Что такое ортоцентр треугольника
Свойства высот треугольника. Ортоцентр
Схема 1. В треугольнике АВС проведены высоты АМ и СК.
Н – точка пересечения высот треугольника (ортоцентр), Н=АМ∩СК
Запомните этот рисунок. Перед вами – схема, из которой можно получить сразу несколько полезных фактов.
1. Треугольники МВК и △АВС, подобны, причем коэффициент подобия
, если 
, и 
, если 
Докажем эти факты по порядку.
1) Заметим, что на рисунке есть подобные треугольники. Это АВМ и СВК, прямоугольные треугольники с общим углом В, и они подобны по двум углам
Мы получили, что в треугольниках МВК и АВС стороны, прилежащие к углу В, пропорциональны. Получаем, что по углу и двум сторонам.
4) По теореме синусов, радиус окружности, описанной вокруг треугольника АВС,
Задача ЕГЭ по теме «Высоты треугольника» (Профильный уровень, №16)
2. В остроугольном треугольнике KMN проведены высоты KB и NA.
а) Докажите, что угол ABK равен углу ANK.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABM, если известно, что и
Ортоцентр
Ортоцентр (от греч. ορθοξ — прямой) — точка пересечения высот треугольника или их продолжений. Традиционно обозначается латинской буквой H. В зависимости от вида треугольника ортоцентр может находиться внутри треугольника (в остроугольных), вне его (в тупоугольных) или совпадать с вершиной (в прямоугольных — совпадает с вершиной при прямом угле).
Содержание
Свойства
История
См. также
Литература
Ссылки
Полезное
Смотреть что такое «Ортоцентр» в других словарях:
ортоцентр — ортоцентр … Орфографический словарь-справочник
ОРТОЦЕНТР — (от греч. orthos прямой правильный и центр), точка пересечения трех высот треугольника … Большой Энциклопедический словарь
ОРТОЦЕНТР — ОРТОЦЕНТР, ортоцентра, муж. (от греч. orthos правильный и лат. centrum центр) (мат.). Точка пересечения трех высот треугольника. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова
ортоцентр — сущ., кол во синонимов: 1 • точка (100) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 … Словарь синонимов
Ортоцентр — (от греч. orthós прямой, правильный и лат. centrum центр) точка пересечения трёх высот треугольника (см. рис.). Во всяком треугольнике точка пересечения медиан, центр описанного круга и О. лежат на одной прямой. Рис. к ст … Большая советская энциклопедия
ортоцентр — (от греч. orthós прямой, правильный и центр), точка пересечения трёх высот треугольника. * * * ОРТОЦЕНТР ОРТОЦЕНТР (от греч. orthos прямой, правильный и центр (см. ЦЕНТР (в математике))), точка пересечения трех высот треугольника … Энциклопедический словарь
ортоцентр — ортоцентр, ортоцентры, ортоцентра, ортоцентров, ортоцентру, ортоцентрам, ортоцентр, ортоцентры, ортоцентром, ортоцентрами, ортоцентре, ортоцентрах (Источник: «Полная акцентуированная парадигма по А. А. Зализняку») … Формы слов
ОРТОЦЕНТР — треугольника точка пересечения трех высот треугольника. О. треугольника лежит на Эйлера прямой. Середины трех сторон, середины отрезков, соединяющих О. с тремя вершинами, и основания высот треугольника лежат на одной окружности. О. является… … Математическая энциклопедия
ОРТОЦЕНТР — (от греч. orthоs прямой, правильный и центр), точка пересечения трёх высот треугольника … Естествознание. Энциклопедический словарь
Что такое высота
Если из вершины опустить перпендикуляр на противоположную сторону, получится отрезок, который именуется высотой. В равнобедренном треугольнике 2 отрезка равны, а в равностороннем равны все 3.
У фигур с углами 90 и более градусов высота попадает на противоположную сторону. В случае острого угла дело обстоит иначе. Прямая попадет только на продолжение противоположной стороны и будет находиться вне самой фигуры. Таким образом, если все углы острые, отрезки будут находиться внутри, как и ортоцентр. В тупоугольной фигуре два из трех отрезков будут проходить за его пределами — ортоцентр окажется вне фигуры.
Свойства ортоцентра
Свойства высот треугольника, пересекающихся в одной точке, давно изучены и описаны. Согласно основному из них, все 3 высоты всегда пересекаются в одном месте. Иногда, чтобы найти это место, отрезки нужно продлить, превратив в ортогональные прямые.
Ортоцентр по отношению к фигуре может быть расположен:
Ортоцентр — важная в геометрии характеристика, влияющая на нахождение золотого сечения.
Так называется маленький треугольник, расположенный внутри основного, находящийся на пересечении его трех параметров:
Золотое сечение может представлять собой не только треугольную фигуру, но и отрезок. В правильном треугольнике медианы, биссектрисы и высоты совпадают, значит, золотое сечение превращается в точку.
Полезные факты
Местонахождение ортоцентра имеет некоторые закономерности. Их знание принесет пользу при решении задач.
Пусть:
Тогда:
Задача Фаньяно
Это классическая теорема. Она возникла в процессе поиска фигур с наименьшим периметром. Теорему доказал Фаньяно — итальянский математик и инженер. Это произошло еще в начале XVIII века.
Формулировка: ортотреугольник, то есть фигура, полученная соединением трех оснований треугольника, проведенный внутри остроугольного треугольника, имеет самый маленький периметр изо всех возможных, вписанных в данную фигуру.
Площадь ортотреугольника рассчитывается по формуле:
Здесь S — площадь, а, b, c — стороны.
Существует понятие ортоцентрической системы. Оно включает в себя 3 вершины и место пересечения их высот. Любая из данных четырех точек будет являться ортоцентром треугольника, образованного тремя остальными.
История изучения
Важное значение имеет место пересечения медиан или центр тяжести. Вместе с ортоцентром это еще одна «замечательная точка», которая была известна еще древним грекам. Так их стали называть начиная с 18 века, другое название «особенные».
Исследование этих точек стало началом для создания геометрии треугольника, основателем которой считается Леонард Эйлер. Ученый показал, что в любом треугольнике точки соединения высот, медиан и центр описанного круга находятся на одной линии, которую позже назвали прямой Эйлера.
В позапрошлом веке была обнаружена окружность 9 точек или Фейербаха. Она состоит из оснований медиан, высот и центров высот. Оказалось, что все эти точки лежат на общей окружности, центр которой находится на линии Эйлера.
Каждый отрезок, прочерченный из ортоцентра до соединения с описанной окружностью, всегда будет делиться линией Эйлера на 2 равные части.
Треугольник — удивительная фигура, изучением которой занимается целый раздел геометрии. Ортоцентр и его свойства имеют широкое применение в практической жизни, например, в строительстве. Этот показатель настолько важен и распространен, что существуют калькуляторы, позволяющие определить местонахождение точки по координатам вершин.
Ортоцентр треугольника. Ортотреугольник. Свойства ортоцентра треугольника
Ортоцентр — точка пересечения высот треугольника или их продолжений. Традиционно обозначается латинской буквой H. В зависимости от вида треугольника ортоцентр может находиться внутри треугольника (в остроугольных), вне его (в тупоугольных) или совпадать с вершиной (в прямоугольных — совпадает с вершиной при прямом угле).
Если в четвёрке точек A, B, C, D точка D является точкой пересечения высот треугольника ABC, то и любая из четырёх точек является ортоцентром треугольника, образованного тремя остальными точками. Такую четвёрку иногда называют ортоцентрической системой точек.
Радиусы окружностей проходящих через любые три точки ортоцентрической системы равны.
Ортоцентр лежит на одной прямой с центроидом, центром описанной окружности и центром окружности девяти точек (см. прямая Эйлера).
Ортоцентр остроугольного треугольника является центром окружности, вписанной в его ортотреугольник.
Центр описанной около треугольника окружности служит ортоцентром треугольника с вершинами в серединах сторон данного треугольника.
Точки, симметричные ортоцентру относительно его сторон, лежат на описанной окружности.
Точки, симметричные ортоцентру относительно середин сторон, также лежат на описанной окружности и совпадают с точками, диаметрально противоположными соответствующим вершинам.
Если О — центр описанной окружности ΔABC, то 
.
Расстояние от вершины треугольника до ортоцентра вдвое больше, чем расстояние от центра описанной окружности до противоположной стороны.
Ортотреуго́льник (ортоцентрический треугольник) треугольника ∆ABC — треугольник, вершины которого являются основаниями высот ∆ABC.
Свойства
2. Высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами углов его ортотреугольника (следовательно ортоцентр остроугольного треугольника является центром окружности, вписанной в его ортотреугольник).
3. Если точки A1, B1 и C1 на сторонах соответственно BC, AC и AB остроугольного треугольника ABC таковы, что
, 
и 
,
4. Точки касания вписанной в данный треугольник окружности соединены отрезками, и в полученном треугольнике проведены высоты. Тогда прямые, соединяющие основания этих высот, параллельны сторонам исходного треугольника.
7. Высоты треугольника являются биссектрисами ортотреугольника.
9. Периметр ортотреугольника равен удвоенному произведению высоты треугольника на синус угла, из которого она исходит.
Дата добавления: 2018-05-13 ; просмотров: 2467 ; Мы поможем в написании вашей работы!
Точка пересечения высот треугольника — свойства, координаты и расположение ортоцентра
Точка пересечения высот треугольника называется ортоцентром и традиционно обозначается латинской буквой H. «Ортос» в переводе с греческого означает «прямой», «правильный». Ортоцентр может находиться внутри фигуры и вне ее. Местоположение зависит только от самой фигуры и не зависит от порядка расположения сторон и вершин.
Что такое высота
Если из вершины опустить перпендикуляр на противоположную сторону, получится отрезок, который именуется высотой. В равнобедренном треугольнике 2 отрезка равны, а в равностороннем равны все 3.
У фигур с углами 90 и более градусов высота попадает на противоположную сторону. В случае острого угла дело обстоит иначе. Прямая попадет только на продолжение противоположной стороны и будет находиться вне самой фигуры. Таким образом, если все углы острые, отрезки будут находиться внутри, как и ортоцентр. В тупоугольной фигуре два из трех отрезков будут проходить за его пределами — ортоцентр окажется вне фигуры.
Свойства ортоцентра
Свойства высот треугольника, пересекающихся в одной точке, давно изучены и описаны. Согласно основному из них, все 3 высоты всегда пересекаются в одном месте. Иногда, чтобы найти это место, отрезки нужно продлить, превратив в ортогональные прямые.
Ортоцентр по отношению к фигуре может быть расположен:
Ортоцентр — важная в геометрии характеристика, влияющая на нахождение золотого сечения.
Так называется маленький треугольник, расположенный внутри основного, находящийся на пересечении его трех параметров:
Золотое сечение может представлять собой не только треугольную фигуру, но и отрезок. В правильном треугольнике медианы, биссектрисы и высоты совпадают, значит, золотое сечение превращается в точку.
Полезные факты
Местонахождение ортоцентра имеет некоторые закономерности. Их знание принесет пользу при решении задач.
Пусть:
Тогда:
Задача Фаньяно
Это классическая теорема. Она возникла в процессе поиска фигур с наименьшим периметром. Теорему доказал Фаньяно — итальянский математик и инженер. Это произошло еще в начале XVIII века.
Формулировка: ортотреугольник, то есть фигура, полученная соединением трех оснований треугольника, проведенный внутри остроугольного треугольника, имеет самый маленький периметр изо всех возможных, вписанных в данную фигуру.
Площадь ортотреугольника рассчитывается по формуле:
Здесь S — площадь, а, b, c — стороны.
Существует понятие ортоцентрической системы. Оно включает в себя 3 вершины и место пересечения их высот. Любая из данных четырех точек будет являться ортоцентром треугольника, образованного тремя остальными.
История изучения
Важное значение имеет место пересечения медиан или центр тяжести. Вместе с ортоцентром это еще одна «замечательная точка», которая была известна еще древним грекам. Так их стали называть начиная с 18 века, другое название «особенные».
Исследование этих точек стало началом для создания геометрии треугольника, основателем которой считается Леонард Эйлер. Ученый показал, что в любом треугольнике точки соединения высот, медиан и центр описанного круга находятся на одной линии, которую позже назвали прямой Эйлера.
В позапрошлом веке была обнаружена окружность 9 точек или Фейербаха. Она состоит из оснований медиан, высот и центров высот. Оказалось, что все эти точки лежат на общей окружности, центр которой находится на линии Эйлера.
Каждый отрезок, прочерченный из ортоцентра до соединения с описанной окружностью, всегда будет делиться линией Эйлера на 2 равные части.
Треугольник — удивительная фигура, изучением которой занимается целый раздел геометрии. Ортоцентр и его свойства имеют широкое применение в практической жизни, например, в строительстве. Этот показатель настолько важен и распространен, что существуют калькуляторы, позволяющие определить местонахождение точки по координатам вершин.