Что такое отрицательное число в математике
Отрицательные числа
Разделы: Математика
Определение. Целые числа – это натуральные, отрицательные натуральные и число «0».
Изображение этого множества мы видим на градуснике для измерения температуры на улице.
Температура может быть с «минусом», т.е. отрицательной, может быть с «плюсом» т.е. положительной. Температура 0 градусов не положительная не отрицательная, число 0 – граница, которая отделяет положительные числа от отрицательных.
Изобразим целые числа на числовой оси.
Положительные целые числа, например «+3» читается как положительная 3 или просто «три», то есть у положительных (натуральных) чисел знак «+» не пишется и слово «положительное» не произносится.
1. Попробуй увеличить число (-4) за 3 шага, увеличивая каждый раз на 2 единицы.
Двигаясь по числовой оси, как показано на рисунке, мы получим в результате 2.
2. Уменьши число 6 за шесть шагов, уменьшая его за каждый шаг на 2 единицы.
3. Увеличь число (-1) за три шага, увеличивая его на 4 единицы на каждом шаге.
С помощью координатной прямой легко сравнивать целые числа: из двух чисел больше то, которое на координатной прямой расположено правее, а меньше то, что стоит левее.
4. Сравни числа, поставив знак > или 26.07.2010
Математика
Именная карта банка для детей
с крутым дизайном, +200 бонусов
Закажи свою собственную карту банка и получи бонусы
План урока:
В выходной день папа с Никитой собирались в городской парк, на открытие большой горки.
А если, говоря о погоде, используется слово «плюс», или сообщается количество градусов с использованием выражения «выше нуля», например: «сегодня за окном пятнадцать градусов выше нуля», или «на улице плюс три», то значит, что шкала термометра поднялась выше 0.
Но даже после папиного рассказа у Никиты осталось много вопросов о числовых значениях со знаком минус и плюс. Всю прогулку мальчик думал о непонятных цифрах со знаком «минус».
Найти ответы на все свои вопросы Никита смог, только после того, как внимательно изучил наш урок на сайте 100urokov.ru.
Положительные числа
В каждом доме и квартире есть термометр– незаменимый прибор для измерения температуры воздуха. Давайте внимательно его рассмотрим.
Мы видим шкалу, с нанесенными цифрами, которая расположена в стеклянной колбе. Стоит отметить, что шкала прибора разделена точно пополам делением с цифрой 0. Все цифры, находящиеся вверху от нуля имеют положительное значение и записываются со знаком «плюс».
В арифметике такие значения имеют свое название – положительные.
Примеры положительных чисел: 5,18,39,156.
Исходя из рассмотренного правила, делаем вывод, что числа, перед которыми не стоит знак и числа со знаком «+» равны.
Положительные числа можно использовать для выполнения любых математических действий:
возведения в степень.
Получается, что именно с положительными значениями вы знакомы с первого класса.
Отрицательные числа
Ну а теперь, давайте представим, что за окном зима. Какую же температуру покажет рассмотренный прибор для измерения температуры воздуха?
В зимнее время года холодно. Поэтому, обычно говорят, что держится минусовая температура, то есть столбик прибора не поднимается выше 0.
В математике такие числа принято называть отрицательными, при записи, перед данным числовым значением нужно ставить знак «минус».
Примеры отрицательных чисел:
Координатная прямая
Давайте внимательно рассмотрим шкалу термометра и постараемся схематично её изобразить. Шкала является прямой линией. Чертим её:
Замечаем, что каждое деление соответствует 1 градусу. Выходит, шкала имеет единичный отрезок.
Выбираем на нашем рисунке единичный отрезок не забывая, отложить его в обе стороны от начала отсчета:
Посмотрим на полученное изображение. Построенная геометрическая фигура имеет направление, точку начала отсчета и единичный отрезок. В математике, такие фигуры имеют свое название – координатная прямая.
Важным моментом, является то, что на координатной прямой по правую сторону от точки начала отсчета (0) находятся положительные числа, а по левой стороне – отрицательные (записанные со знаком «минус»).
На самом деле, на рисунке изображен небольшой фрагмент прямой. Данная линия продолжается в обе стороны до бесконечности, так как по определению, она не имеет ни начала, ни конца.
Координата точки
Каждая точка, нанесенная на координатную прямую,всегда имеет свое числовое обозначение или координату.
Разберем на примере.
Построим координатную прямую. Нанесем начало отсчета и выберем единичный отрезок, равный 1 сантиметру. Обозначим деление буквой A:
Читается, точка A с координатой 1.
Нет ничего сложного!
Давайте применим на практике полученные знания и разберем задание.
Постройте координатную прямую и нанесите на неё точки:В(4), С(-2).
Чтобы выполнить данное задание необходимо изобразить прямую, выбрать на ней направление, точку начала координат и единичный отрезок, который будет равен 1 сантиметру.
Теперь нужно поставить точку В с координатой 4. Значение координаты точки положительное, поэтому отмечать её, будем с правой стороны от начала отсчета (0).Координата 4 говорит о том, что отметка В находится от нуля на расстоянии четырех единичных отрезков, то есть, расстояние от нуля до отметки В равно четырем сантиметрам.
Запомни! Положительные числа всегда расположены с правой стороны от нуля, а отрицательные числа с левой стороны от точки начала координат. В данном случае ноль и есть точка начала координат.
Противоположные числа
Рассмотрим такую ситуацию.
На уроке, учительница математики, Нина Николаевна вызвала Егора к доске и дала задание, построить координатную прямую и нанести на неё две отметки с различными координатами положительной и отрицательной.
Егор выполнил задание. Мальчик построил координатную прямую, отметил точку начала координат, направление и единичный отрезок. После этого, школьник нанес на прямую отметки M(3) и K(-3).
Но Егор с нетерпением ждал пояснений Нины Николаевны.
Учительница объяснила детям, что в математике, числа, которые отличаются только знаком, имеют собственное название – противоположные числа.
Если два числа отличаются только знаком, то их называют противоположными числами.
Примеры противоположных чисел:
Но при этом, модули противоположных чисел всегда равны.
Мы видим, что от начала отсчета до точек с координатами (4) и (-4) отложено равное количество единичных отрезков – четыре. Поэтому модуль (количество единичных отрезков от нуля до выбранной точки) в рассматриваемых записях будет одинаковым – |4|.
Выходит, что у противоположных числовых значений равными будут только модули! А сами числа имеют совершенно разное числовое значение!
Егор получил заслуженную пятерку за правильно выполненное задание.
Минутка истории
Отрицательные числа стали для нас чем-то обычным и привычным. Но так было не всегда. Довольно длительное время, положительные значения определяли словом «прибыль», а отрицательные трактовали, как «убыток». И другого применения отрицательным числам не было.
Первыми, признали отрицательные числа, правители Китая в начале 3 века, до нашей эры. Но, несмотря на это, большая часть китайцев считала данное решение правительства бессмысленным. Так как использовать на практике отрицательные числа было негде.
После, числовые значения со знаком «минус», стали использовать в Индии. Их применяли для записи долгов.
В Европу, значения со знаком «минус», попали благодаря Леонардо Пизанскому. Леонардо начал использовать отрицательные числа исключительно для записи в долговой книге и проведения финансовых операций, связанных с долгами. А уже в 1202 году Пизанский подсчитывал свои убытки пользуясь числовыми значениями со знаком «минус».
Однако до начала 19 века рассматриваемые значения находились в гонениях мировых математиков. Ученые утверждали, что выражение 0-4=0 бессмысленно, так как не существует числового значения, которое меньше чем «ничто» (нуль). Поэтому великие математики старались не использовать «бесполезные» цифры в своих вычислительных операциях.
Положительные и отрицательные числа
Чтобы понять, что из себя представляют положительные и отрицательные числа, давайте для начала начертим координатную прямую и отметим на ней точку 0 (ноль), которая считается началом отсчета.
Расположим ось в более привычном горизонтальном виде. Стрелка показывает положительное направление прямой (слева направо).
Сразу обратим внимание, что число “ноль” не относится ни к положительным, ни к отрицательным числам.
Положительные числа
Если мы начнем отмерять отрезки справа от нуля, то полученные отметки будут соответствовать положительным числам, равным расстояния от 0 до этих отметок. Таким образом мы получили числовую ось.
Полная запись положительных чисел включает знак “+” спереди, то есть +3, +7, +12, +21 и т.д. Но “плюс” обычно опускается и просто подразумевается:
Примечание: любое положительное число больше нуля.
Отрицательные числа
Если мы начнем отмерять отрезки слева от нуля, то вместо положительных получатся отрицательные числа, т.к. мы будем двигаться в противоположную от направления прямой сторону.
Примечание: любое отрицательное число меньше нуля.
Отрицательные числа как и положительные нужны для выражения различных математических, физических, экономических и прочих величин. Например:
«Отрицательные числа в изучении математики» (6 класс)
ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА.
История возникновения отрицательных чисел:
Впервые отрицательные числа появились в древнем Китае примерно 2100 лет тому назад. Там умели также складывать и вычитать положительные и отрицательные числа. Отрицательные числа трактовали как долг, а положительные как имущество. Таким же образом смотрели на эти числа и в Индии в VII столетии, но там уже были известны правила умножения и деления. Люди с некоторым недоверием относились к отрицательным числам, считая их не совсем реальными, истолкование их как имущество – долг вызвало недоумение: как можно «складывать» и «вычитать» имущество и долг.
Натуральные числа принято называть положительными целыми числами. Иногда перед положительными числами ставят знак « + ».
Два положительных или два отрицательных числа-это числа одного знака. Положительное и отрицательное число-это числа разных знаков.
С помощью знака «минус» записывается число, противоположное данному:
Если а =0, то –а = 0. Если положительные числа появились еще в древности, и стали использоваться для счета предметов, то отрицательные числа, изобретение недавнее: Отрицательные числа возникали при вычитании. Вначале они представлялись непонятными и бессмысленными, т.к наименьшим количеством было «ничто», то есть, как всегда привыкли считать это нуль. Что может быть меньше нуля?
XVII веке великий французский математик Рене Декарт предложил откладывать отрицательные числа на числовой оси влево от нуля. Отрицательные числа получили реальное истолкование. Их стали признавать наравне с положительными. Наступило полное числовое равноправие.
Из рисунка можно наблюдать, что температура может быть как выше нуля, так и ниже нуля. Со знаком «+» и со знаком «-
Любое положительное число больше нуля : 5 > 0;
Любое отрицательное число меньше нуля: — 7 0;
3.Пример применения отрицательных чисел:
Самая большая положительная величина на Земле –вершина
Самая большая отрицательная величина —
При растяжении пружины:
Правила умножения положительных и отрицательных чисел:
При умножении двух чисел с разными знаками в результате получается отрицательное число, модуль которого равен произведению модулей множителей.
При умножении двух чисел с одинаковыми знаками в результате получается положительное число, модуль которого равен произведению модулей множителей.
4.Сравнение отрицательных чисел:
>
При сравнении целых отрицательных чисел, можно представить их на координатной прямой. Точка А с координатой -7 левее, чем точка В с координатой -3,
Из двух отрицательных чисел больше то, у которых модуль меньше.
Ответ: Да, спуститься сможет. Нужно нажать на кнопку второго этажа подвала «-2»
Задание 3. Попробуйте в тексте найти положительные и отрицательные величины и сделайте выводы об их использовании в жизни.
Площадь Кунгурской Ледяной пещеры составляет 106,5 гектаров. Ее поверхность усеяна многочисленными карстовыми воронками, крупнейшие из которых достигают 50-60 метров в диаметре и 10-12 м в глубине.
В каменной нише Полярного грота скрывается массивная ледяная колонна, напоминающая застывший водопад. Ее еще описывал профессор М.Я. Киттара 165 лет назад.
Большое подземное озеро находится в гроте «Титанический» (площадь – 1300 кв.м., ширина 38 м, глубина достигает 3 м., температура воды постоянная +5 °C). В другом гроте – «Романтиков» экскурсанты могут любоваться небольшим озером с так называемым сифоном – подводным каналом, который опускается ниже уровня озера на 4-5 м.
(отрывок из книги Валентина Рапп «Путеводитель по Кунгуру и Ледяной пещере»)
1. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. – М.: Наука, 1972. – С. 130-136.
2. Едуш О.Ю. Математика. Подсказки на каждый день.
3. Лиман М.М. Школьникам о математике и математиках. – М.: Просвещение, 1981. – С. 26.
4. Новейший полный справочник школьника 5-11 классы. Том 1.– М.: Эксмо, 2014. – С. 224.
5. Рапп В.В. Путеводитель по Кунгуру и Ледяной пещере.– Пермь: Звезда, 1999. – С. 73-87.
6. История возникновения отрицательных чисел [Электронный ресурс]
7. История возникновения цифр. Применение отрицательных чисел.[Электронный ресурс]
Положительные и отрицательные числа
Какие числа называются положительными и отрицательными
Отрицательное число — это какое-либо число меньше нуля, перед которым ставится знак минус.
Положительные числа — числа, состоящее в множестве положительных чисел, являются числами без знака минус в обозначении и не являются нулем.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
В системе отрицательных чисел так же, как и среди положительных есть дроби: обыкновенные и десятичные, целые числа, корни и так далее. Почти все подвиды чисел, которые встречаются среди положительных чисел, есть и среди отрицательных. Стоит отметить, что, согласно понятию, число 0 не является ни положительным, ни отрицательным числом.
Положительные числа — это числа, соответствующие точкам в той части координатной прямой, которая лежит с правой стороны относительно начала отсчета.
Отрицательные числа — являются числами, соотносящимися с точками в части координатной прямой, которая расположена с левой стороны относительно начала отсчета (нуля).
Обычные числа, в том числе, 1, 2, 3 называют положительными. Данные числа имеют знак (+). Обычно, его не записывают.
Координатная прямая — является прямой линией, на которой размещены все числа, включая отрицательные и положительные.
Координатная прямая имеет следующий вид:
В данном случае отмечены только числа от −5 до 5. В действительности координатная прямая бесконечна. На изображении можно увидеть только фрагмент этой прямой. Для того чтобы отметить на координатной прямой числа, использую точки. Началом отсчета является нуль. С левой стороны от нуля отмечают отрицательные числа, а с правой — положительные.
Каждая точка на координатной прямой обладает определенным именем и координатой. Именем является какая-либо латинская буква. Координата представляет собой число, указывающее на положение точки на прямой. Таким образом, координатой является то число, которое требуется отметить на координатной прямой. К примеру, точка А(2) читается, как «точка А с координатой 2» и обозначается на координатной прямой таким образом:
При рассмотрении изображения координатной прямой можно заметить, что отрицательные числа лежат левее относительно начала отсчета, а положительные числа — правее. С каждым шагом в левую сторону число будет уменьшаться в меньшую сторону. При каждом шаге в правом направлении число будет увеличиваться.
Сравнение положительных и отрицательных чисел
Нуль меньше любого положительного числа. К примеру, можно сравнить 0 и 4. Ноль меньше, чем 4.
На координатной прямой 0 располагается левее, а 4 правее. Исходя из правила, ноль меньше, чем какое-либо положительное число. Таким образом:
Одним из ключевых свойств является то, что минус на минус дает плюс: