Что такое параллелограмма в математике
Параллелограмм. Свойства и признаки параллелограмма
Определение параллелограмма
Параллелограмм – четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Свойства параллелограмма
1. Противоположные стороны параллелограмма попарно равны
2. Противоположные углы параллелограмма попарно равны
3. Сумма смежных (соседних) углов параллелограмма равна 180 градусов
4. Сумма всех углов равна 360°
5. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам
6. Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма
7. Диагонали 
параллелограмма и стороны
связаны следующим соотношением: 
8. Биссектриса отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник
Признаки параллелограмма
Четырехугольник 
является параллелограммом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:
1. Противоположные стороны попарно равны: 
2. Противоположные углы попарно равны: 
3. Диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам
4. Противоположные стороны равны и параллельны: 
5. 
Небольшой видеоролик о свойствах параллелограмма (в том числе ромба, прямоугольника, квадрата) и о том, как эти свойства применяются в задачах:
Формулы площади параллелограмма смотрите здесь.Хорошую подборку задач на нахождение углов и длин в параллелограмме смотрите здесь.
Параллелограмм
Параллелограмм — четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Площадь параллелограмма равна произведению его основания (a) на высоту (h). Также можно найте его площадь через две стороны и угол и через диагонали.
Разновидностями параллелограмма (частные случаи) являются квадрат, прямоугольник и ромб.
Свойства параллелограмма
1. Противоположные стороны тождественны
Так как \( ABCD \) — параллелограмм, то справедливо следующее:
\( AD || BC \Rightarrow \angle 1 = \angle 2 \) как лежащие накрест.
\( AB || CD \Rightarrow \angle3 = \angle 4 \) как лежащие накрест.
Следовательно, \( \triangle ABC = \triangle ADC \) (по второму признаку: \( \angle 1 = \angle 2, \angle 3 = \angle 4 \) и \( AC \) — общая).
2. Противоположные углы тождественны
3. Диагонали разделены пополам точкой пересечения
Таким образом видно, что \( \triangle AOB = \triangle COD \) по второму признаку равенства треугольников (два угла и сторона между ними). То есть, \( BO = OD \) (напротив углов \( \angle 2 \) и \( \angle 1 \) ) и \( AO = OC \) (напротив углов \( \angle 3 \) и \( \angle 4 \) соответственно).
Признаки параллелограмма
Если лишь один признак в вашей задаче присутствует, то фигура является параллелограммом и можно использовать, все свойства данной фигуры.
Для лучшего запоминания, заметим, что признак параллелограмма будет отвечать на следующий вопрос — «как узнать?». То есть, как узнать, что заданная фигура это параллелограмм.
1. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого две стороны равны и параллельны
\( AB = CD \) ; \( AB || CD \Rightarrow ABCD \) — параллелограмм.
Первый признак верен.
2. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого противоположные стороны равны
Второй признак верен.
3. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого противоположные углы равны
Третий признак верен.
4. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого диагонали разделены точкой пересечения пополам
\( AO = OC \) ; \( BO = OD \Rightarrow \) параллелограмм.
Параллелограмм
Параллелогра́мм (др.-греч. παραλληλόγραμμον от παράλληλος — параллельный и γραμμή — линия) — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.
Содержание
Свойства
пусть а — длина стороны AB, b — длина стороны BC, 
и 
— длины диагоналей; тогда
Наконец, углы, прилежащие к одной стороне, например ∠A и ∠D, дают в сумме 180°, так как это углы внутренние односторонние при параллельных прямых.
По теореме косинусов: 
Поскольку 
, то 
Складывая полученные равенства:
Признаки параллелограмма
Четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий:
1. Если в четырёхугольнике противоположенные стороны попарно равны, то четырёхугольник параллелограмм 2. Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник параллелограмм 3. Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник параллелограмм
Площадь параллелограмма
См. также
Планигон
Полезное
Смотреть что такое «Параллелограмм» в других словарях:
ПАРАЛЛЕЛОГРАММ — всякий четырехугольник, противоположные стороны которого попарно равны и параллельны; преимуществ. так назыв. удлиненный четырехугольник, с двумя острыми и двумя тупыми углами; прочие же виды параллелогр. имеют свои особ. названия (ромб, квадрат … Словарь иностранных слов русского языка
параллелограмм — а, м. parallélogramme m. <лат. <гр. parallelogrammon. 1. мат. Четвероугольник, у которого все стороны попарно параллельны. БАС 1. Некоего четвероуголия не равнобочнаго именуемаго паралеллеграмма дан диагональ. Арифм. Магн. 214. // Сл. 18 6… … Исторический словарь галлицизмов русского языка
ПАРАЛЛЕЛОГРАММ — (от греч. parallelos параллельный и gramme линия) четырехугольник, у которого стороны попарно параллельны. Частные виды параллелограммов: прямоугольник параллелограмм, все углы которого прямые; ромб параллелограмм, все стороны которого равны;… … Большой Энциклопедический словарь
параллелограмм — прямоугольник, квадрат, ромб, четырехугольник, ромбоид Словарь русских синонимов. параллелограмм сущ. • ромбоид Словарь русских синонимов. Контекст 5.0 Информатик. 2012 … Словарь синонимов
ПАРАЛЛЕЛОГРАММ — ПАРАЛЛЕЛОГРАММ, четырехугольник (четырехсторонняя плоская фигура), у которого каждая пара противоположных сторон параллельна. У параллелограмма противоположные стороны и противоположные углы равны. Площадь параллелограмма равна произведению одной … Научно-технический энциклопедический словарь
ПАРАЛЛЕЛОГРАММ — ПАРАЛЛЕЛОГРАММ, параллелограмма, муж. (от греч. parallelos параллельный и gramma начертание) (мат.). Четыреугольник, противоположные стороны которого равны и параллельны. ❖ Параллелограмм сил или скоростей (геом.) способ нахождения… … Толковый словарь Ушакова
ПАРАЛЛЕЛОГРАММ — ПАРАЛЛЕЛОГРАММ, а, муж. В математике: четырёхугольник, у к рого стороны попарно параллельны. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова
Параллелограмм — четырехугольник, каждая пара противоположных сторонкоторого параллельны и равны между собой … Энциклопедия Брокгауза и Ефрона
ПАРАЛЛЕЛОГРАММ — плоская четырёхугольная геометрическая фигура, противоположные стороны которой взаимопараллельны. К П. относятся: квадрат, прямоугольник, ромб … Большая политехническая энциклопедия
параллелограмм — а; м. [от греч. parallēlos параллельный и grammē линия] Матем. Четырёхугольник, противоположные стороны которого параллельны. Построить, начертить п. П. сил (спец.; геометрическое построение, выражающее закон сложения сил). * * * параллелограмм… … Энциклопедический словарь
Параллелограмм
Определение 1. Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны.
 |
Свойства параллелограмма
Свойство 1. В параллелограмме противоположные углы равны и противоположные стороны равны.
Доказательство. Рассмотрим параллелограмм ABCD (Рис.2).
 |
Диагональ AC разделяют параллелограмм на два треугольника ACB и ACD. \( \small \angle 1=\angle 2 \) поскольку эти углы накрест лежащие, при рассмотрении параллельных прямых AB и CD пересеченные секущей AC (см. теорему 1 статьи Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей). Аналогично \( \small \angle 3=\angle 4 \), если рассмотреть параллельные прямые AD и BC пересеченные секущей AC. Тогда треугольники ACB и ACD равны по одной стороне и двум прилежащим углам: AC общая, \( \small \angle 1=\angle 2 \), \( \small \angle 3=\angle 4 \) (см. статью Треугольники. Признаки равенства треугольников). Поэтому \( \small AB=CD, \;\; AD=BC, \;\; \angle B=\angle D. \)
Из рисунка Рис.2 имеем: \( \small \angle A=\angle 1+\angle 3, \;\; \angle C=\angle 2+\angle 4. \) Учитывая, что \( \small \angle 1=\angle 2 \) и \( \small \angle 3=\angle 4 \), получим: \( \small \angle A=\angle C. \)
Свойство 2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения разделяются пополам.
Доказательство. Рассмотрим параллелограмм ABCD (Рис.3) и пусть O точка пересечения диагоналей AC и BD. \( \small \angle 1=\angle 2 \) поскольку эти углы накрест лежащие, при рассмотрении параллельных прямых AB и CD пересеченные секущей AC. \( \small \angle 3=\angle 4 \), если рассмотреть параллельные прямые AB и CD пересеченные секущей BD. Поскольку в параллелограмме противоположные стороны равны: AB=CD (Свойство 1), то треугольники ABO и CDO равны по стороне и прилежашим двум углам. Тогда AO=OC и BO=OD.
 |
Признаки параллелограмма
Признак 1. Если в четырехугольнике две стороны параллельны и равны, то этот четырехугольник является параллелограммом.
 |
Доказательство. Рассмотрим параллелограмм ABCD. Пусть AB=CD и AB || CD. Проведем диагональ AC (Рис.4). Поскольку AB || CD, то \( \small \angle 1=\angle 2 \) как накрест лежащие углы − при рассмотрении параллельных прямых AB и CD пересеченных секущей AC. Тогда треугольники ACB и ACD равны, по двум сторонам и углу между ними. Действительно, AB=CD, AC− общая сторона \( \small \angle 1=\angle 2 \). Но тогда \( \small \angle 3=\angle 4. \) Рассмотрим прямые AD и BC, пересеченные секущей AC. Поскольку \( \small \angle 3 \) и \( \small \angle 4 \) являются накрест лежашими углами, то по теореме 1 статьи Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых, эти прямые параллельны. Таким образом, в четырехугольнике противоположные стороны попарно параллельны (AB || CD, AD || BC) и, значит, данный четырехугольник параллелограмм.
Признак 2. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник является параллелограммом.
Доказательство. Рассмотрим параллелограмм ABCD (Рис.4). Проведем диагональ AC (Рис.4). Рассмотрим треугольники ACB и ACD. Эти треугольники равны по трем сторонам (см. статью Треугольники. Признаки равенства треугольников). Действительно. AC − общая для этих треугольников и по условию AB = CD, AD = BC. Тогда \( \small \angle 1=\angle 2 \). Отсюда следует AB || CD. Имеем, AB = CD, AB || CD и по признаку 1 четырехугольник ABCD является параллелограммом.
Признак 3. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения разделяются пополам, то данный четырехугольник − параллелограмм.
 |
Доказательство. Рассмотрим четырехугольник ABCD (Рис.5). Пусть диагонали четырехугольника пересекаются в точке O и точкой пересечения делятся пополам:
 |
Углы AOB и COD вертикальные, следовательно \( \small \angle AOB=\angle COD \). Тогда треугольники AOB и COD равны по двум сторонам и углу меду ними:
,  |
Тогда AB = CD и \( \small \angle 1=\angle 2 \). Но по признаку параллельности прямых следует, что AB || CD (теорема 1 статьи Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых). Получили:
 |
и, по признаку 1 четырехугольник ABCD − параллелограмм.
Параллелограмм и его свойства
Свойства параллелограмма:
\(\blacktriangleright\) Противоположные стороны попарно равны;
\(\blacktriangleright\) Диагонали точкой пересечения делятся пополам;
Признаки параллелограмма.
Если для выпуклого четырехугольника выполнено одно из следующих условий, то это – параллелограмм:
\(\blacktriangleright\) если противоположные стороны попарно равны;
\(\blacktriangleright\) если две стороны равны и параллельны;
\(\blacktriangleright\) если диагонали точкой пересечения делятся пополам;
\(\blacktriangleright\) если противоположные углы попарно равны.
Площадь параллелограмма
Площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание, к которому проведена эта высота.
Задачи из раздела «Геометрия на плоскости» являются обязательной частью аттестационного экзамена у выпускников средней школы. Теме «Параллелограмм и его свойства» в ЕГЭ традиционно отводится сразу несколько заданий. Они могут требовать от школьника как краткого, так и развернутого ответа с построением чертежа. Поэтому если одним из ваших слабых мест являются именно задачи на вычисление площадей параллелограмма или его сторон и углов, то вам непременно стоит повторить или вновь разобраться в материале.
Сделать это легко и эффективно вам поможет образовательный портал «Школково». Наши опытные специалисты подготовили необходимый теоретический материал, изложив его таким образом, чтобы школьники с любым уровнем подготовки смогли восполнить пробелы в знаниях и легко решить задачи ЕГЭ на вычисление площадей, сторон, углов или свойства биссектрисы параллелограмма. Найти базовую информацию вы можете в разделе «Теоретическая справка».
Чтобы успешно решить задачи ЕГЭ по теме «Параллелограмм и его свойства», предлагаем попрактиковаться в выполнении соответствующих упражнений. Большая подборка заданий представлена в блоке «Каталог». Специалисты портала «Школково» регулярно дополняют и обновляют данный раздел.
Последовательно выполнять упражнения учащиеся из Москвы и других городов могут в режиме онлайн. При необходимости любое задание можно сохранить в разделе «Избранное» и в дальнейшем вернуться к нему, чтобы обсудить с преподавателем.