справедливы и обратные утверждения.
Эквивалентность определений предела функции по Коши
Теорема
Определения предела функции по Коши, в которых используются произвольные окрестности и окрестности с равноудаленными концами эквивалентны.
Доказательство 1 ⇒ 2
Докажем, что если число a является пределом функции по 1-му определению, то оно также является пределом и по 2-му определению.
Доказательство 2 ⇒ 1
Докажем, что если число a является пределом функции по 2-му определению, то оно также является пределом и по 1-му определению.
Это означает, что число a является пределом и по первому определению.
Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
Проколотая окрестность
Окре́стность точки — множество, содержащее данную точку, и близкие к ней.
Содержание
Определения
Замечания
Проколотая окрестность
Множество 
называется проко́лотой окре́стностью (вы́колотой окрестностью) точки 
, если
Строго говоря, проколотая окрестность не является окрестностью в смысле данного выше определения.
Пример
См. также
Полезное
Смотреть что такое «Проколотая окрестность» в других словарях:
Окрестность — точки множество, содержащее данную точку, и близкие (в каком либо смысле) к ней. В разных разделах математики это понятие определяется по разному. Содержание 1 Определения 1.1 Математический анализ … Википедия
Окрестность (топология) — Окрестность точки множество, содержащее данную точку, и близкие к ней. Содержание 1 Определения 2 Замечания 3 Проколотая окрестность 4 Пример … Википедия
Окресность — Окрестность точки множество, содержащее данную точку, и близкие к ней. Содержание 1 Определения 2 Замечания 3 Проколотая окрестность 4 Пример … Википедия
Окресность точки — Окрестность точки множество, содержащее данную точку, и близкие к ней. Содержание 1 Определения 2 Замечания 3 Проколотая окрестность 4 Пример … Википедия
Предел функции — x 1 0.841471 0.1 0.998334 0.01 0.999983 Хотя функция (sin x)/x в нуле не определена, когда x приближается к нулю, значение (sin x)/x становится сколь угодно близко к 1. Другими словами, предел функции (sin x)/x при x, стремящемся к … Википедия
Пределы функции на бесконечности — График функции, предел которой при аргументе, стремящемся к бесконечности, равен L. Предел функции одно из основных понятий математического анализа. Функция f(x) имеет предел A в точке x0, если для всех значений x, достаточно близких к x0,… … Википедия
Предельная точка — множества в общей топологии это такая точка, любая проколотая окрестность которой пересекается с этим множеством. Содержание 1 Определение 2 Связанные понятия и свойства … Википедия
Экстремум — У этого термина существуют и другие значения, см. Экстремум (значения). Экстремум (лат. extremum крайний) в математике максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум,… … Википедия
«O» большое и «o» малое — У этого термина существуют и другие значения, см. O (значения). «O» большое и «o» малое ( и ) математические обозначения для сравнения асимптотического поведения функций. Используются в различных разделах математики, но активнее всего … Википедия
Локальный минимум — Экстремум (лат. extremum крайний) в математике максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум точка экстремума… … Википедия
Окрестность (топология)
Окре́стность точки — множество, содержащее данную точку, и близкие к ней.
Содержание
Определения
Замечания
Проколотая окрестность
Множество называется проко́лотой окре́стностью (вы́колотой окрестностью) точки , если
Строго говоря, проколотая окрестность не является окрестностью в смысле данного выше определения.
Пример
См. также
Полезное
Смотреть что такое «Окрестность (топология)» в других словарях:
Окрестность точки — Курсив обозначает ссылку на этот словарь # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш … Википедия
Окрестность — точки множество, содержащее данную точку, и близкие (в каком либо смысле) к ней. В разных разделах математики это понятие определяется по разному. Содержание 1 Определения 1.1 Математический анализ … Википедия
Окрестность — точки в метрическом пространстве, множество всех точек, расстояние которых до данной точки меньше некоторого положительного числа R (см. Метрическое пространство). О. такого типа называется сферической, число R её радиусом. Часто… … Большая советская энциклопедия
ТОПОЛОГИЯ ВЛОЖЕНИЙ — топологические вложения, раздел топологии, в к ром изучаются локальные топологич. свойства расположений замкнутых подмножеств евклидова пространства или многообразия. Теория Т. в. возникла в работах А. 3 началось после решения Шкнфлиса гипотезы.… … Математическая энциклопедия
Дискетная топология — Курсив обозначает ссылку на этот словарь # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш … Википедия
Континуум (топология) — Курсив обозначает ссылку на этот словарь # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш … Википедия
Открытая окрестность — Курсив обозначает ссылку на этот словарь # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш … Википедия
Проколотая окрестность — Окрестность точки множество, содержащее данную точку, и близкие к ней. Содержание 1 Определения 2 Замечания 3 Проколотая окрестность 4 Пример … Википедия
Гомология (топология) — У этого термина существуют и другие значения, см. Гомология. Гомологии одно из основных понятий алгебраической топологии. Даёт возможность строить алгебраический объект (группу или кольцо) который является топологическим инвариантом… … Википедия
Окрестность точки
Курсив обозначает ссылку на этот словарь
Литература
Полезное
Смотреть что такое «Окрестность точки» в других словарях:
ОКРЕСТНОСТЬ — точки в метрическом пространстве множество всех точек, расстояние которых до данной точки меньше некоторого положительного числа. Это т. н. сферическая окрестность. В более общем случае под окрестностью понимают любое открытое множество,… … Большой Энциклопедический словарь
Окрестность — точки множество, содержащее данную точку, и близкие (в каком либо смысле) к ней. В разных разделах математики это понятие определяется по разному. Содержание 1 Определения 1.1 Математический анализ … Википедия
Окрестность — область, примыкающая к точечному объекту и рассматриваемая с точки зрения принадлежности к ней иных близких объектов. См. также: Пространственные данные Финансовый словарь Финам … Финансовый словарь
Окрестность — точки в метрическом пространстве, множество всех точек, расстояние которых до данной точки меньше некоторого положительного числа R (см. Метрическое пространство). О. такого типа называется сферической, число R её радиусом. Часто… … Большая советская энциклопедия
ОКРЕСТНОСТЬ — точки х(подмножества А).топологического пространства любое открытое подмножество этого пространства, содержащее точку х(множество А). Иногда под О. точки х(множества А).понимается любое такое подмножество топологич. пространства, к рое содержит… … Математическая энциклопедия
ОКРЕСТНОСТЬ — точки в метрич. пространстве, множество всех точек, расстояние к рых до данной точки меньше нек рого положит. числа. Это т. н. сферич. О. В более общем случае под О. понимают любое открытое множество, содержащее данную точку … Естествознание. Энциклопедический словарь
Окрестность (топология) — Окрестность точки множество, содержащее данную точку, и близкие к ней. Содержание 1 Определения 2 Замечания 3 Проколотая окрестность 4 Пример … Википедия
окрестность — и; ж. Местность, прилегающая к чему л. Окрестности города, деревни, озера. // обычно мн.: окрестности, ей. Окружающая местность, окружающее пространство. Осматривать достопримечательности окрестностей города. Гулять по окрестностям посёлка. * * * … Энциклопедический словарь
МАКСИМУМА И МИНИМУМА ТОЧКИ — точки, в к рых действительная функция принимает наибольшее или наименьшее значения на области определения; такие точки наз. также точками абсолютного максимума или абсолютного минимума. Если функция f определена на топологич. пространстве X, то… … Математическая энциклопедия
Открытая окрестность — Курсив обозначает ссылку на этот словарь # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш … Википедия