Что такое основание в геометрии в трапеции

Трапеция. Определение, виды, свойства

Определения

Определение 1. Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны а две другие − нет.

На Рис.1 четырехугольники ABCD и EFGH являются трапециями.

Параллельные стороны трапеции называются основаниями трапеции, а непараллельные стороны − боковыми сторонами (Рис.2).

В трапеции ABCD (Рис.1) углы A и B называют углами при основании AB, а углы C и D называют углами при основании CD.

Определение 2. Высотой трапеции называется перпендикуляр, отпущенный из любой точки прямой, проходящей через один из оснований трапеции, на прямую, проходящую через другое основание.

На Рис.3 отрезки DM, ON, QP являются вершинами трапеции ABCD. Поскольку величина каждой из этих отрезков является расстоянием между параллельными прямыми, проходящими через основания трапеции, то они равны друг другу.

Определение 3. Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий средние точки боковых сторон.

На рисунке Рис.4 \( \small MN \) является средней линией трапеции \( \small ABCD, \) причем \( \small AM=MD,\;\; BN=NC. \)

Виды трапеций

Если боковые стороны трапеции равны, то трапеция называется равнобокой или равнобедренной (Рис.5).

Трапеция называется прямоугольной, если одна из боковых сторон перпендикуляна основаниям трапеции (Рис.6).

Трапеция называется разносторонней, если длина всех сторон разные (т.е. если трапеция не прямоульная и не равнобедренная)(Рис.7).

Свойства трапеции

Свойство 1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна половине их суммы.

Доказательство. Пусть MN средняя линия трапеции ABCD (Рис.8). Докажем, что \( \small MN || AB, \) \( \small MN=\frac12 (AB+CD). \)

Проведем прямую DN и обозначим точку ее пересечения с прямой AB точкой P. Так как MN является средней линией трапеции ABCD, то

Углы 3 и 4 являются накрест лежащими, при рассмотрении параллельных прямых BP и CD пересеченные секущей CB, тогда (теорема 1 статьи Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей).

Исходя из равенств (1),(2) и (3) получим, что треугольники CND и NPC равны, по второму признаку равенства треугольников. Тогда BP = DC, DN = NP. Из равенств AM = MD и DN = NP следует, что MN является средней линией треугольника ADP. Тогда \( \small MN \ || \ AP \) ( или \( \small MN \ || \ AB \)) и \( \small MN =\frac 12 AP \). Но \( \small AP=AB +BP=AB+CD \). Тогда \( \small MN =\frac 12 (AB+CD).\)

Свойство 2. Сумма углов трапеции, прилежащих к одной боковой стороне равна 180°.

Доказательство. Рассмотрим трапецию ABCD (Рис.9).

Углы A и D являутся односторонними углами, при рассмотрении параллельных прямых AB и CD пересеченные секущей AD (теорема 3 статьи Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей). Тогда \( \small \angle A+ \angle D=180°.\)

Свойство 3. Отрезок, слединяющий середины диагоналей трапеции лежит на средней линии трапеции и равен половине разности оснований.

Доказательство. Рассмотрим трапецию ABCD (Рис.10).

Поскольку точки P и Q являются средними точками диагоналей AC и BD, соответственно, то:

MP − является средней линией треугольника ADC, так как , . Тогда

QN − является средней линией треугольника BCD, так как , Тогда

Из и следует, что P находится на прямой, проходящей через среднюю линию MN, поскольку из точки M можно провести только одну прямую, параллельно CD (Аксиома 1 статьи Аксиома параллельных прямых).

Аналогично, из и следует, что Q находится на прямой, проходящей через среднюю линию MN, поскольку из точки N можно провести только одну прямую, параллельно CD.

Далее, учитывая (4) и (5), получим:

Далее, учитывая свойство 1, получим:

Свойства равнобокой (равнобедренной) трапеции

Свойсво 1′. В равнобокой трапеции углы при каждом основании равны.

Доказательство. Рассмотрим равнобедренную (равнобокую) трапецию ABCD, где AD = BC (Рис.11).

Проведем высоты DM и CN. Поскольку DM = CN и AD = BC, то прямоугольники ADM и NCB равны гипотенузе и катету (см. статью Прямоугольный треугольник. Свойства, признаки равенства). Тогда \( \small \angle A=\angle B. \) Докажем, далее, что \( \small \angle ADC=\angle DCB. \) \( \small \angle A +\angle ADC=180° \) поскольку углы A и ADC являются односторонними углами, при рассмотрении параллельных прямых AB и CD пересеченные секущей AD (теорема 3 статьи Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей). Аналогично \( \small \angle B +\angle DCB=180°. \) Учитывая, что \( \small \angle A=\angle B \), получим \( \small \angle ADC=\angle DCB. \)

Свойсво 2′. В равнобокой трапеции диагонали равны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники ADC и DCB (Рис.12). Имеем CD общая сторона для обеих треугольников, AD = CB, \( \small \angle ADC=\angle DCB. \) Тогда треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно диагонали AC и DB трапеции ABCD равны.

Свойсво 3′. В равнобокой трапеции высота, приведенная из вершины тупого угла на основание, делит основание трапеции на отрезки, больший из которых равен половине суммы оснований, а меньший равен половине разности оснований.

Доказательство. Рассмотрим четырехугольник DMNC (Рис.11). Имеем:

Тогда четырехугольник DMNC является прямоугольником. Следовательно DC = MN. Поскольку треугольники ADM и NCB равны (см. доказательство следствия 1), то AM = NB. Следовательно:

Источник

Трапеция. Свойства трапеции

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Свойства трапеции

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

3. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.

Коэффициент подобия –

Отношение площадей этих треугольников есть .

4. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.

5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.

7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.

4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Вписанная окружность

Если в трапецию вписана окружность с радиусом и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — и , то

Площадь

или где – средняя линия

Смотрите хорошую подборку задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

трапеция АВСД, ВС – 6, АД – 9, диагонали перетинаються в точке О. Найти ОД и ОВ, якщо ОД-ВО=2.

Помогите пожалуйста в решении такой задачи.Найдите радиус окружности вписанной в равнобедренную трапецию если основание 8,2 см. Заранее спасибо!

Виталий, чего-то не хватает в условии. Дайте точную формулировку.

Помогите пожалуйста решить задачу. Найти площадь равнобедренной трапеции если диагональ делит острый угол пополам и среднюю линию на отрезки 23 и 13.Большое спасибо.

Пусть – меньшее и большее основания соответственно.
, так как отрезок средней линии трапеции, равный 13, является средней линией треугольника с основанием . Аналогично
Далее замечаем, что треугольник – равнобедренный, тогда
Опускаем из и высоты к . Из одного из образовавшихся прямоугольных треугольников находим высоту по теореме Пифагора:
Наконец,

Помогите пожалуйста решить задачку. Дана равнобедренная трапеция АВСD (AD параллельна BC). Известно,что AD>BC. На её описанной окружности отмечена точка Е, такая, что BE перпендикулярна AD. Докажите, что АЕ+ВС>DE.

прошу подсказать решение:
Дана трапеция АВСД (не равнобедренная!). Диагонали АС и ВД перпендикулярны, причем АС=48см. Средняя линия MN=25см.
Высота ВН опущена на основание АД(перпендикулярна ему)
Найти Высоту ВН

Перенесите диагональ параллельно самой себе в точку . У полученного прямоугольного треугольника ( – точка на ) известна гипотенуза (50) и катет (48). Находим второй катет (14) – это ( или ).
Теперь вам просто надо найти высоту прямоугольного треугольника , проведенную к гипотенузе. Все для этого есть!

спасибо большое, оказывается все очень просто!

Елена Юрьевна,добрый вечер.Поздравляю Вас с профессиональным
праздником! Помогите пожалуйста разобраться в задаче для 8 класса. В учебнике мало информации. Заранее благодарю Вас.
Докажите, что из одинаковых плиток, имеющих форму равнобедренной трапеции, можно сделать паркет, полностью покрывающий любую часть плоскости.

Виктория,спасибо!
Можно положить плитки друг к другу так, чтобы боковые стороны совпали, при этом меньшее основание одной плитки лежало бы на одной прямой с большим основанием другой плитки (а такое совпадение обязательно произойдет, так как сумма соседних углов при разных основаниях равна 180 градусам по свойству трапеции). Так можно покрыть полосу, а такими полосами покрыть и плоскость.

Источник

Геометрия

Именная карта банка для детей
с крутым дизайном, +200 бонусов

Закажи свою собственную карту банка и получи бонусы

План урока:

Трапеция

Рассмотрим четырехуг-к, у которого параллельны только две стороны, а две оставшиеся не параллельны. Такая фигура именуется трапецией.

На рисунке трапеция выглядит следующим образом:

Параллельные стороны именуются основаниями трапеции, а другие две – это боковые стороны.

Обратите особое внимание на то, что одно из оснований всегда больше второго основания. Действительно, если бы основания имели одинаковую длину, то получился бы четырехуг-к, у которого две противоположные стороны и равны, и параллельны. Однако это уже один из признаков параллелограмма, а параллелограмм никак не может быть трапецией.

Иногда полезно представлять трапецию как усеченный треуг-к. Действительно, если в треугольнике провести линию, параллельную одной из сторон и пересекающую две остальные стороны, то она как бы «отсечет» верхушку этого треуг-ка, и получится трапеция. И наоборот, любую заданную трапецию можно достроить до треугольника:

Сумма всех 4 углов трапеции составляет, как и у любого четырехугольника, 360°.

Задание. Известно, что у трапеции АВСD АD||ВС, ∠А = 36°, ∠С = 117°. Найдите∠В и ∠D.

Решение: АВ можно рассматривать как секущую параллельных прямых ВС и АD. Но тогда∠А и ∠В будут являться односторонними, а их сумма будет равна 180°. Отсюда можно найти ∠В:

Аналогично, рассматривая в качестве секущей СD, можно найти и ∠D, который вместе с∠С является односторонним:

Средняя линия трапеции

Если отметить середину каждой из боковых сторон трапеции, а потом соединить эти середины, то получится отрезок, именуемый средней линией трапеции.

Докажем важную теорему, связанную со средней линией:

Для этого изучим трапецию АВСD, у которой боковые стороны – это АВ и CD. Пусть М – середина АВ. Проведем через М прямую, параллельную основаниям, которая пересечет СD в точке N. По теореме Фалеса параллельные друг другу прямые АD, МN и ВС отсекут на прямой СD равные отрезки, то есть СN = ND. Но это означает, что N– середина CD, а тогда MN – средняя линия (согласно ее определению). Естественно, что в трапеции возможно построить только одну среднюю линию, а значит, средняя линия МN параллельна каждому из оснований.

Прямоугольная и равнобедренная трапеция

Существует два частных вида трапеции, обладающих особыми свойствами. Первый из них – это прямоугольная трапеция. Она отличается тем, что один из ее углов равен 90°.

Здесь∠А = 90°. Легко догадаться, что на самом деле если у трапеции хоть один угол составляет 90°, то найдется и ещё один угол, также равный 90°. В данном случае это ∠В. Сумма ∠A и ∠D должна составлять 180°, ведь они односторонние. Именно поэтому из условия

Задание. Основания прямоугольной трапеции имеют длину 10 и 15 см, а один из углов составляет 45°. Вычислите длину ее наименьшей боковой стороны?

Пусть основания заданной трапеции – это отрезки АD и ВС, ∠А = 45°, ∠D = ∠C = 90°. Опустим из точки В перпендикуляр ВН на АD:

Очевидно, что ВН||CD, ведь эти отрезки перпендикулярны одной прямой АD. Получается, что в четырехуг-ке НВСD противоположные стороны попарно параллельны, то есть он является параллелограммом. Отсюда вытекает равенство его сторон:

Нашли СD, но является ли этот отрезок именно меньшей боковой стороной трапеции? Для ответа на этот вопрос вернемся к ∆АВН. В нем АВ – это гипотенуза, а потому она заведомо больше катета ВН, то есть больше 5 см. Значит, именно CD – это меньшая боковая сторона.

Ещё один особый вид трапеции – равнобедренная трапеция. Она отличается тем, что у неё длины боковых сторон одинаковы.

Равнобедренная трапеция обладает рядом интересных свойств. Начнем с того, что углы при каждом из ее оснований равны.

В итоге мы получили четырехуг-к АВСН, в котором АВ||CН, ВС||АН. Это значит, что он является параллелограммом, и тогда

Отсюда сразу же вытекает и второе свойство равнобедренной трапеции – у неё равные диагонали.

Действительно, треуг-ки ∆АВD и ∆АСD равны, ведь

Оказывается, есть признаки, которые позволяют определить, является ли трапеция равнобедренной. Сформулируем первый из них:

Для доказательства снова построим в трапеции АВСD такую прямую СН, что СН||АВ:

Несколько сложнее доказать другую теорему:

Пусть в трапеции АВCD одинаковы диагонали ВD и АС. Для определенности будем считать, что большее основание – это АD. Опустим из точек В и С перпендикуляры ВЕ и СF на АD:

Ясно, что эти перпендикуляры параллельны друг другу, ведь они перпендикулярны третьей прямой. Тогда в ВСFЕ противоположные стороны параллельны, то есть эта фигура – параллелограмм. Отсюда вытекает, что

Далее рассмотрим ∆ВЕD и ∆АСF. Они оба являются прямоугольными, у них одинаковы гипотенузы (АС = ВD), а также и катеты ВЕ и СF. Значит, эти треуг-ки равны, следовательно,

Задание. Один из углов равнобедренной трапеции составляет 55°. Найдите все остальные углы этой трапеции.

Решение. Проще всего найти ∠D, ведь углы при основании равнобедренной трапеции одинаковы:

Заметим одно важное обстоятельство. Если достроить равнобедренную трапецию до треугольника, продолжив ее боковые стороны, то получится равнобедренный треуг-к:

Действительно, если АВСD – равнобедренная трапеция, то

Пусть продолжения боковых сторон пересеклись в некоторой точке Е. Тогда в ∆АЕD два угла, ∠А и ∠D, окажутся равными, следовательно, ∆АЕD– равнобедренный.

Прямоугольник

Следующим особым четырехугольником является прямоугольник (иногда его сокращенно обозначают как прямоуг-к). Его отличительный признак заключается в том, что все его углы – прямые.

Продемонстрируем несколько прямоугольников:

Очевидно, что у прямоуг-ка противоположные стороны параллельны, ведь они перпендикулярны одной и той же прямой. Следовательно, всякий прямоуг-к одновременно является параллелограммом и обладает всеми его свойствами. Стоит особо отметить, что обратное утверждение неверно – отнюдь не всякий параллелограмм является прямоугольником. Другими словами, прямоугольник – это частный случай параллелограмма, который отличается тем, что его углы составляют 90°.

Из этого вытекает два свойства прямоугольника:

Однако есть ещё одно свойство, которое НЕ характерно для остальных параллелограммов.

Доказать это очень просто. Пусть есть прямоугольник АВCD:

Сравним ∆АВD и ∆АСD. Они являются прямоугольными, у них есть общий катет АD, а два других катете, АВ и СD, равны как противоположные стороны прямоугольника. Получается, что рассматриваемые треуг-ники равны, и поэтому равны и их гипотенузы, которые как раз и являются диагоналями прямоугольника.

Оказывается, верна и обратная теорема, которую называют признаком прямоугольника:

Действительно, пусть есть некоторый параллелограмм АВCD, у которого одинаковы диагонали АС и BD.

Противоположные стороны в одном параллелограмме одинаковы:

В итоге все углы АВСD оказываются прямыми, и эта фигура по определению оказывается прямоуг-ком.

Задание. В прямоуг-ке ABCD проведена биссектриса, которая делит сторону СD на отрезки СК и КD длиной 27 и 45 см соответственно. Найдите периметр АВCD.

Решение.Для нахождения периметра необходимо найти длины всех сторон.

Если АК – биссектриса, то

∆КАD является прямоугольным, и мы только что нашли один из его острых углов. Тогда можно найти и 2-ой угол:

Получается, что в ∆АКD два угла равны 45°, значит, он является равнобедренным, и

Мы нашли две смежные стороны прямоугольника, АD и СD. Две другие стороны будут им равны:

Следующая особенная фигура – это ромб. Дадим определение ромба:

На рисунке видно, что ромб похож на параллелограмм, и это не случайно. Докажем, что любой ромб является частным случаем параллелограмма. Но прежде заметим, что обратное утверждение неверно – отнюдь не каждый параллелограмм является ромбом.

Для доказательства этого факта проведем диагональ ромба:

В результате получилось два треуг-ка: ∆АВС и ∆АСD. Можно заметить два факта. Во-первых, каждый из этих треуг-ков – равнобедренный, ведь стороны ромба равны. Тогда можно записать равенство углов:

Из равенства треуг-ков вытекает и равенство углов:

Тогда очевидно, что ∠А и ∠С также равны, ведь они состоят из двух равных углов:

В итоге получается, что в ромбе противоположные углы одинаковы. Зная, что все 4 угла в сумме дают 360°, легко найдем сумму каких-нибудь двух смежных углов:

Итак, сумма смежных углов в ромбе равна 180°. Но эти углы можно рассматривать как односторонние. Если их сумма равна 180°, то и соответствующие прямые (в частности, ВС и АD) параллельны. Аналогично доказывается и то, что АВ||CD. Это и значит, что АВСD– параллелограмм.

Продолжим рассматривать построенный нами рисунок, но добавим в него ещё одну диагональ:

Во-первых, мы уже доказали следующее равенство

Из него вытекает, что диагональ АС является биссектрисой для∠А и ∠С. Аналогично и для диагонали ВD можно показать, что и она разбивает ∠В и ∠D пополам. Можно сформулировать следующее свойство ромба:

Далее рассмотрим ∆АВD. Он равнобедренный, а АО является биссектрисой, падающей на основание ВD. Но в равнобедренном треуг-ке такая биссектриса одновременно является высотой, то есть

Получается, что диагонали всякого ромба обязательно пересекаются под прямым углом.

Задание. Длина стороны ромба совпадает с длиной одной из его диагоналей. Определите углы этого ромба.

Решение. Построим рисунок по условию задачи:

Легко заметить, что∆АВС и ∆АСD будут равносторонними. Однако все углы равностороннего треуг-ка равны 60°:

Итак, два угла ромба будут равны 60°, а другие два 120°.

Квадрат

Последний особый случай четырехугольника – это квадрат. Эта фигура, которая сразу является и прямоугольником, и ромбом. Естественно, что любой квадрат одновременно является параллелограммом. Дадим определение квадрата:

Свойства квадрата – это совокупность свойств параллелограмма, ромба и прямоуг-ка.Это значит, что его диагонали:

Задание. Середины сторон квадрата соединили отрезками. Докажите, что получившаяся фигура также является квадратом.

Решение. Требуется доказать, что фигура, показанная красным цветом, является квадратом:

Так как стороны квадрата одинаковы, то одинаковы и их половины:

Получается, что ∆АМН, ∆МВР, ∆РСК и ∆КНD – прямоугольные, причем у них равны все катеты. Это значит, что, с одной стороны, они являются равнобедренными треуг-ками, а с другой стороны, они равны друг другу. Мы уже знаем, что у равнобедренного прямоугольного треуг-ка углы при основании составляют по 45°, а из равенства треуг-ков вытекает, что

Получается, что у четырехуг-ка МРКН все стороны одинаковы, то есть он является ромбом. Осталось доказать, что все его углы прямые. Рассмотрим, например, ∠РМН. Он в сумме с ∠ВМР и ∠АМН дает 180°, что позволяет вычислить его:

Итак, все углы ромба МРКН прямые, значит, он является квадратом.

Мы видим, что есть множество видов четырехугольников, причем часто одна и та же фигура может относиться сразу к нескольким типам. Для наглядности покажем на одной картинке всю иерархию четырехугольников. Здесь на одном рисунке можно увидеть название всех видов четырехугольников, их форму, также главное свойство, по которым их и определяют:

Симметрия

В заключение рассмотрим также такое важное геометрическое понятие, как симметрия.

В случае, показанном на рисунке,А₁ и А₂ не лежат на b. Если же рассматривается точка, лежащая на b, то она считается симметричной самой себе. На рисунке пары точек А и B, C и D, M и N симметричны относительно b.Для точки же Р нельзя найти парную ей симметричную точку. Поэтому условно считается, что она симметрична сама себе.

Теперь перейдем к такому понятию, как симметричная фигура.

В качестве иллюстрации приведем равнобедренный треуг-к. У него роль оси симметрии играет медиана, проведенная к основанию. Выберем на треугольнике произвольные точки А₁, В₁, С₁ и D₁. Далее отметим симметричные им относительно b точки, которые обозначим как А₂, В₂, С₂ и D₂. Видно, что они также принадлежат треугольнику:

Рассмотрим для иллюстрации и какую-нибудь несимметричную фигуру, например, треугольник с 3 разными сторонами:

Видно, что например, для точка А₁ симметричная ей А₂ НЕ принадлежит треугольнику, поэтому красная линия НЕ является осью симметрии.

Осевая симметрия присуща и многим другим фигурам:

Обратите внимание, что осей симметрии фигуры может быть несколько. У ромба их две (это его диагонали), у квадрата уже четыре (помимо диагоналей добавляются ещё и линии, соединяющие середины его противоположных сторон), а у окружности их и вовсе бесконечно много, так как любой ее диаметр может играть эту роль.

Возможен ещё один случай симметрии:

На приведенном рисунке С – это середина АВ, поэтому А и В симметричны, а точка С для них является центром симметрии.

Снова перейдем от отдельных точек к фигурам.

В частности, центральная симметрия присуща параллелограмму (его центром симметрии будет точка, в которой пересекаются его диагонали), а также окружность. Есть центральная симметрия и у любой прямой, причем в качестве центра симметрии фигуры можно выбрать любую точку, принадлежащую этой прямой:

Симметрия – это не просто умозрительная геометрическая конструкция, она встречается и в реальной жизни. Например, листья многих деревьев обладают осевой симметрией, а зубчатое колесо – центральной симметрией. Интересно, что из 32 выделяемых в царстве животных типов у представителей 28 (это более 99% известных видов) можно выделить правую и левую половину, которые симметричны друг другу. Архитекторы и конструктора при проектировании зданий и машин стремятся придать им симметричную форму, так как в большинстве случаев именно такая форма оказывается оптимальной и экономичной.

Источник