Что такое окрестность в математике

ОКРЕСТНОСТЬ

Смотреть что такое «ОКРЕСТНОСТЬ» в других словарях:

ОКРЕСТНОСТЬ — [окресность], окрестности, жен. 1. Местность, прилегающая к чему нибудь. Окрестность города. Деревня с живописными окрестностями. 2. только ед. Окружающее пространство. «Месяц стоял высоко и ясно озарял окрестность.» А.Тургенев. « И всё в ужасной … Толковый словарь Ушакова

окрестность — округа, окружность; местность, околоток, окружение Словарь русских синонимов. окрестность округа (разг.); околоток, окружность (устар.) Словарь синонимов русского языка. Практический справочник. М.: Русский язык. З. Е. Александрова. 2011 … Словарь синонимов

ОКРЕСТНОСТЬ — точки в метрическом пространстве множество всех точек, расстояние которых до данной точки меньше некоторого положительного числа. Это т. н. сферическая окрестность. В более общем случае под окрестностью понимают любое открытое множество,… … Большой Энциклопедический словарь

Окрестность — область, примыкающая к точечному объекту и рассматриваемая с точки зрения принадлежности к ней иных близких объектов. См. также: Пространственные данные Финансовый словарь Финам … Финансовый словарь

окрестность — ОКРЕСТНОСТЬ, устар. околоток, устар. окружность, разг. округа … Словарь-тезаурус синонимов русской речи

ОКРЕСТНОСТЬ — ОКРЕСТНОСТЬ, и, жен. Местность, прилегающая к чему н., окружающее пространство. Окрестности столицы. • В окрестности чего, в знач. предлога с род. недалеко от, близ чего н. Прогулки в окрестности озера. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю … Толковый словарь Ожегова

окрестность — близость соседство — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом Синонимы близостьсоседство EN vicinity … Справочник технического переводчика

окрестность — Местность, прилегающая к какому либо географическому объекту, окружающее его пространство … Словарь по географии

Окрестность — точки множество, содержащее данную точку, и близкие (в каком либо смысле) к ней. В разных разделах математики это понятие определяется по разному. Содержание 1 Определения 1.1 Математический анализ … Википедия

окрестность — и; ж. Местность, прилегающая к чему л. Окрестности города, деревни, озера. // обычно мн.: окрестности, ей. Окружающая местность, окружающее пространство. Осматривать достопримечательности окрестностей города. Гулять по окрестностям посёлка. * * * … Энциклопедический словарь

Окрестность — точки в метрическом пространстве, множество всех точек, расстояние которых до данной точки меньше некоторого положительного числа R (см. Метрическое пространство). О. такого типа называется сферической, число R её радиусом. Часто… … Большая советская энциклопедия

Источник

Окрестность точки

Определение окрестности точки

Окрестности конечных точек

Также широко используют понятия левосторонних, правосторонних и проколотых окрестностей конечных точек. Приводим их определения.

Проколотые окрестности конечных точек

Проколотые окрестности точки x ₀ – это те же самые окрестности, из которых исключена сама точка. Они обозначаются с кружочком над буквой. Приводим их определения.

Проколотая окрестность точки x ₀ :
.
Проколотая эпсилон окрестность точки x ₀ :
;
.
Проколотая левосторонняя окрестность :
;
.
Проколотая правосторонняя окрестность :
;
.

Окрестности бесконечно удаленных точек

Наряду с конечными точками, также вводят понятие окрестности бесконечно удаленных точек. Все они являются проколотыми, поскольку не существует бесконечно удаленного действительного числа (бесконечно удаленная точка определяется как предел бесконечно большой последовательности).

Свойство окрестности

Также справедливы и обратные утверждения.

Эквивалентность определений предела функции по Коши

Теорема
Определения предела функции по Коши, в которых используются произвольные окрестности и окрестности с равноудаленными концами эквивалентны.

Доказательство 1 ⇒ 2

Докажем, что если число a является пределом функции по 1-му определению, то оно также является пределом и по 2-му определению.

Доказательство 2 ⇒ 1

Докажем, что если число a является пределом функции по 2-му определению, то оно также является пределом и по 1-му определению.

Это означает, что число a является пределом и по первому определению.

Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.

Источник

Окрестность

Окре́стность точки — множество, содержащее данную точку, и близкие (в каком-либо смысле) к ней. В разных разделах математики это понятие определяется по-разному.

Содержание

Определения

Математический анализ

Пусть 0″ border=»0″ /> произвольное фиксированное число.

Окрестностью точки на числовой прямой (иногда говорят -окрестностью) называется множество точек, удаленных от не более чем на , то есть .

В многомерном случае роль окрестности выполняет открытый -шар с центром в точке .

В банаховом пространстве окрестностью с центром в точке называют множество .

В метрическом пространстве окрестностью с центром в точке называют множество .

Общая топология

Замечания

Пример

Пусть дана вещественная прямая со стандартной топологией. Тогда является открытой окрестностью, а — замкнутой окрестностью точки .

Вариации и обобщения

Проколотая окрестность

Проколотой окрестностью точки называется окрестность точки, из которой исключена эта точка.

Строго говоря, проколотая окрестность не является окрестностью точки, так как согласно определению окрестности окрестность должна включать и саму точку.

Формальное определение: Множество называется проко́лотой окре́стностью (вы́колотой окрестностью) точки , если

где — окрестность .

См. также

Примечания

Литература

Полезное

Смотреть что такое «Окрестность» в других словарях:

ОКРЕСТНОСТЬ — [окресность], окрестности, жен. 1. Местность, прилегающая к чему нибудь. Окрестность города. Деревня с живописными окрестностями. 2. только ед. Окружающее пространство. «Месяц стоял высоко и ясно озарял окрестность.» А.Тургенев. « И всё в ужасной … Толковый словарь Ушакова

окрестность — округа, окружность; местность, околоток, окружение Словарь русских синонимов. окрестность округа (разг.); околоток, окружность (устар.) Словарь синонимов русского языка. Практический справочник. М.: Русский язык. З. Е. Александрова. 2011 … Словарь синонимов

ОКРЕСТНОСТЬ — точки в метрическом пространстве множество всех точек, расстояние которых до данной точки меньше некоторого положительного числа. Это т. н. сферическая окрестность. В более общем случае под окрестностью понимают любое открытое множество,… … Большой Энциклопедический словарь

Окрестность — область, примыкающая к точечному объекту и рассматриваемая с точки зрения принадлежности к ней иных близких объектов. См. также: Пространственные данные Финансовый словарь Финам … Финансовый словарь

окрестность — ОКРЕСТНОСТЬ, устар. околоток, устар. окружность, разг. округа … Словарь-тезаурус синонимов русской речи

ОКРЕСТНОСТЬ — ОКРЕСТНОСТЬ, и, жен. Местность, прилегающая к чему н., окружающее пространство. Окрестности столицы. • В окрестности чего, в знач. предлога с род. недалеко от, близ чего н. Прогулки в окрестности озера. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю … Толковый словарь Ожегова

окрестность — близость соседство — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом Синонимы близостьсоседство EN vicinity … Справочник технического переводчика

окрестность — Местность, прилегающая к какому либо географическому объекту, окружающее его пространство … Словарь по географии

окрестность — и; ж. Местность, прилегающая к чему л. Окрестности города, деревни, озера. // обычно мн.: окрестности, ей. Окружающая местность, окружающее пространство. Осматривать достопримечательности окрестностей города. Гулять по окрестностям посёлка. * * * … Энциклопедический словарь

Окрестность — точки в метрическом пространстве, множество всех точек, расстояние которых до данной точки меньше некоторого положительного числа R (см. Метрическое пространство). О. такого типа называется сферической, число R её радиусом. Часто… … Большая советская энциклопедия

Источник

Окрестность (топология)

Окре́стность точки — множество, содержащее данную точку, и близкие к ней.

Содержание

Определения

Замечания

Проколотая окрестность

Множество называется проко́лотой окре́стностью (вы́колотой окрестностью) точки , если

Строго говоря, проколотая окрестность не является окрестностью в смысле данного выше определения.

Пример

См. также

Полезное

Смотреть что такое «Окрестность (топология)» в других словарях:

Окрестность точки — Курсив обозначает ссылку на этот словарь # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш … Википедия

Окрестность — точки множество, содержащее данную точку, и близкие (в каком либо смысле) к ней. В разных разделах математики это понятие определяется по разному. Содержание 1 Определения 1.1 Математический анализ … Википедия

Окрестность — точки в метрическом пространстве, множество всех точек, расстояние которых до данной точки меньше некоторого положительного числа R (см. Метрическое пространство). О. такого типа называется сферической, число R её радиусом. Часто… … Большая советская энциклопедия

ТОПОЛОГИЯ ВЛОЖЕНИЙ — топологические вложения, раздел топологии, в к ром изучаются локальные топологич. свойства расположений замкнутых подмножеств евклидова пространства или многообразия. Теория Т. в. возникла в работах А. 3 началось после решения Шкнфлиса гипотезы.… … Математическая энциклопедия

Дискетная топология — Курсив обозначает ссылку на этот словарь # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш … Википедия

Континуум (топология) — Курсив обозначает ссылку на этот словарь # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш … Википедия

Открытая окрестность — Курсив обозначает ссылку на этот словарь # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш … Википедия

Проколотая окрестность — Окрестность точки множество, содержащее данную точку, и близкие к ней. Содержание 1 Определения 2 Замечания 3 Проколотая окрестность 4 Пример … Википедия

Гомология (топология) — У этого термина существуют и другие значения, см. Гомология. Гомологии одно из основных понятий алгебраической топологии. Даёт возможность строить алгебраический объект (группу или кольцо) который является топологическим инвариантом… … Википедия

Источник

Абсолютная величина. Понятие окрестности точки.

Абсолю́тная величина́ или мо́дуль числа Х — неотрицательное число, определение которого зависит от типа числа Х. Обозначается: В случае вещественного Х абсолютная величина есть непрерывная кусочно-линейная функция, определённая следующим образом:

Обобщением этого понятия является модуль комплексного числа также иногда называемый абсолютной величиной[1]. Он определяется по формуле:

С геометрической точки зрения, модуль вещественного или комплексного числа есть расстояние между числом и началом координат. В математике широко используется тот факт, что геометрически величина означает расстояние между точками и и, таким образом, может быть использована как мера близости одной (вещественной или комплексной) величины к другой.

Окре́стность точки — множество, содержащее данную точку, и близкие (в каком-либо смысле) к ней. В разных разделах математики это понятие определяется по-разному.

3. Функция. Способы задания функций. Обратная функция.

Функция — математическое понятие, отражающее связь между элементами различных множеств. В самом общем виде, функция — это «закон», по которому каждому элементу одного множества (называемому областью определения) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемого областью значений).

Математическое понятие функции выражает интуитивное представление о том, как одна величина полностью определяет значение другой величины. Так значение переменной однозначно определяет значение выражения а значение месяца однозначно определяет значение следующего за ним месяца. Аналогично некоторый задуманный заранее алгоритм по варьируемым входным данным выдаёт определённые выходные данные.

Изучением функций занимаются обширные математические теории, такие как математический анализ и функциональный анализ. Обычно рассматриваются числовые функции, которые ставят одни числа в соответствие другим. Такие функции удобно представляются на рисунках в виде графиков.

Способы задания функций

Обычно функция задаётся с помощью формулы, в которую входят переменные, операции и элементарные функции. Возможно кусочное задание, то есть различное для различных значений аргумента.

Примеры:

Функцию можно задать, перечислив все её возможные аргументы и значения для них. После этого, если это необходимо, функцию можно доопределить для аргументов, которых нет в таблице, путём интерполяции или экстраполяции. Примерами могут служить программа передач, расписание поездов или таблица значений булевой функции:

Осциллограмма задаёт значение некоторой функции графически.

Функцию можно задать графически, отобразив множество точек её графика на плоскости. Это может быть приблизительный набросок, как должна выглядеть функция, или показания, снятые с прибора, например, с осциллографа. Этот способ задания может страдать от недостатка точности, однако в некоторых случаях другие способы задания вообще не могут быть применены. Кроме того, такой способ задания один из самых презентативных, удобных для восприятия и качественного эвристического анализа функции.

Функция может быть задана рекурсивно, то есть через саму себя. В этом случае одни значения функции определяются через другие её значения.

Функцию можно описать словами на естественном языке каким-либо однозначным способом, например, описав её входные и выходные значения, или алгоритм, с помощью которого функция задаёт соответствия между этими значениями. Наряду с графическим способом, иногда это единственный способ описать функцию, хотя естественные языки и не столь детерминированы, как формальные.

функция, возвращающая цифру в записи числа пи по её номеру;

функция, возвращающая число атомов во вселенной в определённый момент времени;

функция, принимающая в качестве аргумента человека, и возвращающая число людей, которое родится на свет после его рождения.

Обра́тная фу́нкция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией

Функция является обратной к функции , если выполнены следующие тождества: для всех для всех

4. Основные свойства функций.

1) Область определения функции и область значений функции.

В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.

2) Нули функции.

Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.

3) Промежутки знакопостоянства функции.

Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.

4) Монотонность функции.

5) Четность (нечетность) функции.

6) Ограниченная и неограниченная функции.

7) Периодическость функции.

Изучив данные свойства функции Вы без проблем сможете исследовать функцию и по свойствам функции сможете построить график функции. Также посмотрите материал про таблицу истинности, таблицу умножения, таблицу Менделеева, таблицу производных и таблицу интегралов.

свойства основных элементарных функций по схеме:

· область определения функции;

· поведение функции на границах области определения, вертикальные асимптоты (при необходимости смотрите статью классификация точек разрыва функции);

· проверка на четность и нечетность;

· область значений функции;

· промежутки возрастания и убывания, точки экстремума;

· промежутки выпуклости (выпуклости вверх) и вогнутости (выпуклости вниз), точки перегиба (при необходимости смотрите статью выпуклость функции, направление выпуклости, точки перегиба, условия выпуклости и перегиба);

· наклонные и горизонтальные асимптоты;

· особые точки функций;

· особые свойства некоторых функций (например, наименьший положительный период у тригонометрических функций).

6. Предел числовой последовательности.

Предел числовой последовательности — предел последовательности элементов числового пространства. Числовое пространство — это метрическое пространство, расстояние в котором определяется как модуль разности между элементами. Поэтому,предел числовой последовательности — это такое число, что для всякой сколь угодно малой величины существует номер, начиная с которого уклонение членов последовательности от данной точки становится меньше заранее заданной величины.

Понятие предела последовательности вещественных чисел формулируется совсем просто, а в случае комплексных чисел существование предела последовательности равносильно существованию пределов соответствующих последовательностей вещественных и мнимых частей комплексных чисел.

Предел (числовой последовательности) — одно из основных понятий математического анализа. Каждое вещественное число может быть представлено как предел последовательности приближений к нужному значению. Система счисления предоставляет такую последовательность уточнений. Целые и рациональные числа описываются периодическими последовательностями приближений, в то время как иррациональные числа описываются непериодическими последовательностями приближений. [1] В численных методах, где используется представление чисел с конечным числом знаков, особую роль играет выбор системы приближений. Критерием качества системы приближений является скорость сходимости. В этом отношении, оказываются эффективными представления чисел в виде цепных дробей.

7. Свойства пределов последовательности. Теорема Вейерштрасса.

В математике пределом последовательности элементов пространства называют элемент того же пространства, который обладает свойством «притягивать», в некотором смысле, элементы данной последовательности. Свойство последовательности, иметь или не иметь предел, называют сходимостью: если у последовательности есть предел, то говорят, что данная последовательность сходится, в противном случае (если у последовательности нет предела) говорят, что последовательность расходится. Часто встречающимся является предел числовой последовательности.

Пределом последовательности точек топологического пространства является такая точка, каждая окрестность которой содержит все элементы последовательности, начиная с некоторого номера. Все открытые, в смысле данной топологии, множества, содержащие данную точку, образуют систему окрестностей этой точки. В метрическом пространстве систему окрестностей образуют, например, все открытые шары с центром в данной точке. Поэтому свойство сходимости последовательности элементов метрического пространства к данной точке формулируется как способность «удерживать» на заданном расстоянии все точки последовательности, начиная с некоторого номера.

Сходящиеся последовательности обладают следующим свойством: каждая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится, и её предел совпадает с пределом исходной последовательности. Другими словами, у последовательности не может быть двух различных пределов.[1] Может, однако, оказаться, что у последовательности нет предела, но существует подпоследовательность (данной последовательности), которая предел имеет. Если из последовательности точек пространства можно выделить сходящуюся подпоследовательность, то, говорят, что данное пространство компактно или, точнее, секвенциально компактно.

Понятие предела последовательности непосредственно связано с понятием предельной точки (множества): если у множества есть предельная точка, то существует последовательность элементов данного множества, сходящаяся к данной точке. Таким образом, у последовательности может быть несколько предельных точек, но, если последовательность сходится, то все предельные точки совпадают друг с другом и совпадают с пределом самой последовательности.

Предел числовой последовательности является основным объектом рассмотрения в математическом анализе. В общей топологии рассматриваются наиболее общие свойства сходимости, а, также, вводятся и изучаются обобщения

Теоре́ма Вейерштра́сса в математическом анализе и общей топологии гласит, что функция, непрерывная на компакте, ограничена на нём и достигает своей верхней и нижней грани.

Пусть дана непрерывная числовая функция, определённая на отрезке, то есть и . Пусть — точные верхняя и нижняя грани множества значений функции соответственно. Тогда эти значения конечны и достигаются (существуют такие, что

8. Предел функции. Геометрический смысл предела функции.

Функция имеет предел в точке , предельной для области определения функции , если для каждой окрестности предела существует проколотая окрестность точки , образ которой при отображении является подмножеством заданной окрестности точки . То есть функция стремится к определенному числу(число х),но не достигает его,находясь при этом предельно близко. Геометрический смысл функции

9. Основные теоремы о пределах

Теорема 1. (о предельном переходе в равенстве)Если две функции принимают одинаковые значения в окрестности некоторой точки, то их пределы в этой точке совпадают.

Теорема 3. Предел постоянной равен самой постоянной.

Теорема 4. Функция не может иметь двух различных пределов в

Теорема 5. Если каждое слагаемое алгебраической суммы функций имеет предел при , то и алгебраическая сумма имеет предел при , причем предел алгебраической суммы равен алгебраической сумме пределов.

Теорема 6. Если каждый из сомножителей произведения конечного числа функций имеет предел при , то и произведение имеет предел при , причем предел произведения равен произведению пределов.

Теорема 7. Если функции f(x) и g(x) имеют предел при ,

причем , то и их частное имеет предел при , причем предел частного равен частному пределов.

10. Понятие бесконечно большая и бесконечно мала величина

Бесконечно малая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.

Если х стремится х₀ или при хстремится к бесконечности,если предел равен нулю

2. если для любого даже сколь угодно малого положительного числа е больше 0, найдется такое положительное число больше нуля, что для всех х, не равных х₀ и удовлетворяющих условию.

Бесконечно большая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака. Называется бесконечно большой величиной при х стремится к х₀

,если для любого даже сколь угодно большого положительного числа М больше 0 найдется такое положительно число б больше 0, что для всех х, не равных х₀ и удовлетворяющих условию модуль х-х₀ меньше б.

11. Первый замечательный предел

Первый замечательный предел:

Следствия

12. Второй замечательный предел. Формы 1-го и 2-го пределов или

. Следствия

1.

2.

3.

4.

5. для ,

6.

13. Непрерывность функции в точке

Непрерывная функция — функция без «скачков», то есть такая, у которой сколь угодно малые изменения аргумента приводят к сколь угодно малым изменениям значения функции.

Непрерывная функция, вообще говоря, синоним понятия непрерывное отображение, тем не менее чаще всего этот термин используется в более узком смысле — для отображений между числовыми пространствами, например, на вещественной прямой. Эта статья посвящена именно непрерывным функциям, определённым на подмножестве вещественных чисел и принимающим вещественные значения.

Условия:1. определена в точке х₀ 2.имеет конечны предел функции при х->х₀ 3. Этот предел равен значению функции в точке х₀

Источник