Что такое отрицание в дискретной математике

«Учебник по дискретной математике. Свойства конъюнкции, дизъюнкции и отрицания»

2. Свойства конъюнкции, дизъюнкции и отрицания

Особая роль двух функций (из этих трех) определяется тем обстоятельством, что определение этих функций легко может быть перенесено на любое число переменных:

Конъюнкцией n переменных f (x₁, x₂, …, x_n) = x₁ x₂…x_n называется функция, которая принимает значение 1, если и только если все переменные равны 1 (и, значит, равна 0, если хотя бы одна из этих переменных равна 0).

Дизъюнкцией n переменных f (x₁, x₂, …, x_n) = x_1Ú x_2Ú … Ú x_n называется такая функция, которая равна 0 если и только если все переменные равны 0 (и, значит, равна 1 тогда и только тогда, когда хотя бы одна переменная равна 1).

Из этих определений видно, что конъюнкция и дизъюнкция коммутативны, т. е. обе функции не зависят от порядка переменных.

Заметим, что в перечисленных далее свойствах в роли x, y, z может выступать любая логическая функция. Все свойства легко могут быть доказаны из приведенных выше определений этих функций.

1. Универсальные границы:

2. Ассоциативность конъюнкции и дизъюнкции:

Это свойство означает, что в конъюнкции или дизъюнкции нескольких переменных можно как угодно расставлять скобки (а значит, можно вообще их не ставить).

3. Поглощение (“целое поглощает часть”):

4. Два распределительных закона:

оба свойства могут быть доказаны простым рассуждением (например, если х = 0, тогда по свойству 1 справа выражение равно 0 и слева тоже 0, если х = 1, то справа стоит yЪ z и слева будет то же самое).

5. Правила де Моргана:

оба эти правила обобщаются на любое число переменных:

Пусть К₁ и К₂ – какие-то логические функции, тогда

что легко доказывается справа налево:

Следствием правила Блейка являются два правила обобщенного поглощения:

Заметим, что правила Блейка и следствия из него часто используются для упрощения дизъюнкции (см. разд. 5)

Замечание. Конъюнкция, дизъюнкция, отрицание были определены для объектов, принимающих лишь два значения 0 и 1. Однако бывают случаи, когда можно ввести такие операции для некоторых других объектов (эти операции также называют иногда конъюнкцией, дизъюнкцией и отрицанием), для которых также выполнены свойства 1–6. В этом случае говорят, что на этих объектах введена булева алгебра.

Источник

Основы дискретной математики

Привет, хабр. В преддверии старта базового курса «Математика для Data Science» делимся с вами переводом еще одного полезного материала.

Об этой статье

Эта статья содержит лишь малую часть информации по заявленной теме. Рассматривайте ее как вводный курс перед началом всестороннего изучения предмета. Надеюсь, вы найдете в ней полезную информацию. Знание дискретной математики помогает описывать объекты и задачи в информатике, особенно когда дело касается алгоритмов, языков программирования, баз данных и криптографии. В дальнейшем я планирую подробнее раскрыть темы, затронутые в этой статье. Приятного чтения!

ЧТО ТАКОЕ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА?

Это область математики, изучающая объекты, которые могут принимать только уникальные отдельные значения.

Мы рассмотрим пять основных разделов в следующем порядке.

ЛОГИКА

Что такое логика?

Это наука о корректных рассуждениях. Мы будем использовать приемы идеализации и формализации. Неформальная логика изучает использование аргументов в естественном языке.

Формальная логика анализирует выводы с чисто формальным содержанием. Примерами формальной логики являются символическая логика и силлогистическая логика (о которой писал Аристотель).

Начнем с азов. Рассмотрим следующее высказывание на естественном языке:

«Если я голоден, я ем».

Пусть «голоден» будет посылкой A, а «ем» — следствием B. Попробуем формализовать:

A => B (то есть из A следует B)

NB. Посылка и следствие являются суждениями.

Логические выражения

Для нас важна форма, а НЕ содержание. Значение будет истинным, если оно соответствует форме.

Например, 10 4 — ИСТИНА.

Логические операции

Суждение P — это утверждение, которое может быть как истинным, так и ложным.

Обозначим истинное значение P единицей (1), а ложное значение P нулем (0).

Существует другое суждение; обозначим истинное значение Q единицей (1), а ложное значение Q нулем (0).

Рассмотрим логические операции с суждениями, значение которых истинно. Они могут сами образовывать истинные значения путем выполнения соответствующих операций над истинными значениями.

Источник

Дискретная математика — логика высказываний

Правила математической логики определяют методы обоснования математических утверждений. Греческий философ Аристотель был пионером логических рассуждений. Логические рассуждения обеспечивают теоретическую основу для многих областей математики и, следовательно, информатики. Он имеет множество практических приложений в области компьютерных наук, таких как проектирование вычислительных машин, искусственный интеллект, определение структур данных для языков программирования и т. Д.

Логика высказываний связана с утверждениями, которым могут быть присвоены значения истинности «истина» и «ложь». Цель состоит в том, чтобы проанализировать эти утверждения по отдельности или в совокупности.

Предлогическая логика — определение

Предложение — это совокупность декларативных утверждений, которые имеют либо значение истины «истина», либо значение истины «ложь». Пропозициональное предложение состоит из пропозициональных переменных и связок. Мы обозначаем пропозициональные переменные заглавными буквами (A, B и т. Д.). Связки соединяют пропозициональные переменные.

Некоторые примеры предложений приведены ниже —

Следующее не является предложением —

«А меньше 2». Это потому, что если мы не дадим конкретное значение A, мы не сможем сказать, является ли утверждение истинным или ложным.

«А меньше 2». Это потому, что если мы не дадим конкретное значение A, мы не сможем сказать, является ли утверждение истинным или ложным.

Связки

В логике высказываний мы обычно используем пять связок, которые:

Отрицание / НЕ ( l n o t )

Импликация / если-тогда ( r i g h t a r r o w )

Если и только если ( L e f t r i g h t a r r o w ).

Отрицание / НЕ ( l n o t )

Импликация / если-тогда ( r i g h t a r r o w )

Если и только если ( L e f t r i g h t a r r o w ).

OR ( l o r ) — Операция OR двух предложений A и B (записанная как A l o r B ) выполняется, если хотя бы любая из пропозициональных переменных A или B истинна.

Таблица истинности выглядит следующим образом —

AND ( l a n d ) — Операция AND двух предложений A и B (записанная как A l a n d B ) верна, если обе пропозициональные переменные A и B верны.

Таблица истинности выглядит следующим образом —

Отрицание ( l n o t ) — отрицание предложения A (записанного как l n o t A ) ложно, когда A истинно, и истинно, когда A ложно.

Таблица истинности выглядит следующим образом —

Импликация / если-тогда ( r i g h t a r r o w ) — импликация A r i g h t a r r o w B — это предложение «если A, то B». Это ложно, если A верно, а B ложно. Остальные случаи верны.

Таблица истинности выглядит следующим образом —

Если и только если ( L e f t r i g h t a r r o w ) — A L e f t r i g h t a r r o w B — это двухусловное логическое связующее, которое истинно, когда p и q одинаковы, т.е. оба являются ложными или оба истинны.

Таблица истинности выглядит следующим образом —

Тавтологии

Тавтология — это формула, которая всегда верна для каждого значения ее пропозициональных переменных.

Пример — Доказать, что l b r a c k ( A r i g h t a r r o w B ) l a n d A r b r a c k r i g h t a r r o w B — тавтология

Таблица истинности выглядит следующим образом —

Как мы видим, каждое значение l b r a c k ( A r i g h t a r r o w B ) l a n d A r b r a c k r i g h t a r r o w B равно «True», это тавтология.

Противоречия

Противоречие — это формула, которая всегда ложна для каждого значения ее пропозициональных переменных.

Пример — Докажите, что ( A l o r B ) l a n d l b r a c k ( l n o t A ) l a n d ( l n o t B ) r b r a c k является противоречием

Таблица истинности выглядит следующим образом —

Как мы видим, каждое значение ( A l o r B ) l a n d l b r a c k ( l n o t A ) l a n d ( l n o t B ) r b r a c k равно «False», это противоречие.

непредвиденные обстоятельства

Непредвиденные обстоятельства — это формула, которая имеет как истинные, так и ложные значения для каждого значения своих пропозициональных переменных.

Пример — Доказать непредвиденную случайность в ( A l o r B ) l a n d ( l n o t A )

Таблица истинности выглядит следующим образом —

Как мы видим, каждое значение ( A l o r B ) l a n d ( l n o t A ) имеет «True» и «False», это непредвиденное обстоятельство.

Пропозициональные эквивалентности

Два утверждения X и Y логически эквивалентны, если выполняется любое из следующих двух условий:

Таблицы истинности каждого утверждения имеют одинаковые значения истинности.

Двухусловное утверждение X L e f t r i g h t a r r o w Y является тавтологией.

Таблицы истинности каждого утверждения имеют одинаковые значения истинности.

Двухусловное утверждение X L e f t r i g h t a r r o w Y является тавтологией.

Пример — Докажите, что l n o t ( A l o r B ) и l b r a c k ( l n o t A ) l a n d ( l n o t B ) r b r a c k эквивалентны

Тестирование по 1- му методу (таблица соответствия)

Здесь мы видим, что значения истинности l n o t ( A l o r B ) и l b r a c k ( l n o t A ) l a n d ( l n o t B ) r b r a c k совпадают, поэтому утверждения эквивалентны.

Тестирование по 2- му методу (би-условность)

Поскольку l b r a c k l n o t ( A l o r B ) r b r a c k L e f t r i g h t a r r o w l b r a c k ( l n o t A ) l a n d ( l n o t B ) r b r a c k является тавтологией, утверждения эквивалентны.

Обратное, Обратное и Противоположительное

Импликация / if-then ( r i g h t a r r o w ) также называется условным оператором. Он состоит из двух частей —

Пример условного высказывания — «Если вы делаете свою домашнюю работу, вы не будете наказаны». Здесь «вы делаете свою домашнюю работу» — это гипотеза, p, а «вы не будете наказаны» — это заключение, q.

Пример — Противоположный вариант «Если вы делаете домашнее задание, вы не будете наказаны» — «Если вы наказаны, вы не сделали домашнее задание».

Принцип двойственности

Принцип двойственности гласит, что для любого истинного утверждения двойственное утверждение, полученное путем взаимного объединения союзов в пересечения (и наоборот) и взаимного изменения универсального множества в нулевое множество (и наоборот), также верно. Если дуальным каким-либо утверждением является само утверждение, оно называется самодвойственным утверждением.

Пример — двойственное значение ( A c a p B ) c u p C равно ( A c u p B ) c a p C

Нормальные Формы

Мы можем преобразовать любое предложение в две нормальные формы —

Конъюнктивная нормальная форма

Составной оператор находится в конъюнктивной нормальной форме, если он получен путем операции И среди переменных (включая отрицание переменных), связанных с ИЛИ. С точки зрения операций над множествами, это составное утверждение, полученное Intersection среди переменных, связанных с Unions.

( A l o r B ) з е м л я ( A l o r C ) з е м л я ( B l o r C l o r D )

( P c u p Q ) c a p ( Q c u p R )

( A l o r B ) з е м л я ( A l o r C ) з е м л я ( B l o r C l o r D )

( P c u p Q ) c a p ( Q c u p R )

Дизъюнктивная нормальная форма

Составной оператор находится в конъюнктивной нормальной форме, если он получен путем операции ИЛИ среди переменных (включая отрицание переменных), связанных с AND. С точки зрения операций над множествами, это составное утверждение, полученное объединением среди переменных, связанных с пересечениями.

( A l a n d B ) l o r ( A l a n d C ) l o r ( B l a n d C l a n d D )

Источник

«Учебник по дискретной математике. Логические (булевы) функции»

1. Основные логические функции

Например, при п = 3 множество Е 3 может быть упорядочено следующим образом.

Такое упорядочение еще называют “скользящей единицей”.

Этот естественный порядок элементов Е п является самым распространенным, но, как будет видно в разд. 5, иногда удобен другой способ упорядочения.

Логической ( булевой) функцией (или просто функцией) n переменных y = f(x₁, x₂, …, x_n) называется такая функция, у которой все переменные и сама функция могут принимать только два значения: 0 и 1.

Переменные, которые могут принимать только два значения 0 и 1 называются логическими переменными (или просто переменными). Заметим, что логическая переменная х может подразумевать под числом 0 некоторое высказывание, которое ложно, и под числом 1 высказывание, которое истинно. Например, высказывание “Волга впадает в Каспийское море” является истинным и, значит, с точки зрения дискретной математики принимает значение 1, а высказывание “в неделе 8 дней” является ложным, и переменная, которая заменяет это высказывание, принимает значение 0. Имеется много высказываний, которые либо истинны, либо ложны, но о которых мы не знаем, что имеет место на самом деле. Например, высказывание “студент Петров (имеется в виду конкретный человек) имеет дома компьютер”. Такого рода высказывания требуют проверки (конечно, если нам важен этот факт). Поэтому считаем, что переменная, заменяющая это высказывание может принимать значение 0 или 1.

Из определения логической функции следует, что функция п переменных – это отображение Е п в Е, которое можно задать непосредственно таблицей, называемой таблицей истинности данной функции. Например, функция трех переменных f(x,y,z) может определяться следующей таблицей истинности.

Источник

Что такое отрицание в дискретной математике

2) Логическое сложение или дизъюнкция:

Таблица истинности для дизъюнкции

3) Логическое отрицание или инверсия:

Таблица истинности для инверсии

4) Логическое следование или импликация:

«A → B» истинно, если из А может следовать B.

Обозначение: F = A → B.

Таблица истинности для импликации

5) Логическая равнозначность или эквивалентность:

Источник