Что такое параллелограмм кратко

Параллелограмм. Свойства и признаки параллелограмма

Определение параллелограмма

Параллелограмм – четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма

1. Противоположные стороны параллелограмма попарно равны

2. Противоположные углы параллелограмма попарно равны

3. Сумма смежных (соседних) углов параллелограмма равна 180 градусов

4. Сумма всех углов равна 360°

5. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам

6. Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма

7. Диагонали параллелограмма и стороны
связаны следующим соотношением:

8. Биссектриса отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник

Признаки параллелограмма

Четырехугольник является параллелограммом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1. Противоположные стороны попарно равны:

2. Противоположные углы попарно равны:

3. Диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам

4. Противоположные стороны равны и параллельны:

5.

Небольшой видеоролик о свойствах параллелограмма (в том числе ромба, прямоугольника, квадрата) и о том, как эти свойства применяются в задачах:

Формулы площади параллелограмма смотрите здесь.

Хорошую подборку задач на нахождение углов и длин в параллелограмме смотрите здесь.

Источник

Параллелограмм: свойства и признаки

Определение параллелограмма

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны. Как выглядит параллелограмм:

Частные случаи параллелограмма: ромб, прямоугольник, квадрат.

Диагонали — отрезки, которые соединяют противоположные вершины.

Свойства диагоналей параллелограмма:

Биссектриса угла параллелограмма — это отрезок, который соединяет вершину с точкой на одной из двух противоположных сторон и делит угол при вершине пополам.

Свойства биссектрисы параллелограмма:

Как найти площадь параллелограмма:

Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.

P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.

У нас есть отличные дополнительные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Свойства параллелограмма

Геометрическая фигура — это любое множество точек. У каждой фигуры есть свои свойства, которые отличают их между собой и помогают решать задачи по геометрии в 8 классе.

Рассмотрим основные свойства диагоналей и углов параллелограмма, узнаем чему равна сумма углов параллелограмма и другие особенности этой фигуры. Вот они:

А сейчас докажем теорему, которая основана на первых двух свойствах.

Теорема 1. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.

В любом выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются. Все, что мы знаем о точке их пересечения — это то, что она лежит внутри четырехугольника.

Если мы проведем обе диагонали в параллелограмме, точка пересечения разделит их пополам. Убедимся, так ли это:

Теорема доказана. Наше предположение верно.

Признаки параллелограмма

Признаки параллелограмма помогают распознать эту фигуру среди других четырехугольников. Сформулируем три основных признака.

Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 1 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

Чтобы назвать этот четырехугольник параллелограммом, нужно внимательно рассмотреть его стороны.

Сейчас мы видим одну пару параллельных сторон. Нужно доказать, что вторая пара сторон тоже параллельна.

Шаг 2. Проведем диагональ. Получились два треугольника ABC и CDA, которые равны по первому признаку равенства, то есть по по двум сторонам и углу между ними:

Шаг 3. Из равенства треугольников также следует:

Эти углы тоже являются внутренними накрест лежащими для прямых CB и AD. А это как раз и есть признак параллельности прямых. Значит, CB || AD и ABCD — параллелограмм.

Вот так быстро мы доказали первый признак.

Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 2 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

Шаг 2. Проведем диагональ AC и рассмотрим треугольники ABC и CDA:

Из этого следует, что треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку, а именно по трем сторонам.

Шаг 3. Из равенства треугольников следует:

А так как эти углы — накрест лежащие при сторонах BC и AD и диагонали AC, значит, стороны BC и AD параллельны.

Эти углы — накрест лежащие при сторонах AB и CD и секущей AC. Поэтому стороны AB и CD тоже параллельны. Значит, четырехугольник ABCD — параллелограмм, ЧТД.

Доказали второй признак.

Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 3 признак параллелограмма:

Шаг 1. Если диагонали четырехугольника ABCD делятся пополам точкой O, то треугольник AOB равен треугольнику COD по двум сторонам и углу между ними:

Шаг 2. Из равенства треугольников следует, что CD = AB.

Эти стороны параллельны CD || AB, по равенству накрест лежащих углов: ∠1 = ∠2 (следует из равенства треугольников AOB и COD).

Значит, ABCD является параллелограммом по первому признаку, который мы доказали ранее. Что и требовалось доказать.

Теперь мы знаем свойства параллелограмма и то, что выделяет его среди других четырехугольников — признаки. Так как они совпадают, эти формулировки можно использовать для определения параллелограмма. Но самое распространенное определение все-таки связано с параллельностью противоположных сторон.

Источник

Что такое параллелограмм: определение, свойства, признаки

В данной публикации мы рассмотрим определение, свойства и признаки (с рисунками) одной из основных геометрических фигур – параллелограмма.

Определение параллелограмма

Параллелограмм – это четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

Обычно параллелограмм записывается путем перечисления четырех его вершин, например, ABCD. А пары параллельных сторон, чаще всего, обозначаются маленькими латинскими буквами, в нашем случае – a и b.

Частные случаи параллелограмма: квадрат, ромб и прямоугольник.

Свойства параллелограмма

Свойство 1

Противолежащие (или противоположные) стороны параллелограмма равны.

Свойство 2

Противолежащие углы параллелограмма равны.

Свойство 3

Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равняется 180°.

Для рисунка выше: α + β = 180°.

Свойство 4

Любая из двух диагоналей параллелограмма делит его на два равных треугольника.

Свойство 5

Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам.

Свойство 6

Точка пересечения диагоналей параллелограмма (также называется центром симметрии) одновременно является точкой пересечения его средних линий.

Средняя линия четырехугольника – это отрезок, который соединяет середины его противоположных сторон.

В данном случае средние лини – это отрезки FM и EN.

Свойство 7

Угол между двумя высотами в параллелограмме равен его острому углу.

Свойство 8

Биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, взаимно перпендикулярны (т.е. расположены под углом 90° друг к другу).

Свойство 9

Биссектрисы двух противолежащих углов параллелограмма параллельны.

Углы ABC и ADC противолежащие. Их биссектрисы параллельны, т.е. BR || DP.

Свойство 10: тождество параллелограмма

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равняется удвоенной сумме квадратов его смежных сторон.

Признаки параллелограмма

Четырехугольник ABCD без самопересечений является параллелограммом, если для него справедливо одно из утверждений ниже:

Источник

Параллелограмм — это базовая геометрическая фигура с рядом важных свойств и признаков

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru.

В этой статье мы подробно расскажем о таком термине, как ПАРАЛЛЕЛОГРАММ.

С этой фигурой каждый из нас познакомился еще в школе – на уроках геометрии в 8 классе. Но если кто проболел в то время, прогулял занятия или просто не усвоил материал – мы поможем закрыть этот пробел.

Определение параллелограмма

Параллелограмм – это геометрическая фигура, которая является разновидностью четырехугольника. У него противоположные стороны лежат на параллельных линиях, а соответственно, являются параллельными по отношению друг к другу.

Выглядит эта фигура вот так:

Это классический вид параллелограмма, который в учебниках приводят всегда в первую очередь. В данной фигуре сторона AD параллельна стороне ВС, а АВ параллельна CD.

Интересно, что более известные всем нам фигуры – квадрат, прямоугольник и ромб – также являются параллелограммами.

Можно даже дать такие определения:

Происхождение термина «параллелограмм»

Как и многие термины в математике, слово ПАРАЛЛЕЛОГРАММ пришло к нам из Древней Греции. И легко предположить, что оно как-то связано с самым известным в истории математиком – Евклидом.

Действительно, так и есть. Слово ПАРАЛЛЕЛОГРАММ впервые можно найти именно в трудах Эвклида, которые называются «Начала». Оно состоит из двух греческих слов – «Parallelos», что, естественно, означает «параллельный», и «Gramme» — «линия».

Таким образом, ПАРАЛЛЕЛОГРАММ можно перевести как «параллельные линии». Этот принцип и заложен в определении геометрической фигуры.

Еще любопытный факт, что именно Евклид поделил все четырехугольники на две большие категории. Первая – это параллелограммы, у которых противоположные стороны параллельны. И трапеции (что это?), у которых параллельна только одна пара сторон.

Свойства и признаки параллелограмма

Как понять, что перед нами ПАРАЛЛЕЛОГРАММ? Есть целый ряд признаков, который характерен только для этой геометрической фигуры.

Возьмем в качестве примера еще раз нашу фигуру:

Чтобы этот четырехугольник ABCD можно было считать параллелограммом, должно выполняться одно из следующих условий:

AD II BC и AD =BC. Или AB II CD и AB = CD

∠А + ∠В = ∠В + ∠С = ∠С + ∠D = ∠D + ∠А = 180

Это самые простые признаки параллелограмма. Есть еще некоторые признаки, смысл которых поясняется в этом видео:

Причем, для того чтобы удостовериться в подлинности фигуры, достаточно доказать только одно из них.

Правило действует и в обратную сторону – если хоть один из признаков параллелограмма верен, то автоматически верны и все остальные, и они не нуждаются в отдельном доказательстве.

Соответственно, если хоть один признак не получил подтверждения, то фигуру нельзя считать параллелограммом. И все остальное также не совпадет.

Как посчитать периметр параллелограмма

Для подсчетов длины периметра четырехугольников обычно просто складывают длины его сторон. Но в случае с параллелограммом все несколько проще, так как стороны у него попарно равны.

Снова возьмем для примера нашу фигуру:

Только для удобства обозначим стороны по-другому. AD и ВС будет просто «а», а АВ и CD – «b». Получится вот так:

Чтобы рассчитать периметр, надо просто сложить все стороны:

Но эту же формулу можно переиначить и по-другому:

Это и есть формула периметра параллелограмма, которая записана во всех учебниках.

Как рассчитать площадь параллелограмма

С площадью геометрических фигур всегда чуть сложнее, чем с периметрами. Но параллелограмм в какой-то мере уникален, потому что для расчета его площади существует сразу несколько формул.

Напомним, высотой называют линию, которая выходит из вершины геометрической фигуры и идет под прямым углом к противоположному основанию.

Вот и все, что мы хотели рассказать о ПАРАЛЛЕЛОГРАММЕ. До новых встреч на страницах нашего блога.

Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru

Эта статья относится к рубрикам:

Комментарии и отзывы (1)

Сталкивалась с этим словом только в школе, на уроках геометрии, больше нигде 🙂

Источник

Параллелограмм — признаки и свойства

Клод Бернард однажды сказал:

«Думать, что всё знаешь, останавливает тебя от того, чтобы учиться новому»

Давай узнаем что-то новое сегодня, разбирая, казалось бы, такую простую тему!

Статья поможет тебе окончательно разобраться с самыми «популярными» параллелограммами, а наши вебинары дадут тебе необходимую практику.

И на ЕГЭ ты сможешь решить любую задачу на эту тему!

Параллелограмм — коротко о главном

Параллелограмм – четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

Свойства параллелограмма:

Прямоугольник – четырехугольник, все углы которого прямые: \( \displaystyle \angle A=\angle B=\angle C=\angle D=90<>^\circ \).

Свойства прямоугольника:

Ромб – четырехугольник, все стороны которого равны между собой: \( \displaystyle AB=BC=CD=DA\).

Свойства ромба:

Квадрат – четырехугольник, у которого все стороны равны между собой, а все углы – прямые: \( \displaystyle AB=BC=CD=DA\); \( \displaystyle \angle A=\angle B=\angle C=\angle D=90<>^\circ \).

Свойства квадрата:

\( \displaystyle ABCD\) – ромб

Источник