Что такое оператор в математике простыми словами
Оператор (математика)
Опера́тор (позднелат. operator — работник, исполнитель, от operor — работаю, действую) — то же, что отображение.
Термин оператор встречается в разных разделах математики, его точное значение зависит от раздела. Как правило, под операторами понимают какие-то особые (для данной области математики) отображения, например в функциональном анализе под операторами понимают отображение ставящее в соответствие функции другую функцию («оператор на пространстве функций» звучит лучше, чем «функция от функции»).
Наиболее часто встречающиеся операторы:
Содержание
Основная терминология
Пусть оператор 
действует из множества в множество .
Простые примеры
Оператор, действующий над пространствами функций — это правило, согласно которому одна функция преобразуется в другую. Преобразование функции x(t) согласно правилу A в другую функцию y(t) выглядит: y(t) = A<x(t)> или, проще, y = Ax. Примерами подобных преобразований могут быть, например, домножение на число: y(t) = cx(t), дифференцирование: y(t) = и т. д. Получаем операторы дифференцирования, интегрирования, решения дифференциального уравнения и т. д.
Определяя оператор, мы рассматривали только преобразование функции x(t) в другую функцию y того же аргумента t. Такое сохранение аргумента при определении оператора вовсе не является обязательным: оператор может преобразовывать функцию одного аргумента в функцию другого аргумента, например:
или Преобразование Фурье из временной в частотную область:
Отличие оператора от простой суперпозиции функций в данном случае заключается в том, что значение функции y, вообще говоря, в каждой точке t зависит не только от x(t), а от значений функции x во всех точках t. Поясним на примере преобразования Фурье. Значение этого преобразования (спектр функции) в точке меняется при изменении исходной функции в любой точке .
Еще в качестве примера оператора можно привести операцию умножения вектора длины на матрицу размером . Этот оператор отображает -мерное пространство векторов в -мерное.
Изучением общих свойств операторов и применением их к решению различных задач занимается теория операторов. Например, оказывается, что у оператора умножения вектора на матрицу и оператора свертки функции с весом есть много общих свойств.
Фундаментальным для практики является класс так называемых линейных операторов. Он также является наиболее исследованным.
Линейные операторы
Оператор L (действующий из векторного пространства в векторное же) называется линейным однородным (или просто линейным), если он обладает следующими свойствами:
1) может применяться почленно к сумме аргументов:
;
2) скаляр (постоянную величину) с можно выносить за знак оператора:
;
Из 2) следует, что для линейного однородного оператора справедливо свойство L(0) = 0.
Примеры линейных однородных операторов:
Оператор L называется линейным неоднородным, если он состоит из линейного однородного оператора с прибавлением некоторого фиксированного элемента:
где L0 — линейный однородный оператор. Примеры линейных неоднородных операторов:
В случае преобразования дискретных функций (последовательностей, векторов) линейные операторы характеризуются тем, что для них yk являются линейными функциями от xk:
yk = .
Коэффициенты Tkl образуют матрицу. Если <yk> рассматривают как векторы, то оператор называется тензором. В этом случае пишут .
В более общем случае непрерывных функций двумерная матрица весов принимает вид функции двух переменных K(t, ω), и называется ядром линейного интегрального преобразования:
φ(t) = = Kf(ω).
)конечным рядом функций:
φ(t) = .
Единичный оператор
Частный случай линейного оператора, возвращающий операнд в неизменном виде:
то есть как матричный оператор определяется равенством
и как интегральный оператор — равенством
.
Единичное ядро E(x,t) записывается в виде δ(x−t) = δ(t−x) (дельта-функция). δ(x−t) = 0 всюду, кроме x = t, где функция становится бесконечной и притом такой, что
.
Запись
Как можно заметить, запись оператора часто принимает сокращённую форму от общепринятой записи функций. При использовании префиксной или постфиксной записи скобки опускаются в большинстве случаев, если известна арность оператора. Так, одинарный оператор Q над функцией f обычно для краткости записывается Qf вместо Q(f); скобками пользуются для ясности, например, операция над произведением Q(fg). Q, действующий на f(x), также записывают (Qf)(x). Для обозначения некоторых операторов вводятся спецзнаки, например, унарные n! (факториал ‘!’, справа от операнда), -n (отрицание, слева) или каллиграфические символы, как в случае с Фурье-преобразованием функции . Возведение в степень n x можно считать бинарным оператором двух аргументов либо степенной или показательной функцией одного аргумента.
См. также
Литература
ca:Operador matemàtic he:אופרטור nl:Operator sv:Operator
Оператор (математика)
Содержание
Линейные операторы [ править ]
Линейные операторы также играют большую роль в бесконечномерном случае. Понятия ранга и детерминанта нельзя распространить на бесконечномерные матрицы. Вот почему при изучении линейных операторов (и операторов в целом) в бесконечномерном случае используются очень разные методы. Изучение линейных операторов в бесконечномерном случае известно как функциональный анализ (так называемый, потому что различные классы функций образуют интересные примеры бесконечномерных векторных пространств).
Ограниченные линейные операторы над банаховым пространством образуют банахову алгебру относительно стандартной операторной нормы. Теория банаховых алгебр развивает очень общую концепцию спектров, которая элегантно обобщает теорию собственных подпространств.
Ограниченные операторы [ править ]
Ограниченные операторы образуют векторное пространство. На этом векторном пространстве мы можем ввести норму, совместимую с нормами U и V :
В случае операторов из U в себя можно показать, что
Примеры [ править ]
Геометрия [ править ]
Теория вероятностей [ править ]
Исчисление [ править ]
Ряды Фурье и преобразование Фурье [ править ]
При работе с общей функцией R → C преобразование принимает интегральный вид:
Преобразование Лапласа [ править ]
Для f = f ( s ) он определяется следующим образом:
Фундаментальные операторы в скалярных и векторных полях [ править ]
Три оператора являются ключевыми в векторном исчислении :
Как расширение операторов векторного исчисления в физическом, инженерном и тензорном пространствах, операторы Grad, Div и Curl также часто связаны с тензорным исчислением, а также с векторным исчислением. [1]
СОДЕРЖАНИЕ
Линейные операторы
Линейные операторы также играют большую роль в бесконечномерном случае. Понятия ранга и детерминанта нельзя распространить на бесконечномерные матрицы. Вот почему при изучении линейных операторов (и операторов в целом) в бесконечномерном случае используются очень разные методы. Изучение линейных операторов в бесконечномерном случае известно как функциональный анализ (так называемый, потому что различные классы функций образуют интересные примеры бесконечномерных векторных пространств).
Ограниченные линейные операторы над банаховым пространством образуют банахову алгебру относительно стандартной операторной нормы. Теория банаховых алгебр развивает очень общую концепцию спектров, которая элегантно обобщает теорию собственных подпространств.
Ограниченные операторы
Ограниченные операторы образуют векторное пространство. В этом векторном пространстве мы можем ввести норму, совместимую с нормами U и V :
В случае операторов из U в себя можно показать, что
Примеры
Геометрия
Теория вероятности
Исчисление
Ряды Фурье и преобразование Фурье
При работе с общей функцией R → C преобразование принимает интегральный вид:
Преобразование Лапласа
Для f = f ( s ) он определяется следующим образом:
Фундаментальные операторы в скалярных и векторных полях
Три оператора являются ключевыми в векторном исчислении :
Как расширение операторов векторного исчисления в физическом, инженерном и тензорном пространствах, операторы grad, div и curl также часто связаны с тензорным исчислением, а также с векторным исчислением.