Октаэдр и площадь полной его поверхности: описание, формулы, примеры
Содержание:
Существует несколько способов определить площадь поверхности октаэдра. Он представляет собой один из пяти правильных многоугольников или так называемых Платоновых тел. Имеет восемь одинаковых граней (поверхностей) в виде равносторонних треугольников, к каждой из его вершин прилагается по четыре грани. Рассмотрим, что собой представляет тело, где встречается в природе, как вычисляется его площадь и объём.
Что такое октаэдр
Свойства октаэдра
Математические характеристики тела
Как вычислить площадь поверхности октаэдра
Площадь октаэдра равна сумме площадей составляющих его треугольников:
Здесь Sтреуг – площадь треугольника.
После подстановки значения получится требуемый результат.
Если известна длина ребра, придётся вычислить площадь треугольников.
Подставляем значение в первое выражение:
Упрощаем: после сокращения дроби на четыре получается формула площади поверхности октаэдра:
2. S = 8 * Sтреуг = 2 \sqrt <3>a^2.
Существует ещё один способ проведения вычислений. Он менее точный чем предыдущие, однако позволяет обойтись без калькулятора. При приблизительном подсчёте 2 \sqrt <3>равняется 3,464 или 3,46.
Здесь a – длина стороны треугольника (равны).
Для примера, имеется фигура октаэдр с длиной стороны 5 см.
S=2\sqrt <3>a^2=2*\sqrt <3>*5^2=2*\sqrt <3>*25=50\sqrt <3>\approx 86,6 см.
Как вычислить объём правильного октаэдра
Объём показывает размер внутреннего пространства геометрического тела. Объем правильного октаэдра вычисляется, если знаете длину ребра геометрического тела, по формуле:
После проведения приблизительных расчётов \frac<\sqrt 2> <3>\approx 0,47 формула принимает следующий вид :
Рассчитаем двумя методами на примере правильного многоугольника с гранью, равной 5 см:
V= 0,47 * a^3 = 0,47*125 \approx 58,93
Значения совпали, во втором случае нужно выполнять гораздо меньше операций. Подходит он только, если не требуется исключительная точность – при округлении до 4-5 знаков после запятой точность снизится.
Развёртка
Октаэдр, как большинство гомерических тел, имеет развёртку поверхности – это плоская фигура, полученная путём совмещения поверхности модели с одной плоскостью без пересечения либо наложения граней друг на друга.
Рисунок развёртки октаэдра.
В природе насчитывается 11 разновидностей развёртки октаэдра, позволяющих создать его модель из бумаги или картона. Наиболее распространённая выглядит как восемь одинаковых треугольников. Шесть из них размещено в ряд, к третьему и четвёртому основаниям прилегает ещё по одному, их вершины направлены в противоположные стороны.
ОКТАЭДР — геометр. тело, ограниченное 8 равносторонними треугольниками. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Павленков Ф., 1907. ОКТАЭДР греч. oktaedros, от okto, восемь, и hedra, основание. Восьмигранник. Объяснение 25000… … Словарь иностранных слов русского языка
октаэдр — многогранник, восьмигранник Словарь русских синонимов. октаэдр сущ., кол во синонимов: 2 • восьмигранник (2) • … Словарь синонимов
октаэдр — а, м. octaèdre m. < octaedron. Правильный восьмигранник, тело, ограниченное восемью треугольниками. СИС 1954. В октаедрах. Витт Пром. хим. 1848 2 187. Из кристаллических форм <металлов> преобладают кубы и в особенности октаэдры. МБ 1900… … Исторический словарь галлицизмов русского языка
ОКТАЭДР — (от греческого okto восемь и hedra сиденье, плоскость, грань), один из пяти типов правильных многогранников; имеет 8 граней (треугольных), 12 рёбер, 6 вершин (в каждой сходятся 4 ребра) … Современная энциклопедия
ОКТАЭДР — (от греч. okto восемь и hedra грань) один из пяти типов правильных многогранников; имеет 8 граней (треугольных), 12 ребер, 6 вершин (в каждой сходятся 4 ребра) … Большой Энциклопедический словарь
ОКТАЭДР — ОКТАЭДР, октаэдра, муж. (от греч. okto восемь и hedra основание). Правильный восьмигранник, ограниченный восьмью правильными треугольниками. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова
октаэдр — одна из форм структурной организации вирусов (бактериофагов), вирионы которых представляют собой правильный многогранник с 8 гранями и 6 вершинами. (Источник: «Микробиология: словарь терминов», Фирсов Н.Н., М: Дрофа, 2006 г.) … Словарь микробиологии
ОКТАЭДР — [όχτώ (ξкто) восемь; έδρα (γедра) грань] замкнутый восьмигранник с гранями в виде правильных треугольников. Символ О. <111>. См. Формы кристаллов простые высшей (кубической) сингонии.… … Геологическая энциклопедия
октаэдр — — [Англо русский геммологический словарь. Красноярск, КрасБерри. 2007.] Тематики геммология и ювелирное производство EN octahedron … Справочник технического переводчика
Октаэдр — (от греческого okto восемь и hedra сиденье, плоскость, грань), один из пяти типов правильных многогранников; имеет 8 граней (треугольных), 12 рёбер, 6 вершин (в каждой сходятся 4 ребра). … Иллюстрированный энциклопедический словарь
[От греч. ’οκτώ — восемь и ‛έδρα — основание, поверхность, сторона]
Источник (печатная версия): Словарь русского языка: В 4-х т. / РАН, Ин-т лингвистич. исследований; Под ред. А. П. Евгеньевой. — 4-е изд., стер. — М.: Рус. яз.; Полиграфресурсы, 1999; (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека
Правильный октаэдр двойственен кубу. Он является полным усечением тетраэдра. Правильный октаэдр является квадратной бипирамидой в любом из трёх ортогональных направлений. Он также является треугольной антипризмой в любом из четырёх направлений.
Октаэдр — трёхмерный вариант более общего понятия гипероктаэдр.
Правильный октаэдр является трёхмерным шаром в метрике городских кварталов.
ОКТА’ЭДР, а, м. [от греч. oktō — восемь и hedra — основание]. Правильный восьмигранник, ограниченный восьмью правильными треугольниками.
Источник: «Толковый словарь русского языка» под редакцией Д. Н. Ушакова (1935-1940); (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека
окта́эдр
1. геометр. выпуклый правильный многогранник, имеющий восемь треугольных, в виде равностороннего треугольника, граней
Делаем Карту слов лучше вместе
Привет! Меня зовут Лампобот, я компьютерная программа, которая помогает делать Карту слов. Я отлично умею считать, но пока плохо понимаю, как устроен ваш мир. Помоги мне разобраться!
Спасибо! Я стал чуточку лучше понимать мир эмоций.
Вопрос: расчленение — это что-то нейтральное, положительное или отрицательное?
Пра́вильный окта́эдр является одним из пяти выпуклых правильных многогранников, так называемых платоновых тел; его грани — восемь равносторонних треугольников. Правильный октаэдр —
* полное усечение тетраэдра;
* квадратная бипирамида в любом из трёх ортогональных направлений;
* треугольная антипризма в любом из четырёх направлений;
трёхмерный шар в метрике городских кварталов.Октаэдр — трёхмерный вариант более общего понятия гипероктаэдр.
Связанные понятия
Упоминания в литературе
Связанные понятия (продолжение)
Полуправильные многогранники — в общем случае это различные выпуклые многогранники, которые, не являясь правильными, имеют некоторые их признаки, например: все грани равны, или все грани являются правильными многоугольниками, или имеются определённые пространственные симметрии. Определение может варьироваться и включать различные типы многогранников, но в первую очередь сюда относятся архимедовы тела.
Многогранник размерности 3 и выше называется изоэдральным или гране транзитивным, если все его грани одинаковы. Точнее сказать, все грани должны быть не просто конгруэнтны, а должны быть транзитивны, то есть должны прилежать в одной и той же орбите симметрии. Другими словами, для любых граней A и B должна существовать симметрия всего тела (состоящая из вращений и отражений), которая отображает A в B. По этой причине выпуклые изоэдральные многогранники имеют формы правильных игральных костей.
В геометрии фигуру называют хиральной (и говорят, что она обладает хиральностью), если она не совпадает со своим зеркальным отображением, точнее, не может быть совмещена с ним только вращениями и параллельными переносами. Хиральная фигура и её зеркальный образ называют энантиоморфами. Слово хиральность происходит от др.-греч. χειρ (хеир) — «рука». Это самый известный хиральный объект. Слово энантиоморф происходит от др.-греч. εναντιος (энантиос) — «противоположный», и μορφη (морфе) — «форма». Нехиральный.
Пра́вильный пятияче́йник, или просто пятияче́йник, или пентахор (от др.-греч. πέντε — «пять» и χώρος — «место, пространство»), — один из правильных многоячейников в четырёхмерном пространстве: правильный четырёхмерный симплекс.
Пра́вильный шестнадцатияче́йник, или просто шестнадцатияче́йник — один из правильных многоячейников в четырёхмерном пространстве. Известен также под другими названиями: гексадекахор (от др.-греч. ἕξ — «шесть», δέκα — «десять» и χώρος — «место, пространство»), четырёхмерный гиперокта́эдр (поскольку является аналогом трёхмерного октаэдра), четырёхмерный кокуб (поскольку двойственен четырёхмерному гиперкубу), четырёхмерный ортоплекс.
Рассмотрим куб куб и обозначим символами A и A’, B и B’, C и C’ центры его противоположных граней (рис. 1).
Фигуру, состоящую из двух равных правильных четырехугольных пирамид ABC’B’C и A’BC’B’C с общим основанием BC’B’C, называют октаэдром (рис. 2).
Вершины правильных четырехугольных пирамид ABC’B’C и A’BC’B’C называют вершинами октаэдра, ребра этих пирамид называют ребрами октаэдра, а боковые грани пирамид называют гранями октаэдра. Отрезки AA’, BB’ и CC’ называют диагоналями октаэдра.
Для доказательства теоремы Эйлера достаточно заметить, что у октаэдра 8 граней, 6 вершин и 12 ребер.
Все ребра октаэдра равны.
Все грани октаэдра являются равными равносторонними (правильными) треугольниками.
Диагонали октаэдра равны.
Диагонали октаэдра взаимно перпендикулярны.
Диагонали октаэдра пересекаются в одной точке и делятся в точке пересечения пополам.
Объем и площадь поверхности октаэдра
Обозначим буквой a длину ребра октаэдра AA’BB’CC’ (рис. 3).
Для того, чтобы найти объем октаэдра AA’BB’CC’, заметим, что этот объем равен удвоенному объему правильной четырехугольной пирамиды ABC’B’C. Основанием пирамиды ABC’B’C является квадрат со стороной a, а высота пирамиды равна длине отрезка AO.
,
Многогранники
Привет! Меня зовут Лампобот, я компьютерная программа, которая помогает делать Карту слов. Я отлично умею считать, но пока плохо понимаю, как устроен ваш мир. Помоги мне разобраться!
