Октаэдр и площадь полной его поверхности: описание, формулы, примеры
Содержание:
Существует несколько способов определить площадь поверхности октаэдра. Он представляет собой один из пяти правильных многоугольников или так называемых Платоновых тел. Имеет восемь одинаковых граней (поверхностей) в виде равносторонних треугольников, к каждой из его вершин прилагается по четыре грани. Рассмотрим, что собой представляет тело, где встречается в природе, как вычисляется его площадь и объём.
Что такое октаэдр
Свойства октаэдра
Математические характеристики тела
Как вычислить площадь поверхности октаэдра
Площадь октаэдра равна сумме площадей составляющих его треугольников:
Здесь Sтреуг – площадь треугольника.
После подстановки значения получится требуемый результат.
Если известна длина ребра, придётся вычислить площадь треугольников.
Подставляем значение в первое выражение:
Упрощаем: после сокращения дроби на четыре получается формула площади поверхности октаэдра:
2. S = 8 * Sтреуг = 2 \sqrt <3>a^2.
Существует ещё один способ проведения вычислений. Он менее точный чем предыдущие, однако позволяет обойтись без калькулятора. При приблизительном подсчёте 2 \sqrt <3>равняется 3,464 или 3,46.
Здесь a – длина стороны треугольника (равны).
Для примера, имеется фигура октаэдр с длиной стороны 5 см.
S=2\sqrt <3>a^2=2*\sqrt <3>*5^2=2*\sqrt <3>*25=50\sqrt <3>\approx 86,6 см.
Как вычислить объём правильного октаэдра
Объём показывает размер внутреннего пространства геометрического тела. Объем правильного октаэдра вычисляется, если знаете длину ребра геометрического тела, по формуле:
После проведения приблизительных расчётов \frac<\sqrt 2> <3>\approx 0,47 формула принимает следующий вид :
Рассчитаем двумя методами на примере правильного многоугольника с гранью, равной 5 см:
V= 0,47 * a^3 = 0,47*125 \approx 58,93
Значения совпали, во втором случае нужно выполнять гораздо меньше операций. Подходит он только, если не требуется исключительная точность – при округлении до 4-5 знаков после запятой точность снизится.
Развёртка
Октаэдр, как большинство гомерических тел, имеет развёртку поверхности – это плоская фигура, полученная путём совмещения поверхности модели с одной плоскостью без пересечения либо наложения граней друг на друга.
Рисунок развёртки октаэдра.
В природе насчитывается 11 разновидностей развёртки октаэдра, позволяющих создать его модель из бумаги или картона. Наиболее распространённая выглядит как восемь одинаковых треугольников. Шесть из них размещено в ряд, к третьему и четвёртому основаниям прилегает ещё по одному, их вершины направлены в противоположные стороны.
У октаэдра 8 треугольных граней, 12 рёбер, 6 вершин, к каждой его вершине сходятся 4 ребра.
Обозначим длину ребра октаэдра как а, значит площадь полной поверхности октаэдра (S) и объём октаэдра (V) найдем из таких формул:
Радиус описанной сферы около октаэдра:
Радиус вписанной сферы около октаэдра:
Сумма длин всех ребер равна 24а.
Двугранный угол: α=2ϕ≈109,47°, где .
Свойства октаэдра.
Октаэдр легко вписывается в тетраэдр, при этом 4 из 8-ми граней октаэдра совместятся с 4-мя гранями тетраэдра, каждая из 6-ти вершин октаэдра совместится с центрами 6-ти ребер тетраэдра.
Октаэдр легко вписывается в куб (гексаэдр), при этом каждая из 6-ти вершин октаэдра совместится с центрами 6-ти граней куба.
В октаэдр легко вписать куб, при этом каждая из 8-ми вершин куба будут располагаться в центрах 8-ми граней октаэдра.
У правильного октаэдра есть симметрия Oh, которая совпадает с симметрией куба.
Развёртка октаэдра.
Симметрия октаэдра.
3 из девяти осей симметрии октаэдра проходят сквозь противолежащие
3 из девяти плоскостей симметрии тетраэдра проходят сквозь все 4 вершины октаэдра, которые лежат в одной плоскости.
6 плоскостей симметрии проходят через 2 вершины, которые не принадлежат одной грани, и середины противолежащих ребер.
Правильный октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырех треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 240°.
Математические характеристики октаэдра
Октаэдр может быть помещен в сферу (вписан), так, что каждая из его вершин будет касаться внутренней стенки сферы.
Радиус описанной сферы октаэдра определяется по формуле:
Сфера может быть вписана внутрь октаэдра.
Радиус вписанной сферы октаэдра определяется по формуле:
Площадь поверхности октаэдра
Для наглядности, площадь поверхности октаэдра можно представить в виде площади развёртки. Площадь поверхности можно определить как площадь одной из сторон октаэдра (это площадь правильного треугольника) умноженной на 8. Либо воспользоваться формулой:
Объем октаэдра определяется по следующей формуле:
Октаэдр можно представить в виде двух правильных пирамид с четырехугольным основанием, соединенных друг с другом через это основание.
Вариант развертки
Древнегреческий философ Платон ассоциировал октаэдр с «земным» элементом воздух, поэтому для построения модели этого правильного многогранника мы выбрали серый цвет.
Заметим, что это не единственный вариант развертки.
Классический вариант раскраски предполагает окраску октаэдра четырьмя различными цветами, причем таким образом, что каждая грань имеет свой цвет отличный от соседней и только противоположные не соприкасающиеся друг с другом грани окрашиваются в одинаковые цвета.
Вариант окраски представлен на рисунке. Вы можете скачать развертку с соответствующей раскраской граней.
Видео. Октаэдр из набора «Волшебные грани»
Вы можете изготовить модель октаэдра воспользовавшись деталями для сборки из набора «Волшебные грани».
Сборка многогранника из набора:
Подробная сборка от Алексея Жигулева (youtube-канал Оригами)
вращение готового многогранника:
Видео. Вращение правильных многогранников
Популярное
Совершенство сферической формы издавна привлекало внимание мыслителей и учёных, которые с помощью сфер пытались объяснить гармонию окружающего мира.
Сделать новогодний праздник красивым и необычным, чтобы дети видели в нём сказку, а гости восхищались, можно только своими руками. Бумажные многогранники –.
Памятник многограннику «Усечённый большой додекаэдр» был обнаружен в городе Обнинск, напротив здания «ДОСААФ» (ул.Шацкого, д.14).
Можно ли представить икосаэдр в виде более простых многогранников.
Это небольшая «шуточная» задача поможет Вам на некоторое время занять ваших детей! Какой пластиковый тетраэдр* нужно расплавить, чтобы из.
Раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве именуется стереометрия. Происхождение слова стереометрия относится к Древней Греции – от слов «stereos» —.
Монумент «Звезда Кеплера» (норв. Keplerstjernen), высотой 45 метров, расположен недалеко от города Осло (Норвегия) в окрестностях аэропорта.
Октаэдр имеет 8 треугольных граней, 12 рёбер, 6 вершин, в каждой его вершине сходятся 4 ребра.
Википедия расскажет вам о вычислении площади октаэдра и других Платоновых телах.
Или сохраните развёртки октаэдра в jpg-формате:
КОММЕНТАРИИ
у меня получилось, спс большое,только было бы лучше если можно было бы распичатать по честям
ничего не получилась!! не октаэдр,а какой-то прямоугольник у которого одна часть больше другой.
У меня получился довольно таки симпотяшный октаэдр и довольно просто его было сделать спс большое. Александр если руки и одного сета и мозгов нету то тогда тебе не одна инструкция и формула не поможет.
Отличный получился октаэдр 🙂 Спасибо большое!
Классный октаэдр, всё довольно легко и быстро) Спасибо огромное;))
Развертка норм, но потратил часа полтора
Спасибо огромное! Всё делал сам, чертил, вырезал и клеил!) Отличный получился октаэдр! Такой же, как на картинке! Сделал за 25 минут.
Отстой,углы вообще не сходятся.
Я ищу я делаю А вы как там
вы народ сколько там сантиметров пожалеть Подскажите
Круто!! Всё получилось
Спасибо. Все быстро и красиво!
Склейте себе пингвина Линукс.
Его зовут Matthias Wandel’s, я постоянно слежу за его работой, то, что он делает просто поражает своей простотой и гениальностью в области деревообработки.
ОКТАЭДР — геометр. тело, ограниченное 8 равносторонними треугольниками. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Павленков Ф., 1907. ОКТАЭДР греч. oktaedros, от okto, восемь, и hedra, основание. Восьмигранник. Объяснение 25000… … Словарь иностранных слов русского языка
октаэдр — многогранник, восьмигранник Словарь русских синонимов. октаэдр сущ., кол во синонимов: 2 • восьмигранник (2) • … Словарь синонимов
октаэдр — а, м. octaèdre m. < octaedron. Правильный восьмигранник, тело, ограниченное восемью треугольниками. СИС 1954. В октаедрах. Витт Пром. хим. 1848 2 187. Из кристаллических форм <металлов> преобладают кубы и в особенности октаэдры. МБ 1900… … Исторический словарь галлицизмов русского языка
ОКТАЭДР — (от греческого okto восемь и hedra сиденье, плоскость, грань), один из пяти типов правильных многогранников; имеет 8 граней (треугольных), 12 рёбер, 6 вершин (в каждой сходятся 4 ребра) … Современная энциклопедия
ОКТАЭДР — (от греч. okto восемь и hedra грань) один из пяти типов правильных многогранников; имеет 8 граней (треугольных), 12 ребер, 6 вершин (в каждой сходятся 4 ребра) … Большой Энциклопедический словарь
ОКТАЭДР — ОКТАЭДР, октаэдра, муж. (от греч. okto восемь и hedra основание). Правильный восьмигранник, ограниченный восьмью правильными треугольниками. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова
октаэдр — одна из форм структурной организации вирусов (бактериофагов), вирионы которых представляют собой правильный многогранник с 8 гранями и 6 вершинами. (Источник: «Микробиология: словарь терминов», Фирсов Н.Н., М: Дрофа, 2006 г.) … Словарь микробиологии
ОКТАЭДР — [όχτώ (ξкто) восемь; έδρα (γедра) грань] замкнутый восьмигранник с гранями в виде правильных треугольников. Символ О. <111>. См. Формы кристаллов простые высшей (кубической) сингонии.… … Геологическая энциклопедия
октаэдр — — [Англо русский геммологический словарь. Красноярск, КрасБерри. 2007.] Тематики геммология и ювелирное производство EN octahedron … Справочник технического переводчика
Октаэдр — (от греческого okto восемь и hedra сиденье, плоскость, грань), один из пяти типов правильных многогранников; имеет 8 граней (треугольных), 12 рёбер, 6 вершин (в каждой сходятся 4 ребра). … Иллюстрированный энциклопедический словарь
.
,
Многогранники