Что такое орбита точки фрактальная геометрия

Фрактальная геометрия — генетический код Вселенной

Экология познания. Познавательно: Открытая Бенуа Мандельбротом фрактальная геометрия описывает упорядоченный хаос природы и демонстрирует принцип бесконечного вложения самоподобных структур друг в друга на основе простых математических соотношений. Фрактал (от лат. fractus, «сломанный, разбитый») – это бесконечно самоподобная геометрическая фигура, каждый фрагмент которой повторяется при уменьшении масштаба.

Открытая Бенуа Мандельбротом фрактальная геометрия описывает упорядоченный хаос природы и демонстрирует принцип бесконечного вложения самоподобных структур друг в друга на основе простых математических соотношений. Фрактал (от лат. fractus, «сломанный, разбитый») – это бесконечно самоподобная геометрическая фигура, каждый фрагмент которой повторяется при уменьшении масштаба.

Действительно ли Вселенная бесконечна или просто очень велика? Есть ли у Вселенной центр? Есть ли у неё границы? Их нет, так же, как нет центра и границ у фрактала. Представьте себе, что всё вокруг – фрактал. И мы тоже часть этого фрактала.Бесконечное самоподобие.

Большинство учёных признают, что Вселенная имеет фрактальную структуру: планетарные системы объединены в галактики, галактики в кластеры, кластеры всуперкластеры и так далее. Ранее учёные полагали, что распределение материи можно считать непрерывным, начиная с объектов размером около 200 миллионов световых лет. Данные о более чем 900 тысячах галактик и квазаров показали, что непрерывность отсутствует и при масштабе в 300 миллионов световых лет.

Полученные выводы противоречат основам теории Большого Взрыва, согласно которой в первые моменты после рождения Вселенной материя была распределена равномерно и непрерывно.

Ряд учёных полагают, что за время, прошедшее с момента Большого Взрыва, под действием гравитации фрактальные структуры вселенского масштаба не могли успеть образоваться.

Фракталы воплощают принцип повторения – копий, в изобилии присутствующих в природе. Это геометрические формы, которые выглядят одинаково при любой степени приближения. Фрактальная геометрия не есть «чистая» геометрическая теория. Это концепция, новый взгляд на хорошо известные вещи, перестройка восприятия, заставляющая исследователя по-новому видеть мир.

То, что материя делится до бесконечности, утверждали ещё Аристотель, Декарт иЛейбниц. В каждой частице, какой бы малой она ни была, «есть города, населённые людьми, обработанные поля, и светит солнце, луна и другие звёзды, как у нас» – утверждал греческий философ Анаксагор в своём труде о гомеомериях в V веке до нашей эры.

Основной постулат легендарной «Изумрудной Скрижали» Гермеса Трисмегиста гласит:«То, что находится внизу, аналогично тому, что находится вверху». Этот принцип принят за аксиому последователями герметической философии, которые утверждали аналогию между микро и макро мирами.

Сакральные учения всех древних цивилизаций пронизывает идея существования гармоничной Вселенной. Египетская богиня истины и порядка Маат представляла собой воплощение принципа естественного порядка вещей. Греки, учившиеся у египтян, связали с цивилизацией слово «космос», переводимое как «вышивка» и выражающее гармонию и красоту «самоподобия». Если рассматривать эти объекты в различном масштабе, то постоянно обнаруживаются одни и те же элементы. Все они могут быть описаны в виде математических уравнений.

Принципы сакральной геометрии, в основе которой лежат фракталы, «платоновы тела», спираль Золотого сечения, числоФи, в равной мере присущи и человеку, и цветку, и звёздам. Всё, что существует в реальном мире, является фракталом: кровеносная система, кроны и листья деревьев, облака и молекула кислорода.

Исследования, связанные с фракталами, меняют привычные представления об окружающем нас мире. Фракталы заставляют пересмотреть наши взгляды на геометрические свойства объектов. Фракталы описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика.

Мы не можем описать камень, участок ландшафта, поверхность моря, скалу или границы острова с помощью прямых линий, кругов и треугольников. Здесь нам приходят на помощь фракталы. С помощью фракталов эти структуры можно моделировать, создавать, что и используется в различных компьютерных программах.

Когда мы всматриваемся во фрактальную форму, то видим одну и ту же структуру независимо от степени увеличения. Такое подобие можно увидеть в природе, рассматривая при разном приближении горы, облака, береговые линии. Природа есть неразрывная паутина.

Фрактальная геометрия – геометрия природы. Сама природа пользуется её достижениями и примеры этого можно найти повсюду: от спиралей раковины и цветков маргаритки до симметрии шестиугольных пчелиных сот. «Самоподобие» можно встретить, исследуя формы молекул или галактик. Все объекты во Вселенной взаимопроникают друг в друга.

Фрактальная геометрия предопределяет формы молекул и кристаллов, которые составляют наши тела и Космос. Фактически она есть ключ к пониманию Вселенной.

Фрактальная структура – это генетический код Вселенной. опубликовано econet.ru

Понравилась статья? Напишите свое мнение в комментариях.
Подпишитесь на наш ФБ:

Источник

LiveInternetLiveInternet

—Рубрики

—Поиск по дневнику

—Подписка по e-mail

—Постоянные читатели

—Сообщества

—Статистика

Понятия фрактал и фрактальная геометрия.

Понятия фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово фрактал образовано от латинского fractus и в переводе означает состоящий из фрагментов. Оно было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта `The Fractal Geometry of Nature’. В его работах использованы научные результаты других ученых, работавших в период 1875-1925 годов в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф). Но только в наше время удалось объединить их работы в единую систему.
Роль фракталов в машинной графике сегодня достаточно велика. Они приходят на помощь, например, когда требуется, с помощью нескольких коэффициентов, задать линии и поверхности очень сложной формы. С точки зрения машинной графики, фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически найден способ легкого представления сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные.
Одним из основных свойств фракталов является самоподобие. В самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию о всем фрактале. Определение фрактала, данное Мандельбротом, звучит так: «Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому».

Классификация фракталов.

Для того, чтобы представить все многообразие фракталов удобно прибегнуть к их общепринятой классификации. Существует три класса фракталов.

1. Геометрические фракталы.

Фракталы этого класса самые наглядные. В двухмерном случае их получают с помощью ломаной (или поверхности в трехмерном случае), называемой генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры получается геометрический фрактал.

Рассмотрим на примере один из таких фрактальных объектов – триадную кривую Коха.

Построение триадной кривой Коха.

Возьмем прямолинейный отрезок длины 1. Назовем его затравкой. Разобьем затравку на три равные части длиной в 1/3, отбросим среднюю часть и заменим ее ломаной из двух звеньев длиной 1/3.

Для того чтобы перейти к следующему поколению кривой Коха, надо у каждого звена отбросить и заменить среднюю часть. Соответственно длина второго поколения будет 16/9, третьего – 64/27. если продолжить этот процесс до бесконечности, то в результате получится триадная кривая Коха.

Рассмотрим теперь св-ва триадной кривой Коха и выясним, почему же фракталы называли «монстрами».

Во-первых, эта кривая не имеет длины – как мы убедились, с числом поколений ее длина стремится к бесконечности.

Длина и гладкость – фундаментальные св-ва кривых, которые изучаются как евклидовой геометрией, так и геометрией Лобачевского, Римана. К триадной кривой Коха традиционные методы геометрического анализа оказались неприменимы, поэтому кривая Коха оказалась чудовищем – «монстром» среди гладких обитателей традиционных геометрий.

Построение «дракона» Хартера-Хейтуэя.

Для получения другого фрактального объекта нужно изменить правила построения. Пусть образующим элементом будут два равных отрезка, соединенных под прямым углом. В нулевом поколении заменим единичный отрезок на этот образующий элемент так, чтобы угол был сверху. Можно сказать, что при такой замене происходит смещение середины звена. При построении следующих поколений выполняется правило: самое первое слева звено заменяется на образующий элемент так, чтобы середина звена смещалась влево от направления движения, а при замене следующих звеньев, направления смещения середин отрезков должны чередоваться. На рисунке представлены несколько первых поколений и 11-е поколение кривой, построенной по вышеописанному принципу. Кривая, при n стремящемуся к бесконечности, называется драконом Хартера-Хейтуэя.
В машинной графике использование геометрических фракталов необходимо при получении изображений деревьев, кустов. Двухмерные геометрические фракталы используются для создания объемных текстур (рисунка на поверхности объекта).

2.Алгебраические фракталы

Множество Мандельброта.

3.Стохастические фракталы

О применении фракталов

О построении фракталов

Метод последовательных приближений

Глядя на эту картинку, нетрудно понять, как можно построить самоподобный фрактал (в данном случае пирамиду Серпинского). Нужно взять обычную пирамиду (тетраэдр), затем вырезать ее середину (октаэдр), в результате чего у нас получается четыре маленьких пирамидки. С каждой из них мы проделываем ту же самую операцию и т.д. Это несколько наивное, но наглядное объяснение.

Заметим, что каждая из этих итераций является аттрактором рекуррентной системы итерированных функций (английский термин Digraph IFS, RIFS и также Graph-directed IFS) и поэтому их легко построить с помощью нашей программы.

Построение по точкам или вероятностный метод

Это наиболее лёгкий для реализации на компьютере метод. Для простоты рассмотрим случай плоского самоаффинного множества. Итак, пусть

Источник

Хаос и порядок: фрактальный мир

Об авторе

Елена Владимировна Чернова — ведущий программист Института общей физики им. А. М. Прохорова РАН. Область научных интересов — рост кристаллов, базы данных, обработка изображений.

Хаос — это порядок, который нужно расшифровать.

Жозе Сарамаго, «Двойник»

«Грядущим поколениям ХХ век будет памятен лишь благодаря созданию теорий относительности, квантовой механики и хаоса. теория относительности разделалась с иллюзиями Ньютона об абсолютном пространстве-времени, квантовая механика развеяла мечту о детерминизме физических событий, и, наконец, хаос развенчал Лапласову фантазию о полной предопределенности развития систем» [1]. Эти слова известного американского историка и популяризатора науки Джеймса Глейка отражают огромную важность вопроса, который лишь вкратце освещается в статье, предлагаемой вниманию читателя. Наш мир возник из хаоса. Однако если бы хаос не подчинялся своим собственным законам, если бы в нем не было особой логики, он ничего не смог бы породить.

Новое — это хорошо забытое старое

Позволю себе еще одну цитату из Глейка:

Мысль о внутреннем подобии, о том, что великое может быть вложено в малое, издавна ласкает человеческую душу. По представлениям Лейбница, капля воды содержит в себе весь блистающий разноцветьем мир, где искрятся водяные брызги и живут другие неизведанные вселенные. «Увидеть мир в песчинке» — призывал Блейк, и некоторые ученые пытались следовать его завету. Первые исследователи семенной жидкости склонны были видеть в каждом сперматозоиде своего рода гомункулуса, т. е. крошечного, но уже полностью сформировавшегося человечка. [1]

Ретроспективу подобных воззрений можно обратить гораздо дальше в глубь истории. Один из основных принципов магии — неотъемлемой ступени развития любого общества — состоит в постулате: часть подобна целому. Он проявлялся в таких действиях, как захоронение черепа животного вместо всего животного, модели колесницы вместо самой колесницы и т. д. Сохраняя череп предка, родственники считали, что он продолжает жить рядом с ними и принимать участие в их делах.

Еще древнегреческий философ Анаксагор рассматривал первичные элементы мироздания как частицы, подобные другим частицам целого и самому целому, «бесконечные и по множеству, и по малости». Аристотель характеризовал элементы Анаксагора прилагательным «подобочастные» [2].

А наш современник, американский кибернетик Рон Эглэш, исследуя культуру африканских племен и южноамериканских индейцев, сделал открытие: с древних времен некоторые из них использовали фрактальные принципы построения в орнаментах, узорах, наносимых на одежду и предметы быта, в украшениях, ритуальных обрядах и даже в архитектуре. Так, структура деревень некоторых африканских племен представляет собой круг, в котором находятся маленькие круги — дома, внутри которых еще более мелкие круги — дома духов. У иных племен вместо кругов элементами архитектуры служат другие фигуры, но они также повторяются в разных масштабах, подчиненных единой структуре. Причем эти принципы построения не были простым подражанием природе, но согласовывались с бытующим мировоззрением и социальной организацией [3].

Наша цивилизация, казалось бы, ушла далеко от первобытного существования. Однако мы продолжаем жить в том же мире, нас по-прежнему окружает природа, живущая по своим законам, несмотря на все попытки человека приспособить ее к своим нуждам. Да и сам человек (не будем забывать об этом) остается частью этой природы.

Герт Эйленбергер, немецкий физик, занявшийся изучением нелинейности, как-то заметил:

Почему силуэт согнувшегося под напором штормового ветра обнаженного дерева на фоне мрачного зимнего неба воспринимается как прекрасный, а очертания современного многофункционального здания, несмотря на все усилия архитектора, вовсе не кажутся такими? Сдается мне, что. наше чувство прекрасного «подпитывается» гармоничным сочетанием упорядоченности и беспорядка, которое можно наблюдать в естественных явлениях: облаках, деревьях, горных цепях или кристаллах снежинок. Все такие контуры суть динамические процессы, застывшие в физических формах, и для них типична комбинация устойчивости и хаотичности. [1]

У истоков теории хаоса

Что мы понимаем под хаосом? Невозможность предсказать поведение системы, беспорядочные скачки в разных направлениях, которые никогда не превратятся в упорядоченную последовательность.

Первым исследователем хаоса считается французский математик, физик и философ Анри Пуанкаре. Еще в конце XIX в. при изучении поведения системы с тремя телами, взаимодействующими гравитационно, он заметил, что могут быть непериодические орбиты, которые постоянно и не удаляются от конкретной точки, и не приближаются к ней.

Традиционные методы геометрии, широко используемые в естественных науках, основаны на аппроксимации структуры исследуемого объекта геометрическими фигурами, например линиями, плоскостями, сферами, метрическая и топологическая размерности которых равны между собой. В большинстве случаев свойства исследуемого объекта и его взаимодействие с окружающей средой описываются интегральными термодинамическими характеристиками, что приводит к утрате значительной части информации о системе и к замене ее на более или менее адекватную модель. Чаще всего подобное упрощение вполне оправдано, однако известны многочисленные ситуации, когда применение топологически неадекватных моделей недопустимо. Пример такого несоответствия привел в своей кандидатской диссертации (теперь уже доктор химических наук) Владимир Константинович Иванов: оно обнаруживается при измерении площади развитой (например, пористой) поверхности твердых тел с помощью сорбционных методов, регистрирующих изотермы адсорбции. Оказалось, что величина площади зависит от линейного размера молекул-«измерителей» не квадратично, чего следовало бы ожидать из простейших геометрических соображений, а с показателем степени, иногда вплотную приближающемся к трем [4].

Рис. 1. Аттрактор Лоренца — набор траекторий в фазовом пространстве [5]

Прогнозирование погоды — одна из проблем, над которой человечество бьется с древних времен. Существует известный анекдот на эту тему, где прогноз погоды передается по цепочке от шамана — оленеводу, затем геологу, потом редактору радиопередачи, и наконец круг замыкается, поскольку выясняется, что шаман узнал прогноз по радио. Описание такой сложной системы, как погода, со множеством переменных, невозможно свести к простым моделям. С данной задачи началось использование компьютеров для моделирования нелинейных динамических систем. Один из основоположников теории хаоса, американский метеоролог и математик Эдвард Нортон Лоренц много лет отдал проблеме прогнозирования погоды. Еще в 60-х годах прошлого века, пытаясь понять причины ненадежности прогнозов погоды, он показал, что состояние сложной динамической системы может сильно зависеть от начальных условий: незначительное изменение одного из многих параметров способно кардинально изменить ожидаемый результат. Лоренц назвал эту зависимость эффектом бабочки: «Сегодняшнее трепетание крыльев мотылька в Пекине через месяц может вызвать ураган в Нью-Йорке» [1]. Ему принесла известность работа, посвященная общему круговороту атмосферы. Исследуя описывающую процесс систему уравнений с тремя переменными, Лоренц графически отобразил результаты своего анализа: линии графика представляют собой координаты точек, определяемых решениями в пространстве этих переменных (рис. 1). Полученная двойная спираль, названная аттрактор Лоренца (или «странный аттрактор»), выглядела как нечто бесконечно запутанное, но всегда расположенное в определенных границах и никогда не повторяющееся. Движение в аттракторе абстрактно (переменными могут быть скорость, плотность, температура и др.), и тем не менее оно передает особенности реальных физических явлений, таких как движение водяного колеса, конвекция в замкнутой петле, излучение одномодового лазера, диссипативные гармонические колебания (параметры которых играют роль соответствующих переменных).

Из тысяч публикаций, составивших специальную литературу по проблеме хаоса, вряд ли какая-либо цитировалась чаще, чем написанная Лоренцем в 1963 г. статья «Детерминистский непериодический поток» [6]. Хотя благодаря компьютерному моделированию уже во времена этой работы предсказание погоды из «искусства превратилось в науку», долгосрочные прогнозы по-прежнему оставались недостоверными и ненадежными. Причина этого заключалась в том самом эффекте бабочки.

В тех же 60-х годах математик Стивен Смэйл из Калифорнийского университета собрал в Беркли исследовательскую группу из молодых единомышленников. Ранее он был удостоен медали Филдса за выдающиеся исследования в области топологии. Смэйл занимался изучением динамических систем, в частности нелинейных хаотических осцилляторов. Для воспроизведения всей неупорядоченности осциллятора ван дер Поля в фазовом пространстве он создал структуру, известную под названием «подкова» — пример динамической системы, имеющей хаотическую динамику.

Рис. 2. Подкова Смэйла. Пространство многократно растягивается в одном направлении, сжимается в другом и сворачивается. Такая топологическая трансформация наглядно показывает возникновение «структурированного беспорядка» — хаотичных свойств динамических систем [1]

В 1972 г. математик из Мэрилендского университета Джеймс Йорк прочитал вышеупомянутую статью Лоренца, которая поразила его. Йорк увидел в статье живую физическую модель и посчитал своей святой обязанностью донести до физиков то, чего они не разглядели в работах Лоренца и Смэйла. Он направил копию статьи Лоренца Смэйлу. Тот изумился, обнаружив, что безвестный метеоролог (Лоренц) десятью годами раньше обнаружил ту неупорядоченность, которую он сам посчитал однажды математически невероятной, и разослал копии всем своим коллегам.

Биолог Роберт Мэй, друг Йорка, занимался изучением изменений численности популяций животных. Мэй шел по стопам Пьера Ферхлюста, который еще в 1845 г. обратил внимание на непредсказуемость изменения численности животных и пришел к выводу, что коэффициент прироста популяции — величина непостоянная. Иными словами, процесс оказывается нелинейным. Мэй пытался уловить, что случается с популяцией в момент приближения колебаний коэффициента роста к некоторой критической точке (точке бифуркации). Варьируя значения этого нелинейного параметра, он обнаружил, что возможны коренные перемены в самой сущности системы: увеличение параметра означало возрастание степени нелинейности, что, в свою очередь, изменяло не только количественные, но и качественные характеристики результата. Подобная операция влияла как на конечное значение численности популяции, находившейся в равновесии, так и на ее способность вообще достигнуть последнего. При определенных условиях периодичность уступала место хаосу, колебаниям, которые никогда не затухали.

Йорк математически проанализировал описанные явления в своей работе, доказав, что в любой одномерной системе происходит следующее: если появляется регулярный цикл с тремя волнами (плавными подъемами и спадами значений какого-либо параметра), то в дальнейшем система начнет демонстрировать как правильные циклы любой другой продолжительности, так и полностью хаотичные. (Как выяснилось через несколько лет после опубликования статьи на международной конференции в восточном Берлине, советский (украинский) математик Александр Николаевич Шарковский несколько опередил Йорка в своих исследованиях [7]). Йорк написал статью для известного научного издания «Американский математический ежемесячник» [8]. Однако Йорк достиг большего, чем просто математический результат: он продемонстрировал физикам, что хаос вездесущ, стабилен и структурирован. Он дал повод поверить в то, что сложные системы, традиционно описывающиеся трудными для решения дифференциальными уравнениями, могут быть представлены с помощью наглядных графиков.

Мэй пытался привлечь внимание биологов к тому, что популяции животных переживают не одни лишь упорядоченные циклы. На пути к хаосу возникает целый каскад удвоения периодов. Именно в точках бифуркации некоторое увеличение плодовитости особей могло привести, например, к смене четырехгодичного цикла популяции непарного шелкопряда восьмигодичным. Американец Митчел Фейгенбаум решил начать с подсчета точных значений параметра, порождавших такие изменения. Его расчеты показывали, что не имело значения, какова начальная популяция, — она все равно неуклонно приближалась к аттрактору. Затем, с первым удвоением периодов, аттрактор, подобно делящейся клетке, раздваивался. Потом происходило следующее умножение периодов, и каждая точка аттрактора вновь начинала делиться. Число — инвариант, полученный Фейгенбаумом, — позволило ему предугадывать, когда именно это произойдет. Ученый обнаружил, что может прогнозировать этот эффект для сложнейшего аттрактора — в двух, четырех, восьми точках. Говоря языком экологии, он мог прогнозировать действительную численность, которая достигается в популяциях во время ежегодных колебаний. Так Фейгенбаум открыл в 1976 г. «каскад удвоения периода», опираясь на работу Мэя и свои исследования турбулентности. Его теория отражала естественный закон, который относится ко всем системам, испытывающим переход от упорядоченного состояния к хаосу. Йорк, Мэй и Файгенбаум первыми на Западе в полной мере осознали важность удвоения периодов и сумели передать эту идею всему научному сообществу. Мэй заявлял, что хаос необходимо преподавать.

Советские математики и физики продвигались в своих исследованиях независимо от зарубежных коллег. Начало изучению хаоса положили работы А. Н. Колмогорова 50-х годов. Но и идеи зарубежных коллег не оставались без их внимания. Пионерами теории хаоса считаются советские математики Андрей Николаевич Колмогоров и Владимир Игоревич Арнольд и немецкий математик Юрген Мозер, построившие теорию хаоса, называемую КАМ (теория Колмогорова — Арнольда — Мозера). Другой наш выдающийся соотечественник, блестящий физик и математик Яков Григорьевич Синай, применил в термодинамике соображения, аналогичные «подкове Смейла». Едва в 70-х годах с работой Лоренца познакомились западные физики, как она приобрела известность и в СССР. В 1975 г., когда Йорк и Мэй еще прилагали немалые усилия к тому, чтобы добиться внимания коллег, Синай и его товарищи организовали в Горьком исследовательскую группу для изучения этой проблемы.

В прошлом веке, когда узкая специализация и разобщение между различными дисциплинами стали в науке нормой, математики, физики, биологи, химики, физиологи, экономисты бились над схожими задачами, не слыша друг друга. Идеи, требующие изменения привычного мировоззрения, всегда с трудом пробивают себе путь. Однако постепенно стало ясно, что такие вещи, как изменение популяций животных, колебания цен на рынке, перемена погоды, распределение небесных тел по размерам и многое, многое другое, — подчиняются одним закономерностям. «Осознание этого факта заставило менеджеров пересмотреть отношение к страховке, астрономов — под другим углом зрения взглянуть на Солнечную систему, политиков — изменить мнение о причинах вооруженных конфликтов» [1].

К середине 80-х годов ситуация сильно изменилась. Идеи фрактальной геометрии объединили ученых, озадаченных собственными наблюдениями и не знавшими, как их интерпретировать. Для исследователей хаоса математика стала экспериментальной наукой, компьютеры заменили собой лаборатории. Графические изображения приобрели первостепенную важность. Новая наука дала миру особый язык, новые понятия: фазовый портрет, аттрактор, бифуркация, сечение фазового пространства, фрактал.

Бенуа Мандельброт, опираясь на идеи и работы предшественников и современников, показал, что такими сложными процессами, как рост дерева, образование облаков, вариации экономических характеристик или численности популяций животных управляют сходные, по сути, законы природы. Это определенные закономерности, по которым живет хаос. С точки зрения природной самоорганизации они намного проще, чем искусственные формы, привычные цивилизованному человеку. Сложными их можно признать лишь в контексте евклидовой геометрии, поскольку фракталы определяются посредством задания алгоритма, и, следовательно, могут быть описаны с помощью небольшого объема информации.

Фрактальная геометрия природы

Капуста Романеско, родственница хорошо всем знакомой цветной капусты. Фото В. Ц. Бонджоловой

Давайте попробуем разобраться, что же такое фрактал и «с чем его едят». А съесть некоторые из них действительно можно, как, например, типичного представителя, показанного на фотографии.

Слово фрактал происходит от латинского fractus — дробленый, сломанный, разбитый на куски. Под фракталом подразумевается математическое множество, обладающее свойством самоподобия, т. е. масштабной инвариантности.

Термин «фрактал» был придуман Мандельбротом в 1975 г. и получил широкую популярность с выходом в 1977 г. его книги «Фрактальная геометрия природы» [9]. «Дайте чудовищу какое-нибудь уютное, домашнее имя, и вы удивитесь, насколько легче будет его приручить!» — говорил Мандельброт. Это стремление сделать исследуемые объекты (математические множества) близкими и понятными привело к рождению новых математических терминов, таких как пыль, творог, сыворотка, наглядно демонстрирующих их глубинную связь с природными процессами.

Математическое понятие фрактала выделяет объекты, обладающие структурами различных масштабов, как больших, так и малых, и, таким образом, отражает иерархический принцип организации. Конечно, различные ветви дерева, например, не могут быть точно совмещены друг с другом, но их можно считать подобными в статистическом смысле. Точно так же формы облаков, очертания гор, линия морского берега, рисунок пламени, сосудистая система, овраги, молния, рассматриваемые при различных масштабах, выглядят подобными. Хотя эта идеализация и может оказаться упрощением действительности, она существенно увеличивает глубину математического описания природы.

Понятие «природный фрактал» Мандельброт ввел для обозначения естественных структур, которые могут быть описаны с помощью фрактальных множеств. Эти природные объекты включают в себя элемент случайности. Созданная Мандельбротом теория позволяет количественно и качественно описывать все те формы, которые ранее назывались спутанными, волнистыми, шероховатыми и т. д.

Интересно проследить путь, которым Мандельброт шел к своим открытиям. Бенуа родился в Варшаве в 1924 г., в 1936 семья эмигрировала в Париж. Окончив Политехническую школу, а затем и университет в Париже, Мандельброт переехал в США, где отучился еще и в Калифорнийском технологическом институте. В 1958 г. он устроился в научно-исследовательский центр IBM в Йорктауне. Несмотря на чисто прикладную деятельность компании, занимаемая должность позволяла ему вести исследования в самых разных областях. Работая в области экономики, молодой специалист занялся изучением статистики цен на хлопок за большой период времени (более 100 лет). Анализируя симметрию длительных и кратковременных колебаний цен, он заметил, что эти колебания в течение дня казались случайными и непредсказуемыми, однако последовательность таких изменений не зависела от масштаба. Для решения этой задачи он впервые использовал свои разработки будущей фрактальной теории и графическое отображение исследуемых процессов.

Интересуясь самыми разными областями науки, Мандельброт обратился к математической лингвистике, затем наступил черед теории игр. Он также предложил собственный подход к экономике, указав на упорядоченность масштабов в распространении малых и больших городов. Изучая малоизвестную работу английского ученого Льюиса Ричардсона, вышедшую после смерти автора, Мандельброт столкнулся с феноменом береговой линии. В статье «Какова длина береговой линии Великобритании?» [10] он подробно исследует этот вопрос, над которым мало кто задумывался до него, и приходит к неожиданным выводам: длина береговой линии равна. бесконечности! Чем точнее вы стараетесь ее измерить, тем большим получается ее значение!

Для описания подобных явлений Мандельброту пришло в голову отталкиваться от идеи размерности. Фрактальная размерность объекта служит количественной характеристикой одной из его особенностей, а именно — заполнения им пространства.

Лес, нарисованный на оконном стекле художником-морозом (дендриты кристаллов льда)

Определение понятия фрактальной размерности восходит к работе Феликса Хаусдорфа, опубликованной в 1919 г., и было окончательно сформулировано Абрамом Самойловичем Безиковичем. Фрактальная размерность — мера детализации, изломанности, неровности фрактального объекта. В евклидовом пространстве топологическая размерность всегда определяется целым числом (размерность точки — 0, линии — 1, плоскости — 2, объемного тела — 3). Если проследить, например, проекцию на плоскость движения броуновской частицы, которая вроде бы должна состоять из отрезков прямой, т. е. иметь размерность 1, очень скоро окажется, что след ее заполняет почти всю плоскость. Но размерность плоскости — 2. Расхождение между этими величинами и дает нам право отнести данную «кривую» к фракталам, а ее промежуточную (дробную) размерность называть фрактальной. Если рассмотреть хаотическое движение частицы в объеме, фрактальная размерность траектории окажется больше 2, но меньше 3. Артерии человека, например, имеют фрактальную размерность примерно 2,7. Упомянутые в начале статьи результаты Иванова, относящиеся к измерению площади пор силикагеля, которые не могут быть истолкованы в рамках обычных евклидовых представлений, при использовании теории фракталов находят разумное объяснение [4].

Итак, с математической точки зрения, фракталом называется множество, для которого размерность Хаусдорфа — Безиковича строго больше его топологической размерности и может быть (а чаще всего и является) дробной.

Необходимо особо подчеркнуть, что фрактальная размерность объекта не описывает его форму, и объекты, имеющие одинаковую размерность, но порожденные различными механизмами образования, зачастую совершенно не похожи друг на друга. Физические фракталы обладают скорее статистическим самоподобием.

Дробное измерение позволяет вычислять характеристики, которые не могут быть четко определены иным путем: степени неровности, прерывистости, шероховатости или неустойчивости какого-либо объекта. Например, извилистая береговая линия, несмотря на неизмеримость ее длины, обладает присущей только ей шероховатостью. Мандельброт указал пути расчета дробных измерений объектов окружающей действительности. Создавая свою геометрию, он выдвинул закон о неупорядоченных формах, которые встречаются в природе. Закон гласил: степень нестабильности постоянна при различных масштабах.

Особую разновидность фракталов составляют временные фракталы. В 1962 г. Мандельброт столкнулся с задачей по устранению шумов в телефонных линиях, которые вызвали проблемы для компьютерных модемов. Качество передачи сигнала зависит от вероятности возникновения ошибок. Инженеры бились над проблемой уменьшения шумов, придумывая головоломные и дорогостоящие приемы, но не получали впечатляющих результатов. Опираясь на работу основателя теории множеств Георга Кантора, Мандельброт показал, что возникновения шумов — порождения хаоса — невозможно избежать в принципе, поэтому предложенные способы борьбы с ними не принесут результата. В поисках закономерности возникновения шумов он получает «канторову пыль» — фрактальную последовательность событий. Интересно, что тем же закономерностям подчиняется распределение звезд в Галактике:

«Вещество», однородно распределенное вдоль инициатора (единичный отрезок временной оси), подвергается воздействию центробежного вихря, который «сметает» его к крайним третям интервала. Створаживанием можно называть любой каскад неустойчивых состояний, приводящий в итоге к сгущению вещества, а термин творог может определять объем, внутри которого некая физическая характеристика становится — в результате створаживания — чрезвычайно концентрированной. [9]

Хаотические явления, такие как турбулентность атмосферы, подвижность земной коры и т. д., демонстрируют сходное поведение в различных временных масштабах подобно тому, как объекты, обладающие инвариантностью к масштабу, обнаруживают сходные структурные закономерности в различных пространственных масштабах.

В качестве примера приведем несколько характерных ситуаций, где полезно использовать представления о фрактальной структуре. Профессор Колумбийского университета Кристофер Шольц специализировался на изучении формы и строения твердого вещества Земли, он изучал землетрясения. В 1978 г. он прочитал книгу Мандельброта «Фракталы: форма, случайность и размерность» и попытался применить теорию к описанию, классификации и измерению геофизических объектов. Шольц выяснил, что фрактальная геометрия снабдила науку эффективным методом описания специфичного бугристого ландшафта Земли. Фрактальное измерение ландшафтов планеты открывает двери к постижению ее важнейших характеристик. Металлурги обнаружили то же самое на другом масштабном уровне — применительно к поверхностям различных типов стали. В частности, фрактальное измерение поверхности металла зачастую позволяет судить о его прочности. Огромное количество фрактальных объектов продуцирует явление кристаллизации. Самый распространенный тип фракталов, возникающих при росте кристаллов, — дендриты, они чрезвычайно широко распространены в живой природе. Ансамбли наночастиц часто демонстрируют реализацию «пыли Леви». Эти ансамбли в сочетании с абсорбированным растворителем образуют прозрачные компакты — стекла Леви, потенциально важные материалы фотоники [11].

Микрофотографии различных веществ, сделанные с помощью электронного микроскопа: фторид иттрия (а), алюмоиттриевый гранат (б), окись магния (в), фторид бария (г). Фото С. В. Лаврищева

Поскольку фракталы выражаются не в первичных геометрических формах, а в алгоритмах, наборах математических процедур, понятно, что такая область математики стала развиваться семимильными шагами вместе с появлением и развитием мощных компьютеров. Хаос, в свою очередь, вызвал к жизни новые компьютерные технологии, специальную графическую технику, которая способна воспроизводить удивительные структуры невероятной сложности, порождаемые теми или иными видами беспорядка. В век Интернета и персональных компьютеров то, что представляло значительную сложность во времена Мандельброта, стало легко доступным любому желающему. Но самым важным в его теории стало, разумеется, не создание красивых картинок, а вывод, что данный математический аппарат пригоден для описания сложных природных явлений и процессов, которые раньше не рассматривались в науке вообще. Репертуар алгоритмических элементов неисчерпаем.

Овладев языком фракталов, можно описать форму облака так же четко и просто, как архитектор описывает здание с помощью чертежей, в которых применяется язык традиционной геометрии. Прошло всего несколько десятилетий с тех пор, как Бенуа Мандельброт заявил: «Геометрия природы фрактальна!», на сегодняшний день мы уже можем предположить намного больше, а именно что фрактальность — это первоочередной принцип построения всех без исключения природных объектов. [12]

В заключение позвольте представить вашему вниманию набор фотографий, иллюстрирующих этот вывод, и фракталов, построенных с помощью компьютерной программы Fractal Explorer. А проблеме использования фракталов в физике кристаллов будет посвящена наша следующая статья.

Фотографии природных объектов, демонстрирующих фрактальное строение, и фракталы, построенные с помощью компьютерной программы Fractal Explorer: вид на Землю с самолета (а, участки земли, расчерченные на многоугольники, береговая линия протоков и рукавов рек, так же, как и облака, демонстрируют статистическое самоподобие); переплетение древесных ветвей (б); завихрения водного потока (в); морозные узоры на стекле (г); колонии водорослей и моллюсков (д); типичные дендриты, часто встречающиеся в природе, здесь — гриб Hericium coralloides (е). Фото автора

Post Scriptum

С 1994 по 2013 г. в пяти томах вышел уникальный труд отечественных ученых «Атлас временных вариаций природных антропогенных и социальных процессов» [13] — не имеющий аналогов источник материалов, который включает в себя данные мониторинга космоса, биосферы, литосферы, атмосферы, гидросферы, социальной и техногенной сфер и сферы, связанной со здоровьем и качеством жизни человека. В тексте подробно приводятся данные и результаты их обработки, сопоставляются особенности динамики временных рядов и их фрагментов. Унифицированное представление результатов дает возможность получить сопоставимые результаты для выявления общих и индивидуальных черт динамики процессов и причинно-следственных связей между ними. На экспериментальном материале показано, что процессы в разных сферах, во-первых, схожи, а во-вторых, в большей или меньшей степени связаны друг с другом.

Итак, атлас обобщил результаты междисциплинарных исследований и представил сравнительный анализ совершенно различных данных в широчайшем диапазоне времени и пространства. Книга показывает, что «протекающие в земных сферах процессы обусловлены большим числом взаимодействующих факторов, которые в разных областях (и в разное время) вызывают разную реакцию», что говорит о «необходимости комплексного подхода к анализу геодинамических, космических, социальных, экономических и медицинских наблюдений». Остается выразить надежду на то, что эти фундаментальные по значимости работы будут продолжены.

* Диффеоморфизмы Аносова — введенный Д. В. Аносовым класс отображений с хаотической динамикой, устойчивой относительно малых возмущений.

Источник