Отношение чисел
Отношения чисел: определение, свойства, виды
Определение
Отношением пары чисел называют результат их деления одно на другое. То есть понятия частного и отношения являются синонимами, обозначая одно и то же понятие. При этом число, которое делят, называют предыдущим членом, а число, на которое осуществляется деление, – последующим.
Для обозначения отношения чисел используется знак деления «:» либо черта дроби.
Общая форма записи отношения чисел: a : b или, соответственно, 
. В таких записях a – предыдущий член отношения, b – последующий. Обязательное условие для всякого отношения: 
.
3:2
Здесь 3 и 4 – предыдущие члены отношений, 2 и 9 – последующие.
Свойства отношений
Свойство №1. Членами всякого отношения могут быть как целые, так и дробные, рациональные или другие числа.
Примеры отношений, члены которых являются целыми числами, приведены выше (см. Пример №1).
Пример №2. Отношения, члены которого дробные числа:
Свойство №2. Если члены отношения умножить (либо разделить) на одно и то же число, то его значение не изменится. Это свойство называют основным для отношений чисел.
Деление членов отношения на одно и то же число называют сокращением отношения.
Это свойство нередко используется для перехода от нецелых членов отношения к целым, что более удобно для расчетов.
Свойство №3. В отношении могут участвовать и более 2-х членов. Так, в прикладных задачах нередко используются пропорциональные величины, значения которых выражаются как раз через их отношения. Количество членов при этом может быть произвольным и равняться трем, четырем и так далее. В общем виде такие отношения записываются как a:b:c:d:…n и читаются так: «величины относятся между собой как a, b, c…»
Пример №4. Имеется треугольник, длины сторон которого относятся как 3:4:5.
Пример №5. Даны 4 пропорциональных числа, которые относятся между собой как 1:2:4:5.
В задачах, в которых приведены такого рода отношения, обычно вводится коэффициент пропорциональности и, используя свойства объекта, для которого они приведены, и (или) данные из условия, по заданному отношению находят абсолютные значения величин для этого объекта. При этом под абсолютными величинами понимают величины, выраженные в конкретных единицах измерения – кг, км и так далее.
Процентное отношение
Процентное отношение – это характерное и одно из наиболее распространенных направлений прикладного использования отношения чисел. Обозначение процентного отношения – % (процент). 1 % – это сотая часть от целого.
Процентное отношение основывается на обычном отношении, которое множат на 100. Процентное отношение показывает часть объекта (величины) в сравнении с его 100 частями, которые принимаются за целое.
Где a – часть целого, выраженная в единицах измерения, b – значение целого, выраженное в тех же единицах, z – количество процентов, которое составляет данная часть от целого.
Пример №6. На книжной полке 80 книг. Сколько процентов от этого количества составляют 36 книг?
Обозначим искомую величину через х. Тогда получаем:
Пример №7. Фермер посеял пшеницу на 2 га, что составляет 80 % от всех его посевных площадей. Какова общая посевная площадь, которой он располагает?
Обозначим искомую величину через х. Составим процентное отношение на основании данных задачи:
Нередко вместо понятия процентного отношения используют понятие долей. В этом случае целое абстрактно принимается за 1, а понятие процента не используется. Доля (часть) от данного целого в такой ситуации – это всегда будет величина, меньшая 1. Для определения доли (части) от целого используется обычное отношение:
Где b – часть от целого, c – величина целого, a – доля, которую b составляет от c.
Специальной единицы измерения доля не имеет и измеряется просто в единицах.
Пример №8. Какую долю тиража изданной книги удалось продать писателю, если тираж составляет 10 тысяч экземпляров, а приобретено было 6830 книг?
Обозначим искомую величину через х. Составим отношение и найдем х:
Переход от долей к процентам предельно прост: достаточно умножить долю на 100. Так, в предыдущем примере 0,683 по отношению к общему тиражу составит 
.
Пример №9. С 1 га планировалось собрать 40 тонн картофеля. Реальная урожайность составила 0,7 от планируемой. Сколько тонн картофеля собрали?
Обозначим искомую величину через х. Составим выражение для расчета реальной урожайности и найдем х:
Пропорция
Пропорцией называют равенство двух числовых отношений. В общем виде такое равенство записывают как 
, где a и d называют крайними членами пропорции, b и c – средними. Прочтение пропорции: отношение a к b равно отношению c к d, или a относится к b как c к d, или a во столько раз больше b во сколько больше d.
Пример №9. Примеры конкретных пропорций:
При решении практических задач с использованием отношений в виде пропорции чаще всего от деления переходят к умножению ее членов. Для этого используют основное ее свойство.
Основное свойство пропорции: произведение ее крайних членов равно произведению средних. Математически это свойство записывается так:
Если провести дальнейшие вычисления, то в итоге мы должны прийти к равенству чисел слева и справа. А именно:
Отсюда следует важная особенность: основное свойство применяют для проверки истинности составленной пропорции. Если в результате числовых преобразований получено верное равенство, то это означает, что исходные 4 числа действительно могут составить пропорцию.
Когда один из членов пропорции неизвестен и требуется найти его, то применяют правило: для вычисления неизвестного крайнего (среднего) члена перемножают средние (крайние) и делят полученное произведение на известный крайний (средний) член.
Математически это выражается так:
То есть для определения неизвестного члена перемножают пару соответствующих известных и делят их на тот известный член, который не имеет известной пары.
Отношение суммы чисел m и n к их произведению?
Отношение суммы чисел m и n к их произведению.
Любой буквой( латинской).
Например a = (m + n) / (m * n).
Отношение произведений трех последовательных четных чисел к их сумме равно 4?
Отношение произведений трех последовательных четных чисел к их сумме равно 4.
Найдите суммы этих чисел.
Отношение суммы чисел m и n к их произведению?
Отношение суммы чисел m и n к их произведению.
Запишите в виде выраженийа) сумму числа 25 и произведения чисел 16 и 74б) разность произведения чисел 37 и 6 и произведения 29 и 5в) произведение разности чисел 86 и 17 и их суммыг) частное числа 98 и?
Запишите в виде выражений
а) сумму числа 25 и произведения чисел 16 и 74
б) разность произведения чисел 37 и 6 и произведения 29 и 5
в) произведение разности чисел 86 и 17 и их суммы
г) частное числа 98 и суммы чисел 9 и 5
Отношение разности чисел c и d к удвоенной сумме этих чисел?
Отношение разности чисел c и d к удвоенной сумме этих чисел.
Может ли сумма четырех натуральных чисел являться произведению этих же чисел?
Может ли сумма четырех натуральных чисел являться произведению этих же чисел.
Отношение произведений трех последовательных четных чисел к их сумме равно 4?
Отношение произведений трех последовательных четных чисел к их сумме равно 4.
Найдите суммы этих чисел.
Найдите два числа, отношение которых равно 3, а отношение суммы квадратов этих чисел к их сумме равно 5?
Найдите два числа, отношение которых равно 3, а отношение суммы квадратов этих чисел к их сумме равно 5.
Произведение разности чисел a и 8 и их суммы?
Произведение разности чисел a и 8 и их суммы.
Сумма кубов двух чисел равна произведению суммы этих чисел на неполный квадрат их?
Сумма кубов двух чисел равна произведению суммы этих чисел на неполный квадрат их.
1)произведение числа с и разности чисел а и b 2)сумму числа а и произведение чисел с и dпомогите?
1)произведение числа с и разности чисел а и b 2)сумму числа а и произведение чисел с и dпомогите.
Р(прямоугольника) = 6(см) + 6(см) + а(см) + а(см) = 12 + 2а (см) Ответ : периметр прямоугольника равен 12 + 2а сантиметров.
Надо чтобы 10% от суммы все покупок составило 2000 = ) Надо купить на 2000 / 10 * 100 = 20000 Ответ ).
2 / 3 = 8 / 12 1 / 4 = 3 / 12 8 / 12 + 3 / 12 = 11 / 12 ответ : вместе они обклеели 11 / 12 комнаты.
Отношение суммы чисел m и n к их произведению?
Отношение суммы чисел m и n к их произведению.
Отношение произведений трех последовательных четных чисел к их сумме равно 4?
Отношение произведений трех последовательных четных чисел к их сумме равно 4.
Найдите суммы этих чисел.
Запишите в виде выраженийа) сумму числа 25 и произведения чисел 16 и 74б) разность произведения чисел 37 и 6 и произведения 29 и 5в) произведение разности чисел 86 и 17 и их суммыг) частное числа 98 и?
Запишите в виде выражений
а) сумму числа 25 и произведения чисел 16 и 74
б) разность произведения чисел 37 и 6 и произведения 29 и 5
в) произведение разности чисел 86 и 17 и их суммы
г) частное числа 98 и суммы чисел 9 и 5
Отношение суммы чисел m и n к их произведению?
Отношение суммы чисел m и n к их произведению.
Отношение разности чисел c и d к удвоенной сумме этих чисел?
Отношение разности чисел c и d к удвоенной сумме этих чисел.
Может ли сумма четырех натуральных чисел являться произведению этих же чисел?
Может ли сумма четырех натуральных чисел являться произведению этих же чисел.
Отношение произведений трех последовательных четных чисел к их сумме равно 4?
Отношение произведений трех последовательных четных чисел к их сумме равно 4.
Найдите суммы этих чисел.
Найдите два числа, отношение которых равно 3, а отношение суммы квадратов этих чисел к их сумме равно 5?
Найдите два числа, отношение которых равно 3, а отношение суммы квадратов этих чисел к их сумме равно 5.
Произведение разности чисел a и 8 и их суммы?
Произведение разности чисел a и 8 и их суммы.
Сумма кубов двух чисел равна произведению суммы этих чисел на неполный квадрат их?
Сумма кубов двух чисел равна произведению суммы этих чисел на неполный квадрат их.
1)произведение числа с и разности чисел а и b 2)сумму числа а и произведение чисел с и dпомогите?
1)произведение числа с и разности чисел а и b 2)сумму числа а и произведение чисел с и dпомогите.
Р(прямоугольника) = 6(см) + 6(см) + а(см) + а(см) = 12 + 2а (см) Ответ : периметр прямоугольника равен 12 + 2а сантиметров.
Надо чтобы 10% от суммы все покупок составило 2000 = ) Надо купить на 2000 / 10 * 100 = 20000 Ответ ).
2 / 3 = 8 / 12 1 / 4 = 3 / 12 8 / 12 + 3 / 12 = 11 / 12 ответ : вместе они обклеели 11 / 12 комнаты.
Делимость произведения, суммы и разности чисел
Рассмотрим произведение чисел 24 ⋅ 73 = 1752. Один из множителей в этом произведении делится на 3, т.е. 24 : 3. Можно убедиться, что и всё произведение делится на 3, т.е. 1752 : 3 = 584.
Итак, признак делимости произведения:
если хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.
Значит, если a делится на некоторое число с, то и ab также делится на это число с.
Рассмотрим сумму чисел 12 и 21. В этой сумме каждое из слагаемых делится на 3. Проверяя делимость суммы на 3, получим, что сумма 33 тоже делится на 3.
Признаки делимости суммы и разности чисел
Примеры
Пример #1. Можно ли утвержадать, что число 6 — делитель числа 55?
Решение:
По определению делителем натурального числа a называют натуральное число, на которое число a делится без остатка.
Значит, чтобы число 6 было делителем числа 55, нужно, чтобы число 55 делилось на число 6 без остатка.
В данно случае деление получается с остатком, т. к. число 55 не делится нацело на число 6, т.е. число 6 не является делителем числа 55.
Ответ: нет.
Пример #2. Назови все двузначные числа, кратные числу 48.
Решение:
По определению кратным натуральному числу a называют натуральное число, которое делится без остатка на число a.
Значит, чтобы двузначное число было бы кратным числу 48, оно должно делиться на число 48 без остатка.
Таких двузначных чисел, делящихся на число 48 без остатка, два: 48; 96.
Ответ: 48;96.
Пример #3. Не выполняя вычислений, определи, какому числу из предложенных в ответе (3, 2 или 7) кратно данное произведение 29 ⋅ 27.
Решение:
Известно, что кратным натуральному числу a называют натуральное число, которое делится без остатка на число a.
Также знаем, что если хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.
В данном произведении 29 ⋅ 27 множитель 27 делится без остатка на число 3, значит, и произведение 29 ⋅ 27 делится без остатка на число 3, т.е. кратно числу 3.
Ответ: 3.
Пример #4. В каждой коробке лежат 8 чайных ложек. Возможно ли, взять определённое количество коробок, чтобы в них лежало ровно 13 ложки(-ек)?
Решение:
Анализируя условие задачи, можно сделать вывод, что утвердительный ответ возможен, если число ложек, которое мы хотим взять, кратно числу ложек, находящихся в каждой коробке.
Это следует из определения: кратным натуральному числу a называют натуральное число, которое делится без остатка на число a. Значит, нельзя, не вскрывая коробок, взять 13 шт. ложек, т. к. число 13 не делится на число 8 без остатка, т. е. 13 : 8 ≠ целому числу.
Ответ: нет.
Пример #5. Сократи дробь:
Решение:
Для сокращения дроби заметим, что один из множителей в числителе дроби и один из множителей в знаменателе дроби делится на число 5, значит, и произведения в числителе и знаменателе делятся на число 5.
Поэтому, если сократим эти множители на 5, останется дробь с такими множителями в числителе и знаменателе.
Ответ:
Пример #6. В одном букете было 16 роз, а в другом — 49. Можно ли эти розы поставить в 6 ваз так, чтобы в каждой вазе цветов было поровну?
Решение:
1. Определим общее количество роз в двух букетах вместе: 16 + 49 = 65 шт.
2. Можно ли эти розы поставить в 6 ваз так, чтобы в каждой вазе цветов было поровну? Для ответа на этот вопрос нужно проверить делимость полученной суммы на число 6.
Получим, что розы поставить в 6 ваз так, чтобы в каждой вазе цветов было поровну нельзя, потому что числа не делятся нацело, т. к. 65 : 6 ≠ целому числу.
Ответ: разделить поровну нельзя, потому что числа не делятся нацело.
Пример #7. Укажи натуральное значение x, чтобы сумма 42 + x не делилась на 7. Выбери из следующих вариантов: 5, 21, 7.
Решение:
Для того, чтобы сумма 42 + x не делилась на 7, выбираем значение x = 5, т.к. известно, что если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число.
Имеем, что число 42 делится на 7, значит, число x не должно делиться на 7, чтобы сумма не делилась на 7.
Значение x = 5 не делится на 7.
Ответ: 5.
Пример #8. Известно, что c и d — натуральные числа и 5c + d = 42. Каким может быть число c?
Решение:
Известно, что c и d — натуральные числа и 5c + d = 42. Выражение 5c = 42 − d должно быть кратно числу 5.
Поэтому число c может быть равно 1;2;3;4;5;6;7;8, тогда 5c = 5; 10; 15; 20; 25; 30; 35; 40, а d = 37; 32; 27; 22; 17; 12; 7; 2, т. е. сумма будет равна 5c + d = 42.
Ответ: 1;2;3;4;5;6;7;8.
Пример #9. Определи натуральные значения, которые может принимать выражение
Пример #10. Выполни деление: (39b + 24) : 3.
Решение:
Известно, что если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и вся сумма делится на это число.
Выполняя действие деления суммы на число 3, необходимо разделить на 3 как первое слагаемое, так и второе слагаемое.
Получим: (39b + 24) : 3 = 39b : 3 + 24 : 3 = 13b + 8.
Ответ: 13b + 8.
Пример #11. Выполни деление: 6xy : 3x.
Решение:
Выполняя деление (6xy):(3x), разделим сначала числовые множители, затем одинаковые буквенные множители, полученные результаты перемножим.
Получим: 6xy : 3x = 6:3 ⋅ (x:x) ⋅ y = 2 ⋅ 1 ⋅ y = 2y.
В результате деления получаем ответ: 2y.
Ответ: 2y.
Урок 21 Бесплатно Отношения
В этом уроке мы узнаем, что такое отношения. Также поймем, что нам показывает отношение двух чисел. И в завершение узнаем, как определить часть одного числа от другого.
Отношение
Начнем с определения:
Отношением двух чисел называют частное этих двух чисел.
Записать отношение числа a к числу b мы можем как \(\mathbf\) или же через дробную черту: \(\mathbf<\frac>\)
У нас получается дробное выражение, поэтому возможны варианты во что оно преобразуется:
Посмотрим на разные примеры.
Пример 1
Найдем отношение чисел 256 и 8
По определению, отношением двух чисел будет являться их частное, что мы и посчитаем.
Ответом будет 32.
Иными словами, 256 относится к 8 как 32 к 1
В последней фразе была как раз упомянута суть отношения, мы акцентируем на этом внимание.
Отношение одного числа к другому показывает, как одно число соотносится с другим, иными словами, во сколько раз оно его больше или меньше:
Пример 2
Найдите отношение 15 к 12
По определению посчитаем частное, а далее посмотрим на полученный результат.
Данный пример иллюстрирует, в каких случая получается смешанное число.
Отношение равняется смешанному числу в тех случаях, когда первое число больше второго, и при этом первое на второе не делится.
Мы можем прочитать результат так: 15 больше 12 в \(\mathbf<1\frac<1><4>>\) раза.
Пример 3
Найдем отношение 16 к 24.
Снова идем по алгоритму: делим первое число на второе.
В этом случае мы получили в ответе правильную дробь.
Нам это говорит о том, что первое число меньше второго.
А если мы хотим сказать, как именно первое число меньше второго, то это можно сделать так: первое число меньше второго в \(\mathbf<\frac<2><3>>\) раза.
Мы можем сформулировать вывод и так: 16 составляет \(\mathbf<\frac<2><3>>\) от 24-х, то есть мы отвечаем на вопрос, какой частью является первое число от второго.
Также важно отметить, что отношение числа a к числу b не всегда равно отношению числа b к числу a.
Пример 4
Есть два числа, 14 и 28
Посчитаем отношение 14 к 28
И посчитаем отношение 28 к 14
Как вы видите, получились разные значения.
Как можно заметить, это взаимно обратные числа.
Отметим еще одно свойство отношений: если есть два числа a и b, то отношение a к b взаимно обратно отношению b к a.
Если дано отношение первого числа ко второму, то мы без труда сможем найти отношение второго к первому, даже не зная самих чисел, просто посчитав обратное к отношению число.
Пример 5
Дано, что отношение числа a к числу b равно \(\mathbf<\frac<2><5>>\), найдем отношение b к a
Для этого надо найти обратное число к \(\mathbf<\frac<2><5>>\)
Значит, отношение b к a равняется \(\mathbf<2\frac<1><2>>\)
В конце этой части добавим еще одно простое, но важное свойство.
Отношение двух чисел не изменится, если каждое из них домножить или разделить на одно и тоже число.
Это легко доказать, показав, что при делении этот множитель сократится.
Пример 6
Отношение числа 10 к числу 30 равно \(\mathbf<\frac<1><3>>\)
Домножим каждое из чисел на 2 и заметим, что отношение 20 к 60 также равно \(\mathbf<\frac<1><3>>\)
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Отношение и часть от числа
Посмотрим, какие еще можно сделать выводы, зная отношение.
Мы знаем, что, чтобы найти часть от числа (другими словами, дробь от числа), надо умножить число на эту дробь.
Так мы получим число, которое будет частью исходного.
Допустим, изначально у нас было число 4, и мы решили найти от него \(\mathbf<\frac<3><8>>\)
Перемножив, мы получим:
А теперь найдите отношение полученного числа к изначальному.
Для этого разделите одно на другое:
То, что вы получили отношение, равное той дроби, которую мы находили, не совпадение.
Действительно, находя дробь от числа мы получаем число, чье отношение к исходному будет равно этой дроби.
Сформулируем еще более коротко и четко: отношение числа a к числу b обратно дроби, которую нужно взять от числа а, чтобы получить число b.
Пример 1
Известно, что некая дробь от числа 10 равна \(\mathbf<2\frac<1><2>>\)
Найдем, какая именно это дробь.
Решение:
Дробь от числа равна отношению полученного числа к изначальному.
Теперь разделим одно на другое и получим ответ.
Ответ: дробь, взяв которую от 10 получили \(\mathbf<2\frac<1><2>>\), равняется \(\mathbf<\frac<1><4>>\)
Пример 2
Отношение первого числа ко второму равно \(\mathbf<1\frac<1><5>>\), также известно, что первое число равно 6.
Найдем второе число.
Решение:
Мы знаем, что отношение обратно дроби.
Найдем обратное число к \(\mathbf<1\frac<1><5>>\)
Теперь можно найти второе число, домножим первое на эту дробь:
Второе число равно 5
Проверка:
Найдем отношение первого числа ко второму, то есть 6 к 5
Получилось то же отношение, что и в условии.
Пример 3
Решим похожую задачу:
Отношение числа а к числу b равно \(\mathbf<1\frac<1><2>>\)
Известно, что число b равняется 8-ми, надо найти число а.
Решение:
Найдем, какую дробь число b составляет от числа a, то есть найдем обратное число от отношения:
Теперь, чтобы найти число по его дроби, надо разделить часть от числа на эту дробь.
В нашем случае на дробь надо делить число b :
Ответ: число a равняется 12
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Отношения в задачах
Теперь научимся находить отношения в задачах.
Сразу перейдем к примерам, чтобы посмотреть, за какими формулировками могут стоять отношения.
Задача 1
Длина улицы составляет 25 километров. Освещено 15 километров улицы.
а) Найдите, какая часть улицы освещена.
б) Во сколько раз вся улица длиннее ее освещенной части?
Решение:
В начале урока мы находили отношение меньшего числа к большему, тем самым определили, какую часть первое число составляет от второго.
Именно это и спрашивается в первом вопросе.
Для нахождения отношения длины освещенного участка к длине всей улицы поделим одну величину на другую:
Значит, длина освещенного участка составляет \(\mathbf<\frac<3><5>>\) от длины всей улицы.
Для нахождения этого отношения необходимо поделить длину всей улицы на длину ее освещенной части:
Что отвечает на вопрос второго пункта.
Также важно помнить, что если подаются какие-либо величины, то всегда надо следить, чтобы мера измерения была одинаковой.
То есть если нам подали что-то в тоннах и килограммах и мы хотим найти отношения этих величин, то надо либо тонны переводить в килограммы, либо наоборот.
Задача 2
Масса груза составляет 2 тонны. Известно, что часть груза- это одежда и ее масса 350 кг.
Найдите, какую часть от массы груза составляет масса одежды.
Решение:
Для начала преобразуем преобразуем тонны в килограммы. Получается, что масса груза равна 2000 кг.
Теперь найдем искомое отношение:
Теперь попробуйте порешать задачи самостоятельно, а если будет сложно, используйте подсказки.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Интересная информация
Сегодня вы узнаете о математических фокусах!
Их идея в том, что можно запутать людей математическими преобразованиями, которые выдадут то, что нужно нам.
Фокус 1
Попросите зрителя загадать число и никому не говорить.
Теперь попросите его умножить это число на 2, прибавить к результату 8, разделить на 2 и вычесть задуманное число.
Теперь вы можете уверенно сказать, что у зрителя получилось число 4.
Так получается за счет того, что в процессе преобразований исходное число вообще уходит из цепочки вычислений и остается только четверка.
Попробуй доказать это на формулах, взяв за задуманное число Х
Фокус 2
В нем вы можете угадать День рождения человека.
Попросите зрителя умножить на 2 число дня его рождения, затем пусть он прибавит к результату 5 и умножит это все на 50, после этого попросите зрителя прибавить к этому числу номер месяца рождения (январь- 1, февраль- 2 и т. д.).
Заключительный тест
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
