Что такое парабола в физике
Интегрированный урок по математике и физике «Эта многоликая парабола»
Цель: Показать применение свойств графика квадратичной функции.
Учебно-воспитательные задачи:
Описание мультимедийного продукта: послайдовая презентация (приложение 3), выполненная в среде Microsoft Power Point 2003, режим показа – последовательный, управляемый пользователем. Послайдовое содержание урока и примерный закадровый текст изложены в кратком сценарии к уроку.
Время реализации: расчетное время реализации урока – 45 минут.
Преподавание алгебры ведется по УМК А.Г.Мордковича.
Cценарий урока
Содержание слайда и комментарии учителя
Деятельность учащихся
Учитель математики: Тема урока: «Эта многоликая парабола».
Учитель математики демонстрирует работы учащихся.
Называют, чья работа показывается.
Учитель математики комментирует перемещение в 212 век до нашей эры в город Сиракузы. В это время греки вели войну с римлянами и в этом городе жил известный ученый Архимед.
На слайдах изображены портреты Архимеда и его изобретения для ведения войны с римлянами. На фоне этих рисунков происходит театральное действие: два ученика проводят диалог Архимеда с Гиероном. Приложение 1.
По окончании диалога выходит еще один ученик и говорит о легенде, связанной с параболическими зеркалами и объяснение этому изобретению (приложение 1). При этом показывает оптическое свойство параболы по рисунку на слайде.
Учитель математики нажимает на кнопку (гиперссылка), расположенную на слайде №15,возвращая всех на слайд №7, обратно к машине времени. Далее на этом слайде нажимает среднюю управляющую кнопку – «Настоящее» и переносимся на слайд №16, где указана дата проведения урока, урок математики и изучаемая тема. Здесь представлен блок заданий по повторению и обобщению темы, а также развивающие задания. (На каждом слайде есть управляющие кнопки, позволяющие учителю после каждого задания вернуться обратно к машине времени). Это нужно для того, чтобы учитель мог, ориентируясь по затраченному на каждое задание учащимися времени, соблюдать дальнейший хронометраж урока.
На слайде №16 нужно указать дату проведения урока, урок математики и изучаемая тема. Учитель математики говорит о тех заданиях, которые учащиеся будут выполнять для повторения изучаемой темы.
1 задание: указать координаты вершины параболы. Это устная фронтальная работа с проверкой по слайду сразу же после каждой формулы, задающей функцию.
2 задание: Задание на формирование информационной компетентности. Чтение графика квадратичной функции и написание формулы, задающей ее, двумя способами.
Вопросы по чтению графика последовательно появляются на слайде
3 задание: Построить график функции у=2х 2 +х-3 и выполнить чтение графика.
Выполняют в тетрадях. Один ученик работает у доски.
4 задание: развивающее творческое по формулам, задающим квадратичную функцию «Портрет незнакомки»
Можно не выполнять все четыре портрета, а ограничиться меньшим количеством. По окончании задания учитель нажимает кнопку и все возвращаются к слайду №7.Учитель нажимает левую кнопку «Будущее» и мы переносимся на слайд №20, где следует указать год изучения темы «Механика» на уроках физики и слово предоставляется учителю физики.
Ученики, получив описание параболы, пишут каждый в своей тетради свой пример уравнения функции. Потом все вместе обсуждают, каким будет общее уравнение «незнакомки».
Учитель физики. Здравствуйте! Ребята, вы знаете, что физика – наука о природе. Механика – часть физики, изучающая разного вида движения: равномерное и равноускоренное; движение тела по окружности и под углом к горизонту. Эти движения описываются различными математическими уравнениями и графики их тоже самые разнообразные: от прямой и окружности до синусоиды и циклоиды. Недаром известный всем ученый Леонардо да Винчи сказал: «Механика – рай для математических наук». Квадратичная функция – одна из наиболее распространенных в механике зависимостей для описания положения тела в пространстве. Например, мяча в одной из спортивных игр. В какой? Попробуйте отгадать.
« Рассказывают, что в канадской деревушке Беннис – Корнер дети любили игру « Утка на скале», где одним камнем выбивали другой – «утку», расположенную на выступе высотой 3-5 метров». Вопрос: Чье детство прошло в Беннис – Корнер и о какой игре идет речь?
Ответ: Джеймса Нейсмита, изобретателя баскетбола.
Отвечают на вопросы учителя.
А теперь отрывок из произведения Джека Лондона «Под палубным тентом»:
«Этот мальчик умел нырять; он делал прыжок в семьдесят футов, считая от такелажа; прижав к груди руки, откинув назад голову, он летел, как птица, распластав тело в воздухе, и если бы в таком положении ударился в воду, его разрезало бы пополам, как селедку. Но перед тем как коснуться воды, он наклонял голову вперед, вытягивал руки, округляя их дугой впереди головы, и, грациозно изогнув тело, врезался в воду по правилам».
Вопрос: кого из обитателей Мирового океана называют морским акробатом?
Ответ: конечно же, дельфина. Дельфины любят сопровождать суда. Они окружают их со всех сторон, начинают выскакивать из воды, демонстрируя различные акробатические этюды, в том числе и движение по параболе.
Отвечают на вопрос учителя.
Раздел «Механика» изучает движение тел не только на Земле, но и во Вселенной.
«Как холодная планета, Солнцем – Богом озаренная
И его могучим светом – Светом – оживленная,
Я лечу во тьме Вселенной по орбите предуказанной,
С Солнцем радости священной навсегда незримо связанный.
Верю, что от власти бездны, от безбрежного сомнения
Я спасусь в краю беззвездном к Солнцу вечным тяготением».
(А. Чернышев)
По какой орбите движутся планеты вокруг Солнца? Какую скорость должно иметь небесное тело, чтобы улететь от Солнца?
Запущенная в 1972 году американская межпланетная станция «Пионер – 10», удаляющаяся от нас со скоростью 45700 км/ч, в 1983 году вышла за пределы Солнечной системы. На ее борту – послание «братьям по разуму»: пластинка с полезной информацией о Земле, землянах, Солнечной системе, запечатленной в виде значков, рисунков и символов. Каждый ученик получает изображение пластинки. Приложение 2.
Ученики получают изображение пластины. Записывают значения космических скоростей в тетради.
Рассмотрим произвольную прямую и точку, не лежащую на ней. Существует бесконечно много окружностей, проходящих через данную точку и касающихся прямой. Центр любой такой окружности равноудален от прямой и точки. По какой траектории движется центр окружности? Конечно же – это парабола.
Еще одна тема в курсе высшей математики «Аналитическая геометрия в пространстве» изучает поверхности второго порядка, среди которых есть параболоид. Вращая параболу вокруг ее оси, мы получим поверхность, называемую параболоидом вращения. Параболические зеркала и другие аналогичные им приспособления изготовляются в форме параболоида.
Математический этюд (приложение 4) Николая Андреева «Параболическая антенна».
Его можно найти по адресу:www.etudes.ru.
Сопроводительный текст к этюду:
Орбита спутника носит название геостационарной, если при вращении Земли спутник всегда висит над одной и той же точкой над земной поверхностью. Такие орбиты зачастую используются в системах связи и позиционирования.
Спутник, который Вы видите на картинке, является символом космической программы нашей страны. Это «СОЮЗ-ТМ».
А вот так в какой-то момент выглядела заставка программы «Время» — основной информационной телепрограммы страны.
Ну а в мультфильме мы посмотрим, как происходит процесс передачи сигнала, например, современного спутникового телевидения.
Проведем прямую и назовем ее директрисой. Возьмем точку вне нее. Геометрическое место точек, равноудаленных от директрисы и данной точки (называемой фокусом), называется параболой.
Если направить на параболу лучи света, параллельные ее оси симметрии, то все лучи соберутся в фокусе параболы. Это свойство называется оптическим свойством параболы.
Верно и обратное. Если поместить лампочку в фокус, то лучи, отразившись от параболы, пойдут параллельно, причем граница света будет прямой.
Если провращать параболу относительно ее оси симметрии, то получится уже поверхность вращения второго порядка — параболоид. Так как в любом сечении плоскостью, содержащей ось симметрии, получается одна и та же парабола, то оптическое свойство верно и для параболоида. Если поместить лампочку в фокус параболоида, то лучи, отразившись от поверхности, пойдут параллельно друг другу. Обратное тоже верно. Именно это свойство используется в спутниковых параболических антеннах. Так как спутник находится очень далеко от антенны, то лучи можно считать почти параллельными, и приемник сигнала ставится в фокус параболоида.
Учитель математики подводит итог уроку. Мы с вами побывали сегодня в прошлом для того, чтобы проследить путь одного изобретения-параболоида. Возможно, сбылась мечта Архимеда и его изобретение люди научились применять в мирных целях. Кто теперь не знает о параболических антеннах и не хотел бы ее иметь в личном пользовании, когда грядет эра цифрового телевидения?
Парабола
| Парабола, её фокус и директриса | |
 | |
| Коническое сечение: |  |
| Эксцентриситет: |  |
| Уравнение: |  |
| гипербола · парабола · эллипс · окружность | |
Пара́бола (греч. παραβολή — приложение) — геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой (называемой директрисой параболы) и данной точки (называемой фокусом параболы).
Наряду с эллипсом и гиперболой, парабола является коническим сечением. Она может быть определена как коническое сечение с единичным эксцентриситетом.
Содержание
Уравнения
0″ border=»0″ /> (или 
, если поменять местами оси).
Уравнение директрисы 
: 
, фокус — 
, таким образом начало координат 
— середина отрезка 
. По определению параболы для любой точки 
, лежащей на ней выполняется равенство 
. 
и 
, тогда равенство приобретает вид:
.
После возведения в квадрат и некоторых преобразований получается равносильное уравнение 
.
Квадратное уравнение 
при 
также представляет собой параболу и графически изображается той же параболой, что и 
, но в отличие от последней имеет вершину не в начале координат, а в некоторой точке 
, координаты которой вычисляются по формулам:
где 
— дискриминант
Ось её симметрии проходит через вершину параллельно оси ординат, при a>0 (a Расчёт коэффициентов квадратного уравнения
Если для уравнения известны координаты 3-х различных точек его графика 
, 
, 
, то его коэффициенты могут быть найдены так:
Свойства
Связанные определения
Параболы в физическом пространстве
Траектории некоторых космических тел (комет, астероидов и других), проходящих вблизи звезды или другого массивного объекта (звезды или планеты) на достаточно большой скорости имеют форму параболы (или гиперболы). Эти тела вследствие своей большой скорости не захватываются гравитационным полем звезды и продолжают свободный полёт. Это явление используется для гравитационных манёвров космических кораблей (в частности аппаратов Вояджер).
При отсутствии сопротивления воздуха траектория полёта тела в приближении однородного гравитационного поля представляет собой параболу.
Также параболические зеркала используются в любительских переносных телескопах систем Кассергена, Шмидта — Кассергена, Ньютона, а в фокусе параболы устанавливают вспомогательные зеркала, подающие изображение на окуляр.
При вращении сосуда с жидкостью вокруг вертикальной оси поверхность жидкости в сосуде и вертикальная плоскость пересекаются по параболе.
Свойство параболы фокусировать пучок лучей, параллельных оси параболы, используется в конструкциях прожекторов, фонарей, фар, а также телескопов-рефлекторов (оптических, инфракрасных, радио…), в конструкции узконаправленных (спутниковых и других) антенн, необходимых для передачи данных на большие расстояния, солнечных электростанций и в других областях.
Форма параболы иногда используется в архитектуре для строительства крыш и куполов.
Параболическая орбита и движение спутника по ней (анимация)
Параболические траектории струй воды
Вращающийся сосуд с жидкостью
См. также
Примечания
Литература
Ссылки
Циклоида • Эпициклоида • Гипоциклоида • Трохоида (Удлинённая + Укороченная циклоида) • Эпитрохоида (Удлинённая + Укороченная эпициклоида • («Роза») • Гипотрохоида • Скорейшего спуска (Брахистохрона, дуга циклоиды)
 Конические сечения | |
|---|---|
| Главные типы | Эллипс • Гипербола • Парабола |
| Вырожденные | Точка • Прямая • Пара прямых |
| Частный случай эллипса | Окружность |
| Геометрическое построение | Коническое сечение • Шары Данделена |
| См. также | Коническая константа |
| Математика • Геометрия | |
Полезное
Смотреть что такое «Парабола» в других словарях:
ПАРАБОЛА — (греч. parabole, от parabollo сближаю). 1) иносказание, притча. 2) кривая линия, происходящая от сечения конуса плоскостью, параллельною какой нибудь его производящей. 3) кривая линия, образующаяся при полете бомбы, ядра и т. п. Словарь… … Словарь иностранных слов русского языка
парабола — иносказание, притча (Даль) См. пример … Словарь синонимов
ПАРАБОЛА — (греч. parabole) плоская кривая (2 го порядка). Парабола множество точек М, расстояния которых до данной точки F (фокуса) и до данной прямой D1D2 (директрисы) равны. В надлежащей системе координат уравнение параболы имеет вид: y2=2px, где р=2OF.… … Большой Энциклопедический словарь
ПАРАБОЛА — ПАРАБОЛА, математическая кривая, КОНИЧЕСКОЕ СЕЧЕНИЕ, образуемое точкой, двигающейся таким образом, что ее расстояние до неподвижной точки, фокуса, равно ее расстоянию до неподвижной прямой, директрисы. Парабола образуется при разрезе конуса… … Научно-технический энциклопедический словарь
ПАРАБОЛА — жен., греч. иносказанье, притча. | мат. кривая черта, из числа конических сечений; разрез сахарной головы накось, опостен (параллельно) противной стороне. Парабольные вычисленья. Параболическое реченье, инословие, иноречие, переносное.… … Толковый словарь Даля
ПАРАБОЛА — (1) незамкнутая кривая линия 2 го порядка на плоскости, являющаяся графиком функции у2 = 2рх, где р параметр. Параболу получают при пересечении кругового (см.) плоскостью, не проходящей через его вершину и параллельной одной из его образующих.… … Большая политехническая энциклопедия
ПАРАБОЛА — (от греческого parabole), плоская кривая, расстояния любой точки M которой до данной точки F (фокуса) и до данной прямой D 1D1 (директрисы) равны (MD=MF) … Современная энциклопедия
ПАРАБОЛА — ПАРАБОЛА, параболы, жен. (греч. parabole). 1. Кривая второго порядка, представляющая коническое сечение прямого кругового конуса плоскостью, параллельною одной из образующих (мат.). || Путь, описываемый тяжелым телом (напр. пулей), брошенным под… … Толковый словарь Ушакова
ПАРАБОЛА — ПАРАБОЛА, ы, жен. В математике: состоящая из одной ветви незамкнутая кривая, образующаяся при пересечении конической поверхности плоскостью. | прил. параболический, ая, ое. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова
ПАРАБОЛА — «ПАРАБОЛА», Россия, 1992, цв., 30 мин. Документальное эссе. Попытка понять мистическую суть сказаний удмуртов маленького народа в Поволжье. Режиссер: Светлана Стасенко (см. СТАСЕНКО Светлана). Автор сценария: Светлана Стасенко (см. СТАСЕНКО… … Энциклопедия кино
Парабола свойства и график квадратичной функции
Что такое парабола знают, пожалуй, все. А вот как ее правильно, грамотно использовать при решении различных практических задач, разберемся ниже.
Сначала обозначим основные понятия, которые дает этому термину алгебра и геометрия. Рассмотрим все возможные виды этого графика.
Узнаем все основные характеристики этой функции. Поймем основы построения кривой (геометрия). Научимся находить вершину, другие основные величины графика данного типа.
Узнаем: как правильно строится искомая кривая по уравнению, на что надо обратить внимание. Посмотрим основное практическое применение этой уникальной величины в жизни человека.
Что такое парабола и как она выглядит
Алгебра: под этим термином понимается график квадратичной функции.
Геометрия: это кривая второго порядка, имеющая ряд определенных особенностей:
Каноническое уравнение параболы
На рисунке изображена прямоугольная система координат (XOY), экстремум, направление ветвей чертежа функции вдоль оси абсцисс.
Каноническое уравнение имеет вид:
где коэффициент p – фокальный параметр параболы (AF).
В алгебре оно запишется иначе:
y = a x2 + b x + c (узнаваемый шаблон: y = x2).
Свойства и график квадратичной функции
Функция обладает осью симметрии и центром (экстремум). Область определения – все значения оси абсцисс.
Область значений функции – (-∞, М) или (М, +∞) зависит от направления ветвей кривой. Параметр М тут означает величину функции в вершине линии.
Как определить, куда направлены ветви параболы
Чтобы найти направление кривой такого типа из выражения, нужно определить знак перед первым параметром алгебраического выражения. Если а ˃ 0, то они направлены вверх. Если наоборот – вниз.
Как найти вершину параболы по формуле
Нахождение экстремума является основным этапом при решении множества практических задач. Конечно, можно открыть специальные онлайн калькуляторы, но лучше это уметь делать самому.
Как же ее определить? Есть специальная формула. Когда b не равно 0, надо искать координаты этой точки.
Формулы нахождения вершины:
Пример.
Имеется функция у = 4 * x2 + 16 * x – 25. Найдём вершины этой функции.
Смещение параболы
Классический случай, когда в квадратичной функции y = a x2 + b x + c, второй и третий параметры равны 0, а = 1 – вершина находится в точке (0, 0).
Движение по осям абсцисс или ординат обусловлено изменением параметров b и c соответственно. Сдвиг линии на плоскости будет осуществляться ровно на то количество единиц, чему равно значение параметра.
Пример.
Это означает, что классический вид кривой сдвинется на 2 единичных отрезка по оси абсцисс и на 3 по оси ординат.
Как строить параболу по квадратному уравнению
Школьникам важно усвоить, как правильно начертить параболу по заданным параметрам.
Анализируя выражения и уравнения, можно увидеть следующее:
Кроме того, места пересечения с ОХ можно найти, зная дискриминант (D) такой функции:
Для этого нужно приравнять выражение к нулю.
Наличие корней параболы зависит от результата:
Получаем алгоритм построения параболы:
Пример 1.
Дана функция у = х2 5 * х + 4. Необходимо построить параболу. Действуем по алгоритму:
По полученным точкам можно построить параболу.
Пример 2.
Для функции у = 3 * х2 2 * х 1 нужно построить параболу. Действуем по приведенному алгоритму:
По полученным точкам можно построить параболу.
Директриса, эксцентриситет, фокус параболы
Исходя из канонического уравнения, фокус F имеет координаты (p/2, 0).
Эксцентриситет (константа) = 1.
Заключение
Мы рассмотрели тему, которую изучают школьники в средней школе. Теперь вы знаете, глядя на квадратичную функцию параболы, как найти её вершину, в какую сторону будут направлены ветви, есть ли смещение по осям, и, имея алгоритм построения, сможете начертить её график.