Что такое ортогональность сигналов

Что такое ортогональность сигналов

Введя в множестве сигналов структуру линейного пространства, определив норму и метрику, мы, тем не менее, лишены возможности вычислить такую характеристику, как угол между двумя векторами.

Это, удается сделать, сформулировав важное понятие скалярного произведения элементов линейного пространства.

Скалярное произведение сигналов.

Напомним, что если в обычном трехмерном пространстве известны два вектора А и то квадрат модуля их суммы

где — скалярное произведение этих векторов, зависящее от угла между ними.

Действуя по аналогии, вычислим энергию суммы двух сигналов

Сравнивая между собой формулы (1.18) и (1.19), определим скалярное произведение вещественных сигналов :

а также косинус угла между ними:

Скалярное произведение обладает свойствами:

1.

2.

3. , где — вещественное число;

4.

Линейное пространство с таким скалярным произведением, полное в том смысле, что оно содержит в себе все предельные точки любых сходящихся последовательностей векторов из этого пространства, называется вещественным гильбертовым пространством Н.

Справедливо фундаментальное неравенство Кошн — Буняковского

Если сигналы принимают комплексные значения, то можно определить комплексное гильбертово пространство, введя в нем скалярное произведение по формуле

такое, что .

Пример 1.11. Имеются два смещенных во времени экспоненциальных импульса (В):

Найти скалярное произведение данных сигналов, а также угол между ними.

Энергии этих сигналов одинаковы:

Отсюда .

Ортогональные сигналы и обобщенные ряды Фурье.

Два сигнала называются ортогональными, если их скалярное произведение, а значит, и взаимная энергия равны нулю:

Пусть Н — гильбертово пространство сигналов с конечным значением энергии. Эти сигналы определены на отрезке времени конечном или бесконечном. Предположим, что на этом же отрезке задана бесконечная система функций ортогональных друг другу и обладающих единичными нормами:

Говорят, что при этом в пространстве сигналов задан ортонормированный базис.

Разложим произвольный сигнал в ряд:

Представление (1.27) называется обобщенным рядом Фурье сигнала в выбранном базисе.

Коэффициенты данного ряда находят следующим образом: Возьмем базисную функцию с произвольным номером k, умножим на нее обе части равенства (1.27) и затем проинтегрируем результаты по времени:

Ввиду ортонормированности базиса в правой части равенства (1.28) останется только член суммы с номером поэтому

Возможность представления сигналов посредством обобщенных рядов Фурье является фактом большого принципиального значения. Вместо того чтобы изучать функциональную зависимость в несчетном множестве точек, мы получаем возможность характеризовать эти сигналы счетной (но, вообще говоря, бесконечной) системой коэффициентов обобщенного ряда Фурье с.

Примеры ортонормированных базисов.

Способы построения систем взаимно ортогональных функций подробно изучены в математике (см., например, [7]). Здесь в качестве примеров будут описаны две наиболее важные и распространенные системы.

Ортонормированная система гармонических функций. Читатель может самостоятельно убедиться в том, что на отрезке система тригонометрических функций с кратными частотами, дополненная постоянным сигналом.

образует ортонормированный базис.

Разложение периодических функций в ряды Фурье по этой системе будет подробно рассмотрено в гл. 2.

Ортонормированная система функций Уолшр. В последнее время под влиянием методов обработки дискретных сигналов большое внимание уделяют ортонормированной системе функций Уолша, которые на отрезке своего существования принимают лишь значения ±1.

Введем безразмерное время и будем обозначать функцию Уолша, как это принято, символом Аналитическое описание данных функций довольно сложно (см. Приложения). Однако идею построения этой системы легко усмотреть из рис. 1.4, на котором изображены графики нескольких первых функций Уолша.

Очевидна нормированность функций Уолша при любом значении k:

Рис. 1.4. Графики нескольких первых функций Уолша

Ортогональность этих функций следует из принципа их построения и может быть проверена непосредственно. Например:

Разложение сигнала с. конечной энергией, заданного на отрезке времени в обобщенный ряд Фурье функциям Уолша имеет вид

Пример 1.12. Найти перше два коэффициента в разложении гимпульса треугольной формы по системе функций Уолша.

На отрезке времени разлагаемый сигнал описывается функцией

Вычисляем коэффициенты обобщенного ряда Фурье:

Итак, при аппроксимации колебания треугольной формы двумя первыми членами ряда по системе функций Уолша получается приближенное представление ступенчатой формы. Отметим, что с точки зрения введенной выше энергетической нормы уже такая грубая аппроксимация является удовлетворительной. Действительно, энергия исходного сигнала

в то время как энергия разности

составляет лишь или 6,25% от энергии апроксимируемого сигнала.

Энергия сигнала, представленного в форме обобщенного ряда Фурье.

Рассмотрим некоторый сигнал , разложенный в ряд по ортонормированной базисной системе:

и вычислим его энергию, непосредственно подставив, этот ряд в соответствующий интеграл:

Поскольку базисная система функций ортонормнрована, в сумме (1.32) отличными от нуля окажутся только члены с номерами . Отсюда получается замечательный результат:

Смысл этой формулы таков: энергия сигнала есть сумма энергий всех компонент, из которых складывается обобщенный ряд Фурье.

Оптимальность разложения сигнала по ортогональному базису. Для сигналах введем конечномерную аппроксимацию:

с не известными пока коэффициентами с и выберем эти коэффициенты так, чтобы минимизировать энергию ошибки аппроксимации:

Необходимое условие минимума состоит в том, что коэффициенты должны удовлетворять системе линейных уравнений

В развернутой форме энергия ошибки аппроксимации

Поскольку рассматриваемая базисная система функций ортогональна, отсюда следует, что

Приняв во внимание единичную норму базисных функций, приходим к выводу, что равенства (1.35) будут выполняться, если

что полностью совпадает с выражением (1.29) для коэффициентов обобщенного ряда Фурье,

Более тщательный анализ (на нем здесь не останавливаемся), когда рассматривается также вторая производная энергии ошибки, показывает, что при разложении сигнала в обобщенный ряд Фурье обеспечивается не просто экстремум, а именно минимум энергии ошибки аппроксимации.

Напомним в заключение, что гильбертово пространство сигналов, по определению, обладает важным свойством полноты: если предельное значение суммы

существует, то этот предел сам является некоторым элементом гильбертова пространства.

В полном функциональном пространстве норма ошибки аппроксимации монотонно убывает с ростом N — числом учитываемых членов ряда. Выбирая N достаточно большим, всегда можно снизить норму ошибки до любой приемлемо малой величины.

Аппаратурная реализация ортогонального разложения сигнала.

Рассмотрим структурную схему устройства для экспериментального определения коэффициентов разложения аналогового сигнала в обобщенный ряд Фурье по заданной системе ортонормированных базисных функций (рис. 1.5).

Основными элементами здесь являются генераторы тех базисных функций, по которым проводится разложение. Анализируемый сигнал одновременно подается на совокупность множительных звеньев, осуществляющих перемножение этого сигнала и соответствующей базисной функции. С. выходов перемножителей сигналы поступают на интеграторы. При таком методе обработки сигнала в конце промежутка времени интегрирования на выходе каждого интегратора возникает неизменный во времени уровень, величина которого в соответствии с формулой (1.29) в точности равна тому или иному коэффициенту обобщенного ряда Фурье.

Рис. 1.5. Структурная схема устройства для аппаратурного анализа сигналов

Ясно, что работоспособность системы в целом будет зависеть от того, насколько точно удается воссоздать базисные функции, а также от совершенства функционирования перемножителей и интеграторов.

Система, изображенная на рис. 1.5, важна и в прикладном, и в теоретическом смысле. Анализируя ее, еще раз убеждаемся, что вся информация, заключенная в сигнале, может быть представлена в виде хотя и бесконечной, но все же счетной совокупности чисел.

Источник

Просто о сложном: OFDM-модуляция

Введение

Изучая теорию технологий беспроводных сетей доступа или сетей сотовой связи, неизбежно, так или иначе, можно столкнуться с такой аббревиатурой, как OFDM. Обратившись к википедии, мы обнаружим там следующее: «OFDM (англ. Orthogonal frequency-division multiplexing) — мультиплексирование с ортогональным частотным разделением каналов, является цифровой схемой модуляции, которая использует большое количество близко расположенных ортогональных поднесущих. Каждая поднесущая модулируется по обычной схеме модуляции (например, квадратурная амплитудная модуляция) на низкой символьной скорости, сохраняя общую скорость передачи данных, как и у обычных схем модуляции одной несущей в той же полосе пропускания. На практике сигналы OFDM получаются путём использования БПФ (быстрое преобразование Фурье)».

Думаю после прочтения данного объяснения для большинства читателей тема OFDM как была непонятной, так ей и осталась. Это неудивительно, поскольку при описании используются довольно нетривиальные и непростые термины. Рядовой читатель спросит, что это еще за ортогональное частотное разделение каналов? Тот, кто хотя бы частично знаком со спектральным анализом может удивиться, откуда здесь взялось быстрое преобразование Фурье?

В данной статье сделана попытка объяснить суть OFDM модуляции простым языком, так сказать «на пальцах» без сильного углубления в математический анализ и теорию цифровой обработки сигналов.

Краткая биография OFDM

Параллельная передача данных с частотным разделением была придумана еще в середине 60-х годов прошлого века и использовалась, как и большинство известных сегодня технологий, сначала только в военных системах. В те времена военные, используя OFDM, уже осуществляли параллельную передачу данных с использованием 34 поднесущих.

В 1980-х стали рассматривать применение OFDM в коммерческих системах: в первую очередь в высокоскоростных модемах и цифровых мобильных сетях. В 1990-х OFDM модуляцию стали использовать в цифровом радиовещании (DAB), в наземном телевещании, при передаче видео высокой четкости HDTV, а также в известных технологиях последней мили ADSL, HDSL.

Долгое время OFDM не находила весьма широкого распространения в других системах связи по причине сложной технической реализации. Решение задачи формирования OFDM сигнала аналоговыми методами весьма проблематично. Развитие вычислительных систем и методов цифровой обработки сигналов позволяет применять сегодня OFDM модуляцию в самых различных системах – от радио до проводных линий и даже волоконно-оптических.

В чем же смысл OFDM?

Несмотря на то, что метод дословно расшифровывается как мультиплексирование с ортогональным частотным разделением, его все-таки в первую очередь относят к методам цифровой модуляции. Дело в том, что метод OFDM использует одновременно и модуляцию и мультиплексирование, но мультиплексирование особенное. Обычное мультиплексирование подразумевает объединение различных сигналов от разных источников, здесь же происходит объединение составных частей одного и того же сигнала.

Постараемся объяснить все на простом примере. Представьте, что нам надо передать из одного пункта в другой стеклянный витраж. Для этого в нашем распоряжении есть некоторый ресурс, допустим 4 тележки (в случае передачи информации в качестве ресурса можно было бы считать доступный для передачи диапазон частот).

В случае OFDM мы разбираем наш стеклянный витраж на некоторое определенное количество частей, для примера пусть их будет 4. Далее каждая тележка перевозит свою часть посылки (витража), при этом тележки катятся одновременно параллельно друг другу. Допустим на пути у нас встречается одна преграда в виде камня (в случае передачи информации – узкополосная помеха). Одна из тележек наезжает на камень, соответственно одна из частей посылки не доходит до пункта приема.

Однако большее количество частей витража все-таки было корректно получено, поэтому с помощью интуиции и волшебства (помехоустойчивого кодирования), есть шанс восстановить недостающую в результате падения одной тележки часть посылки.

Как бы все было, не применяя OFDM? При традиционном подходе для наискорейшей передачи всей посылки мы также задействуем все доступные ресурсы, но будем транспортировать витраж целиком на всех 4 тележках (используем высокоскоростной метод модуляции, занимающий всю полосу канала). Допустим, на пути у нас также встречается одна преграда в виде камня. В результате одна из тележек наезжает на камень, витраж падает и разбивается вдребезги.

Алгоритма, по которому в данном случае распался на части наш витраж, мы не знаем, поэтому собрать по кусочкам заново мы его не можем. Итог: целый витраж не доехал до пункта приема (потерян немалый объем данных, здесь даже помехоустойчивое кодирование нас не спасет). Таким образом, можно сказать, что один из основных девизов OFDM: «не надо класть все яйца в одну корзину».

Одной из особенностью OFDM является то, что все тележки могут двигаться параллельно практически вплотную и при этом не мешать друг другу. При передаче информации роль тележек выполняют поднесущие сигналы, т.е. множество несущих колебаний (если забыли, что это такое, почитайте в любом учебнике основы модуляции). Вспомним фильм Терминатор 2 и представим, что тележки сделаны из жидкого металла. В связи с этим даже если при движении пути тележек частично перекрываются, они не мешают друг другу, комфортно сосуществуют вместе и движутся дальше. Существует аналогичный эффект по отношению к передаче сигналов – ортогональность сигналов. Обычно для объяснения термина ортогональность сигналов приводят интегральное математическое выражение. Однако поскольку было дано обещание объяснять все на пальцах, можно просто уяснить следующее. Ортогональные сигналы обладают замечательным свойством – их взаимная энергия равна нулю. Ортогональность поднесущих позволяет на приёме выделить каждую из них из общего сигнала даже в случае частичного перекрытия их спектров. Поскольку поднесущие располагаются вплотную друг к другу и даже частично накладываются друг на друга (см. рис. 3) спектральная эффективность модулированного OFDM сигнала получается высокой.

Рис. 3 – Изображение поднесущих на частотной оси

Как видно из рисунка, каждая поднесущая представлена отдельным пиком. Обратите внимание, что в точке пика каждой поднесущей значение остальных поднесущих равно нулю. На оси времени каждой кривой соответствует свой модулированный сигнал. Сумма всех этих сигналов дает сложный по форме OFDM-сигнал.

Параметры поднесущих сигналов (например, синусойд) подбираются таким образом, чтобы они были по отношению друг к другу ортогональны. Для быстрой реализации данного действия с помощью вычислительных устройств используют алгоритм обратного быстрого преобразования Фурье (ОБПФ). То есть мы нарочно представляем, что значения сигнала перед блоком ОБПФ относятся к частотной области. Тогда на выходе блока ОБПФ мы получаем значения сигнала на временной оси. Объединяя все значения, мы получаем сложный составной OFDM сигнал.

Важно отметить, что в данной упрощенной схеме представлены не все блоки, имеющиеся в реальных системах с OFDM. Здесь для упрощения схемы не приведены блоки добавления защитных бит и циклического префикса, являющегося неотъемлемой частью технологии.

В виду того, что ОБПФ работает эффективно с массивами размерности 2^k, количество поднесущих выбирается аналогичной кратности. Например, в WiMAX число поднесущих выбирается от 128 до 2048 и может занимать полосы частот от 1,25 МГц до 20 МГц.

Для каждой из поднесущих используется свой формат модуляция в зависимости от требований и величины помех в канале.

На приемном конце все блоки приведенной выше схемы инвертируются (вместо ЦАП ставится АЦП, вместо обратного БПФ – прямое БПФ) и ставятся в обратном порядке.

В чем же заключается изюминка OFDM, что обусловило его популярность во всех современных системах связи?

Текущее применение OFDM. На сегодняшний день наиболее известно применение OFDM модуляции в беспроводных системах связи Wi-Fi, WiMax, LTE, в наземных системах цифрового телевидения DVB-T, в системах кабельного телевидения DVB-C, в технологии ADSL и это далеко не все примеры.

Важно отметить, что в данной статье рассмотрены только некоторые основные моменты OFDM. Если вы хотите разобраться в этой теме более серьезно, то стоит обратить внимание также на такие моменты как добавление циклического префикса для устранения помех и борьбы с замираниями, процедуры тактовой и фазовой синхронизации, использование пилотных поднесущих и др.

Источник