Что такое палиндромы в математике

Палиндромами так же являются квадраты таких чисел, как 11, 111, 1111 и т д. А именно:

11112 = 1 234 321 и т. д.
Интересно! что
1 + 2 + 1 = 4 = 2(во 2степени)

1 + 2 + 3 + 2 + 1 = 9 = 3(во 2степени)

1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1 = 16 = 4(во 2степени)

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 25 = 5(во 2степени)
Каждое из подобных чисел, можно изложить в виде неправильных дробей:
121=22х22/1+2+1
12321 =333х333/1+2+3+2+1
1234321=4444х4444/1+2+3+4+3+2+1
и так далее.

Наконец, для деления получаем:
82:41=28:14
62:31=26:13
— произведение первой цифры числа N1 на вторую цифру числа N2 равно произведению двух других их цифр: х1.у 2 = х2.у 1 (вы заметили связь между примерами на деление и умножение?).
https://www.nkj.ru/archive/articles/10656/

Особенно наглядно свойственное палиндрому «вечное движение» (вращение) проявляется в циклических палиндромах, или круговертнях, то есть в текстах, одинаково читаемых в обе стороны, но уже при записи вдоль окружности:

Еще одной разновидностью палиндрома является монопалиндром (термин А. Бубнова), т. е. единый палиндромный текст, записанный в несколько строк:

1. ортогонал: друг // враг (С. Ф.)
(Иллюстрация 2)
2. опрокидень: Звезда // звезда (Д. Авалиани)
(Иллюстрация 3)
3. опрокидень: Ты Бог // гад ты (С. Ф.)
(Иллюстрация 4)
В свою очередь наиболее перспективным из этих двух подвидов поворотня представляется опрокидень. Во всяком случае, примеров опрокидней известно на порядок больше, нежели ортогоналов. Поэтому заострим свое внимание именно на них.
Уже из приведенных выше примеров становятся видны принципиальные отличия опрокидня от палиндрома.
Во-первых, палиндромные строчки объективны и практически не зависят от индивидуальности автора. Поэтому-то так часты пересечения у любителей палиндромов. Опрокидни же сугубо индивидуальны, интимны, целиком зависят от почерка и фантазии автора:
1. Совсем я плох // хочу в народ.
(Иллюстрация 5)
2. Нимфа // вернись
(Иллюстрация 6)
3. Вернись // никогда (Д. Авалиани).
https://www.nkj.ru/archive/articles/10480/

Простейшие слова-палиндромы: мим, дед, наган, заказ, кабак, казак, мадам, шалаш. Самое длинное слово-палиндром, существительное, содержит 7 букв — ротатор. А если не требовать именительного падежа и единственного числа, то рекордсменом будет слово манекенам.

Будущие, ищу дуб,
Но сила ли сон?

* * *
Иль обида ради боли?

Доктор геолого-минералогических наук, кандидат физико-математических наук Б. ГОРОБЕЦ отмечает, что в русских палиндромах неизменно нечетное количество букв
https://www.nkj.ru/archive/articles/538/
Первый неожиданный результат был получен при частотном анализе распределения слов по числу букв. Почти все слова-палиндромы русского языка насчитывают нечетное число букв, от 1 до 11 (синие линии на гистограмме). Ничего подобного нет среди обычных, то есть несимметричных, слов (красные линии на гистограмме, демонстрирующие частотность слов, взятой из Частотного словаря русского языка, 1977, с.930). Гистограммы различаются настолько разительно, что нет смысла приводить математические выкладки по проверке статистической гипотезы о значимости указанного различия. Хотя сделать это несложно, и можно показать, что риск ошибки в сделанном выводе не превышает 0,01%.

Итак, «закон нечетности» распространяется исключительно на буквенно-симметричные словоформы, то есть на палиндромы! Однако, разумеется, это утверждение требует более строгой математико-лингвистической проверки путем подсчета слов со сдвоенным центром, имеющих как четное, так и нечетное число букв.

Замечательно, что действие «закона нечетности» распространяется не только на слова, но и на палиндромные фразы и более сложные тексты. Случайная выборка из 114 фраз у 33 авторов показала, что их доля с четным числом букв составляет 12,3%. У классика жанра Д. Авалиани она равна 13,5% в выборке из 200 фраз. Отсюда средняя доля центро-симметричных фраз, то есть фраз с центральной буквой, близка к 88% (тоже, кстати, цифровой палиндром!).

Естественен вопрос: а для чего все это нужно? Законы словообразования (если они действительно законы, выраженные количественно) действуют специфично и объективно на данное множество элементов, помогают формировать ту научную базу данных, которая необходима для создания и совершенствования новых информационных технологий, в частности кодирования и декодирования сообщений, переводов, распознавания образов (слов, слогов) в сигнале на фоне шума. И здесь нужны сведения о частотности слов в речи и литературе различных стилей. Эту работу еще предстоит выполнить.

Амфирифма
Сологолос
(В. Рыбинский)

Анархоохрана
Микрозорким
Маревоверам
Суперэпус
Синепенис
Трах-арт
Тревыверт
(В. Гершуни)

Лохохохол
(Джети
Автоботва
Аквалавка
Пракарп
Ретропортер
(Б. Гринберг)

Оленинело
(Ю. Телесин)

Девовед
Монгологном
Мордодром
(В. Хромов)

Икотопотоки
(Л. Адрианов)

Артсестра
Иноони
(Г. Лукомников)

Коненок
(К. Соприцкий)

Киторотик
(П. Нагорских)

Речевечер
(С. Красовицкий)

МакроЛоркам
МикроГорьким
Сотанатос
Солововолос
(С. Федин)

Тревоговерт
(Д. Минский)

Китокотик
Лифонофил (лифон жарг.- лифчик)
Недороден
Ротомотор
(Б. Горобец)

Конещенок
Недеееден
(Б. Гольдштейн)

Источник

Палиндромы и «перевёртыши» среди простых чисел

Числовой палиндром — это натуральное число, которое читается слева направо и справа налево одинаково. Иначе говоря, отличается симметрией записи (расположения цифр), причём число знаков может быть как чётным, так и нечётным. Палиндромы встречаются в некоторых множествах чисел, удостоенных собственных названий: среди чисел Фибоначчи — 8, 55 (6-й и 10-й члены одноимённой последовательности); фигурных чисел — 676, 1001 (квадратное и пятиугольное соответственно); чисел Смита — 45454, 983389. Указанным свойством обладает также всякий репдиджит, например 2222222 и, в частности, репьюнит*.

Палиндром можно получить как результат операций над другими числами. Так, в книге «Есть идея!» известного популяризатора науки Мартина Гарднера в связи с этой задачей упоминается «гипотеза о палиндромах». Возьмём любое натуральное число и сложим его с обращённым числом, то есть записанным теми же цифрами, но в обратном порядке. Проделаем то же действие с получившейся суммой и будем повторять его до тех пор, пока не образуется палиндром. Иногда достаточно сделать всего один шаг (например, 312 + 213 = 525), но, как правило, требуется не менее двух. Скажем, число 96 порождает палиндром 4884 только на четвёртом шаге. В самом деле:

А суть гипотезы в том, что, взяв любое число, после конечного числа действий мы обязательно получим палиндром.

Можно рассматривать не только сложение, но и другие операции, включая возведение в степень и извлечение корней. Вот несколько примеров того, как при их помощи из одних палиндромов получаются другие:

До сих пор мы рассматривали в основном составные числа. Теперь обратимся к числам простым. В их бесконечном множестве имеются немало любопытных экземпляров и даже целые семейства палиндромов. Только среди первых ста миллионов натуральных чисел насчитывается 781 простой палиндром, причём двадцать приходятся на первую тысячу, из них четыре числа однозначные — 2, 3, 5, 7 и всего одно двузначное — 11. С такими числами связано немало интересных фактов и красивых закономерностей.

Во-первых, существует единственный простой палиндром с чётным числом цифр — 11. Другими словами, произвольный палиндром с чётным числом цифр, бóльшим двух, число составное, что нетрудно доказать на основе признака делимости на 11.

Во-вторых, первой и последней цифрами любого простого палиндрома могут быть только 1, 3, 7 или 9. Это следует из известных признаков делимости на 2 и на 5. Любопытно, что все простые двузначные числа, записанные с помощью перечисленных цифр (за исключением 19), можно разбить на пары чисел-«перевёртышей» (взаимно обращённых чисел) вида и , где цифры a и b различны. Каждая из них, независимо от того, какое число стоит на первом месте, читается одинаково слева направо и справа налево:

Заглянув в таблицу простых чисел, мы обнаружим аналогичные пары, в записи которых присутствуют и другие цифры, в частности, среди трёхзначных чисел подобных пар наберётся четырнадцать.

Кроме того, среди простых трёхзначных палиндромов встречаются пары чисел, у которых средняя цифра отличается всего на 1:

Аналогичная картина наблюдается и у бо`льших простых чисел, например:

Простые числа-палиндромы могут «задаваться» разными симметричными формулами, которые отражают особенности их записи. Это хорошо видно на примере пятизначных чисел:

Кстати, простые многозначные числа вида встречаются, очевидно, только среди репьюнитов. Таких чисел известно пять. Примечательно, что у каждого из них количество цифр выражается простым числом: 2, 19, 23, 317, 1031. А вот среди простых чисел, у которых все цифры, кроме центральной, единицы, был обнаружен палиндром весьма внушительной длины — в нём 1749 цифр:

Вообще среди простых чисел-палиндромов встречаются удивительные экземпляры. Вот лишь один пример — числовой гигант

А интересен он тем, что содержит 11 811 цифр, которые можно разбить на три палидромические группы, причём в каждой группе количество цифр выражается простым числом (5903 или 5).

Любопытные палиндромические закономерности просматриваются и в группах простых чисел, в записи которых присутствуют определённые цифры. Скажем, только цифры 1 и 3, причём в каждом числе. Так, двузначные простые числа составляют упорядоченные пары 13 — 31 и 31 — 13, из шести трёхзначных простые сразу пять чисел, среди которых есть два палиндрома: 131 и 313, а ещё два числа образуют пары «перевёртышей» 311 — 113 и 113 — 311. Во всех этих случаях составленные пары наглядно представляются в виде числовых квадратов (рис. 1).

Своими свойствами они напоминают магический и латинский квадраты. Например, у среднего квадрата сумма чисел, стоящих в каждой строке и в каждом столбце, равна 444, на диагоналях — 262 и 626. Сложив числа из всех клеток, получим 888. И что характерно, каждая сумма — палиндром. Даже просто выписывая без пробела несколько чисел из одной таблицы, получим новые палиндромы: 3113, 131313131 и т. д. Какое наибольшее число можно составить таким способом? Будет ли оно палиндромом?

Если в каждую из пар 311 — 113 и 113 — 311 добавить 131 или 313, образуются четыре палиндромические тройки. Запишем одну из них в столбик:

Как видим, и сами числа, и нужная их комбинация дают о себе знать при прочтении в разных направлениях. Кроме того, расположение цифр симметрично, а их сумма в каждой строке, каждом столбце и на одной из диагоналей выражается простым числом − 5.

Надо сказать, рассмотренные числа интересны и сами по себе. Например, палиндром 131 — простое циклическое число: при любых последовательных перестановках первой цифры на последнее место он порождает простые числа 311 и 113. Можете ли вы указать другие простые палиндромы, обладающие таким же свойством?

А вот пары чисел-«перевёртышей» 13 — 31 и 113 — 311 при возведении в квадрат дают также пары «перевёртышей»: 169 — 961 и 12769 — 96721. Любопытно, что даже суммы их цифр оказались связаны хитрым образом:

(1 + 1 + 3) 2 = 1 + 2 + 7 + 6 + 9.

Добавим, что среди натуральных чисел имеются и другие пары «перевёртышей» с подобным свойством: 103 — 301, 1102 — 2011, 11113 — 31111 и др. Чем объясняется подмеченная закономерность? Чтобы ответить на этот вопрос, нужно понять, что особенного в записи указанных чисел, какие цифры и в каком количестве могут в ней присутствовать.

Из простых чисел-палиндромов, располагая их определённым образом, скажем построчно, можно составить симметричные фигуры, отличающиеся оригинальным рисунком из повторяющихся цифр.

Вот, например, красивая комбинация из простых палиндромов, записанных с помощью 1 и 3 (кроме первого, рис. 2). Особенность этого числового треугольника в том, что один и тот же фрагмент повторяется трижды, не нарушая симметрию рисунка.

Легко видеть, что общее количество строк и столбцов — число простое (17). К тому же простые числа и суммы цифр: выделенных красным фрагментов (17); каждой строки, за исключением первой (5, 11, 17, 19, 23); третьего, пятого, седьмого и девятого столбцов (7, 11) и «лесенки» из единиц, образующей боковые стороны треугольника (11). Наконец, если двигаться параллельно указанным «сторонам» и складывать по отдельности цифры третьего и пятого рядов (рис. 3), получим ещё два простых числа (17, 5).

Продолжая построение, можно сконструировать на основе данного треугольника более сложные фигуры. Так, ещё один треугольник с аналогичными свойствами нетрудно получить, двигаясь с конца, то есть начать с последнего числа, вычёркивая на каждом шаге две одинаковые симметрично расположенные цифры и переставляя или заменяя другие — 3 на 1 и наоборот. При этом сами цифры следует выбирать с таким расчётом, чтобы образующееся в итоге число оказалось простым. Объединив обе фигуры, получим ромб с характерным узором из цифр, скрывающим в себе немало простых чисел (рис. 4). В частности, сумма выделенных красным цветом цифр равна 37.

Другой пример — треугольник, полученный из исходного после добавления к нему шести простых палиндромов (рис. 5). Фигура сразу привлекает внимание своим изящным обрамлением из единиц. Её окаймляют два простых репьюнита одинаковой длины: 23 единицы составляют «основание» и ещё столько же — «боковые стороны» треугольника.

Ещё несколько фигур

Можно составить также многоугольные фигуры из чисел, обладающие определёнными свойствами. Пусть требуется построить фигуру из простых палиндромов, записанных с помощью 1 и 3, у каждого из которых крайние цифры — единицы, а сумма всех цифр и общее количество единиц в строке — простые числа (исключение — однозначный палиндром). Кроме того, простым числом должно выражаться общее количество строк, а также цифр 1 либо 3, встречающихся в записи.

На рис. 6 приведено одно из решений задачи — «домик», сконструированный из 11 различных палиндромов.

Конечно, не обязательно ограничиваться двумя цифрами и требовать наличия в записи каждого используемого числа всех указанных цифр. Скорее, наоборот: ведь именно их необычные сочетания придают своеобразие узору фигуры. В подтверждение этому приведём несколько примеров красивых палиндромических зависимостей (рис. 7−9).

Теперь, вооружившись таблицей простых чисел, вы и сами сконструируете фигуры вроде предложенных нами.

А напоследок ещё одна диковинка — треугольник, буквально пронизанный вдоль и поперёк палиндромами (рис. 10). В нём 11 строк из простых чисел, а столбцы образованы репдиджитами. И главное: ограничивающий фигуру с боков палиндром 193111111323111111391 — число простое!

Комментарии к статье

*Число Смита — составное число, сумма цифр которого равна сумме цифр его простых делителей.

Репдиджит — натуральное число, в записи которого все цифры одинаковые.

Репьюнит — натуральное число, записанное с помощью одних только единиц.

Источник

Научно-практическая работа по математике на тему «Палиндромы в математике» (5-7 классы)

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №9»

«Палиндромы в математике»

Выполнили: ученица 7А класса

Руководитель: учитель математики

Михайлова Тамара Александровна

г. Новочебоксарск, 2018

Алгоритм получения палиндрома ………………………………………………..4

Список использованных источников информации …………………………………. 12

Актуальность выбора темы

Числа палиндромы образуют одно из наиболее интересных подмножеств множества натуральных чисел. Они обладают необычной историей, удивительными свойствами.

Мы провели исследование среди учащихся 6А, 6В и 7А классов и выяснили, что многие ребята слышали об этих числах, но подробную информацию знают единицы. Многие из опрошенных учащихся хотели бы узнать об этих числах больше. ( Приложение )

Простые числа – это часть чисел, из которых состоят все натуральные числа.

Исследуя множество простых чисел, можно получить удивительные числовые множества с их необыкновенными свойствами.

Вы, наверное, все помните книгу о приключениях Буратино. Помните, как строгая Мальвина учила Буратино писать? Она велела написать такую фразу: «А роза упала на лапу Азора» и велела прочитать “наоборот”. Эта фраза читается слева направо и справа налево. Это фраза-палиндром (в переводе — перевертыш). Слова: ШАЛАШ, РАДАР, ТОПОТ, КОК, КАЗАК — тоже палиндромы.

Числовые палиндромы – это натуральные числа, которые одинаково читаются справа налево и слева направо. Иначе говоря, отличаются симметрией записи (расположения цифр), причём число знаков может быть как чётным, так и нечётным.

Например: 121; 676; 1331; 4884; 94949; 1177711; 1178711 и т. д.

Изучая палиндромы, я задалась вопросом: «Как из других чисел можно получить палиндромы?»

Палиндром можно получить как результат операций над другими числами. Для этого воспользуемся известным алгоритмом.

Алгоритм получения палиндрома

Возьми любое двузначное число

Переверни его (переставь цифры справа налево)

Переверни полученное число

Повторяй аналогичные действия до тех пор, пока не получится палиндром

В результате проделанной работы я пришла к выводу, что, используя составленный алгоритм, из любого двузначного числа можно получить число-палиндром.

Теперь обратимся к числам простым. В их бесконечном множестве имеются целые семейства палиндромов. Только среди первых ста миллионов натуральных чисел насчитывается 781 простой палиндром, причём двадцать приходится на первую тысячу, из них четыре числа однозначные – 2; 3; 5; 7 и всего одно двузначное – 11. С такими числами связано немало интересных закономерностей:

Существует единственный простой палиндром с чётным числом цифр – 11.

Первой и последней цифрами любого простого палиндрома могут быть только 1; 3; 7 или 9. Это следует из известных признаков делимости на 2 и на 5. Все простые двузначные числа, записанные с помощью перечисленных цифр (кроме 19), можно разбить на пары.

Например: 13 и 31; 17 и 71; 37 и 73; 79 и 97.

Среди простых трёхзначных палиндромов встречаются пары чисел, у которых средняя цифра отличается всего на 1.

Например: 181 и 191; 373 и 383; 787 и 797; 919 и 929.

Аналогичная картина наблюдается у больших простых чисел.

Например: 94849 и 94949; 1177711 и 1178711.

Все однозначные числа являются палиндромами.

26 – наименьшее число, не являющееся палиндромом, квадрат которого палиндром

(1 + 3) 2 = 1 + 6 + 9,
(1 + 1 + 3) 2 = 1 + 2 + 7 + 6 + 9.

Палиндромные формулы вызвали у меня больший интерес. Под формулами – палиндромами понимают выражение, состоящее из суммы или разности, произведения или частного чисел, результат которого не меняется в результате прочтения выражения справа налево.

Задача 1. Найти все пары таких двузначных чисел, чтобы результат их сложения не менялся в результате прочтения суммы справа налево.

_{Запишем это равенство с помощью букв:}

Представим наши числа в виде суммы разрядных слагаемых:

25 + 63 = 36 + 52 и т.д.

Задача 2. Найти все пары таких двузначных чисел, чтобы результат их вычитания не менялся в результате прочтения разности справа налево.

_{Запишем это равенство с помощью букв:}

Представим наши числа в виде суммы разрядных слагаемых:

52 –16 = 61 – 25 и т.д.

Задача 3. Найти все пары таких двузначных чисел, чтобы результат их умножения не менялся в результате прочтения произведения справа налево.

_{Запишем это равенство с помощью букв:}

Представим наши числа в виде суммы разрядных слагаемых:

Вывод: Для решения этой задачи произведение первых цифр чисел равно произведению их вторых цифр, т.е. х ₁ ∙х ₂ = у ₁ ∙у ₂

46 ∙ 32 = 23 ∙ 64 и т.д.

Задача 4. Найти все пары таких двузначных чисел, чтобы результат их деления не менялся в результате прочтения чисел справа налево.

Для решения этой задачи произведение первой цифры первого числа на вторую цифру второго числа равно произведению двух других их цифр, т.е. x ₁ ∙ y ₂ = x ₂ ∙ y ₁

Задача 1. Приведите примеры того, как при помощи одних палиндромов получаются другие:

б) 2·121·10201 = 2·11² ·101² = 22·112211 = 1111· 2222 = 2468642.

Задача 2. Докажите, что если из трёхзначного числа вычесть число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, разность всегда будет делиться на 9.

Решение.

Ответ: Данное произведение делится на 9.

Задача 3. ( Б.А. Кордемский «Математическая смекалка»)

Найти 10-тизначное число с неповторяющимися цифрами, при делении которого на 9 получается в частном палиндромическое число, т.е. читающееся одинаково как слева направо, так и справа налево.

Вот первые результаты моей работы:

8 706 543 921 : 9 = 967 393 769

1 206 453 879 : 9 = 134 050 431

4 059 721 386 : 9 = 451 080 154

Таких 10-тизначных чисел с неповторяющимися цифрами более трёх миллионов:

Утречко летело к черту

Я нем и нежен, не жени меня

Нам рак влетел в карман

Цени в себе свинец

Древнейший из сохранившихся палиндромов написан на латыни и датируется 4 в. н.э.

Это фраза » Sator Arepo tenet opera rotas «, что означает «Сеятель Арепо с трудом держит колёса».

НООССООН – формула щавелевой кислоты

В изобразительном искусстве

Мир чисел настолько загадочен и увлекателен, что занимаясь данной работой, я поняла: если бы каждый из нас уделял ему больше внимания, то нашел бы для себя много нового и интересного.

Значит, я подтвердила гипотезу о том, что простые числа – это часть чисел, из которых состоят все натуральные числа.

В своей работе я рассмотрела формулы – палиндромы для суммы и разности, произведения и частного двузначных чисел и смогла их доказать, и показать их применение на практике.

Знаете ли вы что-нибудь

о числах палиндромах?

Хотите узнать больше

Результаты опроса показали, что в большинстве учащиеся хотят знать больше о числах палиндромах.

Список использованных источников информации

Депман И.Я. За страницами учебника математики //пособие для учащихся 5-6 классов средней школы. – М.: Просвещение, 1989.

Кордемский Б.А. Удивительный мир чисел // книга для учащихся. – М.: Просвещение, 1995.

Перельман Я.И. Занимательная математика // издательство «Тезис». – 1994

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Номер материала: ДБ-1651638

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Минтруд представил проект программ переобучения безработных на 2022 год

Время чтения: 2 минуты

Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате

Время чтения: 1 минута

В Думу внесли законопроект об обязательном образовании для находящихся в СИЗО подростков

Время чтения: 2 минуты

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Большинство родителей в России удовлетворены качеством образования в детсадах

Время чтения: 2 минуты

АСИ организует конкурс лучших управленческих практик в сфере детского образования

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник