Что такое основная задача механики в физике

Учебники

Журнал «Квант»

Общие

Кикоин А.К. Как решается основная задача механики? //Квант. — 1984. — № 2. — С. 24-25.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала «Квант»

Основная задача механики, как неоднократно указывается в учебнике «Физика 8», — определять положение (координаты) движущегося тела в любой момент времени. Это механика обязательно должна «уметь», иначе она не может быть наукой о движении. Законы движения, открытые Ньютоном, и прежде всего второй закон Ньютона (основной закон динамики) \(

\vec F = m \vec a\) как раз и позволяют решать эту задачу.

Второй закон Ньютона связывает силу, приложенную к телу, и вызванное силой ускорение. Но ускорение — это быстрота изменения скорости, а скорость, в свою очередь, — быстрота изменения перемещения тела. Поэтому, решив уравнение, выражающее основной закон динамики, мы узнаем о быстроте изменения координат тела, а значит, и о самих координатах в любой момент времени. Для этого кроме силы нужно знать еще начальные условия — начальные координаты и начальную скорость тела.

На первый взгляд кажется, что уравнение второго закона Ньютона очень простое и что решается оно тоже просто. Однако надо помнить, что уравнение \(

\vec F = m \vec a\) — векторное. Это значит, что за ним «скрываются» три скалярных уравнения для проекции силы и ускорения на оси координат:

Эти уравнения в самом деле решаются легко, но только в том случае, когда проекции силы F_x, F_y и F_z постоянны, то есть когда их значения одинаковы при любых значениях координат точки, а значит, и в любой момент времени. Тогда постоянны и значения проекций ускорения a_x, a_y и a_z, движение тела, следовательно, равноускоренное, и координаты х, у и z определяются равенствами

Здесь x₀, y₀ и z₀ — начальные координаты, a υ_0x, υ_0y и υ_0z — соответствующие проекции начальной скорости на оси координат.

В школьном курсе физики рассматриваются только такие задачи, когда силы постоянны. Значительно сложнее решать основную задачу механики, если сила и ее проекции зависят от координат. В действительности обычно именно так и бывает. Как решается задача в таком случае? Конечно, и теперь нужно знать начальные условия и силу. Но теперь «знать силу» — значит знать, как она изменяется при изменении координат тела.

Пусть, например, на тело действует сила F_x, которая определенным (и известным) образом зависит от координаты х. Для определения координаты х тела в любой момент времени прежние формулы непригодны, потому что если сила F_x изменяется от точки к точке, будет изменяться и ускорение a_x тела. Будем решать задачу постепенно, так сказать, шаг за шагом.

Сначала рассмотрим движение нашего тела в течение малого промежутка времени Δt, начиная с момента, который мы условимся считать начальным. В этот момент (t = 0) координата х тела, равна x₀ (начальная координата), а скорость равна υ_0x (начальная скорость). Промежуток Δt выберем настолько малым, чтобы в течение этого времени силу F_x, а значит, и ускорение a_x можно было считать постоянными. Силу F_0x мы знаем, поскольку нам известно, как сила зависит от координаты; a_0x мы тоже знаем, так как \(

a_ <0x>= \frac>\). Следовательно, по известным нам формулам равноускоренного движения для скорости υ_1x и координаты x₁ в конце промежутка времени Δt мы можем написать:

Затем рассмотрим движение тела в следующий столь же малый промежуток времени Δt. Начальной координатой теперь будет найденное нами значение x₁ и начальной скоростью — значение υ_1x. В течение этого второго промежутка на тело будет действовать уже другая сила — F_1x. Ее значение мы найдем, зная зависимость силы от координаты. Соответственно другим будет и ускорение тела a_1x. Таким образом, к концу второго промежутка времени скорость тела будет равна

Эти значения скорости и координаты будут начальными для движения тела в течение следующего, третьего, промежутка, и мы таким же способом найдем значения скорости и координаты к концу этого промежутка.. Так, «двигаясь» шаг за шагом, мы сможем определить координату х тела в любой момент времени. Аналогично можно найти и координаты y и z.

В рассмотренной нами процедуре нетрудно заметить систематическую ошибку, которую мы допускаем. Состоит она в том, что сила и ускорение считаются постоянными в течение каждого малого промежутка времени Δt, а в конце промежутка они скачком изменяются. Между тем в действительности и сила, и ускорение всегда изменяются непрерывно. Уменьшить эту ошибку можно, уменьшив значение Δt. Ошибка практически вовсе исчезнет, если промежутки времени сделать бесконечно малыми. Но тогда число наших «шагов» станет бесконечно большим, и процедура из-за этого сделается невозможной.

Специально для таких случаев разработан особый математический аппарат, называемый дифференциальным и интегральным исчислением (Ньютон придумал его именно для этой цели). С его помощью и решается основная задача механики. Но принцип решения именно тот, который мы здесь рассмотрели. Именно таким способом рассчитывают сложные механические движения (например, спутников и ракет) современные ЭВМ.

В заключение отметим следующее. Когда мы говорим, что основная задача механики — находить координаты движущихся тел по известным силам и начальным условиям, то это вовсе не значит, что только этим и занимается механика. Бывает и так, что движение тела, то есть его положение в любой момент времени, известно из наблюдений. Тогда законы движения позволяют найти силу, действующую на тело. Эта задача, так называемая обратная задача механики, столь же важна, как и рассмотренная нами прямая задача, но, как нетрудно понять, она значительно проще.

Источник

Основные формулы механики в физике с пояснениями

Обновлено: 29 Июня 2021

Физика — одна из самых важных наук на Земле, которая описывает практически все известные человеку процессы и явления. В данной статье мы подробнее остановимся на ее большом разделе, который называется «механикой».

Что изучает механика в физике

Механика — это одна из физических наук, которая изучает движение тел и их взаимодействие друг с другом во время движения. Этот раздел физики описывает движение как искусственно созданных летательных аппаратов, так и физических небесных объектов; атмосферные и подводные течения; движение жидкостей и газов в природе; перемещение среды в электромагнитных полях; движение крови по сосудам и т.д.

Движение в механике — это изменение во времени и пространстве положения тел (или их частей) относительно друг друга.

Науку механику в зависимости от свойств пространства, времени и материи, на которых основывается каждая механическая теория, подразделяют на следующие виды:

Основные направления, формулы и пояснения

В механике выделяют следующие основные разделы:

Механика изучает движения материальных тел, при этом все материальные объекты делятся на 3 вида:

По предмету изучения механику подразделяют на:

Рассмотрим детальнее основные разделы механики. И начнем с кинематики.

Кинематика

Раздел кинематики отвечает на вопросы о том, как именно происходит механическое движение тела.

Механическое движение

Механическое движение — это перемещение тела с течением времени и относительно других объектов в пространстве.

Для расчета этих изменений понадобится система отсчета, которая состоит из:

В системе отсчета метр является единицей длины, а секунда — единицей времени.

Другими важными определениями в кинематике являются:

Существует 2 вида движения согласно траектории:

Поступательное и вращательное движение твердого тела

В кинематике выделяют два вида движения:

Поступательное движение — это движение твердого тела, при котором все его точки проходят одну и ту же траекторию и в любой момент времени обладают одинаковыми по направлению и величине векторами скорости и ускорения, синхронно меняющихся для любой точки объекта.

Вращательное движение — это вид механического движения, при котором материальное тело проходит траекторию окружности. При этом все точки тела описывают окружности, которые находятся в параллельных плоскостях. Центры всех окружностей находятся на одной прямой, которая перпендикулярна к плоскостям окружностей (называется осью вращения).

Кинематические уравнения движения

Определение местоположения материальной точки в пространстве можно осуществить двумя способами:

Эту зависимости можно представить в виде кинематических уравнений движения:

\(\vec r=\vec r\left(t\right)\)

Нулевой вектор на данной иллюстрации — это радиус-вектор положения точки в начальный момент времени.

Кинематические характеристики (скорость, ускорение)

Основными кинематическими характеристиками являются:

Скорость \((\vec v)\) — это векторная величина, которая характеризует направление и быстроту движения.

Среднюю скорость можно вычислить по формуле:

где \(\Delta\vec r \) — перемещение, \(\Delta t\) — время, за которое это перемещение произошло.

Символом \(∆\) обозначается разность однотипных величин или совсем маленьких интервалов.

Мгновенная скорость может быть вычислена тогда, когда \(\Delta t\rightarrow0\) и вектор перемещения совпадает с путем перемещения:

Ускорение тела (a) является величиной, равной отношению изменения скорости движения тела к длительности промежутка времени, за которое это изменение скорости произошло. Оно рассчитывается по формуле:

Мгновенным ускорение будет являться тогда, когда среднее ускорение за промежуток ∆t → 0, м/с²:

Динамика, законы Ньютона

Динамика — это раздел механики, который изучает причины изменения движения тел. Классическая механика видит причины этих изменений в воздействии на объекты различных сил. Расскажем подробно, какими параметрами и характеристиками оперирует раздел динамики.

Динамические характеристики поступательного движения

Основными характеристиками в динамике являются:

где \(m\) — масса тела, а \(\vec v\) — его скорость.

Импульс иллюстрирует, как механическое движение может передаваться от одного материального тела к другому.

Виды сил

В динамике выделяют несколько видов сил, которые могут воздействовать на объект:

Сила притяжения определяется по формуле:

где \(G\) — гравитационная постоянная, которая равна \(6,67\times10^ <-11>Н*м²/кг²\)

Сила упругости — это сила, возникающая при упругой деформации тела.

Рассчитывается она по формуле:

Силы трения возникают при движении касающихся друг друга объектов или их частей. Они бывают:

Сила сухого трения определяется по формуле:

где \(N\) — сила нормального давления, а \(k\) — коэффициент сухого трения.

Сила вязкого трения зависит от скорости движения тела ( \(v\) ) и рассчитывается по формуле:

\(α\) — коэффициент вязкого трения.

Разобрав основные динамические характеристики, можем переходить к основам динамики — законам Исаака Ньютона.

Первый закон Ньютона

Законы Ньютона, опубликованные им в 1687 году, лежат в основе механики. Они помогают описать движение тел с небольшими скоростями по сравнению со скоростью света.

Первый закон Ньютона предполагает существование таких систем отсчета, в которых материальные тела находятся в покое или движутся равномерно и по прямой, при условии, что на них нет воздействия каких-либо сил или действие этих сил скомпенсировано. Такие системы принято называть инерциальными. Все остальные законы Ньютона действительны именно для таких систем.

Первый закон Ньютона также часто называют законом инерции.

Инерция — это сохранение материальным объектом скорости и направления своего движения, при условии, что на него нет воздействия других тел и сил.

Второй закон Ньютона

Второй закон Ньютона иллюстрирует зависимость ускорения тела от его массы и силы, воздействующей на него. Причем чем больше сила, которая действует на объект, тем больше ускорение, которое тело приобретает.

Формулируется он в виде следующей формулы:

где \(\vec F\) — это векторная сила, воздействующая на объект;

\(\vec a\) — векторное ускорение тела;

Читается так: ускорение, с которым движется объект, прямо пропорционально действующей на тело силе и обратно пропорционально массе тела.

Третий закон Ньютона

Третий закон великого английского ученого предполагает, что при воздействии одного тела на другое с определенной силой, второе тело действует на первое с такой же силой. Их часто называют силами действия и противодействия.

Математически закон выражается так:

где \(\vec F_1\) — это сила действия, а \(\vec F_2\) — сила противодействия.

Формулируется так: объекты действуют друг на друга с силами, противоположными по направлению и равными по модулю.

Закон сохранения импульса

Закон сохранения импульса — это следствие из законов Ньютона: при движении тел в инерциальной системе без внешнего воздействия импульс сохраняется во времени, а при воздействии внешних сил на тело, скорость изменения импульса определяется суммой приложенных сил.

Математически это выражается так:

Точнее закон сохранения импульса можно сформулировать таким образом: векторная сумма импульсов всех тел, находящихся в системе, — величина постоянная, если внешнее воздействие на систему отсутствует или же их векторная сумма равна нулю.

Закон сохранения момента импульса

Закон сохранения момента импульса звучит так: момент импульса тел в замкнутой системе (в которой отсутствует воздействие внешних сил) относительно любой неподвижной точки не изменяется со временем.

Основное уравнение динамики вращательного движения

Работа и механическая энергия

Энергия — это способность физических объектов совершать определенную работу, поэтому количественно работа и энергия измеряются в одних и тех же единицах — джоулях (Дж).

Механическая работа будет численно равна изменениям механической энергии. Работа в механике бывает постоянной и переменной силы.

Работа постоянной и переменной силы

Сила, воздействующая на тело, когда перемещает его на определенное расстояние, совершает работу. В том случае, когда сила постоянна по величине и направлению, а движение прямолинейно, можно говорить о работе постоянной силы.

Если траектория движения объекта не прямолинейна, а сила, действующая на тело, не является постоянной, нужно говорить о работе переменной силы. Чтобы ее рассчитать, необходимо весь путь разбить на прямолинейные отрезки. Полная работа будет в таком случае равна сумме работ на всех прямолинейных участках.

Энергия

Энергия — это скалярная величина, которая является количественной мерой различных форм движения материи. Энергия, которая является мерой механического движения и механического взаимодействия тел с другими объектами и между собой, называется механической.

Изменение механической энергии системы ( \(\Delta W\) ) определяется работой ( \(A\) ), которую совершают внешние силы, воздействующие на систему:

Механическая энергия бывает двух видов:

Кинетическая

Кинетическая энергия — это скалярная функция, которая является количественной мерой движения материальных тел, рассматриваемых в конкретной механической системе. Кинетическая энергия зависит только от массы ( \(m\) ) и модуля скорости материальной точки ( \(v\) ).

Рассчитывается кинетическая энергия ( \(E\) ) по формуле:

Измеряется в джоулях.

Потенциальная

Потенциальная энергия — это физическая величина, которая обозначает энергию взаимодействия тел или их частей между собой. Потенциальная энергия зависит только от расстояния, на котором находятся объекты. Имеет числовое значение, но не имеет вектора направления.

Потенциальной энергией обладают следующие виды тел:

Потенциальная энергия тела, поднятого над землей ( \(E\) ), рассчитывается по формуле:

где \(m\) — масса тела, \(h\) — высота над землей, \(g\) — ускорение свободного падения на нашей планете.

Потенциальная энергия упруго деформированного тела ( \(E\) ) определяется по формуле:

где \(x\) — удлинение, \(k\) — жесткость.

Потенциальная энергия измеряется в джоулях.

Закон сохранения механической энергии

Закон сохранения энергии в механике известен всем со школы.

Энергия не исчезает и не возникает снова, она только переходит из одного вида энергии в другой или передается от одного объекта к другому.

Разобраться в такой сложной науке, как физика, довольно трудно. Не у всех есть время и желание вникать в процессы физических явлений. Но без паники! Подтянуть оценки по сложному предмету поможет образовательный сервис Феникс.Хелп. Обращайтесь в любое время!

Источник

Механическое движение и его характеристики

теория по физике 🧲 кинематика

Механика — раздел физики, который изучает механическое движение физических тел и взаимодействие между ними.

Основная задача механики — определение положение тела в пространстве в любой момент времени.

Механическое движение — изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени.

Механическое движение и его виды

По характеру движения точек тела выделяют три вида механического движения:

По типу линии, вдоль которой движется тело, выделяют два вида движения:

По скорости выделяют два вида движения:

По ускорению выделяют три вида движения:

Что нужно для описания механического движения?

Для описания механического движения нужно выбрать, относительно какого тела оно будет рассматриваться. Движение одного и того же объекта относительно разных тел неодинаковое. К примеру, идущий человек относительно дерева движется с некоторой скоростью. Но относительно сумки, которую он держит в руках, он находится в состоянии покоя, так как расстояние между ними с течением времени не изменяется.

Решение основной задачи механики — определения положения тела в пространстве в любой момент времени — заключается в вычислении координат его точек. Чтобы вычислить координаты тела, нужно ввести систему координат и связать с ней тело отсчета. Также понадобится прибор для измерения времени. Все это вместе составляет систему отсчета.

Система отсчета — совокупность тела отсчета и связанных с ним системы координат и часов.

Тело отсчета — тело, относительно которого рассматривается движение.

Часы — прибор для отсчета времени. Время измеряется в секундах (с).

При описании движения тела важно учитывать его размеры, так как характер движения его отдельных точек может различаться. Но в рамках некоторых задач размер тела не влияет на результат решения. Тогда его можно считать пренебрежительно малым. Тогда тело рассматривают как движущуюся материальную точку.

Материальная точка — это тело, размерами которого можно пренебречь в условиях конкретной задачи. Допустимо принимать тело за точку, если оно движется поступательно или его размеры намного меньше расстояний, которые оно проходит.

Виды систем координат

В зависимости от характера движения тела для его описания выбирают одну из трех систем координат:

Способы описания механического движения

Описать механическое движение можно двумя способами:

Координатный способ

Указать положение материальной точки в пространстве можно, используя трехмерную систему координат. Если эта точка движется, то ее координаты с течением времени меняются. Так как координаты точки зависят от времени, можно считать, что они являются функциями времени. Математически это записывается так:

Эти уравнения называют кинематическими уравнениями движения точки, записанными в координатной форме.

Векторный способ

Радиус-вектор точки — вектор, начало которого совпадает с началом системы координат, а конец — с положением этой точки.

Указать положение точки в трехмерном пространстве также можно с помощью радиус-вектора. При движении точки радиус-вектор со временем изменяется. Он может менять направление и длину. Это значит, что радиус-вектор тоже можно принять за функцию времени. Математически это записывается так:

Эта формула называется кинематическим уравнением движения точки, записанным в векторной форме.

Характеристики механического движения

Движение материальной точки характеризуют три физические величины:

Перемещение

Траектория — линия, которую описывает тело во время движения.

Путь — длина траектории. Обозначается буквой s. Единица измерения — метры (м).

Путь есть функция времени:

Модуль перемещения — длина вектора перемещения. Обозначается как |Δ r |. Единица измерения — метры (м).

Модуль перемещения необязательно должен совпадать с длиной пути.

Пример №1. Человек обошел круглое поле диаметром 1 км. Чему равны пройденный путь и перемещение, которое он совершил.

Путь равен длине окружности. Поэтому:

Человек, обойдя круглое поле, вернулся в ту же точку. Поэтому его начальное положение совпадает с конечным. В этом случае человек совершил перемещение, равное нулю.

Пример №2. Точка движется по окружности радиусом 10 м. Чему равен путь, пройденный этой точкой, в момент, когда модуль перемещения равен диаметру окружности?

Диаметр — это отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через центр. Перемещение равно длине этого отрезка в случае, если один из концов этого отрезка является началом вектора перемещения, а другой — его концом. Траекторией движения в этом случае является дуга, равная половине окружности. А длина траектории есть путь:

Скорость

Скорость — векторная физическая величина, характеризующая быстроту перемещения тела. Численно она равна отношению перемещения за малый промежуток времени к величине этого промежутка.

Скорость характеризуется не только направлением вектора скорости, но и его модулем.

Модуль скорости — расстояние, пройденное точкой за единицу времени. Обозначается буквой V и измеряется в метрах в секунду (м/с).

Математическое определение модуля скорости:

Величина скорости тела в данный момент времени есть первая производная от пройденного пути по времени:

Ускорение

Ускорение — векторная физическая величина, которая характеризует быстроту изменения скорости тела. Численно она равна отношению изменения скорости за малый промежуток времени к величине этого промежутка.

Модуль ускорения — численное изменение скорости в единицу времени. Обозначается буквой a. Единица измерения — метры в секунду в квадрате (м/с 2 ).

Математическое определение модуля скорости:

v — скорость тела в данный момент времени, v₀— его скорость в начальный момент времени, t — время, в течение которого эта скорость менялась.

Ускорение тела есть первая производная от скорости или вторая производная от пройденного пути по времени:

Проекция вектора перемещения на ось координат

Проекция вектора перемещения на ось — это скалярная величина, численно равная разности конечной и начальной координат.

Проекция вектора на ось OX:

Проекция вектора на ось OY:

Знаки проекций перемещения

Проекция вектора перемещения на ось считается нулевой, если вектор расположен перпендикулярно этой оси.

Модуль перемещения — длина вектора перемещения:

Модуль перемещения измеряется в метрах (м).

Вместе с собственными проекциями модуль перемещения образует прямоугольный треугольник. Сам он является гипотенузой этого треугольника. Поэтому для его вычисления можно применить теорему Пифагора. Выглядит это так:

Выразив проекции вектора перемещения через координаты, эта формула примет вид:

Выражение проекций вектора перемещения через угол его наклона по отношению к координатным осям:

Общий вид уравнений координат:

Пример №3. Определить проекции вектора перемещения на ось OX, OY и вычислить его модуль.

Определяем координаты начальной точки вектора:

Определяем координаты конечной точки вектора:

Проекция вектора перемещения на ось OX:

Проекция вектора перемещения на ось OY:

Применяем формулу для вычисления модуля вектора перемещения:

Пример №4. Определить координаты конечной точки B вектора перемещения, если начальная точка A имеет координаты (–5;5). Учесть, что проекция перемещения на OX равна 10, а проекция перемещения на OY равна 5.

Извлекаем известные данные:

Для определения координаты точки В понадобятся формулы:

Выразим из них координаты конечного положения точки:

Точка В имеет координаты (5; 10).

Алгоритм решения

Решение

Записываем исходные данные:

Записываем формулу ускорения:

Так как начальная скорость равна 0, эта формула принимает

Вид — группа особей, сходных по морфолого-анатомическим, физиолого-экологическим, биохимическим и генетическим признакам, занимающих естественный ареал, способных свободно скрещиваться между собой и давать плодовитое потомство.

Отсюда скорость равна:

Подставляем имеющиеся данные и вычисляем:

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Источник