Что такое парабола в математике
Парабола в математике: уравнение, построение, виды
Что такое парабола в математике
Формула параболы может рассказать нам о многом:
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Алгоритм построения параболы
Построим график функции \(f(x)=ax^2+bx+c.\)
Примеры решения задач на построение параболы
Смещение параболы
Свободный член с смещает параболу по оси y. Например, если c=2, то парабола f(x)=ax^2+bx сместится вверх на 2 единичных отрезка, а если с=-2, то график сместится вниз так же на 2 единичных отрезка.
В случае, когда к аргументу x прибавляется или вычитается какое-либо число, график смещается по оси x. Например, для построения графика функции \(y=<(x+4)>^2\) достаточно сместить график \(y=x^2 \) на 4 единичных отрезка влево, а для построения графика \(y=<(x-3)>^2\) нужно сместить график \(y=x^2\) на 3 единичных отрезка вправо.
Что такое Парабола
Определение Параболы
Парабола (от греч. παραβολή — сравнение, приближение, кривая линия) — в геометрии это плоская кривая линия (в форме арки), где каждая из точек M (на рисунке ниже) равноудалена от неподвижной точки F (фокус) и от неподвижной линии DA, называемой директрисой (MF = MA).
Расстояние от фокуса до директрисы называется фокальным параметром параболы и обозначается как p.
В литературе парабола — это аллегория, под которой скрывается важная истина.
Как выглядит парабола, когда меняется фокальный параметр (p)
Изменения фокального параметра, когда фокус находится на оси OX:
Изменения фокального параметра, когда фокус находится на оси OY:
Квадратичная функция и как построить график параболы
Квадратичная функция выглядит следующим образом:
y = ax² + bx + c, где a≠0
(a — старший коэффициент; b — второй коэффициент; с — свободный член).
Построение графика квадратичной функции
Шаги построения графика
1. Как определить, куда направлены ветви параболы
Т. е. a (старший коэффициент) в данном случае равен 1, b (второй коэффициент) и c (свободный член) оба равны 0.
Ветви параболы будут направлены вверх, когда a > 0.
А в данном случае a = –1 (b = 0, с = 0).
Ветви параболы будут направлены вниз, когда a 0, то у квадратичной параболы будут две точки пересечения с осью ОХ, которые можно найти по этим формулам:
3. Как вычислить координаты вершины параболы
Формулы для их вычисления:
4. Как посчитать точку пересечения параболы с осью OY
Точка пересечения параболы с осью OY имеет координаты (0;c). Так как абсцисса любой точки, лежащей на оси OY, равна нулю.
Чтобы найти точку пересечения параболы с осью OY, нужно всего лишь в вашу формулу вида ax² + bx + c вместо х подставить ноль.
Пример построения графика квадратичной функции
Например, нужно построить график квадратичной функции y = x² − 7x + 10.
1) Если квадратичная функция выглядит как y = ax² + bx + c, получается, в нашем случае: a = 1, b = −7, c = 10.
a = 1, а это a > 0, следовательно ветви параболы будут направлены вверх
2) Определяем нули функции, это значит ax² + bx + c = 0, в нашем случае: x² − 7x + 10 = 0
Ищем дискриминант по формуле: D = b² − 4ac, это D = (−7)² − 4*1*10 = 49 − 40 = 9
Потом вычисляем х1 и х2:
х1 = (−b + ²√D) / 2a = (7 + ²√9) / (2*1) = 5
х2 = (−b − ²√D) / 2а = (7 − ²√9) / (2*1) = 2
3) Вычисляем координаты вершины параболы:
х0 = −b / 2a = 7 / (2*1) = 3,5
y0 = −D / 4а = −9 / (4*1) = −2,25
4) Точка пересечения параболы с осью OY имеет координаты (0;c), следовательно, если c = 10, она пересекает её на (0;10).
Таким образом, получилась парабола такого вида:
Свойства квадратичной функции y = x²
График функции y = x² выглядит следующим образом:
Свойства
1) Область определения функции y = x² — множество всех действительных чисел, т. е. D(y) = R = (−∞; +∞).
2) Множество значений функции — положительная полупрямая: E(y) = [0; +∞).
3) В точке x = 0 (и y = 0) функция принимает минимальные значения (наибольшего значения у функции нет).
Эта точка (с координатами (0;0)) является вершиной параболы; одновременно точка (0;0) является единственной общей точкой параболы с осями координат (начало координат).
4) Функция у = x² чётная, график симметричен относительно оси Оу, т. е. f(−x) = (−x)² = x² = f(x).
5) Функция непрерывна на всей области определения. На (−∞; 0) функция монотонно убывает, а на (0; + ∞) функция монотонно возрастает.
6) Функция у = x² непериодическая.
7) Единственный нуль функции — значение аргумента x = 0.
8) Функция у = x² не имеет асимптот.
9) Функция принимает положительные значения на всех точках параболы, кроме начала координат, т. е. в: (−∞;0) ∪ (0;+∞).
Основные определения
Параболой называется кривая второго порядка, состоящая из множества точек, которые удалены на равные расстояния от директрисы и вершины. Ее еще называют функцией квадратичного типа. Не следует путать с гиперболой, поскольку она является прямой второго порядка, но ее называют кубической.
Директриса — условная прямая, относительно которой строится кубическая парабола. Она не указывается на чертеже, но полезна при нахождении неизвестных параметров, когда требуется выполнить дополнительное построение.
Вершина (фокус) — ближайшая точка к директрисе. Из нее исходят симметричные ветви кривой, на которой располагаются точки, имеющие одинаковое значение ординат, а их абсциссы равны между собой по модулю и являются противоположными числами.
Полезные свойства
Парабола, как и любое геометрическое тело, обладает определенными свойствами:
Свойства помогают находить некоторые параметры кривой, доказывать утверждения и теоремы. Однако этого недостаточно для решения задач. Следует разобрать математические формы записи параболы.
Формула кривой
Следует отметить, что р>0. Чтобы вывести формулу параболы, следует применить алгоритм:
Третье представление (уравнение параболы) — общее. Его можно править следующим образом: Ах^2+Вху+Су^2+Dх+Еу+F = 0. Некоторые коэффициенты могут быть эквивалентны нулю. Кроме того, кривая задается также в полярной системе при помощи соотношения n(1+cos(s))=n. В последнем равенстве параметр «n» эквивалентен отрезку, соединяющему директрису и вершину.
Методы нахождения координат вершины
Очень часто функция квадратичного типа при решении задач может быть представлена в некотором виде, который следует при помощи математических преобразований привести в читабельную форму. Последний термин обозначает, что требуется преобразовать формулу параболы для удобного построения таблицы и схематического представления. Делается эта операция по следующему алгоритму на примере z=t^2 +4t+2:
Методика позволяет найти фокус без дополнительных формул. Однако существует и другой способ определения вершины, где применяется производная функции:
Существуют программные продукты для нахождения параметров параболы. Названия имеют английскую номенклатуру, т. е. «parabola».
График функции
Иногда требуется в заданиях графическое представление функции. Для этого необходимо следовать инструкции:
График параболы хорош тем, что позволяет освободиться от большого количества расчетов, поскольку является симметричным. Для таблицы зависимостей достаточно подставить 2 одинаково противоположные величины, а иногда и разные числа превращают значения функции в одинаковые величины.
Пример решения
Можно приступать к построению графика. Специалисты рекомендуют чертить его при помощи карандаша. Отмечать следует только точки, указанные в таблице. Кроме того, необходимо указать на графике нули функции, а также ее пересечения с ординатой. Ветви искомой параболы будут направлены вверх, поскольку коэффициент при квадрате 1>0.
Таким образом, парабола — кривая ll порядка, которая используется для описания некоторых физических явлений, траекторий движения тел в пространстве, а также для описания квадратичной зависимости между двумя величинами.
Парабола свойства и график квадратичной функции
Что такое парабола знают, пожалуй, все. А вот как ее правильно, грамотно использовать при решении различных практических задач, разберемся ниже.
Сначала обозначим основные понятия, которые дает этому термину алгебра и геометрия. Рассмотрим все возможные виды этого графика.
Узнаем все основные характеристики этой функции. Поймем основы построения кривой (геометрия). Научимся находить вершину, другие основные величины графика данного типа.
Узнаем: как правильно строится искомая кривая по уравнению, на что надо обратить внимание. Посмотрим основное практическое применение этой уникальной величины в жизни человека.
Что такое парабола и как она выглядит
Алгебра: под этим термином понимается график квадратичной функции.
Геометрия: это кривая второго порядка, имеющая ряд определенных особенностей:
Каноническое уравнение параболы
На рисунке изображена прямоугольная система координат (XOY), экстремум, направление ветвей чертежа функции вдоль оси абсцисс.
Каноническое уравнение имеет вид:
где коэффициент p – фокальный параметр параболы (AF).
В алгебре оно запишется иначе:
y = a x2 + b x + c (узнаваемый шаблон: y = x2).
Свойства и график квадратичной функции
Функция обладает осью симметрии и центром (экстремум). Область определения – все значения оси абсцисс.
Область значений функции – (-∞, М) или (М, +∞) зависит от направления ветвей кривой. Параметр М тут означает величину функции в вершине линии.
Как определить, куда направлены ветви параболы
Чтобы найти направление кривой такого типа из выражения, нужно определить знак перед первым параметром алгебраического выражения. Если а ˃ 0, то они направлены вверх. Если наоборот – вниз.
Как найти вершину параболы по формуле
Нахождение экстремума является основным этапом при решении множества практических задач. Конечно, можно открыть специальные онлайн калькуляторы, но лучше это уметь делать самому.
Как же ее определить? Есть специальная формула. Когда b не равно 0, надо искать координаты этой точки.
Формулы нахождения вершины:
Пример.
Имеется функция у = 4 * x2 + 16 * x – 25. Найдём вершины этой функции.
Смещение параболы
Классический случай, когда в квадратичной функции y = a x2 + b x + c, второй и третий параметры равны 0, а = 1 – вершина находится в точке (0, 0).
Движение по осям абсцисс или ординат обусловлено изменением параметров b и c соответственно. Сдвиг линии на плоскости будет осуществляться ровно на то количество единиц, чему равно значение параметра.
Пример.
Это означает, что классический вид кривой сдвинется на 2 единичных отрезка по оси абсцисс и на 3 по оси ординат.
Как строить параболу по квадратному уравнению
Школьникам важно усвоить, как правильно начертить параболу по заданным параметрам.
Анализируя выражения и уравнения, можно увидеть следующее:
Кроме того, места пересечения с ОХ можно найти, зная дискриминант (D) такой функции:
Для этого нужно приравнять выражение к нулю.
Наличие корней параболы зависит от результата:
Получаем алгоритм построения параболы:
Пример 1.
Дана функция у = х2 5 * х + 4. Необходимо построить параболу. Действуем по алгоритму:
По полученным точкам можно построить параболу.
Пример 2.
Для функции у = 3 * х2 2 * х 1 нужно построить параболу. Действуем по приведенному алгоритму:
По полученным точкам можно построить параболу.
Директриса, эксцентриситет, фокус параболы
Исходя из канонического уравнения, фокус F имеет координаты (p/2, 0).
Эксцентриситет (константа) = 1.
Заключение
Мы рассмотрели тему, которую изучают школьники в средней школе. Теперь вы знаете, глядя на квадратичную функцию параболы, как найти её вершину, в какую сторону будут направлены ветви, есть ли смещение по осям, и, имея алгоритм построения, сможете начертить её график.
Парабола
| Парабола, её фокус и директриса | |
 | |
| Коническое сечение: |  |
| Эксцентриситет: |  |
| Уравнение: |  |
| гипербола · парабола · эллипс · окружность | |
Пара́бола (греч. παραβολή — приложение) — геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой (называемой директрисой параболы) и данной точки (называемой фокусом параболы).
Наряду с эллипсом и гиперболой, парабола является коническим сечением. Она может быть определена как коническое сечение с единичным эксцентриситетом.
Содержание
Уравнения
0″ border=»0″ /> (или 
, если поменять местами оси).
Уравнение директрисы 
: 
, фокус — 
, таким образом начало координат 
— середина отрезка 
. По определению параболы для любой точки 
, лежащей на ней выполняется равенство 
. 
и 
, тогда равенство приобретает вид:
.
После возведения в квадрат и некоторых преобразований получается равносильное уравнение 
.
Квадратное уравнение 
при 
также представляет собой параболу и графически изображается той же параболой, что и 
, но в отличие от последней имеет вершину не в начале координат, а в некоторой точке 
, координаты которой вычисляются по формулам:
где 
— дискриминант
Ось её симметрии проходит через вершину параллельно оси ординат, при a>0 (a Расчёт коэффициентов квадратного уравнения
Если для уравнения известны координаты 3-х различных точек его графика 
, 
, 
, то его коэффициенты могут быть найдены так:
Свойства
Связанные определения
Параболы в физическом пространстве
Траектории некоторых космических тел (комет, астероидов и других), проходящих вблизи звезды или другого массивного объекта (звезды или планеты) на достаточно большой скорости имеют форму параболы (или гиперболы). Эти тела вследствие своей большой скорости не захватываются гравитационным полем звезды и продолжают свободный полёт. Это явление используется для гравитационных манёвров космических кораблей (в частности аппаратов Вояджер).
При отсутствии сопротивления воздуха траектория полёта тела в приближении однородного гравитационного поля представляет собой параболу.
Также параболические зеркала используются в любительских переносных телескопах систем Кассергена, Шмидта — Кассергена, Ньютона, а в фокусе параболы устанавливают вспомогательные зеркала, подающие изображение на окуляр.
При вращении сосуда с жидкостью вокруг вертикальной оси поверхность жидкости в сосуде и вертикальная плоскость пересекаются по параболе.
Свойство параболы фокусировать пучок лучей, параллельных оси параболы, используется в конструкциях прожекторов, фонарей, фар, а также телескопов-рефлекторов (оптических, инфракрасных, радио…), в конструкции узконаправленных (спутниковых и других) антенн, необходимых для передачи данных на большие расстояния, солнечных электростанций и в других областях.
Форма параболы иногда используется в архитектуре для строительства крыш и куполов.
Параболическая орбита и движение спутника по ней (анимация)
Параболические траектории струй воды
Вращающийся сосуд с жидкостью
См. также
Примечания
Литература
Ссылки
Циклоида • Эпициклоида • Гипоциклоида • Трохоида (Удлинённая + Укороченная циклоида) • Эпитрохоида (Удлинённая + Укороченная эпициклоида • («Роза») • Гипотрохоида • Скорейшего спуска (Брахистохрона, дуга циклоиды)
 Конические сечения | |
|---|---|
| Главные типы | Эллипс • Гипербола • Парабола |
| Вырожденные | Точка • Прямая • Пара прямых |
| Частный случай эллипса | Окружность |
| Геометрическое построение | Коническое сечение • Шары Данделена |
| См. также | Коническая константа |
| Математика • Геометрия | |
Полезное
Смотреть что такое «Парабола» в других словарях:
ПАРАБОЛА — (греч. parabole, от parabollo сближаю). 1) иносказание, притча. 2) кривая линия, происходящая от сечения конуса плоскостью, параллельною какой нибудь его производящей. 3) кривая линия, образующаяся при полете бомбы, ядра и т. п. Словарь… … Словарь иностранных слов русского языка
парабола — иносказание, притча (Даль) См. пример … Словарь синонимов
ПАРАБОЛА — (греч. parabole) плоская кривая (2 го порядка). Парабола множество точек М, расстояния которых до данной точки F (фокуса) и до данной прямой D1D2 (директрисы) равны. В надлежащей системе координат уравнение параболы имеет вид: y2=2px, где р=2OF.… … Большой Энциклопедический словарь
ПАРАБОЛА — ПАРАБОЛА, математическая кривая, КОНИЧЕСКОЕ СЕЧЕНИЕ, образуемое точкой, двигающейся таким образом, что ее расстояние до неподвижной точки, фокуса, равно ее расстоянию до неподвижной прямой, директрисы. Парабола образуется при разрезе конуса… … Научно-технический энциклопедический словарь
ПАРАБОЛА — жен., греч. иносказанье, притча. | мат. кривая черта, из числа конических сечений; разрез сахарной головы накось, опостен (параллельно) противной стороне. Парабольные вычисленья. Параболическое реченье, инословие, иноречие, переносное.… … Толковый словарь Даля
ПАРАБОЛА — (1) незамкнутая кривая линия 2 го порядка на плоскости, являющаяся графиком функции у2 = 2рх, где р параметр. Параболу получают при пересечении кругового (см.) плоскостью, не проходящей через его вершину и параллельной одной из его образующих.… … Большая политехническая энциклопедия
ПАРАБОЛА — (от греческого parabole), плоская кривая, расстояния любой точки M которой до данной точки F (фокуса) и до данной прямой D 1D1 (директрисы) равны (MD=MF) … Современная энциклопедия
ПАРАБОЛА — ПАРАБОЛА, параболы, жен. (греч. parabole). 1. Кривая второго порядка, представляющая коническое сечение прямого кругового конуса плоскостью, параллельною одной из образующих (мат.). || Путь, описываемый тяжелым телом (напр. пулей), брошенным под… … Толковый словарь Ушакова
ПАРАБОЛА — ПАРАБОЛА, ы, жен. В математике: состоящая из одной ветви незамкнутая кривая, образующаяся при пересечении конической поверхности плоскостью. | прил. параболический, ая, ое. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова
ПАРАБОЛА — «ПАРАБОЛА», Россия, 1992, цв., 30 мин. Документальное эссе. Попытка понять мистическую суть сказаний удмуртов маленького народа в Поволжье. Режиссер: Светлана Стасенко (см. СТАСЕНКО Светлана). Автор сценария: Светлана Стасенко (см. СТАСЕНКО… … Энциклопедия кино