Движение по окружности: формулы и расчеты
Перемещение тел по окружности достаточно распространено в нашей жизни и в природе. Яркими примерами этого типа перемещения являются вращения ветровых мельниц, планет вокруг своих звезд и колес транспортных средств. В данной статье рассмотрим, какими формулами движение по окружности тел описывается.
Перемещение по окружности и по прямой линии в физике
Вам будет интересно: Интерес: определение, понятие, типы и функции
В физике принято выделять два идеальных типа траекторий движения:
Математический аппарат для описания движения по обоим типам траекторий развит настолько хорошо, что понимание формул, например для прямолинейного движения, автоматически приводит к пониманию выражений для движения по окружности. Единственная принципиальная разница между формулами указанных типов перемещения заключается в том, что для движения по окружности удобно использовать угловые характеристики, а не линейные.
Вам будет интересно: Педагогическая система Макаренко: принципы и компоненты
Далее в статье будем рассматривать исключительно кинематические формулы движения по окружности тел, не вдаваясь в подробности динамики.
Угловые характеристики движения: угол поворота
Прежде чем записывать формулы движения по окружности в физике, следует ввести величины, которые будут фигурировать в этих формулах.
Начнем с угла поворота. Будем обозначать его греческой буквой θ (тета). Поскольку вращение предполагает движение точки вдоль одной и той же окружности, то значение угла поворота θ за определенный промежуток времени можно использовать для определения количества оборотов, которое сделала эта точка. Напомним, что вся окружность равна 2*pi радиан, или 360o. Тогда формула для числа оборотов n через угол θ примет вид:
Вам будет интересно: Академик Рыбаков Б.А.: биография, археологическая деятельность, книги
Здесь и далее во всех формулах угол выражается в радианах.
Пользуясь известным углом θ, также можно определить линейное расстояние, которое точка прошла вдоль окружности. Это расстояние будет равно:
Угловая скорость и ускорение
Кинематические формулы движения по окружности точки предполагают также использование понятий угловой скорости и углового ускорения. Обозначим первую буквой ω (омега), а вторую буквой α (альфа).
Физический смысл угловой скорости ω прост: эта величина показывает, на какой угол в радианах поворачивается точка за каждую секунду времени. Данное определение имеет следующее математическое представление:
Эта формула скорости движения по окружности записана в дифференциальной форме. Полученная с ее помощью величина ω называется мгновенной скоростью. Ее удобно использовать, если движение не является равномерным, то есть происходит с переменной скоростью.
Угловое ускорение измеряется в радианах в секунду квадратную (рад/с2). Так, 1 рад/с2 означает, что тело увеличивает за каждую секунду времени скорость на 1 рад/с.
Учитывая выражение для ω, записанное выше, равенство можно представить в такой форме:
В зависимости от особенностей движения по окружности величина α может быть постоянной, переменной или нулевой.
Равномерное движение
Когда на вращающееся тело не действует никакая внешняя сила, то угловая скорость будет оставаться постоянной сколь угодно длительное время. Такое движение получило название равномерного вращения. Оно описывается следующей формулой:
В этом выражении переменными являются всего две величины: t и θ. Скорость ω = const.
Следует отметить один важный момент: нулю равна лишь равнодействующая внешних сил на тело, внутренние же силы, действующие в системе, нулю не равны. Так, внутренняя сила заставляет вращающееся тело изменять свою прямолинейную траекторию на криволинейную (окружность). Эта сила приводит к появлению центростремительного ускорения. Последнее не изменяет ни скорость ω, ни линейную скорость v, оно лишь изменяет направление движения.
Равноускоренное движение по окружности
Формулы для этого типа перемещения можно получить непосредственно из приведенных математических выражений для величин ω и α. Равноускоренное движение предполагает, что за более-менее длительный промежуток времени модуль и направление ускорения α не изменяются. Благодаря этому можно проинтегрировать дифференциальное выражение для α и получить следующие две формулы:
Для равноускоренного движения не существует конечной скорости, поскольку она может возрастать сколь угодно долго. Для равнозамедленного движения конечным состоянием будет прекращение вращения, то есть ω = 0.
Теперь запишем формулы для определения угла θ при движении с постоянным ускорением. Эти формулы получаются, если произвести двойное интегрирование по времени для выражения α через θ. Получаются следующие выражения:
Связь между угловыми и линейными величинами
При рассмотрении понятия угла поворота θ уже была приведена формула, которая его связывает с линейным расстоянием L. Здесь же рассмотрим аналогичные выражения для скорости ω и ускорения α.
Линейная скорость v при равномерном движении определяется как расстояние L, пройденное за время t, то есть:
Подставляя сюда выражение для L через θ, получаем:
Мы получили связь между линейной и угловой скоростью. Важно отметить, что удобство использования угловой скорости связано с тем, что она не зависит от радиуса окружности. В свою очередь, линейная скорость v возрастает линейно с увеличением r.
Остается записать связь между линейным ускорением a и его угловым аналогом α. Чтобы это сделать, запишем выражение для скорости v при равноускоренном движении без начальной скорости v0. Получаем:
Подставляем сюда полученное выражение связи между v и ω:
Как и скорость, линейное ускорение, направленное по касательной к окружности, зависит от радиуса.
Ускорение центростремительное
Выше уже было сказано несколько слов об этой величине. Здесь приведем формулы, которые можно использовать для ее вычисления. Через скорость v выражение для центростремительного ускорения ac имеет вид:
Через угловую скорость его можно записать так:
Величина ac не имеет никакого отношения к тангенциальному ускорению a. Центростремительное ускорение обеспечивает поддержание вращающегося тела на одной окружности.
Задача на определение угловой скорости вращения планеты
Известно, что ближе всего к солнцу находится Меркурий. Полагая, что он вращается по окружности вокруг светила, мы можем определить его угловую скорость ω.
Для решения задачи следует обратиться к справочным данным. Из них известно, что планета делает полный оборот вокруг светила за 87 дней 23,23 часа земных. Это время называется периодом обращения. Учитывая, что движение происходит с постоянной угловой скоростью, запишем рабочую формулу:
Остается перевести время в секунды, подставить значение угла θ, соответствующее полному обороту (2*pi), и записать ответ: ω = 8,26*10-7 рад/c.
I. Механика
Тестирование онлайн
Так как линейная скорость равномерно меняет направление, то движение по окружности нельзя назвать равномерным, оно является равноускоренным.
Угловая скорость
Выберем на окружности точку 1. Построим радиус. За единицу времени точка переместится в пункт 2. При этом радиус описывает угол. Угловая скорость численно равна углу поворота радиуса за единицу времени.
Период и частота
Частота и период взаимосвязаны соотношением
Связь с угловой скоростью
Линейная скорость
Каждая точка на окружности движется с некоторой скоростью. Эту скорость называют линейной. Направление вектора линейной скорости всегда совпадает с касательной к окружности. Например, искры из-под точильного станка двигаются, повторяя направление мгновенной скорости.
Центростремительное ускорение
При движении по окружности вектор ускорения всегда перпендикулярен вектору скорости, направлен в центр окружности.
Используя предыдущие формулы, можно вывести следующие соотношения
Точки, лежащие на одной прямой исходящей из центра окружности (например, это могут быть точки, которые лежат на спице колеса), будут иметь одинаковые угловые скорости, период и частоту. То есть они будут вращаться одинаково, но с разными линейными скоростями. Чем дальше точка от центра, тем быстрей она будет двигаться.
Закон сложения скоростей справедлив и для вращательного движения. Если движение тела или системы отсчета не является равномерным, то закон применяется для мгновенных скоростей. Например, скорость человека, идущего по краю вращающейся карусели, равна векторной сумме линейной скорости вращения края карусели и скорости движения человека.
Вращение Земли
Земля участвует в двух основных вращательных движениях: суточном (вокруг своей оси) и орбитальном (вокруг Солнца). Период вращения Земли вокруг Солнца составляет 1 год или 365 суток. Вокруг своей оси Земля вращается с запада на восток, период этого вращения составляет 1 сутки или 24 часа. Широтой называется угол между плоскостью экватора и направлением из центра Земли на точку ее поверхности.
Связь со вторым законом Ньютона
Согласно второму закону Ньютона причиной любого ускорения является сила. Если движущееся тело испытывает центростремительное ускорение, то природа сил, действием которых вызвано это ускорение, может быть различной. Например, если тело движется по окружности на привязанной к нему веревке, то действующей силой является сила упругости.
Если тело, лежащее на диске, вращается вместе с диском вокруг его оси, то такой силой является сила трения. Если сила прекратит свое действие, то далее тело будет двигаться по прямой
Как вывести формулу центростремительного ускорения
Разница векторов есть 
. Так как 
, получим
Движение по циклоиде*
В системе отсчета, связанной с колесом, точка равномерно вращается по окружности радиуса R со скоростью 
, которая изменяется только по направлению. Центростремительное ускорение точки направлено по радиусу к центру окружности.
Теперь перейдем в неподвижную систему, связанную с землей. Полное ускорение точки А останется прежним и по модулю, и по направлению, так как при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой ускорение не меняется. С точки зрения неподвижного наблюдателя траектория точки А — уже не окружность, а более сложная кривая (циклоида), вдоль которой точка движется неравномерно.
Мгновенная скорость определяется по формуле 
Угловая скорость – Омега
Физика > Угловая скорость – Омега
Чтобы проверить стремительность вращения тела, представим угловую скорость ω как скорость изменения угла:
Чем больше угол поворота за предложенный временной промежуток, тем выше угловая скорость. Единица – радиан в секунду.
Угловая скорость (ω) соответствует линейной (v). Чтобы отыскать точное соотношение между ними, рассмотрим углубление на вращающемся компакт-диске. Оно смещает длину дуги Δs за период Δt и поэтому обладает линейной скоростью v = Δs/Δt.
Из Δθ = (Δs)/r видно, что Δs = r ⋅ Δθ. Подставим в формулу для v, и видим:
v = (r ⋅ Δθ)/(Δt) = r (Δθ/Δt) = rω.
Это можно описать двумя путями: v = rω или ω = v/r.
Из первого видно, что линейная скорость (v) расположена пропорционально дистанции от центра вращения, поэтому ее максимум достигает для точки на ободе. На краю мы можем назвать ее тангенциальной скоростью.
Второе можно рассмотреть на перемещении машины. Обратите внимание на шину. Скорость точки в центре совпадает с показателями v машины. Чем быстрее движение, тем больше оборотов совершает шина, а значит v = rω. Точно также, шина большего радиуса, вращающаяся с той же угловой скоростью (ω), будет повышать линейную скорость (v).
Машина, смещающаяся вправо со скоростью v, обладает шиной с угловой скоростью ω. Скорость протектора шины относительно оси приравнивается к v так же, как если бы машину приподняли. Получается, что транспорт перемещается вперед с линейной скоростью v = rω (r – радиус шины). Большая угловая скорость шины приводит к повышению скорости автомобиля
Угловая скорость.
Угловой скоростью называется величина, численно равная скорости точек, расположенных от оси на расстоянии единицы длины.
При вращении тела вокруг неподвижной оси АВ каждая точка тела М описывает окружность, перпендикулярную к оси, центр Р которой лежит на оси.
Скорость точки M направлена нормально к плоскости МАВ в сторону вращения. Равномерное вращение точки характеризуется постоянной угловой скоростью.
Угловой скоростью тела называют отношение угла поворота к интервалу времени, в течение которого совершен этот поворот. Если угловую скорость обозначить через w, то:
Угловая скорость выражается в радианах в секунду (рад/с).
При равномерном вращении, когда известна угловая скорость в начальный момент времени t0 = 0, можно определить угол поворота тела за время t и тем самым положение точек тела:
За один период (промежуток времени Т, в течение которого тело совершает один оборот по окружности) угол поворота φ равен 2π рад: 2π = wT, откуда:
Связь угловой скорости с периодом Т и частотой вращения ν выражается соотношением:
А связь между линейной и угловой скоростями определяется соотношением:
Равномерное движение тела по окружности
1. Движением тела по окружности называют движение, траекторией которого является окружность. По окружности движутся, например, конец стрелки часов, точки лопасти вращающейся турбины, вращающегося вала двигателя и др.
При движении по окружности направление скорости непрерывно изменяется. При этом модуль скорости тела может изменяться, а может оставаться неизменным. Движение, при котором изменяется только направление скорости, а её модуль сохраняется постоянным, называется равномерным движением тела по окружности. Под телом в данном случае имеют в виду материальную точку.
2. Движение тела по окружности характеризуется определёнными величинами. К ним относятся, прежде всего, период и частота обращения. Период обращения тела по окружности \( T \) — время, в течение которого тело совершает один полный оборот. Единица периода — \( [\,T\,] \) = 1 с.
Связь между частотой и периодом обращения выражается формулой: \( n=1/T \) .
Пусть некоторое тело, движущееся по окружности, за время \( t \) переместилось из точки А в точку В. Радиус, соединяющий центр окружности с точкой А, называют радиусом-вектором. При перемещении тела из точки А в точку В радиус-вектор повернётся на угол \( \varphi \) .
Быстроту обращения тела характеризуют угловая и линейная скорости.
Угловая скорость \( \omega \) — физическая величина, равная отношению угла поворота \( \varphi \) радиуса-вектора к промежутку времени, за которое этот поворот произошел: \( \omega=\varphi/t \) . Единица угловой скорости — радиан в секунду, т.е. \( [\,\omega\,] \) = 1 рад/с. За время, равное периоду обращения, угол поворота радиуса-вектора равен \( 2\pi \) . Поэтому \( \omega=2\pi/T \) .
Линейная скорость тела \( v \) — скорость, с которой тело движется вдоль траектории. Линейная скорость при равномерном движении по окружности постоянна по модулю, меняется по направлению и направлена по касательной к траектории.
Линейная скорость равна отношению пути, пройденному телом вдоль траектории, ко времени, за которое этот путь пройден: \( \vec
Из этого равенства следует, что чем дальше от центра окружности расположена точка вращающегося тела, тем больше её линейная скорость.
4. Ускорение тела равно отношению изменения его скорости ко времени, за которое оно произошло. При движении тела по окружности изменяется направление скорости, следовательно, разность скоростей не равна нулю, т.е. тело движется с ускорением. Оно определяется по формуле: \( \vec=\frac<\Delta\vec
Центростремительное ускорение при равномерном движении тела по окружности — физическая величина, равная отношению квадрата линейной скорости к радиусу окружности: \( a=\frac
При движении тела по окружности его центростремительное ускорение постоянно по модулю и направлено к центру окружности.
ПРИМЕРЫ ЗАДАНИЙ
Часть 1
1. При равномерном движении тела по окружности
1) изменяется только модуль его скорости
2) изменяется только направление его скорости
3) изменяются и модуль, и направление его скорости
4) не изменяется ни модуль, ни направление его скорости
2. Линейная скорость точки 1, находящейся на расстоянии \( R_1 \) от центра вращающегося колеса, равна \( v_1 \) . Чему равна скорость \( v_2 \) точки 2, находящейся от центра на расстоянии \( R_2=4R_1 \) ?
1) \( v_2=v_1 \)
2) \( v_2=2v_1 \)
3) \( v_2=0,25v_1 \)
4) \( v_2=4v_1 \)
3. Период обращения точки по окружности можно вычислить по формуле:
1) \( T=2\pi\!Rv \)
2) \( T=2\pi\!R/v \)
3) \( T=2\pi v \)
4) \( T=2\pi/v \)
4. Угловая скорость вращения колеса автомобиля вычисляется по формуле:
1) \( \omega=a^2R \)
2) \( \omega=vR^2 \)
3) \( \omega=vR \)
4) \( \omega=v/R \)
5. Угловая скорость вращения колеса велосипеда увеличилась в 2 раза. Как изменилась линейная скорость точек обода колеса?
1) увеличилась в 2 раза
2) уменьшилась в 2 раза
3) увеличилась в 4 раза
4) не изменилась
6. Линейная скорость точек лопасти винта вертолёта уменьшилась в 4 раза. Как изменилось их центростремительное ускорение?
1) не изменилось
2) уменьшилось в 16 раз
3) уменьшилось в 4 раза
4) уменьшилось в 2 раза
7. Радиус движения тела по окружности увеличили в 3 раза, не меняя его линейную скорость. Как изменилось центростремительное ускорение тела?
1) увеличилось в 9 раз
2) уменьшилось в 9 раз
3) уменьшилось в 3 раза
4) увеличилось в 3 раза
8. Чему равен период обращения коленчатого вала двигателя, если за 3 мин он совершил 600 000 оборотов?
9. Чему равна частота вращения точки обода колеса, если период обращения составляет 0,05 с?
1) 0,05 Гц
2) 2 Гц
3) 20 Гц
4) 200 Гц
10. Линейная скорость точки обода велосипедного колеса радиусом 35 см равна 5 м/с. Чему равен период обращения колеса?
1) 14 с
2) 7 с
3) 0,07 с
4) 0,44 с
11. Установите соответствие между физическими величинами в левом столбце и формулами для их вычисления в правом столбце. В таблице под номером физической
величины левого столбца запишите соответствующий номер выбранной вами формулы из правого столбца.
ФИЗИЧЕСКАЯ ВЕЛИЧИНА
А) линейная скорость
Б) угловая скорость
В) частота обращения
ФОРМУЛА
1) \( 1/T \)
2) \( v^2/R \)
3) \( v/R \)
4) \( \omega R \)
5) \( 1/n \)
12. Период обращения колеса увеличился. Как изменились угловая и линейная скорости точки обода колеса и её центростремительное ускорение. Установите соответствие между физическими величинами в левом столбце и характером их изменения в правом столбце.
В таблице под номером физической величины левого столбца запишите соответствующий номер выбранного вами элемента правого столбца.
ФИЗИЧЕСКАЯ ВЕЛИЧИНА
A) угловая скорость
Б) линейная скорость
B) центростремительное ускорение
ХАРАКТЕР ИЗМЕНЕНИЯ ВЕЛИЧИНЫ
1) увеличилась
2) уменьшилась
3) не изменилась
Часть 2
13. Какой путь пройдёт точка обода колеса за 10 с, если частота обращения колеса составляет 8 Гц, а радиус колеса 5 м?
