Что такое палиндром в математике

Палиндромами так же являются квадраты таких чисел, как 11, 111, 1111 и т д. А именно:

11112 = 1 234 321 и т. д.
Интересно! что
1 + 2 + 1 = 4 = 2(во 2степени)

1 + 2 + 3 + 2 + 1 = 9 = 3(во 2степени)

1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1 = 16 = 4(во 2степени)

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 25 = 5(во 2степени)
Каждое из подобных чисел, можно изложить в виде неправильных дробей:
121=22х22/1+2+1
12321 =333х333/1+2+3+2+1
1234321=4444х4444/1+2+3+4+3+2+1
и так далее.

Наконец, для деления получаем:
82:41=28:14
62:31=26:13
— произведение первой цифры числа N1 на вторую цифру числа N2 равно произведению двух других их цифр: х1.у 2 = х2.у 1 (вы заметили связь между примерами на деление и умножение?).
https://www.nkj.ru/archive/articles/10656/

Особенно наглядно свойственное палиндрому «вечное движение» (вращение) проявляется в циклических палиндромах, или круговертнях, то есть в текстах, одинаково читаемых в обе стороны, но уже при записи вдоль окружности:

Еще одной разновидностью палиндрома является монопалиндром (термин А. Бубнова), т. е. единый палиндромный текст, записанный в несколько строк:

1. ортогонал: друг // враг (С. Ф.)
(Иллюстрация 2)
2. опрокидень: Звезда // звезда (Д. Авалиани)
(Иллюстрация 3)
3. опрокидень: Ты Бог // гад ты (С. Ф.)
(Иллюстрация 4)
В свою очередь наиболее перспективным из этих двух подвидов поворотня представляется опрокидень. Во всяком случае, примеров опрокидней известно на порядок больше, нежели ортогоналов. Поэтому заострим свое внимание именно на них.
Уже из приведенных выше примеров становятся видны принципиальные отличия опрокидня от палиндрома.
Во-первых, палиндромные строчки объективны и практически не зависят от индивидуальности автора. Поэтому-то так часты пересечения у любителей палиндромов. Опрокидни же сугубо индивидуальны, интимны, целиком зависят от почерка и фантазии автора:
1. Совсем я плох // хочу в народ.
(Иллюстрация 5)
2. Нимфа // вернись
(Иллюстрация 6)
3. Вернись // никогда (Д. Авалиани).
https://www.nkj.ru/archive/articles/10480/

Простейшие слова-палиндромы: мим, дед, наган, заказ, кабак, казак, мадам, шалаш. Самое длинное слово-палиндром, существительное, содержит 7 букв — ротатор. А если не требовать именительного падежа и единственного числа, то рекордсменом будет слово манекенам.

Будущие, ищу дуб,
Но сила ли сон?

* * *
Иль обида ради боли?

Доктор геолого-минералогических наук, кандидат физико-математических наук Б. ГОРОБЕЦ отмечает, что в русских палиндромах неизменно нечетное количество букв
https://www.nkj.ru/archive/articles/538/
Первый неожиданный результат был получен при частотном анализе распределения слов по числу букв. Почти все слова-палиндромы русского языка насчитывают нечетное число букв, от 1 до 11 (синие линии на гистограмме). Ничего подобного нет среди обычных, то есть несимметричных, слов (красные линии на гистограмме, демонстрирующие частотность слов, взятой из Частотного словаря русского языка, 1977, с.930). Гистограммы различаются настолько разительно, что нет смысла приводить математические выкладки по проверке статистической гипотезы о значимости указанного различия. Хотя сделать это несложно, и можно показать, что риск ошибки в сделанном выводе не превышает 0,01%.

Итак, «закон нечетности» распространяется исключительно на буквенно-симметричные словоформы, то есть на палиндромы! Однако, разумеется, это утверждение требует более строгой математико-лингвистической проверки путем подсчета слов со сдвоенным центром, имеющих как четное, так и нечетное число букв.

Замечательно, что действие «закона нечетности» распространяется не только на слова, но и на палиндромные фразы и более сложные тексты. Случайная выборка из 114 фраз у 33 авторов показала, что их доля с четным числом букв составляет 12,3%. У классика жанра Д. Авалиани она равна 13,5% в выборке из 200 фраз. Отсюда средняя доля центро-симметричных фраз, то есть фраз с центральной буквой, близка к 88% (тоже, кстати, цифровой палиндром!).

Естественен вопрос: а для чего все это нужно? Законы словообразования (если они действительно законы, выраженные количественно) действуют специфично и объективно на данное множество элементов, помогают формировать ту научную базу данных, которая необходима для создания и совершенствования новых информационных технологий, в частности кодирования и декодирования сообщений, переводов, распознавания образов (слов, слогов) в сигнале на фоне шума. И здесь нужны сведения о частотности слов в речи и литературе различных стилей. Эту работу еще предстоит выполнить.

Амфирифма
Сологолос
(В. Рыбинский)

Анархоохрана
Микрозорким
Маревоверам
Суперэпус
Синепенис
Трах-арт
Тревыверт
(В. Гершуни)

Лохохохол
(Джети
Автоботва
Аквалавка
Пракарп
Ретропортер
(Б. Гринберг)

Оленинело
(Ю. Телесин)

Девовед
Монгологном
Мордодром
(В. Хромов)

Икотопотоки
(Л. Адрианов)

Артсестра
Иноони
(Г. Лукомников)

Коненок
(К. Соприцкий)

Киторотик
(П. Нагорских)

Речевечер
(С. Красовицкий)

МакроЛоркам
МикроГорьким
Сотанатос
Солововолос
(С. Федин)

Тревоговерт
(Д. Минский)

Китокотик
Лифонофил (лифон жарг.- лифчик)
Недороден
Ротомотор
(Б. Горобец)

Конещенок
Недеееден
(Б. Гольдштейн)

Источник

Палиндромы и «перевёртыши» среди простых чисел

Числовой палиндром — это натуральное число, которое читается слева направо и справа налево одинаково. Иначе говоря, отличается симметрией записи (расположения цифр), причём число знаков может быть как чётным, так и нечётным. Палиндромы встречаются в некоторых множествах чисел, удостоенных собственных названий: среди чисел Фибоначчи — 8, 55 (6-й и 10-й члены одноимённой последовательности); фигурных чисел — 676, 1001 (квадратное и пятиугольное соответственно); чисел Смита — 45454, 983389. Указанным свойством обладает также всякий репдиджит, например 2222222 и, в частности, репьюнит*.

Палиндром можно получить как результат операций над другими числами. Так, в книге «Есть идея!» известного популяризатора науки Мартина Гарднера в связи с этой задачей упоминается «гипотеза о палиндромах». Возьмём любое натуральное число и сложим его с обращённым числом, то есть записанным теми же цифрами, но в обратном порядке. Проделаем то же действие с получившейся суммой и будем повторять его до тех пор, пока не образуется палиндром. Иногда достаточно сделать всего один шаг (например, 312 + 213 = 525), но, как правило, требуется не менее двух. Скажем, число 96 порождает палиндром 4884 только на четвёртом шаге. В самом деле:

А суть гипотезы в том, что, взяв любое число, после конечного числа действий мы обязательно получим палиндром.

Можно рассматривать не только сложение, но и другие операции, включая возведение в степень и извлечение корней. Вот несколько примеров того, как при их помощи из одних палиндромов получаются другие:

До сих пор мы рассматривали в основном составные числа. Теперь обратимся к числам простым. В их бесконечном множестве имеются немало любопытных экземпляров и даже целые семейства палиндромов. Только среди первых ста миллионов натуральных чисел насчитывается 781 простой палиндром, причём двадцать приходятся на первую тысячу, из них четыре числа однозначные — 2, 3, 5, 7 и всего одно двузначное — 11. С такими числами связано немало интересных фактов и красивых закономерностей.

Во-первых, существует единственный простой палиндром с чётным числом цифр — 11. Другими словами, произвольный палиндром с чётным числом цифр, бóльшим двух, число составное, что нетрудно доказать на основе признака делимости на 11.

Во-вторых, первой и последней цифрами любого простого палиндрома могут быть только 1, 3, 7 или 9. Это следует из известных признаков делимости на 2 и на 5. Любопытно, что все простые двузначные числа, записанные с помощью перечисленных цифр (за исключением 19), можно разбить на пары чисел-«перевёртышей» (взаимно обращённых чисел) вида и , где цифры a и b различны. Каждая из них, независимо от того, какое число стоит на первом месте, читается одинаково слева направо и справа налево:

Заглянув в таблицу простых чисел, мы обнаружим аналогичные пары, в записи которых присутствуют и другие цифры, в частности, среди трёхзначных чисел подобных пар наберётся четырнадцать.

Кроме того, среди простых трёхзначных палиндромов встречаются пары чисел, у которых средняя цифра отличается всего на 1:

Аналогичная картина наблюдается и у бо`льших простых чисел, например:

Простые числа-палиндромы могут «задаваться» разными симметричными формулами, которые отражают особенности их записи. Это хорошо видно на примере пятизначных чисел:

Кстати, простые многозначные числа вида встречаются, очевидно, только среди репьюнитов. Таких чисел известно пять. Примечательно, что у каждого из них количество цифр выражается простым числом: 2, 19, 23, 317, 1031. А вот среди простых чисел, у которых все цифры, кроме центральной, единицы, был обнаружен палиндром весьма внушительной длины — в нём 1749 цифр:

Вообще среди простых чисел-палиндромов встречаются удивительные экземпляры. Вот лишь один пример — числовой гигант

А интересен он тем, что содержит 11 811 цифр, которые можно разбить на три палидромические группы, причём в каждой группе количество цифр выражается простым числом (5903 или 5).

Любопытные палиндромические закономерности просматриваются и в группах простых чисел, в записи которых присутствуют определённые цифры. Скажем, только цифры 1 и 3, причём в каждом числе. Так, двузначные простые числа составляют упорядоченные пары 13 — 31 и 31 — 13, из шести трёхзначных простые сразу пять чисел, среди которых есть два палиндрома: 131 и 313, а ещё два числа образуют пары «перевёртышей» 311 — 113 и 113 — 311. Во всех этих случаях составленные пары наглядно представляются в виде числовых квадратов (рис. 1).

Своими свойствами они напоминают магический и латинский квадраты. Например, у среднего квадрата сумма чисел, стоящих в каждой строке и в каждом столбце, равна 444, на диагоналях — 262 и 626. Сложив числа из всех клеток, получим 888. И что характерно, каждая сумма — палиндром. Даже просто выписывая без пробела несколько чисел из одной таблицы, получим новые палиндромы: 3113, 131313131 и т. д. Какое наибольшее число можно составить таким способом? Будет ли оно палиндромом?

Если в каждую из пар 311 — 113 и 113 — 311 добавить 131 или 313, образуются четыре палиндромические тройки. Запишем одну из них в столбик:

Как видим, и сами числа, и нужная их комбинация дают о себе знать при прочтении в разных направлениях. Кроме того, расположение цифр симметрично, а их сумма в каждой строке, каждом столбце и на одной из диагоналей выражается простым числом − 5.

Надо сказать, рассмотренные числа интересны и сами по себе. Например, палиндром 131 — простое циклическое число: при любых последовательных перестановках первой цифры на последнее место он порождает простые числа 311 и 113. Можете ли вы указать другие простые палиндромы, обладающие таким же свойством?

А вот пары чисел-«перевёртышей» 13 — 31 и 113 — 311 при возведении в квадрат дают также пары «перевёртышей»: 169 — 961 и 12769 — 96721. Любопытно, что даже суммы их цифр оказались связаны хитрым образом:

(1 + 1 + 3) 2 = 1 + 2 + 7 + 6 + 9.

Добавим, что среди натуральных чисел имеются и другие пары «перевёртышей» с подобным свойством: 103 — 301, 1102 — 2011, 11113 — 31111 и др. Чем объясняется подмеченная закономерность? Чтобы ответить на этот вопрос, нужно понять, что особенного в записи указанных чисел, какие цифры и в каком количестве могут в ней присутствовать.

Из простых чисел-палиндромов, располагая их определённым образом, скажем построчно, можно составить симметричные фигуры, отличающиеся оригинальным рисунком из повторяющихся цифр.

Вот, например, красивая комбинация из простых палиндромов, записанных с помощью 1 и 3 (кроме первого, рис. 2). Особенность этого числового треугольника в том, что один и тот же фрагмент повторяется трижды, не нарушая симметрию рисунка.

Легко видеть, что общее количество строк и столбцов — число простое (17). К тому же простые числа и суммы цифр: выделенных красным фрагментов (17); каждой строки, за исключением первой (5, 11, 17, 19, 23); третьего, пятого, седьмого и девятого столбцов (7, 11) и «лесенки» из единиц, образующей боковые стороны треугольника (11). Наконец, если двигаться параллельно указанным «сторонам» и складывать по отдельности цифры третьего и пятого рядов (рис. 3), получим ещё два простых числа (17, 5).

Продолжая построение, можно сконструировать на основе данного треугольника более сложные фигуры. Так, ещё один треугольник с аналогичными свойствами нетрудно получить, двигаясь с конца, то есть начать с последнего числа, вычёркивая на каждом шаге две одинаковые симметрично расположенные цифры и переставляя или заменяя другие — 3 на 1 и наоборот. При этом сами цифры следует выбирать с таким расчётом, чтобы образующееся в итоге число оказалось простым. Объединив обе фигуры, получим ромб с характерным узором из цифр, скрывающим в себе немало простых чисел (рис. 4). В частности, сумма выделенных красным цветом цифр равна 37.

Другой пример — треугольник, полученный из исходного после добавления к нему шести простых палиндромов (рис. 5). Фигура сразу привлекает внимание своим изящным обрамлением из единиц. Её окаймляют два простых репьюнита одинаковой длины: 23 единицы составляют «основание» и ещё столько же — «боковые стороны» треугольника.

Ещё несколько фигур

Можно составить также многоугольные фигуры из чисел, обладающие определёнными свойствами. Пусть требуется построить фигуру из простых палиндромов, записанных с помощью 1 и 3, у каждого из которых крайние цифры — единицы, а сумма всех цифр и общее количество единиц в строке — простые числа (исключение — однозначный палиндром). Кроме того, простым числом должно выражаться общее количество строк, а также цифр 1 либо 3, встречающихся в записи.

На рис. 6 приведено одно из решений задачи — «домик», сконструированный из 11 различных палиндромов.

Конечно, не обязательно ограничиваться двумя цифрами и требовать наличия в записи каждого используемого числа всех указанных цифр. Скорее, наоборот: ведь именно их необычные сочетания придают своеобразие узору фигуры. В подтверждение этому приведём несколько примеров красивых палиндромических зависимостей (рис. 7−9).

Теперь, вооружившись таблицей простых чисел, вы и сами сконструируете фигуры вроде предложенных нами.

А напоследок ещё одна диковинка — треугольник, буквально пронизанный вдоль и поперёк палиндромами (рис. 10). В нём 11 строк из простых чисел, а столбцы образованы репдиджитами. И главное: ограничивающий фигуру с боков палиндром 193111111323111111391 — число простое!

Комментарии к статье

*Число Смита — составное число, сумма цифр которого равна сумме цифр его простых делителей.

Репдиджит — натуральное число, в записи которого все цифры одинаковые.

Репьюнит — натуральное число, записанное с помощью одних только единиц.

Источник

Что такое палиндром в математике

Актуальность данной темы заключается в том, что использование нестандартных приемов в формировании вычислительных навыков помогает сэкономить время на уроке, успешно сдать экзамен как в 9-м, так и в 11-м классе по математике.

Числа палиндромы и репьюниты образуют одно из наиболее интересных подмножеств множества натуральных чисел. Они обладают необычной историей, удивительными свойствами.

Было проведено исследование среди 7, 8, 9, 11 классов и выяснилось, что многие ребята слышали об этих числах, но подробную информацию знают единицы. Многие из опрошенных учащихся хотели бы узнать об этих числах больше.

В настоящее время при переходе на новые стандарты меняются цели основного и среднего (полного) образования. Одна из главных задач, стоящих перед нами, учителями, в условиях модернизации образования – вооружить учащихся осознанными, прочными знаниями, развивая их самостоятельное мышление. В условиях развития новых технологий возрос спрос на людей, обладающих нестандартным мышлением, умеющих ставить и решать новые задачи. Поэтому в практике работы современной школы все большее распространение приобретает исследовательская деятельность учащихся как образовательная технология, направленная на приобщение учащихся к активным формам получения знаний. Научно-исследовательская деятельность является:

1) мощным средством, позволяющим увлечь новое поколение по самому продуктивному пути развития и совершенствования;

2) одним из методов повышения интереса и соответственно качества образовательного процесса.

Цель: познакомиться с числами палиндромами и репьюнитами и выявить эффективность их применения для обучения современных школьников. Практически все математические понятия, так или иначе, опираются на понятие числа, а конечный результат любой математической теории, как правило, выражается на языке чисел. Многие из них, особенно натуральные числа по тем или иным признакам и свойствам сгруппированы в отдельные структуры (совокупности) и имеют собственные имена.

— раскрыть историю возникновения счета;

— рассмотреть некоторые приемы устных вычислений и на конкретных примерах показать преимущества их использования;

— изучить литературу по теме исследования;

— рассмотреть свойства палиндромов и репьюнитов;

— установить связь между палиндромами и репьюнитами;

— выяснить, какую роль играют простые числа в изменении свойств заинтересовавших нас чисел.

Простые числа – это часть чисел, из которых состоят все натуральные числа.

Исследуя множество простых чисел, можно получить удивительные числовые множества с их необыкновенными свойствами.

Предмет исследования – множество простых чисел.

Объект исследования –числа палиндромы и репьюниты.

Практически все математические понятия, так или иначе, опираются на понятие репьюнитов, а конечный результат любой математической теории, как правило, выражается на языке чисел.

Работа посвящена изучению удивительных чисел: палиндромов и репьюнитов, установлению связи между ними.

История теперь палиндрома насчитывает примерно два тысячелетия. Определено другое название – квадропалин. Палиндром – свойство фракталов, кристаллов и живой материи. Способность самокопирования лежит в человеческой природе глубоко, на генетическом уровне. Молекулы ДНК обнаруживают палиндромные элементы. Сам человек являет собой наглядный пример палиндрома, точнее, частный случай вертикальной симметрии.

Есть такие удивительные фразы, которые читаются одинаково и слева направо, и справа налево. Когда я читала книгу Алексея Константиновича Толстого «Буратино», то обратила свое внимание на такую фразу: А роза упала на лапу Азора. Именно ее просила написать в диктанте неуча Буратино капризная Мальвина.

Называются такие взаимообратные фразы палиндромами, что в переводе с греческого означает «бегущий назад, возвращающийся». Палиндром – одна из древнейших форм литературных экспериментов. Изобретение европейских палиндромов приписывается греческому поэту Сотаду (300 г. до н.э.).

Известен греческий палиндром, вырезанный на купели византийского храма Софии в Константинополе: niyon anomhmata mh monan oyin (омывайте дущу так же как и тело). Здесь уже проявляется заговорный характер палиндрома – записанная по кругу надпись должна служить заклятием от злых сил, не допуская их к святой купели.

Вот некоторые палиндромные фразы: Аргентина манит негра. Умер, и мир ему. Лезу на санузел. У дуба буду. Oколо Миши молоко. Вот сила типа капиталистов. Ешь немытого ты меньше! Откопать тапок-то? «Пустите!» – Летит супу миска Максиму. – «Пустите, летит суп!» Я не реву – уверен я. А муза рада музе без ума да разума. Кулинар, храни лук. Ты, милок, иди яром: у дороги мина, за дорогой огород, а за ним и город у моря; иди, коли мыт. Он в аду давно. Ого, вижу живого.

Меня заинтересовал вопрос. Интересно, есть ли палиндромы в математике? И можно ли перенести эту же идею – идею взаимообратного, симметрического прочтения – в математику. Симметрия (греч.) – соразмерность, одинаковость в расположении частей. Симметричным называется такой объект, который можно как-то изменять, получая в результате то же, с чего начали. Многие объекты живой природы, например лист, снежинку, бабочку объединяет то, что они симметричны. Если их мысленно сложить вдоль начерченной прямой, то их половинки совпадут. А если поставить зеркальце вдоль прочерченной линии, то отраженная в нем половинка фигуры дополнит ее до целой. Поэтому такая симметрия называется зеркальной. Прямая, вдоль которой поставлено зеркало, называется осью симметрии. Ежедневно каждый из нас по несколько раз в день видит свое отражение в зеркале. Это настолько обычно, что мы не удивляемся, не задаём вопросов, не делаем открытий. И только философы и математики не теряют способности удивляться.

Что же меняется в предмете при его отражении в зеркале? Мы провели опыты с зеркалами. Если поставить зеркало сбоку от буквы А, то увидим в зеркале ту же самую букву. Но если поставить зеркало снизу, отражение уже не похоже на А – это А вверх дном. А вот если поставить зеркало снизу буквы В, отражение выглядит так же. Зато поставив зеркало сбоку от нее, получим В задом наперед.

Буква А имеет вертикальную симметрию, а буква В – горизонтальную. Итак, мы выяснили, что зеркальная симметрия меняет местами верх-низ, лево-право. Оказывается и среди чисел есть палиндромы. Найти числа-палиндромы в математике не составило труда. Я попыталась составить запись числа для этих чисел-палиндромов.

xax – в трехзначных числах-палиндромах число сотен всегда совпадает с числом единиц.

Палиндромные формулы вызвали у меня больший интерес. Под формулами-палиндромами понимают выражение, состоящее из суммы или разности чисел, результат которого не меняется в результате прочтения выражения справа налево.

Если сложить числа-палиндромы, то сумма не меняется.

Например: 22 + 66 = 66 + 22.

В общем виде это можно записать так:

Задача 1. Найти все пары таких двузначных чисел, чтобы результат их сложения не менялся в результате прочтения суммы справа налево, например, 42 + 35 = 53 + 24.

Представим наши числа в виде суммы разрядных слагаемых:

(10х1 + у1) + (10х2 + у2) = (10у2 + х2) + (10у1 + х1)

10х1 + у1 + 10х2 + у2 = 10у2 + + х2+ 10у1 + х1.

Слагаемые с х перенесем в левую часть равенства, а с у – в правую:

10х1 – х1 + 10х2 – х2 = 10у1 – у1 + 10у2 – у2.

Применим распределительное свойство:

9 х1 + 9 х2 = 9 у1 + 9 у2

То есть для решения нашей задачи сумма первых цифр должна быть равна сумме их вторых цифр.

Теперь можно составлять такие суммы:

25 + 63 = 36 + 52 и т.д.

Задача 2. Найти все пары таких двузначных чисел, чтобы результат их вычитания не менялся в результате прочтения разности справа налево.

Представив наши числа в виде суммы разрядных слагаемых и выполнив нужные преобразования, получим, что для решения нашей задачи у таких чисел должны быть равны суммы цифр.

(10х1 + у1) – (10х2 + у2) = (10у2 + х2) – (10у1 + х1)

10х1 + у1 – 10х2 – у2 = 10у2 + х2 – 10у1 – х1

10х1 + х1 + у1 + 10у1 = 10у2 + у2 + 10х2 + х2

11 х1 + 11 у1 = 11х2 + 11у2

11(х1 + у1) = 11(х2 + у2)

Теперь можно составлять такие разности:

52 –16 = 61 – 25 и т.д.

Наконец, для деления сделать получаем опыт такие примеры: 82/41=28/14; 62/31=26/13 и т.д.

В этом случае произведение первой цифры числа N1 на вторую цифру числа N2 равно произведению двух других их цифр, т.е. x1 • y2 = x2 • y1.

Я попыталась доказать формулу-палиндром для произведения. Вот что у меня получилось.

N1 = x1y1 = 10х1 + у1 N3 = y2x2= 10у2 + х2

N2 = x2y2 = 10х2 + у2 N4 = y1x1 = 10у1 + х1

N1 • N2 = x1y1·x2y2 = (10х1 + у1) • (10х2 + у2)

N3 • N4 = y2x2 · y1x1 = (10у2 + х2) • (10у1 + х1)

100 х1•х2 + 10х1•у2 + 10у1•х2 + у1•у2 = 100у1•у2 + 10х1•у2 + 10у1•х2 + х1•х2

99х1•х2 = 99у1•у2; х1•х2 = у1•у2, что и требовалось доказать.

С помощью понятий числа – палиндром и формулы-палиндромы можно решать задачи на делимость чисел, которые часто встречаются в олимпиадах по математике. Вот одна из них:

Задача. Докажите, что если из трехзначного числа вычесть число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, разность будет делиться на 9.

abc–cba=100a+10b+c–(100c+10b+a)= 100a+10b+c–100c–10b–a=99a–99c=99(a–c)=9·11(a–c), т.е. данное произведение всегда делится класса на 9.

Между прочим, превращается нашему поколению выпала большая удача, не каждому человеку выпадает прожить хотя бы один палиндромный год, а уж тем более два – 1991-й и 2002-й.Ведь предыдущий был в 1881-м, а следующий – в 2112-м. В своей работе мы прикоснулись к удивительному математическому явлению – симметрии, в частности к ее проявлению – палиндромам.

В своей работе я рассмотрела числа-палиндромы, формулы-палиндромы для суммы и разности, произведения и частного двузначных чисел и смогла их доказать. Путь познания законов гармонии и красоты долог и труден, и мы находимся только в его начале.

Числовые палиндромы – это натуральные числа, которые одинаково читаются справа налево и слева направо. Иначе говоря, отличаются симметрией записи (расположения цифр), причём число знаков может быть как четным, так и нечётным.

Например: 121; 676; 1331; 4884; 94949; 1177711; 1178711 и т. д.

Изучая палиндромы, автор данной работы задает вопрос: «Как из других чисел можно получить палиндромы?»

Палиндром можно получить как результат операций над другими числами. Для этого воспользуемся известным алгоритмом.

Алгоритм получения палиндрома:

— Возьми любое двузначное число

— Переверни его (переставь цифры справа налево)

— Переверни полученное число

— Повторяй аналогичные действия до тех пор, пока не получится палиндром

e) 1353 + 3531 + 4884

В результате проделанной работы я пришла к выводу, что, используя составленный алгоритм, из любого двузначного числа можно получить число-палиндром.

Можно рассмотреть не только сложение, но и другие операции над палиндромами (прил. 2).

а) 212 ² – 121 ² = 44944 – 14641 = 30303;

б) 2·121·10201 = 2·11 ² ·101 ² = 22·112211= = 1111· 2222 = 2468642.

Теперь обратимся к числам простым. В их бесконечном множестве имеются целые семейства палиндромов. Только среди первых ста миллионов натуральных чисел насчитывается 781 простой палиндром, причем двадцать приходится на первую тысячу, из них четыре числа однозначные – 2; 3; 5; 7 и всего одно двузначное – 11. С такими числами связано немало интересных закономерностей:

O Существует единственный простой палиндром с четным числом цифр – 11.

O Первой и последней цифрами любого простого палиндрома могут быть только 1; 3; 7 или 9. Это следует из известных признаков делимости на 2 и на 5. Все простые двузначные числа, записанные с помощью перечисленных цифр (кроме 19), можно разбить на пары.

Например: 13 и 31; 17 и 71; 37 и 73; 79 и 97.

O Среди простых трехзначных палиндромов встречаются пары чисел, у которых средняя цифра отличается всего на 1.

Например: 181 и 191; 373 и 383; 787 и 797; 919 и 929.

O Аналогичная картина наблюдается у больших простых чисел.

Например: 94849 и 94949; 1177711 и 1178711.

O Все однозначные числа являются палиндромами.

O 26 – наименьшее число, не являющееся палиндромом, квадрат которого палиндром

O А вот пары чисел – «перевертышей» 13 – 31 и 113 – 311 при возведении в квадрат дают также пары «перевёртышей»: 169 – 961 и 12769 – 96721. Любопытно, что даже суммы их цифр оказались связаны хитрым образом:

(1 + 1 + 3)2 = 1 + 2 + 7 + 6 + 9.

O Из простых чисел-палиндромов, располагая их определённым образом, скажем построчно, можно составить симметричные фигуры, отличающиеся оригинальным рисунком из повторяющихся цифр.

Утречко летело к черту

Я нем и нежен, не жени меня

Нам рак влетел в карман

Цени в себе свинец

Палиндромы в ДНК 1 – палиндром

НООССООН – формула щавелевой кислоты

В изобразительном искусстве

В пространственной математике

Репьюниты – натуральные числа, запись которых состоит только из единиц. В десятичной системе счисления репьюниты обозначаются короче Rn: R1 = 1, R2 = 11, R3 = 111 и т. д., и общий вид для них:

, n= 1, 2, 3…

Общий вид репьюнита может быть записан в другом виде:

Например: 11; 111; 1111; 11111; 111111; 1111111 и т. д.

Обнаружено немало интересных свойств репьюнитов:

O Репьюниты – частный случай чисел-палиндромов, которые остаются неизменными при прямом и обратном прочтении.

O Репьюниты относятся к таким палиндромам, которые делятся на произведение своих цифр.

O Известно пять простых репьюнитов: R2, R19, R23, R317 и R1031, причем, что самое интересное – индексы этих репьюнитов также простые числа. Самое маленькое число репьюнит – 1. Самое большое – еще не найдено.

O В семействе репьюнитов выявлено пока только 9 простых чисел: 2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453, 109297, 270343 (индексы репьюнитов).

O Раскладывая некоторые составные репьюниты на простые множители:

111111111 = 3•37•333667 и т. д. можно заметить числа палиндромы.

O В результате умножения некоторых репьюнитов мы получили числа-палиндромы:

11111•11111 = 123454321 и т.д.

Перемножив немало репьюнитов, можно сделать вывод о том, что каждый раз получается число-палиндром (прил. 3).

Число 7 – особенное, т.к. его запись по основанию 2: 111, а по основанию 6: 11 (т.e. 710 = 116 = 1112).

Другими словами, число 7 является репьюнитом по крайней мере в двух основаниях b > 1.

Определим положительное целое число с таким свойством как сильный репьюнит. Можно убедиться, что существует 8 сильных репьюнитов меньше 50: <1,7,13,15,21,31,40,43>.

Далее, сумма всех репьюнитов меньше 1000 равна 15864.

Треугольник, полученный из исходного после добавления к нему шести простых палиндромов. Фигура сразу привлекает внимание своим изящным обрамлением из единиц. Ее окаймляют два простых репьюнита одинаковой длины: 23 единицы составляют «основание» и еще столько же – «боковые стороны» треугольника.

В других областях науки примеры репьюнитов не найдены.

Решим две интересные задачи из журнала «Квант» №5 за 1997 год.

Какими цифрами следует заменить буквы, чтобы сумма девяти слагаемых стала равной репьюниту?

Решение: 12345679+12345679+12345679+12345679+12345679+12345679+12345679+ +12345679+12345679=111111111 – репьюнит

Произведением каких двух репьюнитов является число 123455554321?

Перемножив два репьюнита, мы получили:

11111111 · 11111 = 123455554321.

Ответ: 11111111 · 11111

Прослеживается закономерность: цифры в записи упорядочены сначала по возрастанию, а затем по убыванию, причем наибольшей цифрой является длина меньшего репьюнита, а количество повторений этой цифры в середине числа равно разности длин репьюнитов, увеличенной на единицу. Перемножив немало репьюнитов, делаем вывод о том, что каждый раз получается число-палиндром (Прил. 3).

Также экспериментально доказано, что при перемножении репьюнитов, если по правилу, наименьшее число единиц должно быть меньше 10. То есть максимальное произведение единиц: 1(19 раз) * 1(9 раз)= 1 234 567 899 999 999 999 987 654 321. Далее палиндром не получается.

Решение занимательных и олимпиадных задач

1)

Ответ: 12 345 654 321

2)

Ответ: 12 345 554 321

Вычислить количество чисел-палиндромов, делящихся на 2:

На 2 делится любое четное число. Поэтому:

а) среди двузначных чисел-палиндромов четные – 22, 44, 66 и 88. То есть 4 числа.

б) у трехзначных чисел-палиндромов первая и последняя цифры одинаковые и должны быть четными. Четных цифр 4 (2, 4, 6 и 8). В середине может стоять любая из 10 цифр от 0 до 9. Поэтому, всего 4*10=40 трехзначных чисел-палиндромов.

в) у четырехзначного искомого числа должны быть четными одинаковые первая и последняя цифры – их 4. При этом одинаковые вторая и третья цифры могут быть любыми из десяти. Значит, четырехзначных чисел-палиндромов тоже 40.

г) у пятизначных чисел-палиндромов первая и последняя цифры одинаковы и четны, их может быть 4. При этом 2 и 4 цифры также одинаковы и их может быть 10. Третья цифра также может быть любой из 10. Поэтому всего пятизначных чисел-палиндромов – 4*10*10=400.

Итак, все мы убедились в том, что математика важна не только сама по себе. Математический подход к окружающему миру помогает лучше его познать. И математический стиль мышления нужен сегодня всем – и языковеду, и биологу, и химику, и физику, и инженеру, и художнику, и поэту, и музыканту.

Проведя исследование по данной теме, я изучила свойства палиндромов и репьюнитов, установила связь между ними, выяснила какую роль играют простые числа в изменении свойств данных чисел.

Результаты исследования (сходство и различие) занесены в таблицу.

Сравнение свойств палиндромов и репьюнитов

Читается слева направо и справа налево одинаково

Источник