Что такое отрезок натурального ряда чисел

Теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля и отношения «меньше»

Отрезком N натурального ряда называется множество натуральных чисел, не превосходящих натурального числа а, т.е N = <х|х N и х а>.

Например, N это множество натуральных чисел, не превосходящих 7, т.е. N =<1,2,3,4,5,6,7>.

Множество А называется конечным, если оно равномощно некоторому отрезку N натурального ряда. Например, множество А вершин треугольника, множество В букв в слове «мир» конечные множества, т.к. они равномощны отрезку N = <1,2,3>, т.е. А

Установление взаимно-однозначного соответствия между элементами непустого конечного множества А и отрезком натурального ряда называется счетом элементов множества А. Так как любому непустому конечному множеству соответствует только одно натуральное число, то вся совокупность конечных множеств разбивается на классы равномощных множеств. В одном классе будут содержаться все одноэлементные множества, в другом – двухэлементные и т.д. И это число можно рассматривать как общее свойство класса конечных равномощных множеств. Таким образом, с теоретико-множественной точки зрения, натуральное число – это общее свойство класса конечных равномощных множеств.

Число 0 тоже имеет теоретико-множественное истолкование – оно ставится в соответствие пустому множеству: n( ) = 0.

Итак, натуральное число а как характеристику количества можно рассматривать с двух позиций:

1) как число элементов в множестве А, получаемое при счете;
2) как общее свойство класса конечных равномощных множеств.

Установленная связь между конечными множествами и натуральными числами позволяет дать теоретико-множественное истолкование отношения «меньше».

Если а = n(А), b = n(B), то число а меньше числа b тогда и только тогда, когда множество А равномощно собственному подмножеству множества В, т.е. А

Числа а и b равны, если они определяются равномощными множествами: а = k А

Свойства отношения «меньше» для натуральных чисел также получают теоретико-множественное истолкование: транзитивность и антисимметричность этого отношения связаны с тем, что транзитивно и антисимметрично отношение «быть подмножеством».

Покажем, используя теоретико-множественную трактовку отношения «меньше» для натуральных чисел, что 2

Сравнение чисел в начальном курсе математики осуществляется различными способами – оно основано на всех рассмотренных нами подходах к трактовке отношения «меньше».

Источник

Теоретический смысл темы: ОТРЕЗОК НАТУРАЛЬНОГО РЯДА. ПРИСЧИТЫВАНИЕ И ОТСЧИТЫВАНИЕ ПО 1.

Цель темы «Отрезок натурального ряда»: усвоение учащимися места, которое занимает число в ряде чисел от 1 до 10; после какого числа и перед каким числом называют его при счёте.

Просмотр содержимого документа
«Теоретический смысл темы: ОТРЕЗОК НАТУРАЛЬНОГО РЯДА. ПРИСЧИТЫВАНИЕ И ОТСЧИТЫВАНИЕ ПО 1.»

ОТРЕЗОК НАТУРАЛЬНОГО РЯДА. ПРИСЧИТЫВАНИЕ И ОТСЧИТЫВАНИЕ ПО 1.

Цель темы «Отрезок натурального ряда»: усвоение учащимися места, которое занимает число в ряде чисел от 1 до 10; после какого числа и перед каким числом называют его при счёте.

Все те числа, о которых мы до сих пор с тобой говорили и ещё долго будем говорить, помогают считать предметы и отвечать на вопрос: сколько предметов? Эти числа называются натуральными.

Если выстроить их по порядку, только не просто, как игрушечных солдатиков, а от меньшего числа к большему, то получится натуральный ряд чисел:

Вот что тебе нужно знать о натуральном ряде:

1. Натуральный ряд чисел начинается с числа 1.

2. Каждое следующее натуральное число на 1 больше предыдущего.

3. Натуральный ряд чисел бесконечен, как прямая линия, потому что к любому числу всегда можно прибавить ещё единицу.

4. Если взять несколько любых чисел из натурального ряда по порядку, то у нас получится отрезок натурального ряда.

5, 6, 7, 8, 9 — это отрезок натурального ряда чисел.

5, 7, 8, 9 — это не отрезок натурального ряда чисел, потому что пропущено число 6.

5, 9, 6, 7, 8 — это не отрезок натурального ряда чисел, потому что числа стоят не по порядку.

Числа бывают чётные и нечётные. В натуральном ряде нечётные и чётные числа чередуются между собой.

Чётные числа делятся на 2.

Нечётные числа НЕ делятся на 2.

Это ряд нечётных чисел: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15.

А это ряд чётных чисел: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16.

В начальных классах, изучение понятия «отрезок натурального ряда» сводится к усвоению той закономерности, которая положена в основу построения натурального ряда чисел: каждое число в натуральном ряду больше предшествующего и меньше предыдущего на 1.

На каждом отрезке выполняется однотипная работа по добавлению/убавлению совокупности предметов на 1.

После того, как научились писать все цифры от 1 до 9, им предлагается записать весть отрезок натурального ряда чисел от 1 до 9 (посчитай слоников, запиши цифрами все числа, которые ты называешь; проверь, получился ли у тебя такой ряд чисел:

1,2,3,…,9; подумай, как ты получил каждое следующее число). Таким образом, дети получают отрезок натурального ряда чисел.

Осознание принципа построения натурального ряда чисел позволяет выполнить присчитывание и отсчитывание по 1. В отличие от счёта, особенность этих операций заключается в том, что одно из предметных множеств представлено натуральным числом.

Операция присчитывания осваивается легче, в этом немаловажную роль играет усвоение порядка чисел при счёте. Иначе обстоит дело с усвоением обратной последовательности чисел

Задание 1. Запиши номера ступенек, которые пропустил колобок, поднимаясь вверх.

Задание 2. Найди и обведи по порядку числа от 1 до 10.

Задание 3. Найди соседей чисел:

Задание 4. Сосчитай кружки и запиши числа, которые ты назвал.

Задание 5. Я буду надевать кольца на пирамиду, а вы выкладывайте карточку с цифрами, которые будут означать число колец.

Задание 6. Расположите данные числа сначала в том порядке, в каком они идут при счёте, а потом в обратном порядке.

2, 8, 4, 10, 1, 5, 3, 9, 6, 7.

Задание 7. Сколько звёздочек на небе? Какой цифрой обозначается это число? Покажите карточку.(1)

А теперь на небе сколько звёздочек? Покажите.(2) Как получилось две звёздочки? (появилась ещё одна)

А теперь, сколько звёздочек на небе? Покажите.(3) Как получилось 3 звёздочки?

Это числа, записанные по порядку, каждое число в этом ряду на один больше предыдущего и на один меньше следующего.

Обозначьте каждый символ цифрой.

Задание 9. Разгадай правило и закончи рисунок.

Источник

Самого большого натурального числа в ряду чисел нет, т.к. ряд бесконечен.

Тема 3. Понятие «натуральный ряд» и принципы его построения. Различные подходы к изучению отрезка натурального ряда чисел от 1 до 10.

В современных учебниках для 1 класса существует 2 методических подхода к изучению данной темы.

Подход используется в учебниках М.И.Моро ( М1Мч1. С.21)

По этой программе все числа от 1 до 10 изучаются постепенно. Числа первого пятка вводятся по одному на уроке.

1 урок- М1М ч.1с.22 число 1

2 урок-с.24 числа 1,2

3 урок-с.26 числа 1,2,3

4 урок-с.30 числа 1,2,3,4

5 урок-с.34 числа 1,2,3,4,5

Числа второго пятка вводятся по два на уроке, так как считается, что принципы построения числового ряда дети в основном усвоили, но их продолжают закреплять и использовать.

Каждый из этих уроков строится примерно по одному плану:

1. Повторение числового ряда, изученного на предыдущем уроке.(например при изучении ряда нового 1,2,3,4 повторяем числа 1,2,3 с помощью упражнений.)

2. Образуем новое число (4) из предыдущего, путем прибавления 1. Продемонстрируем это на наглядном пособии.

3. Сравниваем новое число( 4 ) с ранее изученными (1,2,3). Сравниваем эти числа на основе сравнения групп предметов. 4 самое большое число.

4. Постановка нового числа в ряд чисел.( Так как 4 больше 3,2,1, то в ряду оно будет стоять правее их).

5. Закрепление нового ряда чисел с помощью упражнений.

6. Обучение письму новой цифры.

При изучении чисел используют следующие виды упражнений:

1. Счет в пределах изучаемого числа прямой и обратный, через 1, 2, 3.

Сравнение чисел.

-на основе сравнения групп предметов.(например: что больше 4 или 5, показываем на кружочках).

— по месту числа в натуральном ряду чисел (например: 4 называем при счете раньше чем 5, следовательно 4 меньше 5. Или 5 стоит правее в ряду, чем 4, следовательно 5 больше 4).

3. Числовые лесенки.

— убывающие.(рисуем, либо выкладываем с помощью раздаточного материала).

Например, возрастающая лесенка.М1Мч1. С.27

У: Положите 1 треугольник. А ниже столько же да еще 1. Столько же это сколько?

У: Чтобы показать, что их столько же, кладите треугольники парами друг под другом. Сколько треугольников получилось во втором ряду?

У: В каком ряду треугольников больше?

У: А ниже положите столько же треугольников, сколько во втором ряду да еще один. Сколько получилось?

Получили ряд чисел 1 2 3

Убывающая лесенка.

У: положите перед собой 4 квадрата, а ниже столько же, но без 1. Столько же это сколько? (3)

Сначала кладут столько же, а затем убирают 1 квадрат.

Как получили 3? (4-1=3)

И т.д. Остальные вопросы аналогичны. Получают ряд чисел 4 3 2 1.

4.Работа с числовым рядом:

-назови следующее число за числом…

-назови предыдущее число…

-назови «соседей» числа…

— какое число стоит между числами…

-расставь числа по порядку так, как они стоят в числовом ряду…

— заполни пропуски в числовом ряду…

5. Присчитывание и отсчитывание по 1.

Присчитать 1, т.е. назвать следующее число за данным.

Отсчитать 1, т.е. назвать предыдущее число.

Например: Ежик набрал уже 7 грибов, но на полянке нашел еще 1 гриб. Сколько грибов стало? (Показываем наглядную модель)

Сначала для ответа используем пересчет предметов, а затем вводим прием присчитывания по 1.

У: Надо ли заново считать 7 грибов?

У: мы продолжаем счет. 7 да 1. Сколько будет?

Аналогично присчитываем 2,3,4…. Так же учим отсчитыванию.

ВТОРОЙ МЕТОДИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ИЗУЧЕНИЮ РЯДА ОДНОЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ ПРЕДЛАГАЕТСЯ В УЧЕБНИКАХ Н.Б.ИСТОМИНОЙ И И.И.АРГИНСКОЙ.

В них после подготовительной работы на специальном уроке вводят сразу все числа от 1 до 9 включительно. Например: М1И ч.1 с. 52.

Чтобы ввести ряд чисел выполняют, например, задание такого типа:

числовой ряд: 1 2 3 4 5 6 7 8 9.

Сообщаем, что это числовой ряд, который построили по особым правилам (принципам):

1.Самое маленькое число в натуральном ряду это 1;

2. Все числа в ряду стоят по порядку от меньшего к большему;

3.Чтобы получить следующее число, нужно к данному числу прибавить1;

Самого большого натурального числа в ряду чисел нет, т.к. ряд бесконечен.

По ФГОС НОО не вводится термин «натуральный ряд», «отрезок натурального ряда». Но по программе И.И. Аргинской (Система Л.В.Занкова) эти термины изучают. М1А ч.1 с.74, 80, 82.

По всем другим программам детей знакомят с понятием «числовой ряд» и принципами его построения. Эти принципы в учебниках не сформулированы. Они есть только в учебнике 1 класса И.И.Аргинской М1А ч.1 с.74, 80, 82.

Эти правила сообщает учитель на уроке, дети запоминают формулировки.

Добиваемся, чтобы все ученики усвоили эти правила. Для их закрепления предлагают упражнения:

— прямой и обратный счет;

— «назови соседей этого числа»;

— расставь числа по порядку и т.д.

В математике 1 класса И.И.Аргинской детям показывают разницу между натуральным рядом чисел и отрезком натурального ряда: отрезок натурального ряда ограничен, а натуральный ряд бесконечен, на письме это показывают многоточием. В других учебниках этого нет.

По некоторым программам (например, в 1 классе по программе Н.Б.Истоминой с.74) вводится понятие «числовой луч». М1И ч.1 с. 74.

Источник

Что такое отрезок натурального ряда чисел

Россия, Саратовская область, г. Энгельс

Учитель начальных классов

Авдейчик Елена Алексеевна

Отрезок натурального ряда

Цели урока: создание условий для овладения обучающимися знаниями об отрезке натурального ряда, о видах линий, счете предметов и обозначении числа цифрой; для овладения пространственными представлениями; для формирования УУД обучающихся (познавательных, регулятивных, коммуникативных)

Оборудование: набор геометрических фигур (треугольники большие и маленькие, квадраты) лист бумаги, клей.

I. Организационный момент.

-Ребята, я предлагаю вам отправиться в морское путешествие. Как вы думаете, на чем удобнее будет путешествовать?

II. Актуализация знаний учащихся.

1. Повторение знаний о геометрических фигурах.

-Давайте построим корабль. Перед вами детали будущего корабля. Назовите их.

-Чем геометрические фигуры отличаются друг от друга?

— Мой корабль уже готов. Постройте свой из геометрических фигур и наклейте его в центре листа.

— Расправим паруса. Для этого возьмите большой треугольник. Ветер дует справа налево. Разверните парус в нужном направлении.

2.Составление равенств и неравенств.

-Сравните количество квадратов и треугольников и составьте равенства или неравенства.

1 1

1 1

3.Задания на развитие внимания и ориентации.

— Внизу корабля нарисуйте воды океана.

— Как называются окна на корабле? Нарисуйте на корабле окошки их должно быть больше 3, но меньше 5.

-О чем вы будете помнить, рисуя окошки на корабле?

-Какие линии вы использовали для рисования волн и окон?

— В дороге нас будет согревать солнышко. Наклейте его справа вверху.

-Что бы вы хотели добавить солнышку?

— Начертите у солнца 3 луча. А что вы знаете о луче, как о геометрической фигуре?

( Это геометрическая фигура, часть прямой линии, у луча есть начало, но нет конца.)

-Как вы думаете, что объединяет натуральный ряд чисел и геометрическую фигуру луч?

— Нам ваши знания сегодня понадобятся. Нарисуйте слева от солнышка 2 облачка.

Какую линию вы будете использовать?

III. Уточнение знаний о натуральном ряде чисел.

— Прежде чем отправиться в плавание, наметим маршрут?

— Какую фигуру напоминает предстоящий маршрут? Охарактеризуйте ломаную линию. Сколько звеньев в ломаной линии?

— Рассмотрите получившиеся примеры. Как назвать получившиеся, выражения, одним словом? Как называются компоненты и результат действия сложения?

— Выпишите из каждой суммы второе слагаемое.

— У нас получился ряд чисел.

-В каком порядке можно записать эти числа? Запишите числа в порядке увеличения.

-Можно ли назвать этот ряд чисел натуральным? Внесите изменения, чтобы этот числовой ряд стал рядом натуральных чисел.

IV. Физминутка.

— Как называют людей, которые ходят в плавание по морям и океанам?

— Каким должен быть настоящий моряк?

— Моряки – крепкие и сильные люди, потому что занимаются спортом.

(Под руководством учителя ребята выполняют гимнастические упражнения)

V. Арифметический диктант.

— Ещё моряки должны хорошо знать математику. Сейчас вы пройдёте небольшое испытание.

— Запишите предыдущее число числа 4.

— Какое число на 2 больше 2.

— Какое число на 1 меньше 6.

— Запишите число, которое в числовом ряду стоит справа от числа 5.

— Запишите число, которое в числовом ряду стоит слева от числа 8.

Дети: Получился ряд 3 4 5 6 7.

VI. Формирование знаний об отрезке натурального ряда чисел.

-Что общего между данным рядом чисел с натуральным рядом чисел?

Можем ли мы сказать, что перед нами натуральный ряд чисел?

Дети: Это часть натурального ряда чисел.

Учитель : Запишите свой отрезок натурального ряда чисел, чтобы он состоял из 4 чисел.

Дети: Можно 1 2 3 4; 2 3 4 5; 3 4 5 6; 4 5 6 7; 5 6 7 8; 6 7 8 9.

1.- Посмотрите, мы добрались до острова. Встречает нас обезьянка. Она так обрадовалась, что сразу принялась за угощение. Запишите, числа, обозначающие количество бананов в порядке увеличения.

Дети: 2,3,4.

2. Учебник №193 (устно)

-Найдите натуральный ряд чисел.

-Найдите отрезок натурального ряда чисел.

VIII. Решение задач. (Упражнение в составлении математических рассказов.)

1.Стало жарко. Я предлагаю вам искупаться, а заодно рассмотреть подводный мир моря.

—Каких животных мы здесь видим? Чем занят осьминог?

-Из камней осьминоги строят дома. Составьте задачу об осьминоге на сложение.

(Сколько камней он уже принёс? Сколько ещё несёт? Что можно спросить? Составьте рассказ с вопросом. Сколько всего камней принёс осьминог? Как получили 9? Запишем выражение в тетрадь. Как к 7 прибавить 2?)

2. Сколько ног у осьминога? Сколько пар ботинок понадобиться осьминогу?

3.Составьте задачу о рыбах на вычитание.

(Посмотрите, сколько было рыб? Что произошло? О чём можно спросить? Составьте рассказ с вопросом. Сколько осталось рыб? Как получили? Запишем выражение. Как из 8 будем вычитать 2?)

4. Сколько морских коньков спряталось за первым камнем? За вторым камнем спряталось столько же и ещё 2. Как вы думаете, сколько морских коньков за вторым камнем? А сколько морских коньков вместе?

5. Работа в парах.

-Назовите числа, которые являются решениям данного неравенства.

-Упорядочите числа, т. е. назовите в порядке увеличения. Что получилось?

-Что же является решением данного неравества?

Дети: отрезок натурального ряда чисел от 1 до 6.

— Назовите отрезок натурального ряда чисел, который является решением данного неравенства. Запишите эти числа.

6 2. С собой в путешествие мы брали воду в бочках. Как вы думаете, почему? Нарисуйте плоскую фигуру, напоминающую форму бочки и закрасьте в цвет бочки. Измените размер (цвет, форму).

Учитель: Молодцы, напишите, сколько больших бочек воды мы могли взять в путешествие, если их больше 2, но меньше 6.

Дети: 3, 4 или 5. У нас получился отрезок натурального ряда чисел.

VIII. Подведение итогов.

IX Рефлексия.

Источник

Урок математики по теме «Натуральный ряд чисел. Число и цифра 0». 1-й класс

Класс: 1

Цели: создать условия для ознакомления с числом 0, его местом в ряду целых неотрицательных чисел, правописания цифры 0, работы с геометрическим материалом.

Мыслительные операции, необходимые на этапе проектирования: анализ, сравнение, аналогия, обобщение.

Оборудование: учебник Математика И.И.Аргинская 1 класс, часть1, проектор, интерактивная доска SMARTnotebook.

ХОД УРОКА

— Для чего необходимо проводить разминку?

— Какие упражнения предложите для разминки?— С разминки.

— Чтобы подготовиться к работе, вспомнить, что изучали.Работа с “волшебным мешочком”

— Покажите многогранник, каждая грань которого – квадрат.

— Покажите фигуру, которая катится.

— Покажите многогранник, боковые грани которого – треугольник.

— Покажите прямоугольную призму. Чем куб отличается от прямоугольной призмы7

— Покажите фигуру, основание которой – круг, у неё одна вершина.— Работа с “волшебным мешочком”, с плоскими фигурами, порешать примеры, придумать задания со словами “за”, “перед”, “между”.

Показывают шар, цилиндр.

Показывают прямоугольную призму.Работа с плоскими фигурами.

— Задайте вопросы со словом “Сколько” к цепочке.Показывают конус.

Составим цепочку из фигур. (Один ученик диктует, а остальные выполняют)

(Задают вопросы и отвечают на них)— Какое следующее задание?

— Как можно выполнить эту работу?

— Какие правила работы в парах надо помнить?

— По звонку начинаем работу и заканчиваем.

— Кто хочет поделиться мнением о работе.?Следующее задание – со словами “за”, “перед”., “между”.

— Работать дружно и по алгоритму:

2. Один говорит, второй слушает, потом поменялись.

4. Поделились мнением с классом.

(работают в паре, рассказывают о работе в паре)Осталось последнее задание – порешать примеры.

Узнаете об этом, решив правильно примеры.

Покажите число на своих веерах:
— число, которое больше числа 5 на 1.
— число, которое на 1 меньше чем 6.
— число, которое больше 3 на 1.

— наибольшее однозначное число

— число, которое стоит первым в натуральном ряде чисел.

— из 4 вычесть 1.(Ответы на вопросы показывают веером цифр.)

6, 5, 2, 4, 7, 9, 8, 1, 3.Учитель сопровождает показы чисел на доске: 6, 5, 2, 4, 7, 9, 8, 1, 3.

Наш Ёжик очень любит математику. Но ему надо помочь собрать грибочки в корзинку. На каждой страничке спрятан грибок. Найдите его и положите в корзину.

— Что такое натуральный ряд чисел?

— Что такое отрезок натурального ряда чисел?

— По какому плану вы изучали натуральные числа?— Это натуральные числа, которые мы изучили.

Последовательно расположенные числа от 1 до бесконечности, где каждое следующее число на 1 больше предыдущего.

1. Как получить число?

2. Учусь писать цифру.

— Рассмотрите внимательно страницу. Составьте математический рассказ.

— Сколько осталось белок? Сколько осталось мальчиков на горке?

Каким числом можно обозначить результат?

— Что будем изучать сегодня на уроке?

— По какому плану будем изучать число и цифру 0?Открывают учебник на стр. 84 №195.

— На ветке сидела одна белка, потом она убежала.

— На горке стояли 2 мальчика. Один мальчик скатился с горки, потом второй мальчик скатился с горки.

— Будем изучать число и цифру 0.

— По уже знакомому плану.Работа над темой урока— Работаем по плану. Как можно получить любое натуральное число?

Исследуйте, можно ли получить так же число 0.

Перед вами лист исследования.

— Нарисуйте 0 крокодилов. 0 медведей, 0 слонов, 0 кругов.

— Начертите отрезок длиной 0 см.

— Налейте 0 литров воды.

— 0 – целое неотрицательное число.

Интересные факты о числе 0

В результате определения количества, порядка.

В результате измерения величин.

В результате арифметических действий.

(приводят примеры по каждому пункту)

— 0 – число не натуральное. Его можно получить только в результате действий

(10).— На какой ступеньке мы находимся?

— На что похожа цифра?

— Сконструируйте цифру из карандашей.

— Напишите 5 раз цифру 0 как показано в образце.

— Цифра вроде буквы О,

Но не значит ничего.

Этот ноль такой хорошенький. Но не значит ничегошеньки!

— Какое место занимает 0 в числовом луче?

— Где ещё встречались с числовым лучом с 0 в начале?— Учимся писать цифру 0.

Дети пишут цифру в тетради.

Он является началом.

— Это линейка.Закрепление знанийНа какой ступеньке находимся?

— Где можем применить свои знания?

— Соотнесите примеры и результат переместив грибочки в нужную корзинку.

— Мы помогали Ёжику собрать грибочки. Что заметили?

— Каким числом обозначим эту корзинку?

Какое задание можете предложить с полученными числами.

— Какое упражнение из учебника поможет применить знания?

— Какое число стоит первым в натуральном ряду чисел?

Запишите в тетради.

— Какое число стоит пред 1?

Запишите результат сравнения чисел в тетради.

Какие равенства можно записать?Применяю знания.

(Ученики по очереди выходят к доске. Ответы показывают веером цифр.)

Источник