Что такое отношение в математике 6 класс кратко

Отношения

Урок 20. Математика 6 класс

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Отношения»

Для решения практических задач человеку часто приходится сравнивать разные значения одной и той же величины – массы, расстояния, времени, скорости, стоимости, объёма, площади и т.д.

Для сравнения чисел и величин существуют, как вы знаете, два способа:

1-ый: вычисление разности и 2-ой: вычисление частного.

Оба этих способа используют часто при решении практических задач, но служат они для разных целей. К делению прибегают в тех случаях, когда хотят получить качественную оценку или относительную оценку той или иной ситуации.

На экране изображены два отрезка. Отрезок AB длиной 15 см и отрезок CD, длина которого 6 см. Во сколько раз отрезок АВ больше или длиннее отрезка CD?

Вторая задача: на экране изображены эти же два отрезка. Отрезок AB длиной 15 см и отрезок CD, длина которого 6 см. Но поставим вопрос по-другому: какую часть отрезок CD составляет от отрезка АВ?

Обе рассмотренные задачи решаются делением, и ответ даётся в виде частного. В таких случаях частное двух чисел называют их отношением.

Частное двух не равных нулю чисел (или двух величин) называют отношением.

Сами эти числа (величины) называют членами отношения.

Иными словами, отношение двух чисел – это другое название их частного. Отношение чисел записывают с помощью знака деления, а также с помощью черты обыкновенной дроби.

Частные чисел читают так:

Напомним, что отношение двух чисел показывает, во сколько раз одно число больше другого, или какую часть одно число составляет от другого.

Черта дроби используется для записи отношения и тогда, когда его члены не являются натуральными числами.

Рост дяди Степы 2 м 10 см, а рост мальчика Васи – 105 см. Во сколько раз дядя степа выше мальчика Васи?

Но ведь дробную черту мы использовали для записи дробей! А сейчас записана не дробь. Верно. Но вы давно знаете, что при записи деления натуральных чисел вместо знака деления можно использовать дробную черту. Так вот, договариваются о том же и при записи деления любых чисел.

Итак, если а и b – любые числа, то

Сделаем важное замечание:

Если значения двух величин выражены разными единицами измерения, то для нахождения отношения этих величин надо предварительно перейти к одной единице измерения.

Отношение величин одного наименования (длин, скоростей, стоимостей и т.д., выраженных одинаковыми единицами измерения) есть число. Такие величины называют однородными.

Отношение величин разных наименований (пути и времени, стоимости товара и его количества, массы тела и его объема и т.д.) есть новая величина.

Вот, например, в предыдущей задаче мы находили во сколько раз дядя Степа выше мальчика Васи.

Рост Васи и рост дяди Степы – это однородные величины, т.е. длина. Поэтому отношение их роста выраженно натуральным числом.

А теперь давайте разберёмся, почему отношение разноимённых величин – это новая величина.

Муравей за 20 секунд пробегает 240 сантиметров. Определите скорость движения муравья.

Отметим, что обозначения км/ч, м/с и т.п. приняты именно потому, что расстояние делят на время. Их обычно записывают с наклонной чертой.

В виде отношений определяются и другие величины:

Из основного свойства частного следует свойство отношения.

Давайте вспомним основное свойство частного:

если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Следовательно, получаем свойство отношения:

отношение не изменится, если его члены умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

Мы с вами убедились, что свойство отношения действует. Мы умножили числитель и знаменатель дроби на одно и то же число, само же отношение не изменилось.

Итак, сегодня на уроке мы узнали, что частное двух не равных нулю чисел (или двух величин) называют отношением.

Сами эти числа (величины) называют членами отношения.

Если значения двух величин выражены разными единицами измерения, то для нахождения отношения этих величин надо предварительно перейти к одной единице измерения.

И свойство отношения: отношение не изменится, если его члены умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

Источник

Урок 21 Бесплатно Отношения

В этом уроке мы узнаем, что такое отношения. Также поймем, что нам показывает отношение двух чисел. И в завершение узнаем, как определить часть одного числа от другого.

Отношение

Начнем с определения:

Отношением двух чисел называют частное этих двух чисел.

Записать отношение числа a к числу b мы можем как \(\mathbf\) или же через дробную черту: \(\mathbf<\frac>\)

У нас получается дробное выражение, поэтому возможны варианты во что оно преобразуется:

Посмотрим на разные примеры.

Пример 1

Найдем отношение чисел 256 и 8

По определению, отношением двух чисел будет являться их частное, что мы и посчитаем.

Ответом будет 32.

Иными словами, 256 относится к 8 как 32 к 1

В последней фразе была как раз упомянута суть отношения, мы акцентируем на этом внимание.

Отношение одного числа к другому показывает, как одно число соотносится с другим, иными словами, во сколько раз оно его больше или меньше:

Пример 2

Найдите отношение 15 к 12

По определению посчитаем частное, а далее посмотрим на полученный результат.

Данный пример иллюстрирует, в каких случая получается смешанное число.

Отношение равняется смешанному числу в тех случаях, когда первое число больше второго, и при этом первое на второе не делится.

Мы можем прочитать результат так: 15 больше 12 в \(\mathbf<1\frac<1><4>>\) раза.

Пример 3

Найдем отношение 16 к 24.

Снова идем по алгоритму: делим первое число на второе.

В этом случае мы получили в ответе правильную дробь.

Нам это говорит о том, что первое число меньше второго.

А если мы хотим сказать, как именно первое число меньше второго, то это можно сделать так: первое число меньше второго в \(\mathbf<\frac<2><3>>\) раза.

Мы можем сформулировать вывод и так: 16 составляет \(\mathbf<\frac<2><3>>\) от 24-х, то есть мы отвечаем на вопрос, какой частью является первое число от второго.

Также важно отметить, что отношение числа a к числу b не всегда равно отношению числа b к числу a.

Пример 4

Есть два числа, 14 и 28

Посчитаем отношение 14 к 28

И посчитаем отношение 28 к 14

Как вы видите, получились разные значения.

Как можно заметить, это взаимно обратные числа.

Отметим еще одно свойство отношений: если есть два числа a и b, то отношение a к b взаимно обратно отношению b к a.

Если дано отношение первого числа ко второму, то мы без труда сможем найти отношение второго к первому, даже не зная самих чисел, просто посчитав обратное к отношению число.

Пример 5

Дано, что отношение числа a к числу b равно \(\mathbf<\frac<2><5>>\), найдем отношение b к a

Для этого надо найти обратное число к \(\mathbf<\frac<2><5>>\)

Значит, отношение b к a равняется \(\mathbf<2\frac<1><2>>\)

В конце этой части добавим еще одно простое, но важное свойство.

Отношение двух чисел не изменится, если каждое из них домножить или разделить на одно и тоже число.

Это легко доказать, показав, что при делении этот множитель сократится.

Пример 6

Отношение числа 10 к числу 30 равно \(\mathbf<\frac<1><3>>\)

Домножим каждое из чисел на 2 и заметим, что отношение 20 к 60 также равно \(\mathbf<\frac<1><3>>\)

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Отношение и часть от числа

Посмотрим, какие еще можно сделать выводы, зная отношение.

Мы знаем, что, чтобы найти часть от числа (другими словами, дробь от числа), надо умножить число на эту дробь.

Так мы получим число, которое будет частью исходного.

Допустим, изначально у нас было число 4, и мы решили найти от него \(\mathbf<\frac<3><8>>\)

Перемножив, мы получим:

А теперь найдите отношение полученного числа к изначальному.

Для этого разделите одно на другое:

То, что вы получили отношение, равное той дроби, которую мы находили, не совпадение.

Действительно, находя дробь от числа мы получаем число, чье отношение к исходному будет равно этой дроби.

Сформулируем еще более коротко и четко: отношение числа a к числу b обратно дроби, которую нужно взять от числа а, чтобы получить число b.

Пример 1

Известно, что некая дробь от числа 10 равна \(\mathbf<2\frac<1><2>>\)

Найдем, какая именно это дробь.

Решение:

Дробь от числа равна отношению полученного числа к изначальному.

Теперь разделим одно на другое и получим ответ.

Ответ: дробь, взяв которую от 10 получили \(\mathbf<2\frac<1><2>>\), равняется \(\mathbf<\frac<1><4>>\)

Пример 2

Отношение первого числа ко второму равно \(\mathbf<1\frac<1><5>>\), также известно, что первое число равно 6.

Найдем второе число.

Решение:

Мы знаем, что отношение обратно дроби.

Найдем обратное число к \(\mathbf<1\frac<1><5>>\)

Теперь можно найти второе число, домножим первое на эту дробь:

Второе число равно 5

Проверка:

Найдем отношение первого числа ко второму, то есть 6 к 5

Получилось то же отношение, что и в условии.

Пример 3

Решим похожую задачу:

Отношение числа а к числу b равно \(\mathbf<1\frac<1><2>>\)

Известно, что число b равняется 8-ми, надо найти число а.

Решение:

Найдем, какую дробь число b составляет от числа a, то есть найдем обратное число от отношения:

Теперь, чтобы найти число по его дроби, надо разделить часть от числа на эту дробь.

В нашем случае на дробь надо делить число b :

Ответ: число a равняется 12

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Отношения в задачах

Теперь научимся находить отношения в задачах.

Сразу перейдем к примерам, чтобы посмотреть, за какими формулировками могут стоять отношения.

Задача 1

Длина улицы составляет 25 километров. Освещено 15 километров улицы.

а) Найдите, какая часть улицы освещена.

б) Во сколько раз вся улица длиннее ее освещенной части?

Решение:

В начале урока мы находили отношение меньшего числа к большему, тем самым определили, какую часть первое число составляет от второго.

Именно это и спрашивается в первом вопросе.

Для нахождения отношения длины освещенного участка к длине всей улицы поделим одну величину на другую:

Значит, длина освещенного участка составляет \(\mathbf<\frac<3><5>>\) от длины всей улицы.

Для нахождения этого отношения необходимо поделить длину всей улицы на длину ее освещенной части:

Что отвечает на вопрос второго пункта.

Также важно помнить, что если подаются какие-либо величины, то всегда надо следить, чтобы мера измерения была одинаковой.

То есть если нам подали что-то в тоннах и килограммах и мы хотим найти отношения этих величин, то надо либо тонны переводить в килограммы, либо наоборот.

Задача 2

Масса груза составляет 2 тонны. Известно, что часть груза- это одежда и ее масса 350 кг.

Найдите, какую часть от массы груза составляет масса одежды.

Решение:

Для начала преобразуем преобразуем тонны в килограммы. Получается, что масса груза равна 2000 кг.

Теперь найдем искомое отношение:

Теперь попробуйте порешать задачи самостоятельно, а если будет сложно, используйте подсказки.

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Интересная информация

Сегодня вы узнаете о математических фокусах!

Их идея в том, что можно запутать людей математическими преобразованиями, которые выдадут то, что нужно нам.

Фокус 1

Попросите зрителя загадать число и никому не говорить.

Теперь попросите его умножить это число на 2, прибавить к результату 8, разделить на 2 и вычесть задуманное число.

Теперь вы можете уверенно сказать, что у зрителя получилось число 4.

Так получается за счет того, что в процессе преобразований исходное число вообще уходит из цепочки вычислений и остается только четверка.

Попробуй доказать это на формулах, взяв за задуманное число Х

Фокус 2

В нем вы можете угадать День рождения человека.

Попросите зрителя умножить на 2 число дня его рождения, затем пусть он прибавит к результату 5 и умножит это все на 50, после этого попросите зрителя прибавить к этому числу номер месяца рождения (январь- 1, февраль- 2 и т. д.).

Заключительный тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Источник

Что такое отношение двух чисел: определение, запись, примеры

В данной публикации мы рассмотрим, что такое отношение двух чисел, как записывается, а также, какие действия с ним можно выполнять, чтобы оно осталось неизменным. Представленная информация сопровождается практическими примерами.

Определение отношения чисел

Отношением двух чисел называется их частное, т.е. деление одного на другое.

Например, отношение 24 к 6 можно записать как или представить в виде обыкновенной дроби. В этом случае в знаменателе пишется число, с которым выполняется сравнение, а в числителе – то, которое сравнивается:

Примечание: вместо предлога “к” иногда используется “по сравнению с”.

С помощью отношения чисел показывается:

1. Во сколько раз одно из них больше другого (когда делимое больше делителя).

То есть 14 в два раза больше 7.

2. Какую часть одно число занимает в другом (делитель больше делимого).

То есть 5 составляет одну четвертую часть от числа 20 (или 25%).

Умножение/деление отношения на число

Если умножить или разделить оба элемента отношения на одно и то же число, отличное от нуля, в результате получится новое отношение, которое равно исходному.

Примечание: Это есть не что иное как основное свойство дроби.

Источник

Математика. 6 класс

Конспект урока

Отношение чисел и величин

Перечень рассматриваемых вопросов:

Частное двух не равных нулю чисел a и b называется отношением чисел a и b.

Числа a и b называются членами отношения.

Отношение не изменится, если его члены умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

Отношение величин одного наименования (длин, скоростей, стоимостей и т. д., выраженных одинаковыми единицами измерения) есть число. Такие величины называют однородными.

Отношение величин различных наименований (пути и времени, стоимости товара и его количества, массы тела и его объёма и т. д.) есть новая величина.

Скорость – это отношение пройденного пути ко времени, за которое этот путь пройден.

Цена товара – это отношение стоимости товара к количеству единиц товара.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Отношения чисел и величин мы с вами встречаем не только в математике, но в географии. Давайте же разберёмся с этим понятием и научимся его использовать.

Частное двух не равных нулю чисел a и b называют отношением числа a к числу b.

Числа a и b называют членами отношения.

Отношение величин одного наименования (длины, скорости, стоимости и т. д., выраженных одинаковыми единицами измерения) есть число.

Мешок с красными яблоками весит 20 кг, а мешок с зелёными весит 10 кг. Во сколько раз мешок с красными яблоками тяжелее мешка с зелёными? Какую часть от красных яблок составляют зелёные?

Отношение величин разных наименований (пути и времени, стоимости товара и его количества, массы тела и его объёма) есть новая величина.

Цена товара – это отношение стоимости товара к его количеству единиц товара.

За 4 шоколадки заплатили 48 рублей. Сколько стоит одна шоколадка?

Так как цена всей покупки составила 48 рублей, а купили мы 4 шоколадки, для нахождения цены одной шоколадки, нужно всю цену разделить на количество шоколадок.

Разбор заданий тренировочного модуля

№ 1. Ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте.

Впишите ответ. Садовый участок имеет прямоугольную форму, его площадь равна 1000 кв. м. Длина участка равна 100 м. Найдите отношение длины участка к его ширине.

№ 2. Единичный / множественный выбор.

Источник

Что такое отношение чисел

Здесь мы обсудим, что такое отношение чисел и что показывает отношение двух чисел.

Отношение чисел можно записать двумя способами: с помощью знака деления либо с помощью дроби:

Читают: «отношение a к b».

Числа a и b называют членами отношения.

a — предыдущий член отношения, b — последующий член отношения. a и b должны быть отличны от нуля.

2. Отношения используют для сравнения двух величин.

Примеры отношения чисел:

Отношение 120:3 показывает, что 120 в сорок раз больше 3.

Отношение 3/5 показывает, что 3 составляет 0,6 от 5.

3. Основное свойство отношения:

Отношение не изменится, если его члены умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля.

(основное свойство отношения вытекает из основного свойства дроби ).

Таким образом, отношение дробных чисел можно заменить отношением целых чисел.

4. Примеры отношения величин.

— скорость (отношение пройденного пути ко времени, за которое путь был пройден);

— производительность труда (отношение объема работы ко времени, за которое выполняется работа);

— цена ( отношение стоимости товара к количеству единиц);

— масштаб (отношение длины отрезка на карте к расстоянию между соответствующими точками на местности);

— урожайность (отношение массы собранного урожая к общей площади полей, с которой был собран урожай).

Далее мы рассмотрим равенство двух отношений и его практическое применение.

11 Comments

Ужс…по таким темам у меня 6 классе колы по кд-шкам.

Видимо, я слишком тупа для этой темы >. Светлана Иванова 23.08.2017 06:21 Ответить

Не так много людей, которые понимают тему с первого раза. Попробуйте вернуться к ней еще пару раз, и прояснится.

Добрый вечер,
У вас там описка в первом примере : 4/5
Нет?
С уважением

Да, была опечатка. Спасибо, Марк!

Я это понял сразу (после пары подзатыльников от отца)!! Подача отличная, в 6 кл просто изи учиться!!

мне не суждено понимать

Не святые горшки обжигают. Понять математику не так уж и сложно, было бы желание и трудолюбие.

А как из отношения число сделать?

Разделить первое число на другое. Например, 6:5=1,2.

Источник