Формулы и свойства правильной четырехугольной пирамиды. Усеченная пирамида
Что такое пирамида в общем случае?
В геометрии под ней понимают объемную фигуру, получить которую можно, если соединить все вершины плоского многоугольника с одной единственной точкой, лежащей в другой плоскости, чем этот многоугольник. Рисунок ниже показывает 4 фигуры, которые удовлетворяют данному определению.
Вам будет интересно: Литовские статуты: даты и история изданий, регламент, хронология принятия статутов
Особым типом пирамид, которые от остальных представительниц класса отличаются идеальной симметрией, являются правильные пирамиды. Чтобы фигура была правильной, должны выполняться следующие два обязательных условия:
Отметим, что второе обязательное условие можно заменить иным: перпендикуляр, проведенный к основанию из вершины пирамиды (точка пересечения боковых треугольников), должен пересекать это основание в его геометрическом центре.
Правильная четырехугольная пирамида
Теперь перейдем к теме статьи и рассмотрим, какие свойства правильной четырехугольной пирамиды характеризуют ее. Сначала покажем на рисунке, как выглядит эта фигура.
Ее основание является квадратом. Боковые стороны представляют 4 одинаковых равнобедренных треугольника (они также могут быть равносторонними при определенном соотношении длины стороны квадрата и высоты фигуры). Опущенная из вершины пирамиды высота пересечет квадрат в его центре (точка пересечения диагоналей).
Эта пирамида имеет 5 граней (квадрат и четыре треугольника), 5 вершин (четыре из них принадлежат основанию) и 8 ребер. Ось симметрии четвертого порядка, проходящая через высоту пирамиды, переводит ее в саму себя путем поворота на 90o.
Египетские пирамиды в Гизе являются правильными четырехугольными.
Далее приведем формулы, позволяющие определить все характеристики этой фигуры.
Четыре основных линейных параметра
Начнем рассмотрение математических свойств правильной четырехугольной пирамиды с формул высоты, длины стороны основания, бокового ребра и апофемы. Сразу скажем, что все эти величины связаны друг с другом, поэтому достаточно знать только две из них, чтобы однозначно вычислить оставшиеся две.
Предположим, что известна высота h пирамиды и длина a стороны квадратного основания, тогда боковое ребро b будет равно:
Теперь приведем формулу для длины ab апофемы (высота треугольника, опущенная на сторону основания):
Очевидно, что боковое ребро b всегда больше апофемы ab.
Оба выражения можно применять для определения всех четырех линейных характеристик, если известны другие два параметра, например ab и h.
Площадь и объем фигуры
Эту формулу знает каждый школьник. Площадь боковой поверхности, которая образована четырьмя одинаковыми треугольниками, можно определить через апофему ab пирамиды так:
Если ab является неизвестной, то можно ее определить по формулам из предыдущего пункта через высоту h или ребро b.
Общая площадь поверхности рассматриваемой фигуры складывается из площадей So и Sb:
S = So + Sb = a2 + 2 × a × ab = a (a + 2 × ab)
Рассчитанная площадь всех граней пирамиды показана на рисунке ниже в виде ее развертки.
Описание свойств правильной четырехугольной пирамиды не будет полным, если не рассмотреть формулу для определения ее объема. Эта величина для рассматриваемой пирамиды вычисляется следующим образом:
То есть V равен третьей части произведения высоты фигуры на площадь ее основания.
Свойства правильной усеченной четырехугольной пирамиды
Получить эту фигуру можно из исходной пирамиды. Для этого необходимо срезать верхнюю часть пирамиды плоскостью. Оставшаяся под плоскостью среза фигура будет называться пирамидой усеченной.
Боковая поверхность усеченной фигуры образована не треугольниками, а равнобедренными трапециями.
Одним из важных свойств этой пирамиды является ее объем, который рассчитывается по формуле:
V = 1/3 × h × (So1 + So2 + √(So1 × So2))
Что такое ось правильной пирамиды
Пусть 
— 
-угольник, расположенный в некоторой плоскости, а 
— точка, не лежащая в этой плоскости.
Рассмотрим всевозможные отрезки 
, где 
— точка принадлежащая многоугольнику. Геометрическое место всех точек этих отрезков называется 
-угольной пирамидой.
Точка 
называется вершиной пирамиды, многоугольник 
— основанием пирамиды. Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми ребрами пирамиды. Треугольник с вершиной 
и основанием, совпадающим со стороной многоугольника, называется боковой гранью пирамиды. В случае треугольной пирамиды (тетраэдра) в качестве основания пирамиды можно взять каждую из граней.
Математически верное определение
Отрезки, соединящие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми ребрами.
Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.
Пирамида называется 
-угольной, если ее основанием является 
-угольник. Треугольная пирамида называется также тетраэдром.
Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром этого многоугольника. Осью правильной пирамиды назывется прямая, содержащая ее высоту.
Высота боковой грани, проведенная из ее вершины, называется апофемой.
Боковой поверхностью пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней.
Определения из учебников
Отрезки, соединящие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми ребрами.
Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.
Пирамида называется 
-угольной, если ее основанием является 
-угольник. Треугольная пирамида называется также тетраэдром.
Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром этого многоугольника. Осью правильной пирамиды назывется прямая, содержащая ее высоту.
Высота боковой грани, проведенная из ее вершины, называется апофемой.
Боковой поверхностью пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней.
Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды.
Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой.
Простейшей из всех пирамид (и даже среди всех многогранников) является треугольная пирамида, которую называют также тетраэдром, т.е. четырехгранником.
Пусть даны плоская фигура 
и некоторая точка 
, не лежащая с фигурой 
в одной плоскости. Отрезки, проведенные из точки 
во все точки фигуры 
, образуют фигуру, которую называют конусом; точка 
называется вершиной конуса, фигура 
— основанием конуса.
Простейшей из всех пирамид (и даже среди всех многогранников) является треугольная пирамида, которую называют также тетраэдром, т.е. четырехгранником.
Пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник, и все боковые ребра которой равны, называется правильной.
Пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник, и все боковые ребра которой равны, называется правильной.
Пирамида, в основании которой лежит правильный 
-угольник, а боковые ребра равны между собой, называется правильной пирамидой.
-угольная грань 
-угольной пирамиды называется основанием, в все прочие треугольные грани называются боковыми гранями. Общую для боковых граней вершину называют вершиной пирамиды. Ребра пирамиды, выходящие из этой вершины, называют боковыми ребрами пирамиды.
Отрезок 
( 
— вершина, 
— проекция 
на плоскость основания) называется высотой пирамиды, 
— основание высоты.
Пирамида называется правильной, если в основании ее лежит правильный многоугольник, а все боковые ребра равны между собой.
Правильным называется тетраэдр (т.е. треугольниая пирамида), у которого все ребра равны между собой.
Плоскость, проведенная через вершину пирамиды и через какую-нибудь диагональ основания, называется диагональной плоскостью.
Треугольная пирамида называется иначе тетраэдром.
Пирамида называется правильной, если, во-первых, ее основание есть правильный треугольник и, во-вторых, высота проходит через центр этого многоугольника. Боковые грани правильной пирамиды суть равные равнобедренные треугольники. Высота 
каждого из этих треугольников называется апофемой.
Пирамида
Вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания.
Основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.
Апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины.
Высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра).
Диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания.
Некоторые свойства пирамиды
1) Если все боковые ребра равны, то
– около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр
– боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы
Если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, то все боковые ребра пирамиды равны.
Если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.
Виды пирамид
Для правильной пирамиды справедливо:
– боковые ребра правильной пирамиды равны;
– в правильной пирамиде все боковые грани — равные равнобедренные треугольники;
– в любую правильную пирамиду можно вписать сферу;
– около любой правильной пирамиды можно описать сферу;
– площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.
Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию.
Тетраэдр – треугольная пирамида. В тетраэдре любая из граней может быть принята за основание пирамиды.
§ 2. Пирамида
| Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника (основания пирамиды), точки, не лежащей в плоскости основания (вершины пирамиды), и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания. | |
 | SABCDE — пирамида, ABCDE — основание пирамиды, S — вершина пирамиды, SO — высота пирамиды (SO = H, SO ⊥ ABCDE), SK — высота боковой грани (SK ⊥ AB, SK = h). |
| Элементы пирамиды | |
|---|---|
| 1. Высота пирамиды: | перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания. |
| 2. Боковые грани: | ΔASB, ΔSBC, ΔSDC, ΔSDE, ΔSAE. |
| 3. Боковые ребра: | SA, SB, SC, SD, SE. |
| Формулы | |
| Боковая поверхность пирамиды равна сумме площадей боковых граней пирамиды. | |
| Полная поверхность пирамиды равна сумме боковой поверхности пирамиды и площади основания пирамиды. | Sполн. = Sбок. + Sосн. |
| Объем пирамиды равен произведению одной третьей площади основания пирамиды на ее высоту. V = | |
Sосн. × H| Пирамида называется правильной, если ее основание является правильным n-угольником, а основание высоты пирамиды совпадает с центром этого n-угольника. | ||
| Осью правильной пирамиды называется прямая, содержащая высоту пирамиды. Апофемой правильной пирамиды называется высота боковой грани. |  | H — высота, k — апофема. |
| Некоторые виды правильных пирамид | ||
|---|---|---|
| Треугольная | Четырехугольная | Шестиугольная |
 |  |  |
| ΔABC — правильный; O — точка пересечения медиан (высот и биссектрис), центр вписанной и списанной окружностей. | ABCD — квадрат; O — точка пересечения диагоналей. | ABCDEF — правильный шестиугольник; O — точка пересечения диагоналей AD, BE и FC. |
| Основные соотношения правильной пирамиды | ||
|---|---|---|
| SABCD — правильная четырехугольная пирамида; AB = BC = CD = DA = a — сторона основания; ∠CDA = ∠DAB = ∠ABC = ∠BCD = 90° SA = SB = SC = SD = l — боковое ребро; ∠SKO = α — линейный угол двугранного угла при основании (угол наклона боковой грани к плоскости основания); ∠SAO = β — угол наклона бокового ребра к плоскости основания. Все боковые ребра равны и одинаково наклонены к основанию. ∠DSC = γ — плоский угол при вершине боковой грани; AO = R — радиус окружности, описанной около основания; OK = r — радиус окружности, вписанной в основание; ∠BND = φ — линейный угол двугранного угла при боковом ребре SC; ΔSAB = ΔSBC = ΔSCD = ΔSDA — боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками и одинаково наклонены к основанию. |  SO ⊥ ABCD; | |
| Положение высоты в некоторых видах пирамид | ||
| 1. Если все боковые ребра пирамиды равны или равнонаклонены к плоскости основания, то вершина пирамиды проектируется в центр описанной около основания окружности.
Если или то O — центр описанной окружности. | ||
| 2. Если все боковые грани пирамиды наклонены к основанию под одним и тем же углом или все высоты боковых граней равны, то высота пирамиды проектируется в центр окружности, вписанной в основание пирамиды.
то O — центр вписанной окружности. | ||
| 3. Если только одна боковая грань пирамиды перпендикулярна плоскости основания, то высотой пирамиды является высота этой боковой грани.
ASC ⊥ ABC, SO ⊥ AC. | ||
| 4. Если две смежные боковые грани пирамиды перпендикулярны плоскости основания, то высотой пирамиды будет их общее боковое ребро.
SAB ⊥ ABC, SAC ⊥ ABC, | ||
| 5. Если две не смежные боковые грани пирамиды перпендикулярны плоскости основания, то высотой пирамиды будет отрезок прямой, по которой пересекаются плоскости этих граней.
SAB ⊥ ABC, SDC ⊥ ABC, | ||
| 6. Если только две боковые грани пирамиды (или наклонной призмы) одинаково наклонены к основанию или общее боковое ребро этих граней образует равные углы со смежными с ними сторонами основания, то это общее боковое ребро проектируется на прямую, содержащую биссектрису угла между смежными с этим ребром сторонами основания (и обратно).
AO — прямая, содержащая биссектрису ∠BAC. | ||
Pосн. × SK,
, (∠SKO = α — угол наклона боковых граней к основанию);
| Образование усеченной пирамиды | |
|---|---|
| Если задана пирамида SABC и проведена плоскость A1B1C1, параллельная основанию пирамиды то эта плоскость отсекает от заданной пирамиды пирамиду SA1B1C1, подобную данной. (С коэффициентом подобия k = Другая часть заданной пирамиды — многогранник. ABCA1B1C1 называется усеченной пирамидой. Формулы и свойства правильной четырехугольной пирамидыЧто собой представляет пирамидаПод пирамидой понимают геометрическую фигуру пространственную, которая получается в результате соединения всех углов многоугольника с одной точкой пространства. Рисунок ниже демонстрирует расположение линий (ребер) для четырехугольной и пятиугольной пирамид.
Многоугольная грань фигуры называется ее основанием. Точка, где все треугольные грани соединяются, называется вершиной. Для определения высоты пирамиды отмеченные элементы являются важными. Правильная треугольная пирамида.Правильная треугольная пирамида – это пирамида, у которой основанием оказывается правильный треугольник, а вершина опускается в центр основания.
Элементы правильной пирамидыЕсли в основании правильной пирамиды лежит треугольник, четырехугольник и т.д. то она называется правильной треугольной , четырехугольной и т.д. Высота фигурыВысотой пирамиды называется перпендикуляр, который из ее вершины опущен на плоскость основания. Важно понимать, что из каждой вершины, принадлежащей основанию фигуры, тоже можно провести перпендикуляр к соответствующей треугольной грани, однако он высотой не будет являться. Высота пирамиды – это единственный перпендикуляр, который является одной из важных ее линейных характеристик. Каждому школьнику известно, что любая плоская фигура обладает геометрическим центром (в физике ему соответствует центр масс). Например, геометрический центр для произвольного треугольника определяется точкой пересечения его медиан, для параллелограмма – точкой пересечения диагоналей. Если высота пирамиды пересекает ее основание в геометрическом центре, то фигура называется прямой. Пирамида прямая, имеющая в основании многоугольник с одинаковыми сторонами и углами, называется правильной.
Рисунок выше показывает, чем отличается неправильная пирамида от правильной. Видно, что высота неправильной фигуры лежит за пределами ее основания, в то время как у правильной шестиугольной пирамиды высота находится внутри фигуры, пересекая ее основание в центре геометрическом. Важными свойствами всех правильных пирамид являются следующие: Что такое пирамида в общем случае?В геометрии под ней понимают объемную фигуру, получить которую можно, если соединить все вершины плоского многоугольника с одной единственной точкой, лежащей в другой плоскости, чем этот многоугольник. Рисунок ниже показывает 4 фигуры, которые удовлетворяют данному определению.
Мы видим что первая фигура имеет треугольное основание, вторая – четырехугольное. Две последние представлены пяти- и шестиугольным основанием. Однако боковая поверхность всех пирамид образована треугольниками. Их число точно равно количеству сторон или вершин многоугольника в основании. Особым типом пирамид, которые от остальных представительниц класса отличаются идеальной симметрией, являются правильные пирамиды. Чтобы фигура была правильной, должны выполняться следующие два обязательных условия: Отметим, что второе обязательное условие можно заменить иным: перпендикуляр, проведенный к основанию из вершины пирамиды (точка пересечения боковых треугольников), должен пересекать это основание в его геометрическом центре. Объем пирамиды
Формула для нахождения объема пирамиды через площадь основания и высоту: Некоторые свойства пирамиды1) Если все боковые ребра равны, то – около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр – боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы Если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, то все боковые ребра пирамиды равны. Если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны. Правильная пирамида с треугольным основаниемФигура, которая получена с использованием произвольного треугольника и точки в пространстве, будет неправильной наклонной пирамидой в общем случае. Теперь представим, что исходный треугольник имеет одинаковые стороны, а точка пространства расположена точно над его геометрическим центром на расстоянии h от плоскости треугольника. Построенная с использованием этих исходных данных пирамида будет правильной. Очевидно, что число ребер, сторон и вершин у правильной треугольной пирамиды будет таким же, как у пирамиды, построенной из произвольного треугольника. Однако правильная фигура обладает некоторыми отличительными чертами: Правильная треугольная пирамида является не только чисто теоретическим геометрическим объектом. Некоторые структуры в природе имеют ее форму, например кристаллическая решетка алмаза, где атом углерода соединен с четырьмя такими же атомами ковалентными связями, или молекула метана, где вершины пирамиды образованы атомами водорода. Формулы для высоты правильной пирамидыСуществует четыре основных линейных характеристики для любой пирамиды правильной: Все они связаны математически друг с другом. Обозначим длину стороны основания символом a, высоту — h, апофему — hb и ребро — b. Формулы, которые эти величины связывают, имеют индивидуальный вид для соответствующей n-угольной пирамиды. Например, для правильной пирамиды четырехугольной высоту можно определить по формулам: Эти формулы следуют из теоремы Пифагора при рассмотрении соответствующих прямоугольных треугольников внутри пирамиды. Если рассматривается фигура с треугольным основанием, тогда справедливы следующие формулы для высоты правильной пирамиды:  Приветствую, уважаемые дети! Сегодня я хочу рассказать  Приветствую вас, уважаемые дети! Сегодня я хочу рассказать  Приветствую вас, дорогие дети! Сегодня я хочу рассказать  Приветствую вас, дорогие дети! Сегодня я хочу рассказать | |
.)
