Что такое осей симметрии у равнобедренного треугольника
Симметрия в равнобедренном треугольнике
Есть ли симметрия в равнобедренном треугольнике? Сколько осей симметрии имеет равнобедренный треугольник? Есть ли в у равнобедренного треугольника центр симметрии?
Равнобедренный треугольник имеет одну ось симметрии.
Осью симметрии равнобедренного треугольника является прямая, перпендикулярная основанию и проходящая через его середину.
Пусть дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AC.
Через середину основания — точку F- проведём прямую BF,
В треугольнике ABC BF — высота и биссектриса, проведённые к основанию. По свойству равнобедренного треугольника BF является также его биссектрисой.
Отметим на стороне AB произвольную точку X.
Проведём из точки X прямую XX1, перпендикулярную BF,
Рассмотрим прямоугольные треугольники XBK и X1BK.
2) ∠XBK=∠X1BK (так как BF — биссектриса ∠ABC).
Следовательно, треугольники XBK и X1BK равны (по катету и острому углу).
Таким образом, точка, симметричная произвольной точке равнобедренного треугольника относительно прямой BF, также принадлежит этому треугольнику.
Точки B и F симметричны относительно прямой BF сами себе.
Следовательно, прямая прямая BF является осью симметрии треугольника ABC.
Центра симметрии равнобедренный треугольник не имеет.
Свойства равнобедренного треугольника
Свойства равнобедренного треугольника 7 класс.
Свойства медианы, высоты, биссектрисы в равнобедренном
треугольнике. Равнобедренный треугольник свойства,
признаки, определения.
Равнобедренный треугольник — это треугольник,
у которого длины двух сторон равны.
Также, любой треугольник, у которого длины всех сторон
равны, является равнобедренным, исходя из определения.
В равнобедренном треугольнике,принято называть стороны
иначе. Две равные стороны называют боковыми, третью
же сторону называют основанием. Кроме того, углы,
прилежащие к основанию, называют углами при основании.
Стоит заметить, что равносторонний, как и равноугольный
треугольник, являются частными случаями равнобедренного треугольника.
Треугольник, может быть, одновременно равнобедренным и
прямоугольным треугольником, то есть сочетать свойства
одного и другого треугольника. Такие треугольники называют
прямоугольными равнобедренными треугольниками.
Если в треугольнике градусные меры двух углов равны, а
также длины двух сторон равны, то, можно с уверенностью
сказать, что треугольник является не только равнобедренными,
но и обладает характерными только для него признаками и свойствами.
Благодаря знанию признаков и свойств равнобедренного
треугольника, в задаче, мы можем: понять чем отличается
равнобедренный треугольник от данного в задаче треугольника,
воспользоваться формулой равнобедренного треугольника, и главное
решить задачу, где требуется знание свойств и признаков.
Главное свойство равнобедренного треугольника:
две стороны имеют одинаковую длину, и не равны третьей.
Сколько осей симметрии у равностороннего треугольника?
Сколько всего осей симметрии может иметь треугольник?
Равносторонний треугольник имеет три оси симметрии.
Сколько осей симметрии у треугольника с разными сторонами?
У любых других треугольников с разными по длине сторонами вообще нет ни одной оси симметрии. Треугольник, у которого все стороны разные по величине, не имеет осей симметрии. Прямоугольный треугольник может иметь одну ось симметрии в случае, если его катеты равны.
Сколько осей симметрии у треугольника и прямоугольника?
Равносторонний треугольник обладает тремя осями симметрии (биссектрисы/медианы/высоты каждого из трёх углов (см. Рис. 3). Прямоугольник обладает двумя осями симметрии, каждая из которых проходит через середины двух его противоположных сторон (см.
Сколько осей симметрии у треугольника 1 у треугольника 2 2 класс?
Равносторонний треугольник имеет три оси симметрии: прямые, содержащие его высоты (медианы, биссектрисы).
Сколько всего осей симметрии имеет равнобедренный треугольник?
Оси симметрии равнобедренного треугольника Равнобедренный треугольник (но не равносторонний) имеет только одну ось симметрии.
Сколько осей симметрии имеет правильный треугольник?
б) правильный треугольник имеет три оси симметрии; в) куб имеет 9 осей симметрии.
Сколько осей симметрии у четырёхугольника?
У правильного четырехугольника 4 оси симметрии. У правильного пятиугольника 5 осей симметрии. У правильного шестиугольника 6 осей симметрии. У правильного девятиугольника 9 осей симметрии.
Сколько осей симметрии у равнобедренного треугольника у прямоугольника?
Равнобедренный треугольник имеют ровно одну осевую симметрию.
Сколько осей симметрии у равнобедренной трапеции?
Равнобедренная трапеция имеет одну ось симметрии – серединный перпендикуляр к обоим основаниям.
Что такое ось в прямоугольнике?
Осями симметрии прямоугольника являются прямые, проходящие через точку пересечения его диагоналей параллельно сторонам.
Что такое ось симметрии в треугольнике?
Ось симметрии треугольника — биссектриса, медиана, высота. Оси симметрии прямоугольника проходят через середины его сторон. У ромба две оси симметрии — прямые, содержащие его диагонали. У квадрата 4 оси симметрии, так как он сразу квадрат, треугольник и ромб.
Что такое ось симметрии 2 класс?
Линия, по которой можно перегнуть фигуру и получить одинаковые части, называется осью симметрии. В фигуре может быть одна ось симметрии, а может быть несколько. 2.
Как найти ось симметрии равнобедренного треугольника?
Равнобедренный треугольник имеет одну ось симметрии. Ось симметрии равнобедренного треугольника проходит через его вершину и середину основания. Она совпадает с биссектрисой, медианой, высотой и серединным перпендикуляром, проведенными из вершины к основанию.
Что такое ось симметрии у равнобедренного треугольника?
Осью симметрии равнобедренного треугольника является прямая, перпендикулярная основанию и проходящая через его середину. Доказательство: Пусть дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AC.
Что является осью симметрии равнобедренного треугольника?
В равнобедренном треугольнике осью симметрии является биссектриса (медиана, высота) угла при его вершине.
Урок математики. Тема: «Ось симметрии»
Разделы: Математика
Перед каждым лежат ножницы и лист бумаги.
– Возьмем лист бумаги, сложим его попалам и вырежем какую-нибудь фигурку. Теперь развернем лист и посмотрим на линию сгиба.
Вопрос: Какую функцию выполняет эта линия?
Предполагаемый ответ: Эта линия делит фигуру пополам.
Вопрос: Как расположены все точки фигуры на двух получившихся половинках?
Предполагаемый ответ: Все точки половинок находятся на равном расстоянии от линии сгиба и на одном уровне.
– Значит, линия сгиба делит фигурку пополам так, что 1 половинка является копией 2 половинки, т.е. эта линия непростая, она обладает замечательным свойством (все точки относительно ее находятся на одинаковом расстоянии), эта линия – ось симметрии.
– Вырезать снежинку, найти ось симметрии, охарактеризовать ее.
– Начертить в тетради окружность.
Вопрос: Определить, как проходит ось симметрии?
Предполагаемый ответ: По-разному.
Вопрос: Так сколько осей симметрии имеет окружность?
Предполагаемый ответ: Много.
– Правильно, окружность имеет множество осей симметрии. Такой же замечательной фигурой является шар (пространственная фигура)
Вопрос: Какие еще фигуры имеют не одну ось симметрии?
Предполагаемый ответ: Квадрат, прямоугольник, равнобедренный и равносторонний треугольники.
– Рассмотрим объемные фигуры: куб, пирамиду, конус, цилиндр и т.д. Эти фигуры тоже имеют ось симметрии. Определите, сколько осей симметрии у квадрата, прямоугольника, равностороннего треугольника и у предложенных объемных фигур?
Раздаю учащимся половинки фигурок из пластилина.
– Используя полученную информацию, долепить недостающую часть фигурки.
Примечание: фигурка может быть и плоскостной, и объемной. Важно, чтобы учащиеся определили, как проходит ось симметрии, и долепили недостающий элемент. Правильность выполнения определяет сосед по парте, оценивает, насколько правильно проделана работа.
Из шнурка одного цвета на рабочем столе выложена линия (замкнутая, незамкнутая, с самопересечением, без самопересечения).
Задание 5 (групповая работа 5 мин).
– Определить визуально ось симметрии и относительно нее достроить из шнурка другого цвета вторую часть.
Правильность выполненной работы определяется самими учениками.
Перед учащимися представлены элементы рисунков
– Найдите симметричные части этих рисунков.
Для закрепления пройденного материала предлагаю следующие задания, предусмотренные на 15 мин.:
1. Прямая ОР – ось симметрии треугольника КОМ.
Назовите все равные элементы треугольника КОР и КОМ. Каков вид этих треугольников?
2. Начертите в тетради несколько равнобедренных треугольников с общим основанием равным 6 см.
3. Начертите отрезок АВ. Постройте прямую перпендикулярную отрезку АВ и проходящую через его середину. Отметьте на ней точки С и D так, чтобы четырехугольник АСВD был симметричен относительно прямой АВ.
– Наши первоначальные представления о форме относятся к очень отдаленной эпохе древнего каменного века – палеолита. В течение сотен тысячелетий этого периода люди жили в пещерах, в условиях мало отличавшихся от жизни животных. Люди изготовляли орудия для охоты и рыболовства, вырабатывали язык для общения друг с другом, а в эпоху позднего палеолита украшали свое существование, создавая произведения искусства, статуэтки и рисунки, в которых обнаруживается замечательное чувство формы.
Когда произошел переход от простого собирания пищи к активному ее производству, от охоты и рыболовства к земледелию, человечество вступает в новый каменный век, в неолит.
Человек неолита обладал острым чувством геометрической формы. Обжиг и раскраска глиняных сосудов, изготовление камышовых циновок, корзин, тканей, позже – обработка металлов вырабатывали представления о плоскостных и пространственных фигурах. Неолитические орнаменты радовали глаз, выявляя равенство и симметрию.
– А где в природе встречается симметрия?
Предполагаемый ответ: крылья бабочек, жуков, листья деревьев…
– Симметрию можно наблюдать и в архитектуре. Строя здания, строители четко придерживаются симметрии.
Поэтому здания получаются такие красивые. Также примером симметрии служит человек, животные.
1. Придумать свой орнамент, изобразить его на листе формат А4 (можно нарисовать в виде ковра).
2. Нарисовать бабочек, отметить, где присутствуют элементы симметрии.
Равнобедренный треугольник: свойства, признаки и формулы
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Определение равнобедренного треугольника
Какой треугольник называется равнобедренным?
Давайте посмотрим на такой треугольник:
На рисунке хорошо видно, что боковые стороны равны. Это равенство и делает треугольник равнобедренным.
А вот как называются стороны равнобедренного треугольника:
AB и BC — боковые стороны,
AC — основание треугольника.
Признаки равнобедренного треугольника
Вот несколько нехитрых правил, по которым легко определить, что перед вами не что иное, как его величество равнобедренный треугольник.
Свойства равнобедренного треугольника
Чтобы понять суть равнобедренного треугольника, нужно думать как равнобедренный треугольник, стать равнобедренным треугольником — и выучить 4 теоремы о его свойствах.
Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Пусть AС — основание равнобедренного треугольника. Проведем биссектрису DK. Треугольник ADK равен треугольнику CDK по двум сторонам и углу между ними (AD = DC, DK — общая, а так как DK — биссектриса, то угол ADK равен углу CDK). Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов, значит угол A равен углу C. Изи!
Для доказательства следующих теорем нам придется вспомнить, что такое биссектриса, медиана и высота, если вы вдруг забыли.
Биссектриса — луч, который исходит из вершины угла и делит этот угол на два равных угла.
Даже если вы не знаете определения, то про крысу, бегающую по углам и делящую их пополам, наверняка слышали. Она не даст вам забыть, что такое биссектриса. А если вам не очень приятны крысы, то вместо нее бегать может кто угодно. Биссектриса — это киса. Биссектриса — это лИса. Никаких правил для воображения нет. Все правила — для геометрии.
Обратите внимание на рисунок. В представленном равнобедренном треугольнике биссектрисой будет отрезок BH.
Медиана — отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
Для медианы не придумали веселого правила, как с биссектрисой, но можно его придумать. Например, буддийская запоминалка: «Медиана — это Лама, бредущий из вершины треугольника к середине его основания и обратно».
В данном треугольнике медианой является отрезок BH.
Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или на прямую, содержащую сторону треугольника.
Высотой в представленном равнобедренном треугольнике является отрезок BH.
В каждом из доказательств мы пользуемся признаком равенства треугольников, вот и повод их повторить.
Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
Δ ABH = Δ CBH по двум сторонам и углу между ними (углы ABH и CBH равны, потому что BH биссектриса, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
Значит, во-первых, AH = HC и BH — медиана.
Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит, они равны по 90 градусов и BH — высота.
Теорема 3: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Δ ABH = Δ CBH по трём сторонам (AH = CH равны, потому что BH медиана, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.
Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит они равны по 90 градусов и BH — высота.
Теорема 4: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
Δ ABH = Δ CBH по признаку прямоугольных треугольников, равенство гипотенуз и соответствующих катетов (AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.
Во-вторых, AH = HC и BH — медиана.
Примеры решения задач
Нет ничего приятнее, чем поупражняться и поискать углы и стороны в равнобедренном треугольнике. Ну… почти ничего.
Задачка раз. Дан ΔABC с основанием AC: ∠C = 80°, AB = BC. Найдите ∠B.
Поскольку вы уже знакомы с различными теоремами, то для вас не секрет, что углы при основании в равнобедренном треугольнике равны, а треугольник ABC — равнобедренный, так как AB = BC.
Не должно вас удивить и то, что сумма углов треугольника равна 180°.
∠B = 180° − 80° − 80° = 20°.
Задачка два. В треугольнике ABC провели высоту BH, угол CAB равен 50°, угол HBC равен 40°. Найдите сторону BC, если BA = 5 см.
Сумма углов треугольника равна 180°, а значит в Δ ABH мы можем узнать угол ABH, который будет равен 180° − 50° − 90° = 40°.
А ведь получается, что углы ABH и HBC оба равны по 40° и BH — биссектриса.
Ну и раз уж BH является и биссектрисой, и высотой, то Δ ABC — равнобедренный, а значит BC = BA = 5 см.
Изучать свойства и признаки равнобедренного треугольника лучше всего на курсах по математике с опытными преподавателями в Skysmart.