Что такое отрицательная частота
Отрицательная частота
Из Википедии — свободной энциклопедии
Понятие отрицательной и положительной частоты может быть показано на примере вращающегося в ту или другую сторону вектора. Частота со знаком отражает как скорость, так и направление вращения. Скорость выражена в оборотах (циклах) в секунду (герцах) или рад/с (где 1 оборот соответствует 2π радианам).
Для заданного во времени сигнала такой вектор представляет его на комплексной плоскости. Зависимость значения сигнала от времени есть лишь зависимость проекции вектора на действительную ось от времени. Поэтому понятие отрицательной частоты не может быть представлено в виде некомплексных сигналов во временной области и распространяется только на частотную.
Чтобы сигнал был представим в некомплексном виде, формула Эйлера требует равенства коэффициентов при комплексных экспонентах частот разных знаков. Несимметричность спектра равноценна наличию в сигнале гармоник, заданных только для отрицательной частоты.
Пример искажения сигнала при преобразовании несущей обычным гетеродином:
c o s ( ω s t + Δ ω t ) + 2 c o s ( ω s t − Δ ω t ) → ω s → 0 3 c o s ( Δ ω t ) → ω 0 → ω s 1.5 c o s ( ω s t + Δ ω t ) + 1.5 c o s ( ω s t − Δ ω t ) <\displaystyle cos\left(\omega _t+\Delta \omega t\right)+2cos\left(\omega _t-\Delta \omega t\right)<\xrightarrow <\omega _\to 0>>3cos\left(\Delta \omega t\right)<\xrightarrow <\omega _<0>\to \omega _>>1.5cos\left(\omega _t+\Delta \omega t\right)+1.5cos\left(\omega _t-\Delta \omega t\right)> 
Преобразование квадратурным гетеродином:
c o s ( ω s t + Δ ω t ) + 2 c o s ( ω s t − Δ ω t ) → ω s → 0 3 c o s ( Δ ω t ) − i s i n ( Δ ω t ) → ω 0 → ω s c o s ( ω s t + Δ ω t ) + 2 c o s ( ω s t − Δ ω t ) <\displaystyle cos\left(\omega _t+\Delta \omega t\right)+2cos\left(\omega _t-\Delta \omega t\right)<\xrightarrow <\omega _\to 0>>3cos\left(\Delta \omega t\right)-isin\left(\Delta \omega t\right)<\xrightarrow <\omega _<0>\to \omega _>>cos\left(\omega _t+\Delta \omega t\right)+2cos\left(\omega _t-\Delta \omega t\right)>
Для частотной области таким непредставимым понятием является временная асимметрия сигналов: лишь симметричные сигналы имеют некомплексный спектр.
Таким образом, понятие отрицательной частоты столь же оправданно, как и понятие отрицательного времени. Наглядное представление вращающегося в разные стороны вектора можно получить на экране осциллографа, подавая синус на вертикальные, а косинус на горизонтальные пластины и меняя полуось времени (знак синуса).
Каково физическое значение отрицательных частот?
Это была одна из дыр в моем блоке понимания сыра чеддер для понимания DSP, так какова физическая интерпретация наличия отрицательной частоты?
Редактировать: 18 октября 2011 года. Я предоставил свой собственный ответ, но расширил вопрос, включив в него корни того, почему ДОЛЖНЫ существовать отрицательные частоты.
Отрицательная частота не имеет большого смысла для синусоид, но преобразование Фурье не разбивает сигнал на синусоиды, оно разбивает его на сложные экспоненты (также называемые «сложные синусоиды» или « цизоиды s»):
Это на самом деле спирали, вращающиеся в сложной плоскости:
Спирали могут быть как левосторонними, так и правосторонними (вращающимися по часовой стрелке или против часовой стрелки), отсюда и возникает понятие отрицательной частоты. Вы также можете думать об этом как о фазовом угле, идущем вперед или назад во времени.
В случае реальных сигналов всегда есть две комплексные экспоненты равной амплитуды, вращающиеся в противоположных направлениях, так что их реальные части объединяются, а мнимые части компенсируются, оставляя в результате только настоящую синусоиду. Вот почему спектр синусоидальной волны всегда имеет 2 пика, один положительный и один отрицательный. В зависимости от фазы двух спиралей они могут подавляться, оставляя чисто реальную синусоидальную волну, или реальную косинусоидальную волну, или чисто воображаемую синусоидальную волну и т. Д.
Отрицательная частота ничем не отличается от приведенного выше простого примера. Простое математическое объяснение того, как всплывает отрицательная частота, можно увидеть из преобразований Фурье чистых тонов синусоид.
Рассмотрим пару преобразования Фурье комплексной синусоиды: (игнорируя члены с постоянным множителем). Для чистой синусоиды (реальной) мы имеем из соотношения Эйлера: e ȷ ω 0 t ⟷ δ ( ω + ω 0 ) ‘ role=»presentation»> e ȷ ω 0 t ⟷ δ ( ω + ω 0 )
и, следовательно, его пара преобразования Фурье (опять же, игнорируя постоянные множители):
Вы можете видеть, что он имеет две частоты: положительную в и отрицательную в по определению! Сложная синусоида широко используется, потому что она невероятно полезна для упрощения наших математических вычислений. Однако у него только одна частота, а у настоящей синусоиды фактически две. ω 0 ‘ role=»presentation»> ω 0 − ω 0 ‘ role=»presentation»> − ω 0 a e ȷ ω 0 t ‘ role=»presentation»> a e ȷ ω 0 t
В настоящее время моя точка зрения (она может быть изменена) заключается в следующем
Для синусоидального повторения имеет смысл только положительные частоты. Физическая интерпретация ясна. Для сложного экспоненциального повторения имеет смысл как положительная, так и отрицательная частоты. Может быть возможно приложить физическую интерпретацию к отрицательной частоте. Эта физическая интерпретация отрицательной частоты связана с направлением повторения.
Если придерживаться этого определения, отрицательная частота не имеет смысла и поэтому не имеет физической интерпретации. Однако это определение частоты не является исчерпывающим для сложного экспоненциального повторения, которое также может иметь направление.
Отрицательные частоты все время используются при анализе сигналов или систем. Основной причиной этого является формула Эйлера и тот факт, что сложные экспоненты являются собственными функциями систем LTI.
Синусоидальное повторение обычно представляет интерес, и сложное экспоненциальное повторение часто используется для косвенного получения синусоидального повторения. То, что оба они связаны, можно легко увидеть, рассмотрев представление Фурье, написанное с использованием комплексных экспонент, например,
Однако это эквивалентно
Поэтому вместо рассмотрения положительной «оси синусоидальной частоты» рассматривается отрицательная и положительная «комплексная ось экспоненциальной частоты». Что касается «оси комплексной экспоненциальной частоты», то для реальных сигналов хорошо известно, что отрицательная частотная часть является избыточной, и рассматривается только положительная «комплексная ось экспоненциальной частоты». Делая этот шаг неявно, мы знаем, что ось частот представляет сложное экспоненциальное повторение, а не синусоидальное повторение.
Комплексное экспоненциальное повторение представляет собой круговое вращение в комплексной плоскости. Чтобы создать синусоидальное повторение, требуется два сложных экспоненциальных повторения, одно повторение по часовой стрелке и одно повторение против часовой стрелки. Если сконструировано физическое устройство, которое производит синусоидальное повторение, вдохновленное тем, как синусоидальное повторение создается в комплексной плоскости, то есть с помощью двух физически вращающихся устройств, которые вращаются в противоположных направлениях, можно сказать, что одно из вращающихся устройств имеет отрицательное частота и, следовательно, отрицательная частота имеет физическую интерпретацию.
Во многих распространенных приложениях отрицательные частоты вообще не имеют прямого физического значения. Рассмотрим случай, когда в некоторой электрической цепи есть входное и выходное напряжение с резисторами, конденсаторами и индукторами. Просто существует реальное входное напряжение с одной частотой, и есть одно выходное напряжение с той же частотой, но разной амплитудой и фазой.
ЕДИНСТВЕННАЯ причина, по которой вы бы рассматривали сложные сигналы, сложные преобразования Фурье и математическую формулу в этой точке, это математическое удобство. Вы могли бы сделать это точно так же, как с настоящей математикой, это было бы намного сложнее.
Существуют различные типы частотно-временных преобразований. Преобразование Фурье использует сложную экспоненту в качестве своей базовой функции и применяется к одной действительной синусоидальной волне, которая дает двухзначные результаты, которые интерпретируются как положительная и отрицательная частота. Существуют и другие преобразования (например, дискретное косинусное преобразование), которые вообще не создают отрицательных частот. Опять же, это вопрос математического удобства; Преобразование Фурье часто является самым быстрым и наиболее эффективным способом решения конкретной проблемы.
Вам следует изучить преобразование или ряд Фурье, чтобы понять отрицательную частоту. Действительно, Фурье показал, что мы можем показать все волны, используя некоторые синусоиды. Каждая синусоида может быть показана с двумя пиками на частоте этой волны, один в положительной стороне и один в отрицательной. Так что теоретическая причина ясна. Но по физической причине я всегда вижу, что люди говорят, что отрицательная частота имеет только математическое значение. Но я предполагаю физическую интерпретацию, в которой я не совсем уверен; Когда вы изучаете круговое движение в качестве основы дискуссий о волнах, направление скорости движения на полукруге противоположно другой половине. Это может быть причиной того, что у нас есть два пика в обеих сторонах частотной области для каждой синусоиды.
В чем смысл отрицательного расстояния? Одна возможность состоит в том, что это для непрерывности, поэтому вам не нужно переворачивать планету Земля вверх ногами каждый раз, когда вы идете по экватору, и хотите построить свое положение на север с непрерывной 1-й производной.
То же самое с частотой, когда можно делать такие вещи, как FM-модуляция с модуляцией, более широкой, чем несущая частота. Как бы вы подготовили это?
Раньше, чтобы получить правильный ответ для власти, вы должны были удвоить ответ. Но если вы интегрируете от минус бесконечности до плюс бесконечности, вы получите правильный ответ без произвольного двойника. Поэтому они сказали, что должны быть отрицательные частоты. Но никто так и не нашел их. Поэтому они являются воображаемыми или, по крайней мере, с физической точки зрения необъяснимыми.
Это оказалось довольно горячей темой.
После прочтения множества хороших и разнообразных мнений и интерпретаций и позволения этой проблеме некоторое время кипеть в моей голове, я полагаю, что у меня есть физическая интерпретация феномена отрицательных частот. И я считаю, что ключевая интерпретация здесь заключается в том, что Фурье не видит времени. Подробно об этом далее:
Таким образом, по тем же признакам,
Таким образом, когда мы спрашиваем о физической интерпретации отрицательных частот, мы также неявно задаем вопрос о том, как скалярные и очень реальные меры количества колебаний в единицу времени какого-либо физического явления, такого как волны на пляже, синусоидального переменного тока по проводу, сопоставьте эту угловую частоту, которая теперь внезапно имеет направление, по часовой стрелке или против часовой стрелки.
Учитывая это и быстро отвлекаясь, чтобы вспомнить, что временная частота является первой производной фазы по времени (просто изменение фазы во времени), все начинает становиться на свои места:
Физическая интерпретация отрицательных частот заключается в следующем:
Представьте себе, «смотрящим» вниз на эту волну в прямом направлении времени по мере ее продвижения. Теперь представьте себе, как рассчитывается разница в фазе в каждый момент времени, когда вы прогрессируете дальше. Это даст вам вашу скалярную временную частоту, и ваша частота будет положительной. Все идет нормально.
Итак, как Фурье захватывает это? Ну, чтобы показать направление времени, вращение должно бытьиспользовать так, чтобы вращение по часовой стрелке означало «смотреть» на сигнал в стрелке времени вперед, а вращение против часовой стрелки означало «смотреть» на сигнал, как если бы время шло назад. Скалярная временная частота, с которой мы все знакомы, должна теперь быть равна (масштабированной) абсолютной величине нашей векторной угловой частоты. Но как точка, обозначающая смещение синусоидальной волны, может достигнуть своей начальной точки после одного цикла, но одновременно вращаться вокруг круга и поддерживать проявление временной частоты, которую она обозначает? Только если главные оси этого круга составлены из измерения смещения этой точки относительно исходной синусоиды и отклонения синусоиды на 90 градусов. (Именно так Фурье получает синус и косинус, на основании которых вы проектируете каждый раз, когда выполняете ДПФ!). И, наконец, как мы держим эти оси отдельно? ‘J’ гарантирует, что величина на каждой оси всегда не зависит от величины на другой, поскольку действительные и мнимые числа не могут быть добавлены для получения нового числа в любой области. (Но это только примечание).
Отрицательные частоты: что это?
все очень мило и такое (спасибо, Марк), но это не очень интуитивно понятно.
Синус может быть представлен в комплексной плоскости как вращающийся вектор:
Вы можете видеть, как вектор состоит из действительной и мнимой частей. Но то, что вы видите, когда смотрите, как сигнал на вашем прицеле является реальным сигналом, так как вы можете избавиться от мнимой части, чтобы вектор оставался на оси X, увеличиваясь и уменьшаясь? Решение состоит в том, чтобы добавить зеркальное отображение вращающегося вектора, вращающегося по часовой стрелке, а не против часовой стрелки.
Мнимые части имеют одинаковую величину, но противоположные знаки, поэтому, когда вы добавляете оба вектора, мнимые части компенсируют друг друга, оставляя чисто реальный сигнал.
Если вращение против часовой стрелки означает положительную частоту, вращение по часовой стрелке означает отрицательную частоту.
Это не может на самом деле.
Полный ответ занял бы весь учебник, но основной ответ:
e j ω t ‘ role=»presentation»> е J ω T
Это приводит к формуле Эйлера:
e j ω t = c o s ( w t ) + j ⋅ s i n ( ω t ) ‘ role=»presentation»> е J ω T знак равно с о s ( вес T ) + J ⋅ s я N ( ω T )
Что приводит к обратному:
Что подразумевает наличие как положительной, так и отрицательной частоты, и именно здесь она появляется в обсуждении обработки сигналов.
Так, как я это вижу:
e i ω t ‘ role=»presentation»> е я ω T
Он также может быть нарисован менее интуитивно, как это (левая сторона), и имеет односторонний спектр, подобный этому (правая сторона):
Отрицательная частота означает, что спираль вращается в противоположном направлении, а спектр представляет собой дельта-функцию на отрицательной стороне частотной оси.
Если вы добавите сложную синусоиду положительной частоты с одной и той же, но отрицательной частотой, воображаемые части, вращающиеся в противоположных направлениях, погаснут, и получится настоящая синусоида.
В этом случае бессмысленно говорить о синусоиде с отрицательной частотой, поскольку синусоида содержит как положительные, так и отрицательные частоты.
(Я действительно хотел бы сделать более качественные иллюстрации этого, вместо того, чтобы копировать эти старые некачественные, но я попробовал, и это не легко. Я думаю, что трехмерная диаграмма спектров выше на самом деле неверна. Дельта функции должны быть параллельны реальной / воображаемой плоскости и перпендикулярны оси частот.)
Что такое отрицательная частота
Фурье-образ любой функции определен для всех значений 
(положительных и отрицательных). Нелегко объяснить физический смысл отрицательных частот. Действительно, проведенное выше в этой главе исследование
предполагало, что частоты могут быть разных знаков. В то же время все классические спектральные анализаторы и фурье-преобразователи вычисляют спектр и фурье-образы только для положительных частот. Может показаться, что в этом заключено противоречие, но на самом деле его нет. Когда некоторое устройство вычисляет фурье-образ физической функции, оно оперирует с вещественными функциями (полученными при измерениях), без мнимых составляющих. Используя затем соотношения (2.27), можно определить фурье-образ для отрицательных частот. Неучет части фурье-образа, соответствующей отрицательным частотам, может привести к большим погрешностям. Рассмотрим, например, фурье-образ функции
Поскольку функция 
— нечетная, фурье-образ — мнимая функция и
Фурье-преобразователь вычисляет часть фурье-образа, соответствующую положительным частотам:
Часть, соответствующая отрицательным частотам, имеет вид
Поэтому фурье-образ принимает форму
Легко проверить, что для фурье-образа справедливо равенство
Для вычисления фурье-образа комплексной функции (этот случай имеет место при использовании обратного преобразования Фурье) приходится последовательно вычислять мнимую и действительную части, применяя формулы (2.27).
Что такое отрицательная частота
_____
Кто в беде Бога не маливал? Храни Вас Господь.
Старый ржавый электронщик  | ||||
Карма: 4 |
| |||
| ||||
| aen | ||||
Карма: 157 |
| |||
| ||||
| Сэр Мурр | ||||
Карма: 46 |
| |||
| ||||
| Старый ржавый электронщик | ||||
Карма: 4 |
| |||
| ||||
| xelos | ||||
Карма: 2 |
| |||
| ||||
