Что такое отношение величин в математике 6 класс
Математика. 6 класс
Конспект урока
Отношение чисел и величин
Перечень рассматриваемых вопросов:
Частное двух не равных нулю чисел a и b называется отношением чисел a и b.
Числа a и b называются членами отношения.
Отношение не изменится, если его члены умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.
Отношение величин одного наименования (длин, скоростей, стоимостей и т. д., выраженных одинаковыми единицами измерения) есть число. Такие величины называют однородными.
Отношение величин различных наименований (пути и времени, стоимости товара и его количества, массы тела и его объёма и т. д.) есть новая величина.
Скорость – это отношение пройденного пути ко времени, за которое этот путь пройден.
Цена товара – это отношение стоимости товара к количеству единиц товара.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Отношения чисел и величин мы с вами встречаем не только в математике, но в географии. Давайте же разберёмся с этим понятием и научимся его использовать.
Частное двух не равных нулю чисел a и b называют отношением числа a к числу b.
Числа a и b называют членами отношения.
Отношение величин одного наименования (длины, скорости, стоимости и т. д., выраженных одинаковыми единицами измерения) есть число.
Мешок с красными яблоками весит 20 кг, а мешок с зелёными весит 10 кг. Во сколько раз мешок с красными яблоками тяжелее мешка с зелёными? Какую часть от красных яблок составляют зелёные?
Отношение величин разных наименований (пути и времени, стоимости товара и его количества, массы тела и его объёма) есть новая величина.
Цена товара – это отношение стоимости товара к его количеству единиц товара.
За 4 шоколадки заплатили 48 рублей. Сколько стоит одна шоколадка?
Так как цена всей покупки составила 48 рублей, а купили мы 4 шоколадки, для нахождения цены одной шоколадки, нужно всю цену разделить на количество шоколадок.
Разбор заданий тренировочного модуля
№ 1. Ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте.
Впишите ответ. Садовый участок имеет прямоугольную форму, его площадь равна 1000 кв. м. Длина участка равна 100 м. Найдите отношение длины участка к его ширине.
№ 2. Единичный / множественный выбор.
Урок 21 Бесплатно Отношения
В этом уроке мы узнаем, что такое отношения. Также поймем, что нам показывает отношение двух чисел. И в завершение узнаем, как определить часть одного числа от другого.
Отношение
Начнем с определения:
Отношением двух чисел называют частное этих двух чисел.
Записать отношение числа a к числу b мы можем как \(\mathbf\) или же через дробную черту: \(\mathbf<\frac>\)
У нас получается дробное выражение, поэтому возможны варианты во что оно преобразуется:
Посмотрим на разные примеры.
Пример 1
Найдем отношение чисел 256 и 8
По определению, отношением двух чисел будет являться их частное, что мы и посчитаем.
Ответом будет 32.
Иными словами, 256 относится к 8 как 32 к 1
В последней фразе была как раз упомянута суть отношения, мы акцентируем на этом внимание.
Отношение одного числа к другому показывает, как одно число соотносится с другим, иными словами, во сколько раз оно его больше или меньше:
Пример 2
Найдите отношение 15 к 12
По определению посчитаем частное, а далее посмотрим на полученный результат.
Данный пример иллюстрирует, в каких случая получается смешанное число.
Отношение равняется смешанному числу в тех случаях, когда первое число больше второго, и при этом первое на второе не делится.
Мы можем прочитать результат так: 15 больше 12 в \(\mathbf<1\frac<1><4>>\) раза.
Пример 3
Найдем отношение 16 к 24.
Снова идем по алгоритму: делим первое число на второе.
В этом случае мы получили в ответе правильную дробь.
Нам это говорит о том, что первое число меньше второго.
А если мы хотим сказать, как именно первое число меньше второго, то это можно сделать так: первое число меньше второго в \(\mathbf<\frac<2><3>>\) раза.
Мы можем сформулировать вывод и так: 16 составляет \(\mathbf<\frac<2><3>>\) от 24-х, то есть мы отвечаем на вопрос, какой частью является первое число от второго.
Также важно отметить, что отношение числа a к числу b не всегда равно отношению числа b к числу a.
Пример 4
Есть два числа, 14 и 28
Посчитаем отношение 14 к 28
И посчитаем отношение 28 к 14
Как вы видите, получились разные значения.
Как можно заметить, это взаимно обратные числа.
Отметим еще одно свойство отношений: если есть два числа a и b, то отношение a к b взаимно обратно отношению b к a.
Если дано отношение первого числа ко второму, то мы без труда сможем найти отношение второго к первому, даже не зная самих чисел, просто посчитав обратное к отношению число.
Пример 5
Дано, что отношение числа a к числу b равно \(\mathbf<\frac<2><5>>\), найдем отношение b к a
Для этого надо найти обратное число к \(\mathbf<\frac<2><5>>\)
Значит, отношение b к a равняется \(\mathbf<2\frac<1><2>>\)
В конце этой части добавим еще одно простое, но важное свойство.
Отношение двух чисел не изменится, если каждое из них домножить или разделить на одно и тоже число.
Это легко доказать, показав, что при делении этот множитель сократится.
Пример 6
Отношение числа 10 к числу 30 равно \(\mathbf<\frac<1><3>>\)
Домножим каждое из чисел на 2 и заметим, что отношение 20 к 60 также равно \(\mathbf<\frac<1><3>>\)
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Отношение и часть от числа
Посмотрим, какие еще можно сделать выводы, зная отношение.
Мы знаем, что, чтобы найти часть от числа (другими словами, дробь от числа), надо умножить число на эту дробь.
Так мы получим число, которое будет частью исходного.
Допустим, изначально у нас было число 4, и мы решили найти от него \(\mathbf<\frac<3><8>>\)
Перемножив, мы получим:
А теперь найдите отношение полученного числа к изначальному.
Для этого разделите одно на другое:
То, что вы получили отношение, равное той дроби, которую мы находили, не совпадение.
Действительно, находя дробь от числа мы получаем число, чье отношение к исходному будет равно этой дроби.
Сформулируем еще более коротко и четко: отношение числа a к числу b обратно дроби, которую нужно взять от числа а, чтобы получить число b.
Пример 1
Известно, что некая дробь от числа 10 равна \(\mathbf<2\frac<1><2>>\)
Найдем, какая именно это дробь.
Решение:
Дробь от числа равна отношению полученного числа к изначальному.
Теперь разделим одно на другое и получим ответ.
Ответ: дробь, взяв которую от 10 получили \(\mathbf<2\frac<1><2>>\), равняется \(\mathbf<\frac<1><4>>\)
Пример 2
Отношение первого числа ко второму равно \(\mathbf<1\frac<1><5>>\), также известно, что первое число равно 6.
Найдем второе число.
Решение:
Мы знаем, что отношение обратно дроби.
Найдем обратное число к \(\mathbf<1\frac<1><5>>\)
Теперь можно найти второе число, домножим первое на эту дробь:
Второе число равно 5
Проверка:
Найдем отношение первого числа ко второму, то есть 6 к 5
Получилось то же отношение, что и в условии.
Пример 3
Решим похожую задачу:
Отношение числа а к числу b равно \(\mathbf<1\frac<1><2>>\)
Известно, что число b равняется 8-ми, надо найти число а.
Решение:
Найдем, какую дробь число b составляет от числа a, то есть найдем обратное число от отношения:
Теперь, чтобы найти число по его дроби, надо разделить часть от числа на эту дробь.
В нашем случае на дробь надо делить число b :
Ответ: число a равняется 12
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Отношения в задачах
Теперь научимся находить отношения в задачах.
Сразу перейдем к примерам, чтобы посмотреть, за какими формулировками могут стоять отношения.
Задача 1
Длина улицы составляет 25 километров. Освещено 15 километров улицы.
а) Найдите, какая часть улицы освещена.
б) Во сколько раз вся улица длиннее ее освещенной части?
Решение:
В начале урока мы находили отношение меньшего числа к большему, тем самым определили, какую часть первое число составляет от второго.
Именно это и спрашивается в первом вопросе.
Для нахождения отношения длины освещенного участка к длине всей улицы поделим одну величину на другую:
Значит, длина освещенного участка составляет \(\mathbf<\frac<3><5>>\) от длины всей улицы.
Для нахождения этого отношения необходимо поделить длину всей улицы на длину ее освещенной части:
Что отвечает на вопрос второго пункта.
Также важно помнить, что если подаются какие-либо величины, то всегда надо следить, чтобы мера измерения была одинаковой.
То есть если нам подали что-то в тоннах и килограммах и мы хотим найти отношения этих величин, то надо либо тонны переводить в килограммы, либо наоборот.
Задача 2
Масса груза составляет 2 тонны. Известно, что часть груза- это одежда и ее масса 350 кг.
Найдите, какую часть от массы груза составляет масса одежды.
Решение:
Для начала преобразуем преобразуем тонны в килограммы. Получается, что масса груза равна 2000 кг.
Теперь найдем искомое отношение:
Теперь попробуйте порешать задачи самостоятельно, а если будет сложно, используйте подсказки.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Интересная информация
Сегодня вы узнаете о математических фокусах!
Их идея в том, что можно запутать людей математическими преобразованиями, которые выдадут то, что нужно нам.
Фокус 1
Попросите зрителя загадать число и никому не говорить.
Теперь попросите его умножить это число на 2, прибавить к результату 8, разделить на 2 и вычесть задуманное число.
Теперь вы можете уверенно сказать, что у зрителя получилось число 4.
Так получается за счет того, что в процессе преобразований исходное число вообще уходит из цепочки вычислений и остается только четверка.
Попробуй доказать это на формулах, взяв за задуманное число Х
Фокус 2
В нем вы можете угадать День рождения человека.
Попросите зрителя умножить на 2 число дня его рождения, затем пусть он прибавит к результату 5 и умножит это все на 50, после этого попросите зрителя прибавить к этому числу номер месяца рождения (январь- 1, февраль- 2 и т. д.).
Заключительный тест
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Математика. 6 класс
Конспект урока
Отношение чисел и величин
Перечень рассматриваемых вопросов:
Частное двух не равных нулю чисел a и b называется отношением чисел a и b.
Числа a и b называются членами отношения.
Отношение не изменится, если его члены умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.
Отношение величин одного наименования (длин, скоростей, стоимостей и т. д., выраженных одинаковыми единицами измерения) есть число. Такие величины называют однородными.
Отношение величин различных наименований (пути и времени, стоимости товара и его количества, массы тела и его объёма и т. д.) есть новая величина.
Скорость – это отношение пройденного пути ко времени, за которое этот путь пройден.
Цена товара – это отношение стоимости товара к количеству единиц товара.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Отношения чисел и величин мы с вами встречаем не только в математике, но в географии. Давайте же разберёмся с этим понятием и научимся его использовать.
Частное двух не равных нулю чисел a и b называют отношением числа a к числу b.
Числа a и b называют членами отношения.
Отношение величин одного наименования (длины, скорости, стоимости и т. д., выраженных одинаковыми единицами измерения) есть число.
Мешок с красными яблоками весит 20 кг, а мешок с зелёными весит 10 кг. Во сколько раз мешок с красными яблоками тяжелее мешка с зелёными? Какую часть от красных яблок составляют зелёные?
Отношение величин разных наименований (пути и времени, стоимости товара и его количества, массы тела и его объёма) есть новая величина.
Цена товара – это отношение стоимости товара к его количеству единиц товара.
За 4 шоколадки заплатили 48 рублей. Сколько стоит одна шоколадка?
Так как цена всей покупки составила 48 рублей, а купили мы 4 шоколадки, для нахождения цены одной шоколадки, нужно всю цену разделить на количество шоколадок.
Разбор заданий тренировочного модуля
№ 1. Ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте.
Впишите ответ. Садовый участок имеет прямоугольную форму, его площадь равна 1000 кв. м. Длина участка равна 100 м. Найдите отношение длины участка к его ширине.
№ 2. Единичный / множественный выбор.
Конспект урока по математике 6 класс «Отношение чисел и величин»
Конспект урока по математике в 6 классе
« Отношение чисел и величин»
Цели урока: ознакомить учащихся с понятиями отношения чисел и величин, члены отношения, со свойством отношения; формирование навыков упрощения отношений чисел и величин.
— развивать умение слушать; ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи;
— развивать навыки мыслительных операций, умений обобщать, правильно формулировать задачи, выводы;
— развивать умение работать с математическим текстом (анализировать, извлекать необходимую информацию); развивать представления о числе;
— формировать познавательный интерес к математике, ответственность, умение высказывать свои мысли, отстаивать свою точку зрения, слушая других;
— воспитывать культуру общения.
Анализ контрольной работы.
Актуализация опорных знаний.
2. Как называются компоненты при делении?
3. Как найти неизвестное делимое? А делитель?
5. Можно ли делить на нуль? А если разделить нуль на любое число?
6. Вспомним задачи «на части»: Для варенья из малины на 2 части ягод берут 3 части сахара. Сколько сахара необходимо взять на 2 кг 600 г ягод? ( Ответ: 3 кг 900 г.)
Говорят, что ягоды и сахар взяты в отношении 2 к 3.
Записывают: 2 : 3 или 
.
Объяснение нового материала.
Определение . Частное двух не равных нулю чисел а и b называют еще отношением чисел а и b .
Запись: 
или 
.
Числа а и b называют членами отношения.
1) 
(отношение числа 15 к числу 3); 2) 
(отношение числа 2 к числу 7);
3) 
(отношение числа 
к числу 9).
1) 
;
2) 
, 
;
3) 
, 
.
Вспомним основное свойство частного.
Свойство частного . Делимое и делитель можно умножить или разделить нацело на одно и то же натуральное число – частное от этого не изменится.
.
Из основного свойства частного следует свойство отношения.
Свойство отношения . Отношение не изменится, если его члены умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.
;
.
Определение. Частное двух величин называется отношением этих величин.
Сами величины называют членами отношения .
1) 
; 2) 
.
>1, тогда a>b, показывает, во сколько a>b.
=1, тогда a=b.
Отношение величин в математике.
.
Отношение величин в математике.
Знаменатель в единицах цены обычно не пишут, а пишут и говорят «цена 1 кг товара 50 р.».
Отношение величин в физике.
.
Отношение величин в химии.
1. Найдите отношение:
а) 
, 
;
в) 
, 
.
2. Запишите отношение в виде дроби (там, где можно, упростите отношение):
а) 
; б) 
; в) 
.
3. Упростите отношение величин:
а) 
; б) 
; в) 
.
4. Упростите отношение величин:
а) 
; б) 
; е) 
.
S = 2 3 = 6 (м). Ответ: 6 м.
, 
(м/с). Ответ: 2 м/с.