Что такое отношение на множестве

ТЕМА 5. ОТНОШЕНИЯ НА МНОЖЕСТВЕ

1. Понятие отношения между элементами одного множества.

2. Способы задания отношений.

3. Свойства бинарных отношений.

4. Отношение эквивалентности. Отношение порядка.

Основная литература [7, 10, 11, 16, 23, 33, 34];

Дополнительная литература [1, 10, 14, 74]

Понятие отношения между элементами одного множества

В математике изучают не только сами объекты (числа, фигуры, величины), но и связи, отношения между ними.

Отношения многообразны. Между понятиями – это отношения рода и вида, части и целого; между предложениями – отношения следования и равносильности; между числами – «больше», «меньше», «равно», «больше на…», «следует» и др.

Изучение отношений между объектами важно для познания как самих объектов, так и для познания реального мира в целом. В нашем курсе мы будем рассматривать в основном бинарные отношения, т.е отношения между двумя элементами, но чтобы увидеть общность методических подходов к изучению в начальном курсе математики конкретных отношений, понять важнейшие математические идеи, связанные с отношениями, учителю полезно знать, какова математическая сущность любого отношения, какими свойствами они могут обладать, какие основные виды отношений изучает математика.

Чтобы определить общее понятие отношения на множестве, рассмотрим сначала конкретный пример. Пусть на множестве Х = <2, 4, 6, 8>задано отношение «меньше». Это означает, что для любых двух чисел из множества Х можно сказать, какое из них меньше: 2

Источник

Понятие отношения на множестве

Лекция 20. Отношения на множестве

1. Отношения на множестве. Бинарные отношения.

2. Свойства отношений

§10. ОТНОШЕНИЯ НА МНОЖЕСТВЕ

В математике изучают не только связи между элементами двух множеств, т.е. соответствия, но и связи между элементами одного множества. Называют их отношениями.

Изучение отношений между объектами важно для познания как самих объектов, так и для познания реального мира в целом. В нашем курсе мы будем рассматривать в основном бинарные отношения, но чтобы увидеть общность методических подходов к изучению в начальном курсе математики конкретных отношений, понять важнейшие математические идеи, связанные с отношениями, учителю надо знать, какова математическая сущность любого отношения, какими свойствами они могут обладать, какие основные виды отношений изучает математика.

Чтобы определить общее понятие бинарного отношения на множестве, поступим так же, как и в случае с соответствиями, т.е. рассмотрим сначала конкретный пример. Пусть на множестве X = <2, 4, 6, 8>задано отношение «меньше». Это означает, что для любых двух чисел из множества X можно сказать, какое из них меньше: 2

Вообще бинарные отношения на множестве X определяют следующим способом:

Определение. Бинарным отношением на множестве X называется всякое подмножество декартова произведения Х х Х.

Так как в дальнейшем мы будем рассматривать только бинарные отношения, то слово «бинарные», как правило, будем опускать.

Условимся отношения обозначать буквами R, S, T, P и др.

Утверждение о том, что элементы х и у находятся в отношении R, можно записывать так: (х, у) € R или хRу. Последняя запись читается: «Элемент х находится в отношении R с элементом у».

Построим, например, граф отношений «меньше», заданного на множестве X = <2, 4, 6, 8>. Для этого элементы множества X изобразим точками (их называют вершинами графа), а отношение «меньше» — стрелкой (рис. 93).

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник

Лекция 2. Отношения на множестве, их свойства.

Если множества X и Y совпадают, X = Y, то говорят не о соответствии, а об отношении между элементами множества X.

Бинарные соответствия между X и X называют бинарными отношениями на множестве X.

Например, если X – множество людей, то соответствия «Человек х – друг человека у», «х живет в одном доме с у», «Человек х – отец человека у» являются отношениями между людьми.

Отношение на множестве X задано, если указано множество Г, являющееся подмножеством декартова произведения Х×Х.

Отношения, как и соответствия, принято обозначать буквами R, S, T, Q и др. и писать xRy, xSy и т. д.

Множество X называют областью задания отношения R, а множество Г – графиком отношения R.

Рассмотрим, например, на множестве Х= <1; 2; 3; 4>отношение «х>у». График этого отношения – множество Г=<(2; 1); (3; 1); (3; 2); (4; 1); (4; 2); (4; 3)>, состоящее из всех тех пар (х; у), х€Х, у€Х, для которых х>у.

Способы задания отношения:

1. Перечисление упорядочных пар или графиком Г,

2. Словесным описанием,

3. Ориентированным графом,

4. Графиком в ПДСК (только для числовых множеств),

5. Таблицей (например, график дежурства – задает соответствие между учениками и днями недели),

6. Аналитически или формулой (например, у=х+5).

Чтобы наглядно представить отношение R в множестве X, изобразим точками элементы этого множества, а затем проведем стрелки от х к у для всех пар точек (х; у) таких, что xRy. Полученный чертеж называют графом отношения R, а точки, изображающие элементы множества X, вершинами графа

Построим, например, граф отношения R: «х≤у», заданного на множестве

Х= < 1/2; 3/5;4>. Для этого рисуем диаграмму множества X, изобразив элементы этого множества точками. Затем проводим стрелки от х к у для всех пар (x; у) таких, что х меньше или равент у. Получаем граф отношения «х≤у», заданного на множестве Х= <1>.

Каждое из этих чисел равно самому себе, поэтому для каждой точки х, изображающей элемент множества X, рисуем стрелку, начало и конец которой совпадают с х. Стрелку на графе, у которой начало и конец совпадают, называют петлей. Следовательно, граф отношения R в каждой вершине имеет петли.

Пусть на множестве X задано некоторое отношение R

1. Отношение R называется рефлексивным, если для любого х из множества X истинно xRx. Другими словами, отношение R на множестве X рефлексивно, если каждый элемент х £ X находится в отношении R с самим собой.

Так, рефлексивно отношение конгруэнтности на множестве геометрических фигур, поскольку каждая фигура конгруэнтна самой себе.

2. Отношение R называется антирефлексивным, если ни один элемент х из множества X не находится в отношении R с самим собой.

Например, отношение «Прямая х перпендикулярна прямой у» на множестве прямых плоскости антирефлексивно, так как ни одна прямая не перпендикулярна самой себе.

Существуют отношения, не являющиеся ни рефлексивными, ни антирефлексивными. Примером такого отношения может служить отношение «Точка х симметрична точке у относительно прямой l», заданное на множестве точек плоскости. Действительно, все точки прямой l симметричны самим себе, а точки, не лежащие на прямой l, себе не симметричны.

3. Отношение R называется симметричным, если для любых элементов х и у из множества X из xRy следует yRx.

Так, симметрично отношение параллельности на множестве прямых плоскости: если прямая х параллельна прямой у, то и прямая у параллельна прямой х.

4. Отношение R называется асимметричным если ни для каких элементов х и у из множества X не может случиться, что одновременно и xRy, и yRx.

Примером асимметричного отношения является отношение

Свойства рефлексивности, симметричности и транзитивности наглядно иллюстрируются при изображении отношений графами. Если отношение R в множестве X рефлексивно, то граф этого отношения в каждой вершине имеет петлю.

Если отношение R симметрично, то граф вместе с каждой стрелкой, идущей из точки х в точку у, должен содержать стрелку, соединяющую те же точки, но идущую в обратном направлении.

Граф транзитивного отношения вместе со стрелками, идущими от х к у и от у к z, должен содержать и стрелку, идущую от х к z.

Отношение эквивалентности. Связь отношения эквивалентности с разбиением множества на классы (классификацией).

Множество X всех студентов пединститута можно разбить на подмножества, состоящие из студентов, обучающихся на одном и том же курсе. Если обучение длится четыре года, то получаем четыре подмножества: студентов первого курса, студентов второго курса, студентов третьего курса и студентов четвертого курса. Никакие два из этих множеств не имеют общих элементов (студент не может сразу учиться и на втором, и на третьем курсе), а объединением этих множеств является множество X всех студентов. Говорят, что X разбито на четыре попарно непересекающихся подмножества Х1 Х2, Х3, Х4. То же множество X можно разбить на непересекающиеся подмножества и другими способами, например, на юношей и девушек, по возрасту, на комсомольцев и не комсомольцев и т. д.

Вообще, можно говорить о разбиении данного множества на попарно непересекающиеся подмножества или классы тогда, когда одновременно выполняются следующие условия:

1. Все подмножества, образующие разбиение, непусты.

2. Любые два таких подмножества не пересекаются.

3. Объединение всех подмножеств есть данное множество.

Так, множество натуральных чисел можно разбить на три подмножества – множество простых чисел, множество составных чисел и множество, состоящее из единицы. Это же множество можно разбить и на два класса – класс четных и класс нечетных натуральных чисел.

Разбиение множества на попарно-непересекающиеся подмножества лежит в основе всевозможных классификаций. Понятие «класс» и его синонимы «тип», «семейство», «род», «вид», «сорт» широко применяются во всех областях человеческой деятельности. Так, в биологии все живые организмы распределяют на типы, в сельском хозяйстве сортируют по размеру или весу фрукты, слова в словарях разбивают на подмножества, располагая их в алфавитном порядке, и т. д.

Разбиение множества на попарно-непересекающиеся подмножества часто производят по некоторому свойству, которое может принимать различные значения. Например, можно производить разбиение на классы по цвету, объединяя в один класс предметы одного и того же цвета. При этом красные предметы попадут в один класс зеленые – в другой, черные – в третий и т. д. Можно сказать, что разбиение производится на основе отношения «х имеет тот же цвет, что и у». Точно так же разбиение студентов по курсам производится на основе отношения «х учится на том же курсе, что и у».

Но не всякое отношение R между элементами множества дает возможность разбить это множество на классы. Нельзя, например, разбить на попарно-непересекающиеся подмножества множество студентов некоторого института при помощи отношения «Студент х знаком со студентом у». Действительно, если х знаком с у, то х и у окажутся в одном подмножестве. Если у знаком с г, то z должен находиться в одном подмножестве с у и, следовательно, с х. Но может случиться, что х не знаком с z. Тогда окажется, что в одном подмножестве есть люди, которые друг с другом не знакомы, а этого не должно быть при разбиении множества по указанному отношению.

С другой стороны, такие отношения, как «быть однокурсником» в множестве студентов некоторого института, «родиться в одном и том же году» в множестве людей, «иметь один и тот же остаток при делении на данное число» в множестве натуральных чисел, дают возможность разбить множество, в котором они рассматриваются, на классы. Далее мы рассмотрим, какими должны быть свойства отношения, чтобы с его помощью можно было разбить множество на классы.

Если отношение R в множестве X обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, то его называют отношением эквивалентности.

Выше представлен граф отношения эквивалентности.

Примерами отношений эквивалентности являются отношения, рассмотренные нами раньше: «быть однокурсником» (на множестве студентов некоторого института), «иметь один и тот же корень» (на множестве слов) и др.

С каждым таким отношением связано разбиение множества на непересекающиеся подмножества. И это не случайно. Имеет место следующая теорема Для того чтобы отношение R позволяло разбить множество X на классы, необходимо и достаточно, чтобы R было отношением эквивалентности.

Рассмотрим несколько примеров отношений эквивалентности.

1. Отношение «Выражения х и у имеют одинаковые числовые значения» на множестве числовых выражений является отношением эквивалентности, поскольку оно

а) рефлексивно: значение выражения х совпадает со значением выражения х;

б) симметрично: если значение выражения х совпадает со значением выражения у, то и значение выражения у совпадает со значением выражения х;

в) транзитивно: если значение выражения х совпадает со значением выражения у, а значение выражения у совпадает со значением выражения z, то значение выражения х совпадает со значением выражения z.

Множество всех числовых выражений разбивается этим отношением на классы, в каждом из которых находятся выражения, значения которых попарно совпадают. Так, выражения 5+3, 23, 2+2+2+2 находятся в одном классе (их значения равны восьми), а выражения 7–3,22, 16 : 4 – в другом (их значения равны четырем).

2. Во множестве прямых на плоскости отношение параллельности является отношением эквивалентности. Прямые х и у, лежащие в одной плоскости, параллельны, если они либо не пересекаются, либо совпадают. Поэтому отношение параллельности

а) рефлексивно: х\\х для любой прямой х;

б) симметрично: если х\\у, то у\\х;

в) транзитивно: если х\\у и y\\z, то x\\z.

Отношением параллельности множество всех прямых плоскости разбивается на классы, состоящие из параллельных друг другу прямых. Такие классы называют пучками параллельных прямых.

В начальном курсе математики также встречаются отношения эквивалентности, например отношение «Выражения х и у имеют одинаковые числовые значения» в множестве числовых выражений. Выражения, принадлежащие одному и тому же классу эквивалентности, называют равными.

Отношением порядка называют антисимметричное и транзитивное отношение.

Если отношению порядка присуще еще свойство рефлексивности, то порядок нестрогий.

Если ему присуще свойство антирефлексивности, то порядок строгий.

Свойством транзитивности и асимметричности и антирефлексивности обладают многие отношения, например, отношение «больше» на множестве натуральных чисел или отношение «выше» на множестве людей, сравниваемых по росту. Это отношения строгого порядка. Об отношениях «следует за», «больше», «выше» также говорят, что они являются отношениями строгого порядка.

Выясним особенности графа отношения строгого порядка. Отметим, что граф отношения строгого порядка не имеет петель, нет обратных стрелок. Если из х идет стрелка в у, а из у – в z, то из х идет стрелка в z.

Наряду с отношением «х y») в математике рассматривают отношения «х≤y» («х≥у»), представляющие собой объединение отношений «х y» и «х=y»).

Говорят, что «х≤у» является отношением нестрогого порядка.

К нестрогому порядку также принадлежат, например, такие отношения: «не выше» (на множестве людей, сравниваемых по росту); «не больше» (на множестве действительных чисел); «быть делителем» (на множестве натуральных чисел).

Если на множестве рассмотреть отношение нестрогого порядка , то граф этого отношения в каждой вершине будет иметь петли ( в остальном он похож на предыдущий граф).

Множество X, на котором задано отношение порядка R (строгого или нестрогого), называется частично упорядоченным множеством. Часто говорят также, что в этом случае множество X упорядочено отношением R.

Примером такого множества является множество натуральных чисел по отношению меньше или больше.

Источник

Тема 2.1. Множества и отношения. Свойства отношений. Операции над множествами.

Элементы и множества. Задание множеств. Операции над множествами. Свойства операций над множествами. Отношения. Свойства отношений.

Методические указания по теме 2.1:

Элементы и множества:

Множество представляет собой соединение, совокупность, собрание некоторых предметов, объединенных по какому-либо признаку. Например, множество учащихся класса, множество букв алфавита, множество цифр десятичной нумерации, множество чисел первого десятка, множество натуральных чисел, множество точек на прямой, множество книг на полке и т. д.

Предметы, из которых состоит множество, называются его элементами (например, буква «к»- элемент множество букв русского алфавита).

Элементы множества обозначают малыми буквами латинского или греческого алфавита. Для обозначения множеств используют заглавные буквы латинского алфавита или запись со скобками. Например, А, В или .

Запись a Î А означает, что элемент a принадлежит множеству А. Запись aÏ А означает, что элемент a не принадлежит множеству А. Например, если N— множество натуральных чисел, то 2 Î N, 0 Ï N.

Задание множеств:

Множество считается заданным (известным), если или перечислены все его элементы, или указано такое свойство его элементов, которое позволяет судить о том, принадлежит данный элемент множеству или нет.

Так, например, говоря о множестве М всех четных чисел, мы указываем свойство его элементов: каждое число, принадлежащее этому множеству, делится нацело на два. Это записывается так:

М= N | c 2>.

Здесь фигурные скобки указывают на наличие множества; знак | (вертикальная палочка) заменяет слова «таких, что» (или «такие, что»); знак « » читается как «делится нацело»; о знаке Î сказано ранее; буквой N обозначено множество натуральных чисел.

Операции над множествами:

Множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными (одинаковыми). Если множества А и B равны, то пишут А=B.

Если любой элемент множества B является и элементом множества А, то множество В называется подмножеством (частью) множества А. В том случае говорят, что В содержится в А или А содержит В, и пишут ВÌА или АÌ В.

В силу этого определения любое множество является своим подмножеством.

Для удобства рассматривают и множество, которое не содержит ни одного элемента. Такое множество называется пустым и обозначается символом Æ.

По определению, пустое множество является подмножеством любого множества.

Таким образом, у любого множества А всегда имеются два очевидных подмножества А и Æ.

Пример 1. Найти все подмножества множества

Подмножествами данного множества являются множества

Других подмножеств множество А не имеет.

Рассмотрим множество натуральных чисел, кратных числу 2, и множество натуральных чисел, кратных числу 3. Нетрудно заметить, что множество чисел, кратных числу 6, состоит из элементов, которые входят в каждое из двух рассмотренных множеств.

Множество С, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат каждому из данных множеств А и В, называется пересечением множеств А и В, и обозначается А В ( — знак пересечения).

На рис. 1 изображены множества А и В и их пересечение.

Для точечных множеств (например, геометрических фигур) смысл термина «пересечение множеств» соответствует привычному для нас смыслу термина «пересечение фигур» Так, например, если прямая имеет две точки пересечения с некоторой окружностью, то множество, являющееся пересечением множеств точек окружности и прямой, состоит из двух элементов (точек). Пересечение множеств точек отрезков АВ и СD (рис. 2) есть отрезок СВ.

Два множества, пересечения которых является пустым множеством, называются пересекающимися множествами.

Объединением множеств А и В называется такое множество С, которое состоит из всех элементов множеств А и В и только из них. В этом случае пишут С=А В ( -знак объединения).

Например, объединением отрезков АВ и СD является отрезок АD(см. рис. 2),

<1; 2; 3> <4;5>= <1;2;3;4;5>.

Если множества А и В имеют общие элементы (т.е. А В ¹Æ), то каждый из этих общих элементов берется в множестве С только один раз.

Пример 2. Найти объединение множеств:

<1;2;3> <3;4>=<1;2;3;4>.

Пусть даны два множества А и В. Множество С, которое состоит из всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В, называется разностью множеств А и В и обозначается А/В (рис. 3).

Если АÌВ, то разность А/В называется дополнением множества В до множества А (рис.4).

Отметим, что результат операции «дополнение» существенно зависит от того множества, до которого «дополняется» данное множество. Например, дополнением множества целых чисел до множества всех рациональных

Рис. 3 чисел является множество всех дробных чисел; если же рассматривать дополнение множества целых чисел, то дополнением этого множества будет множество всех дробных и всех иррациональных чисел.

Свойства операций над множествами:

Операции над множествами обладают и рядом свойств, аналогичных свойствам сложения и умножения чисел.

1) Переместительные законы пересечения и объединения (коммутативность):

А В = В А А В = В А

2) Сочетательные законы пересечения и объединения (ассоциативность):

(А В) С = А (В С) (А В) С = А (В С)

3) А А = А А А = А

4) А = А = А

5) А U = A A U = U

6) Распределительные законы (дистрибутивность):

(А В) С = (А С) (В С) (А В) С = (А С) (В С)

7) Законы включения:

А (В С) (А В) (А С) (А В) (А С) А (В С)

Вычитание и дополнение также обладает рядом свойств:

8) А’ А = А‘ А = U

9) (А В)‘ = А‘ В‘ (А В)‘ = А‘ В‘

10) ‘= U U ‘ =

11) (A B) C = A (B C) (A B) C = (A С) В

12) (AB) B = A B (AB) С = (A B)(В С)

13) А(В С) = (АВ) (АС) А(В С) = (АВ) (АС)

Отношения. Свойства отношений:

Когда говорят о родстве двух человек, Маша и Саша, то подразумевают, что есть некая семья, к членам которой они относятся. Упорядоченная пара (Маша, Саша) отличается от других упорядоченных пар людей тем, что между Машей и Сашей есть некое родство (кузина, отец, и т. д.). В математике среди всех упоря­доченных пар декартового произведения А´В двух множеств А и В тоже выделяются некоторые пары в связи с тем, что между их компонентами есть некоторые «родственные» отношения, которых нет у других. В качестве примера рассмотрим множество S студентов какого-нибудь техникума и множество D изучаемых там дисциплин. В декартовом произведении S´D можно выделить большое подмножество упорядоченных пар (s, d),обладающих свойством: студент s изучает дисциплину d. Построенное подмножество отражает отношение «изучает», естественно возникающее между множествами студентов и дисциплин. Для строгого математического описания любых связей между элементами двух множеств вводится понятие бинарного отноше­ния, которое часто появляется как в ма­тематике, так и в информатике. Отношения между элементами не­скольких множеств (n-арные отношения) применяются для описания простой системы управления базами данных.

Отношением (бинарным отношением, двуместным отношением) из множества A в множество Bназывается некоторое подмножество декартового произведения А*В.

Отношение R на множестве Х называется рефлексивным, если о каждом элементе множества Х можно сказать, что он находится в отношении R с самим собой: хRх. Отношение R на множестве Х называется антирефлексивным, если для любого элемента из множества Х всегда ложно хRх: .

Отношение R называют антисимметричным, если для любых элементов х и y из истинности xRy следует ложность yRx: : xRy yRx.

Отношение R на множестве Х называют транзитивным, если из того, что элемент х находится в отношении R с элементом y, а элемент y находится в отношении R с элементом z, следует, что элемент х находится в отношении R с элементом z: xRy и yRz xRz.

Отношение R на множестве Х называется связанным, если для любых элементов х и y из данного множества выполняется условие: если х и y различны, то либо х находится в отношении R с элементом y, либо элемент y находится в отношении R с элементом х. С помощью символов это определение можно записать так: x y xRy или yRx.

Отношение R на множестве Х называется отношением эквивалентности, если оно одновременно обладает свойством рефлексивности, симметричности и транзитивности.

Вопросы для самопроверки по теме 2.1:

1. Что такое множество?

2. Способы задания множества.

3. Перечислить операции над множествами.

4. Перечислить свойства операций над множествами.

Задания для самостоятельного решения по теме 2.1:

1. Найдите А В, если

2. Найдите дополнения множества А до множества В, если

№3. Найдите множества А В, А В, А/В, А С, А С, В С, В С, если

Источник