Что такое основные системы счисления

Информатика

Именная карта банка для детей
с крутым дизайном, +200 бонусов

Закажи свою собственную карту банка и получи бонусы

План урока:

Развиваясь, древний человек стал испытывать потребность в способах выражения количества. Подсчет убитых животных, количество врагов или соседей – причин становилось все больше. Сначала люди использовали только понятия «один», «много». После стали использовать понятие «пара», чтобы обозначить два предмета, это намного облегчило жизнь.

Постепенно перешли к использованию подручных средств – пальцев на руках и ногах, зарубок на коре дерева, кости животного или узелков на канате. Именно такие примитивные «счетные машины» позволили через тысячи лет узнать, что предки умели не просто считать, но даже умудрялись фиксировать результаты подсчета.

Кроме зарубок и узелков появилась потребность в символах, выражающих большее количество чего-либо, чем «один». Тогда были придуманы первые знаки для выражения больших значений. Так, египтяне, использовали знаки для цифр 1, 5, 10. Число 324 в их системе выглядело так:

А описание чисел при помощи специальных знаков и является системой счисления.

Системы счисления – виды, особенности

Система счисления (СС) – способ выражения чисел при помощи специальных правил и знаков, которые называются цифрами.

Все существующие системы делят на 2 группы:

Чтобы выразить число 475, достаточно по порядку написать 3 символа, 475, выражая 5 единиц, 7 десятков и 4 сотни.

К этой группе также относятся СС с различными основаниями (2,8,16).

Еще одна особенность – чтобы выразить число и не использовать сотни символов, применяется прибавление и вычитание. Написать 475 римскими знаками можно так CCCCXXXXXXXIIIII, но это нерационально. Если отнимать или прибавлять цифры, получится меньшее количество символов – CDLXXV. Цифра слева означает, что ее нужно отнять от большего числа, а справа – прибавить.

Правильным считается тот вариант, при котором получается меньше символов.

Интересно. Первой позиционной СС была вавилонская и была она шестнадцатиричная! А в 19 веке использовали двенадцатеричную СС.

Алфавит СС – знаки, которые используются для обозначения цифр.

Основание – количество знаков, которыми кодируются числа. Еще оно показывает отличие между цифрами на разных позициях. Основание – целое число, начиная с 2.

Важно. Если в тексте идет речь о различных системах, то чтобы уточнить, какая используется основа, ставится подстрочный знак: 1254₈, 01100111₂. Примеры? Если же обозначения нет, по умолчанию это десятичная (12549).

Разряд – положение, позиция обозначения цифры в числе. Пример?

Непозиционные СС, их особенности

Первоначально древние люди ставили отметки (черточки-зарубки, точки), чтобы обозначить количество того или иного предмета. Отклики этого подхода все еще встречаются (полоски у военных, счетные палочки).

Постепенно от единиц они переходили к группам предметов по 3, 5, 10 единиц. Постепенно такие группы стали обозначаться определенными символами, что позволило сократить размер записи.

Римская СС

В ней определенным цифрам отвечают латинские буквы. Их сумма и будет числом.

Основные рекомендации при пользовании римскими цифрами:

Таблица римских цифр

Недостаток этой СС в том, что для больших чисел недоступны операции сложения или другие, ещё она сложная и громоздкая. Зато римские цифры отлично вписались там, где нужна нумерация и эстетика: циферблаты, номера глав, списки, серии документов.

Основные позиционные СС, правила перевода

Двоичная система счисления

Систему, на которой основывается работа компьютеров, придумал гениальный немецкий ученый Г.В. Лейбниц (еще до 19 века!). Он придумал и описал СС, в которой все вычисления проводятся при помощи двух простейших символов – 0 и 1.

Компьютер, как механическое устройство, получает команды в виде двоичной кодировки. Он не в силах понять сложные задания, человеческую речь, музыку или тысячи оттенков, а переводя/кодируя всю необходимую информацию при помощи 0 и 1 (сеть, отсутствие сети), можно передать ему любые команды или информацию. Естественно, такие задания выглядят как огромные массивы двух знаков.

Алгоритм перевода чисел из десятичной в двоичную систему:

Этот порядок действия позволят переводить в любую позиционную СС. В данном случае, основа – 2, остаток 2 +7*10 1 +9*10 0 = 579₁₀.

Обычно мы пользуемся свернутой формой записи чисел, то есть без разбивки на разряды и умножения на основу.

А чтобы было легче, пользуются готовой таблицей степеней 2.

Альтернативный способ преобразования для гуманитариев

Для начала нужно написать степени двойки, начиная с самой большой:

Далее нужно отнимать от числа максимальную степень двойки и напротив нее ставить 1, если есть в исходном варианте или 0, если его нет.
Перевод числа 579

Если же оно на 1 больше, то число будет начинаться и заканчиваться на 1, а внутри – сплошные 0.

Основой такой системы является 8, а числа восьмеричной системы 0-7. Данная система счисления является позиционной и целочисленной. Применяется в сферах, связанных с цифровыми технологиями, особенно в Linux-программном обеспечении (права доступа, исполнения).

Пример: Перевести 579₈ из десятичной в восьмеричную систему счисления:

Обратный перевод из восьмеричной СС в десятичную:

1103₈ = 1∙8 3 +1∙8 2 +0∙8 1 +3∙8 0 = 512+64+0+3 = 579₁₀

Альтернативный вариант таблицы степеней

Шестнадцатеричная СС

Это целочисленная система с основанием 16 (символы шестнадцатеричной системы счисления 0-9 и буквы A – F). Используется в реализации компьютерного программирования и документации на низком уровне, так как 8-битный байт, для записи которого удобно использовать 2 цифры из шестнадцатеричной системы.

Стандарт Юникод использует 4 и более символов 16-ой СС.

Для записи цвета из красного, зеленого и синего (R, G и B) также используют эту систему.

Алгоритм преобразования чисел в 16СС

Способ преобразования аналогичный предыдущим – расписывание числа как многочлена с учетом степеней 16. Для этого число делится на 16, в итоге – перечень остатков от деления, записанных наоборот.

В сети есть калькуляторы, способные выполнять преобразование чисел в различные СС и обратно (некоторые даже с детальным описанием процесса).

Арифметика для 2СС

Принципы выполнения простейших арифметических операций одинаковы для любых позиционных систем, независимо от основы:

Особенности арифметики СС с разными основами:

Примеры арифметических операций:

Для удобства разработаны готовые таблицы сложения в различных системах:

Сложение в 8-ой СС в 16СС

С их помощью можно быстро суммировать в различных СС.

Сложение для разных СС на примере 15 и 6:

Если необходимо сложить числа из разных систем, их приводят к одной основе. Самым простым вариантом будет перевод в десятичную систему, решение простого примера и перевод результата в любую из систем.

Рассмотрим сумму 43₈ и 56₁₆. Результат можно выразить в любой СС, но проще привести к 8- или 16-ричной:

Переводим число 56 в восьмеричную через двоичную:

Умножение в 8-ой СС

Сравнение систем

СС могут быть с произвольной основой, но популярны 2,8,10,16-ые.

Сравнительная таблица разных систем счисления:

Перевод числа 75 в разные системы:

Правила перевода из двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной в 10СС:

Исходный вариант следует разделить на тройки цифр, с крайней справа. Если не хватает, старший разряд дополнить 0. Далее под каждой триадой ставится подходящий символ из 8‑ой системы.

Рассмотрим перевод на примере числа 579, которое соответствует 1001000011₂

Правила перевода из двоичной в шестнадцатеричную систему счисления:

Число разбивается по 4 знака, начиная справа (с меньшего разряда). Если не будет хватать символов у старшего разряда, тетраду дополняют нулями.

Сравнительный перевод дробей в СС

Чтобы перевести правильные дроби из 10-ой СС в другие позиционные, следует придерживаться правила, которое хорошо видно на примере перевода числа 0,35:

Удобно писать над каждой цифрой порядок, а дальше ее умножить на основу СС в степени разряда.

Перевод целых и дробей в 2СС, 8СС, 16СС:

Таблицы истинности

При помощи тех же нулей и единиц создаются таблицы истинности логических выражений, в которых описаны всевозможные варианты.

Основные логические операции

Например, конъюнкция является одной из логических операций. Она является истиной только в том случае, если два высказывания имеют истинные значения.

Логические переменные таблицы истинности обозначают p и q, а их значения выражают при помощи 0 и 1, где 0 – ложь, 1 – истина:

Фрагмент таблицы истинности для конъюнкции.

Так выражаются условия для всех логических операций.

Применяются таблицы истинности еще с начала 20 века в алгебре, логике, программировании.

Источник

Системы счисления

Система счисления — это совокупность правил записи чисел посредством конечного набора символов (цифр).

Системы счисления бывают:

Непозиционные системы счисления

Примеры: унарная, римская, древнерусская и др.

Позиционные системы счисления

Основание системы счисления —

количество различных цифр, используемых в этой системе.

отношение количественного эквивалента цифры в этом разряде к количественному эквиваленту той же цифры в нулевом разряде

где i — номер разряда, а s — основание системы счисления.

Разряды числа нумеруются справа налево, причем младший разряд целой части (стоящий перед разделителем — запятой или точкой) имеет номер ноль. Разряды дробной части имеют отрицательные номера:

По определению веса разряда

где i — номер разряда, а s — основание системы счисления.

Тогда, обозначив цифры числа как a_i, любое число, записанное в позиционной системе счисления, можем представить в виде:

Например, для системы счисления с основанием 4:

Выполнив вычисления, мы получим значение исходного числа, записанное в десятичной системе счисления (точнее, в той, в которой производим вычисления). В данном случае:

= 1⋅64 + 3⋅16 + 0⋅4 + 2⋅1 + 2⋅0,25 =

= 64 + 48 + 2 + 0,5 = 114,5

Таким образом, для перевода числа из любой системы счисления в десятичную следует:

Вспомним пример перевода из системы счисления с основанием 4 в десятичную:

1302₄ = 1⋅4 3 + 3⋅4 2 + 0⋅4 1 + 2⋅4 0 = 114

Иначе это можно записать так:

114 = ((1 ⋅ 4 + 3) ⋅ 4 + 0) ⋅ 4 + 2 = 1302₄

Отсюда видно, что при делении 114 на 4 нацело в остатке должно остаться 2 — это младшая цифра при записи в четверичной системе. Частное же будет равно

Деление его на 4 даст остаток — следующую цифру (0) и частное 1 ⋅ 4 + 3. Продолжая действия, получим аналогичным образом и оставшиеся цифры.

В общем случае для перевода целой части числа из десятичной системы счисления в систему с каким-либо другим основанием необходимо:

Источник

Системы счисления в математике

Содержание:

Системы счисления в математике

Система счисления — это совокупность правил записи чисел посредством конечного набора символов (цифр). Системы счисления бывают: непозиционными (в этих системах значение цифры не зависит от ее позиции — положения в записи числа).

Непозиционные системы счисления

Непозиционными называются такие системы счисления, в которых каждая цифра сохраняет своё постоянное значение независимо от того места, которое она занимает в записи числа.

Примером непозиционной системы счисления, которая дошла до наших дней и иногда используется, является римская система счисления. В этой системе для записи чисел используется такие цифры: I, V, X, C, D, M и т.д., они обозначают числа один, пять, десять, пятьдесят, сто, тысяча и т.д. Запись любых других чисел производится на основе определённых правил: несколько одинаковых цифр, стоящих рядом, отображают число, равное сумме чисел, которые соответствуют этим цифрам, например III — три, XX — двадцать, пара цифр в которой младшая цифра (которая обозначает меньшее число) стоит слева от старшей (которая обозначает большее число), отображает разность соответствующих чисел, например IV — четыре, XL — сорок, пара цифр, в которой младшая цифра стоит справа от старшей, отображает сумму соответствующих чисел, например XI — одиннадцать, VI — шесть, и т.п.

Позиционные системы счисления

Позиционными называются такие системы счисления, в которых значение каждой цифры определяется не только самой цифрой, но и тем местом (позицией), которое она занимает в записи числа.

Основой позиционной системы счисления называется число , которое показывает, сколько необходимо единиц любого разряда для получения единицы старшего разряда. Систему счисления с основой будем обозначать через . Очевидно, что основой системы счисления определяется количество цифр, которые используются для записи чисел в данной системе счисления. Основой десятичной системы счисления является число десять, для записи любых чисел используется только десять разных чисел: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

В позиционной системе счисления с основой используются разных целых чисел , которые называются базой системы счисления. Различаются позиционные системы счисления с неотъемлемой и симметричной базой. В позиционных системах счисления с неотъемлемой базой цифры означают последовательные целые числа начиная с нуля; в позиционных системах счисления с симметричной базой цифры обозначают последовательные целые числа, симметрично расположенные относительно нуля и ноль. Как правило, цифры 0, 1 в позиционных системах счисления обозначают число ноль и единицу.

Числа в позиционной системе счисления с основой записывают как последовательность цифр системы , разделённых запятой на целую и дробную части. Если буквы обозначают цифры системы, то последовательность цифр означает число .

Арифметические действия над числами в любой позиции системы счисления выполняются по тем же правилам, что и в десятичной системе. Однако, при выполнении действий над числами системы, необходимо пользоваться таблицами сложения и умножения этой системы.

Чтобы различать в какой системе счисления записано то или другое число, договоримся обозначать через число х, записанное в системе счисления .

Рассмотрим наиболее внедрённые в ЭВМ системы счисления.

Двоичная система счисления

Эта система счисления использует две цифры 0, 1, которые обозначают числа ноль и единицу соответственно. Основой этой системы является число два.

Ниже дано изображения некоторых чисел в двоичной системе счисления:

При добавлении двух чисел, записанных в двоичной системе счисления, следует пользоваться таблицей сложения:

Таблица умножения в двоичной системе счисления также очень простая:

Примеры

Восьмеричная система счисления

Эта система счисления использует цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 для обозначения последовательных чисел от нуля до семи включительно. Основой этой системы является число 8. Запись произвольного числа в этой системе основывается на его разложении по степеням числа восемь с указанными выше коэффициентами.

Запишем некоторые числа в восьмеричной системе счисления:

Восьмеричные таблицы сложения и умножения имеют вид:

Примеры

Шестнадцатеричная система счисления

Эта система счисления использует шестнадцать цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, которые обозначают последовательно целые числа, начиная с нуля заканчивая числом «пятнадцать». Основой этой системы счисления является число шестнадцать.

Запишем некоторые числа в шестнадцатеричной системе счисления:

Примеры

Переведение чисел из одной системы в другую

При решении задач на ЭВМ начальные данные, как правило, задаются в десятичной системе счисления, в той же системе необходимо получить результат. Однако почти все машины работают не в десятичной системе, а в какой-нибудь другой, например в двоичной. Поэтому возникает необходимость переведения чисел из одной системы в другую. При рассмотрении правил перевода чисел из одной системы счисления в другую ограничимся только системами счисления с неотъемлемой базой. Поскольку переведение отрицательных чисел сводится к переводу абсолютных величин и приписыванием им знака минус, то достаточно рассмотреть перевод положительных чисел.

Перевод чисел системы в систему с помощью арифметики системы .

Такой перевод будем обозначать символами .

Для того, чтобы число , записанное в системе .

перевести в систему , пользуясь арифметикой системы , необходимо:

а) записать число в виде:

б) заменить основу 10 и все цифры системы их изображениями в системе ;

в) сделать вычисления, пользуясь арифметикой системы .

Примеры:

Проведя вычисления, пользуясь арифметикой десятичной системы счисления, получаем число 22,75₁₀.

б) Перевести число 27,5₁₀ из десятичной системы счисления в двоичную

то, заменив основу 10 и цифры 2, 7, 5 их изображением в двоичной системе счисления, получаем:

Сделав вычисления, пользуясь арифметикой двоичной системы счисления, получим число .

Следовательно,

в) Перевести число 634,52₈ из восьмеричной системы счисления в десятичную (8 → 10(10)).

Подав это число в виде

и заменив основу 10 — числом 8 (цифры 6, 3, 4, 5, 2 имеют тот же вид в десятичной системе счисления) получаем:

Сделав вычисления, пользуясь арифметикой десятичной системы счисления, получаем число 412,93750₁₀.

Следовательно, 634,52_{8 =} 412,93750_10.

г) Перевести число 98,6₁₀ из десятичной системы счисления в восьмеричную (10 →8(8)).

Представив это число в виде

и заменив основу числа 10 и цифры 9, 8, 6 их видом в восьмеричной системе счисления, получим:

Сделав вычисления, руководствуясь арифметикой восьмеричной системы счисления получим число 142,4₈. Следовательно, 98,6₁₀ = 142,4₈.

Перевод чисел системы в систему с помощью арифметики системы

Перевод чисел системы в систему с помощью арифметики системы .

Такой перевод будем обозначать символами . Поскольку для перевода любого числа достаточно уметь переводить его дробную и целую части, то можно рассмотреть эти оба случая отдельно.

Перевод целых чисел

Пусть целое число , записанное в системе , необходимо перевести в систему . Поскольку — целое число, то его вид в системе будет таким:

где цифры системы , которые необходимо определить, а 10 — основа системы .

Заменим цифры и основу 10 системы их видом в системе . Пусть является изображением цифры изображением основы системы в системе .

Разделив обе части полученного равенства на , получим остаток и частное

Если теперь частное разделить на , то получим остаток и частное

Повторяя этот процесс раз, мы последовательно найдём все числа , причём последнее частное Деление выполняем, пользуясь арифметикой системы .

Таким образом, при последовательном делении числа и частных, которые получаем при делении, на основу системы, записанную в системе, то есть на , получим в виде остатков от деления цифры, необходимое для изображения числа в системе , записанные в системе . Последовательное деление производится до тех пор, пока не одержим частное, меньше чем . Это последнее частное даст нам цифру числа , записанную в системе. При делении пользуются арифметикой системы .

Примеры

а) Перевести число 65₁₀ из десятичной системы счисления в двоичную (10 → 2(10)).

и десятичные цифры 0, 1 имеют тоже самое изображение в двоичной системе счисления, то 65₁₀ = 1000001₂

б) Перевести число 325₁₀ из десятичной системы счисления в восьмеричную (10 → 8(10)).

и десятичные цифры 5, 0 имеют тоже самое изображение в восьмеричной системе счисления, то 325₁₀ = 505₈.

в) Перевести число 3060₁₀ из десятичной системы в шестнадцатеричную (10→16(10)).

а десятичные цифры 15, 11 изображаются в шестнадцатеричной системе счисления как F и B, 3060₁₀ = BF4₁₆.

г) Перевести число 111011₂ из двоичной системы счисления в десятичную (2→10(2)).

Пользуясь арифметикой двоичной системы счисления, получим:

Двоичные числа 101 и 1001 в десятичной системе счисления имеют изображение 5 и 9 соответственно, 111011₂ = 59₁₀.

Переведение правильных дробей

Пусть D — правильная дробь, записанная в системе P. Допустим, что необходимо перевести дробь в систему . Пусть изображение D в системе найдём и она имеет изображение

Умножим две части полученного равенства на . Получим число, целая часть которого и дробная часть

Умножим на , получим число, целая часть которого и дробная

Повторяя умножение необходимое нам количество раз, мы найдём одну за одной цифры, необходимые нам для изображения числа D в системе . При умножении пользуемся арифметикой системы P.

Таким образом, при последовательном умножении числа D и дробных частей произведения, которые получаются при умножении на основу , записанную в системе P, то есть на , получим в виде целых частей произведений цифры, необходимые для изображения числа D в системе . Умножение выполняем, пользуясь арифметикой системы P.

Примеры:

а) Перевести число 0,5625₁₀ из десятичной системы исчисления в восьмеричную (10→8(10)).

и десятичная цифра 4 имеет то же самое изображение в восьмеричной системе счисления, то 0,5625₁₀ = 0,44₈.

б) Перевести число 0,375₁₀ из десятичной системы исчисления в двоичную (10→2(10)).

и десятичные цифры 0, 1 имеют то же самое изображение в двоичной системе счисления, то 0,375₁₀ = 0,0012.

в) Перевести число 0,5B4₁₆ из шестнадцатеричной системы исчисления в десятичную (16→10(16)).

и шестнадцатеричные цифры 5, 5, 5, 6, 0, 1, 2 имеют то же самое изображение в десятичной системе счисления, то 0,5B4₁₆ = 0,3569015625₁₀.

Замечание: Удобнее всего, при переводе чисел из системы счисления P в систему , пользоваться арифметикой системы P, если

Перевод чисел системы в систему и наоборот, если .

Пусть , где целые положительные числа. В этом случае общие правила перевода значительно упрощаются.

Для того, чтобы перевести число системы в систему при , достаточно каждую цифру этого числа заменить соответствующим -разрядным числом в системе .

Для того, чтобы перевести число системы в систему при , достаточно, двигаясь от запятой влево и вправо, разбить все цифры числа на группы по цифр в каждой (крайние группы дополняются нулями, если это необходимо) и каждую группу заменить соответствующей цифрой системы .

Примеры:

Трёхразрядное двоичное число, которое соответствует определённой восьмеричной цифре, называется триадой. Соответствие между восьмеричными цифрами и триадами такое:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Источник