Что такое пентамино в математике
Видеоурок «Пентамино»
В первую очередь расскажем о фигурах домино, тримино, тетрамино. Затем скажем, что фигуры пентамино получаются из фигур тетрамино, к которым приставили ещё один квадрат различными способами.
Набор пентамино содержит 12 фигурок, каждая из которых составлена из 5 одинаковых квадратов, причём квадраты «соседствуют» друг с другом только сторонами. Все элементы обозначаются латинскими буквами, форму которых они напоминают.
Скажем, что эта игра была придумана в 50-x годах XX века американским математиком Соломоном Голомбом. Она быстро увлекла не только школьников и студентов, но и профессоров математики.
Фигурки пентамино можно изготовить и самим. При решении задач и головоломок фигурки можно вертеть и переворачивать, поэтому если мы хотим изготовить игру своими руками, элементы надо делать двухсторонними.
Фигуры, которые вы видите, сложены из элементов пентамино.
Чаще всего во время игры в пентамино люди стараются сложить из всех 12 фигурок прямоугольник так, чтобы внутри него все фигурки плотно примыкали одна к другой, нигде не накладывались друг на друга и чтобы нигде не осталось ни одного пустого промежутка.
Возможны прямоугольники размером 6⨯10, 5⨯12, 4⨯15 и 3⨯20.
А вот прямоугольники размером 2⨯30 и 1⨯60 составить из пентамино не получится, так как многие фигуры просто не поместятся в них по ширине.
Далее в уроке приводится пример игры в пентамино вдвоём. Суть игры заключается в том, что двое игроков по очереди выбирают одну из 12 фигур и располагают её на свободных клетках квадратного поля размером 8⨯8. Проигрывает тот, кто первым не сможет разместить на поле ни одной фигуры пентамино. Если всё же фигурки удалось разместить на доске, то выигрывает человек, который ходил последним. Здесь же отмечается, что поле размером 8⨯8 не получится покрыть элементами игры.
Далее в уроке рассматривается выполнение нескольких заданий.
В завершение урока предлагается выполнить задание самостоятельно.
Пентамино
Каждое из двенадцати пентамино удовлетворяет критерию Конвея ; следовательно, каждое пентамино способно разбить плоскость. [2] Каждое киральное пентамино может замостить плоскость без отражения. [3]
СОДЕРЖАНИЕ
История [ править ]
Симметрия [ править ]
Пентамино F, L, N, P, Y и Z являются хиральными ; сложение их отражений (F ′, L ′, N ′, Q, Y ′, Z ′) доводит количество односторонних пентамиино до 18. Если вращения также считаются различными, то пентамино из первой категории считаются восьмикратными, единицы из следующих трех категорий (T, U, V, W, Z) считаются четырехкратно, I считается дважды, а X считается только один раз. В результате получается 5 × 8 + 5 × 4 + 2 + 1 = 63 фиксированных пентамино.
Например, восемь возможных ориентаций пентамино L, F, N, P и Y следующие:
Для 2D-фигур в целом есть еще две категории:
Построение прямоугольных размеров [ править ]
Стандартная головоломка с пентамино состоит в том, чтобы выложить плиткой прямоугольную коробку с пентамино, то есть покрыть ее без нахлеста и без промежутков. Каждое из 12 пентамино имеет площадь в 5 единиц квадратов, поэтому коробка должна иметь площадь 60 единиц. Возможные размеры: 6 × 10, 5 × 12, 4 × 15 и 3 × 20.
Решение мозаики прямоугольников полимино с n ячейками существует только для n = 0, 1, 2 и 5; первые три тривиальны.
Заполнение ящиков [ править ]
Pentacube является поликубом из пяти кубиков. Из 29 пентакубов ровно двенадцать пентакубов являются плоскими (однослойными) и соответствуют двенадцати пентамино, выдавленным на глубину в один квадрат.
Настольная игра [ править ]
Существуют настольные игры на ловкость, полностью основанные на пентамино. Такие игры часто называют просто «Пентамино».
В одну из игр играют на сетке 8 × 8 два или три игрока. Игроки по очереди кладут пентамино на доску так, чтобы они не перекрывали существующие плитки и ни одна плитка не использовалась более одного раза. Цель состоит в том, чтобы быть последним игроком, разместившим плитку на доске. Эта версия пентамино называется «Игра Голомба». [9]
Версия для двух игроков была слабо решена в 1996 году Хилари Орман. Было доказано, что это была победа первого игрока, исследовав около 22 миллиардов позиций на доске. [10]
У производителя игр Lonpos есть несколько игр, в которых используются одни и те же пентамино, но на разных игровых самолетах. В их 101 Game есть самолет 5 x 11. Изменяя форму самолета, можно разыграть тысячи головоломок, хотя в печати доступна лишь небольшая часть этих головоломок.
Литература [ править ]
Пентамино. Головоломка для детей
Запатентовал головоломку “Pentomino” Соломон Вольф Голомб, житель Балтимора, математик и инженер, профессор университета Южная Калифорния. Игра состоит из плоских фигур, каждая из которых состоит из пяти одинаковых квадратов, соединённых между собой сторонами, отсюда и название. Существуют еще версия головоломок Тетрамино, состоящие из четырех квадратов, от этой игры и произошел известный Тетрис.
Всего существуют 12 элементов пентамино, обозначаемых латинскими буквами, форму которых они напоминают. При решении задач и головоломок фигурки можно вертеть и переворачивать, поэтому при изготовлении игры своими руками элементы делайте двухсторонними.
Игры и задачи с Пентамино
Сложи прямоугольник
Самая распространённая задача о пентамино — сложить из всех фигурок, без перекрытий и зазоров, прямоугольник. Поскольку каждая из 12 фигур включает в себя 5 квадратов, то прямоугольник должен быть площадью 60 единичных квадратов. Возможны прямоугольники 6×10, 5×12, 4×15 и 3×20.
Существует ровно 2339 различных укладок пентамино в прямоугольник 6×10, а вот вариантов прямоугольника 3х20 всего 2.
Один из двух способов складывания прямоугольника 3х20
Детям лучше тренироваться на маленьких прямоугольниках из нескольких деталей.
Вот нарисовали варианты складывания прямоугольников из трех деталей.
Ответы на задания
С малышами играть лучше совсем по другому, не стоит им давать сразу сложные задания на логику, пусть играют с пентамино как с пазлами.
Можно искать подходящий по цвету или форме, а в получившейся собранной фигуре находить признаки сходства с животным или знакомым предметом. Например, если фигура похожа на слона, то можно попытается сделать хобот подлиннее или увеличить уши, а потом убрать пару элементов и превратить фигуру в мышь или еще кого-нибудь.
Покажите ребенку как складывать маленький прямоугольник. Потом разломайте, как будто нечаянно. Можно перед тем как сломать, обратить внимание ребенка на то, где какие детали лежат. Попросите помочь собрать его заново, а то у вас не получается.
Да, много еще игр можно придумать с пентамино, главное, что бы ребенку и вам было интересно.
Кстати, если у Вас дома много стандартных кирпичиков лего, то можно попробовать сделать пентамино их них. Фигурки сложенные из Лего получаться объемные, и можно будет собирать помимо обычных, плоскостных моделей, объемные фигуры.
Схема сборки достаточно простая: два ряда кирпичиков уложенные друг на друга со смещением.
Презентация к уроку
Полимино
В этой статье мы будем рассматривать полимино – фигуры, составленные из одноклеточных квадратов так, что каждый квадрат примыкает хотя бы к одному соседнему, имеющему с ним общую сторону.
Задачи с полимино очень характерны для комбинаторной геометрии – раздела математики, занимающегося вопросами взаимного расположения и комбинирования геометрических фигур. Это очень красивая, но еще почти не разработанная ветвь математики, поскольку общих методов в ней, по-видимому, очень мало, а известные ныне методы настолько примитивны, что не поддаются усовершенствованию. Многие встречающиеся в практике важные инженерные задачи – в первую очередь те, которые связаны в том или ином смысле с оптимальным расположением фигур заданной формы, – по существу относятся к комбинаторной геометрии.
В последующих комбинаторных задачах предполагается, что полимино можно вращать (то есть поворачивать на 90, 180 или 270) и зеркально отражать (переворачивать), не меняя формы самих фигур.
Домино
Рис. 1
Домино состоит из двух квадратов и может иметь лишь одну форму – форму прямоугольника размером 1×2 (см. рис. 1). Первая связанная с домино задача, вероятно, многим знакома: даны шахматная доска, из которой вырезана пара противоположных угловых клеток, и коробка домино, каждое из которых покрывает ровно две клетки шахматной доски (см. рис. 2). Возможно ли целиком покрыть доску с помощью 31 кости домино (без свободных клеток и наложений)? Ответ на этот вопрос гласит: «НЕТ» и имеет замечательное доказательство. Шахматная доска содержит 64 чередующиеся клетки белой и черной раскраски (имеется в виду обычная шахматная раскраска доски). Каждая положенная на такую доску и покрывающая две соседние клетки кость домино покроет одно белое и одно черное поле, а n костей домино – n белых и n черных полей, т.е. поровну и тех и других. Но изображенная на рисунке шахматная доска содержит больше черных клеток, чем белых, и потому ее нельзя покрыть костями домино. Этот результат есть типичная теорема комбинаторной геометрии.
Рис. 2
Тримино
Рис. 3
Тримино (или триомино) — полимино третьего порядка, то есть многоугольник, полученный путём объединения трёх равных квадратов, соединённых сторонами. Если повороты и зеркальные отражения не считать различными формами, то существует только две «свободных» формы тримино (см. рис.3): прямое (I-образное) и угловое (L-образное).
Тетрамино
Рис. 4
С тетрамино связано множество задач на составление из них разных фигур. Доказано, что сложить какой-либо прямоугольник из полного набора тетрамино невозможно. Доказательство использует раскраску в шахматном порядке. Все тетрамино, кроме Т-образного, содержат 2 чёрные и 2 белые клетки, а Т-образное тетрамино — 3 клетки одного цвета и 1 клетку другого. Поэтому любая фигура из полного набора тетрамино (см. рис.4) будет содержать клеток одного цвета на две больше, чем другого. Но любой прямоугольник, с чётным количеством клеток, содержит равное число чёрных и белых клеток.
Пентамино
Рис. 5
Полимино, покрывающее пять клеток шахматной доски, называются пентамино. Существует 12 видов пентамино, которые можно обозначить прописными латинскими буквами, как указано на рисунке (см. рис. 5). В качестве приема, позволяющего легко запомнить эти наименования, укажем, что соответствующие буквы составляют конец латинского алфавита (TUVWXYZ) и входят в имя FiLiPiNo. Поскольку всего имеется 12 разных пентамино и каждая из этих фигур покрывает пять клеток, то вместе они покрывают 60 клеток.
Самая распространённая задача о пентамино — сложить из всех фигурок, без перекрытий и зазоров, прямоугольник. Поскольку каждая из 12 фигур включает в себя 5 квадратов, то прямоугольник должен быть площадью 60 единичных квадратов. Возможны прямоугольники 6×10, 5×12, 4×15 и 3×20 (см. рис. 6).
Рис. 6
Для случая 6×10 эту задачу впервые решил в 1965 году Джон Флетчер. Существует ровно 2339 различных укладок пентамино в прямоугольник 6×10, не считая поворотов и отражений целого прямоугольника, но считая повороты и отражения его частей (иногда внутри прямоугольника образуется симметричная комбинация фигур, поворачивая которую можно получить дополнительные решения).
Для прямоугольника 5×12 существует 1010 решений, 4×15 — 368 решений, 3×20 — всего 2 решения (отличающихся вышеописанным поворотом). В частности, существует 16 способов сложить два прямоугольника 5×6, из которых можно составить как прямоугольник 6×10, так и 5×12.
Рис. 7
Комментарии к презентации «Пентамино»
В этой работе я предлагаю несколько заданий с использованием фигур пентамино, которые можно использовать и для самых первых занятий с этой головоломкой, и для более подготовленных ребят. Они подойдут и для начальной школы, и для учащихся 5-7 классов (в зависимости от уровня обучающихся).
Для работы нам потребуется комплект, состоящий из двенадцати деталей пентамино. Его очень легко сделать самим на уроке или дома. На листе в клетку нужно нарисовать фигуры так, чтобы каждая состояла из пяти квадратов со стороной 1см. Затем следует приклеить лист в клетку на картон и вырезать по контуру получившиеся фигурки. При желании их можно раскрасить цветными карандашами или фломастерами. Пентамино готово.
Начинается презентация с самых простых заданий. Нужно из всех двенадцати фигурок пентамино отложить только те, из которых собирается данная картинка. Фигурки в презентации появляются по щелчку по одной, чтобы было удобно их находить.
На следующем слайде представлена картинка, которую нужно собрать. А на третьем слайде предложен вариант ответа. Таких задач в презентации четыре, но их количество всегда можно увеличить по мере необходимости.
Начиная с пятой задачи, учащиеся сами должны выбрать фигурки, которые будут использованы для данной картинки. В задаче №5 для «собачки» потребуются три фигурки пентамино.
В задаче №6 ребята должны не только собрать данные картинки, но и попытаться объяснить, почему может быть представлено только единственное решение этих задач.
В задачах №7 и №8 решений может быть несколько, и можно устроить соревнования «кто первый найдет все возможные решения этих задач».
Начиная с задачи №9, решений становится гораздо больше. Найти все решения на уроке не получится. Эти задачи можно предложить как вариант домашнего задания или предложить найти решения, разбив класс на группы.
В задачах №13 и №14 при решении используются все двенадцать фигур пентамино. Это уже достаточно сложные задания. С ними могут справиться не все учащиеся 5-6 классов. Поэтому те ребята, которые нашли решения этих задач, должны быть поощрены.
Очень интересный результат можно получить, предложив ребятам самим придумать различные картинки, составленные из фигур пентамино. Если это начальные классы, то нужно оговорить, что можно использовать не все фигуры сразу. В более старших классах учащиеся могут использовать весь комплект. Здесь следует напомнить, что каждая фигурка встречается ровно однажды и нельзя использовать какие-то детали более одного раза.
И вообще, очень трудно охватить такой огромный материал в одной презентации. Я предложила только малую толику того, что может быть придумано из пентамино. Творите, и результат превзойдет все ваши самые смелые ожидания. Ваши дети очень талантливы, и нужно только направить их мысль в нужную сторону. А там…
Пентамино
Пентамино́ (от др.-греч. πέντα пять, и домино) — полимино из пяти одинаковых квадратов, то есть плоские фигуры, каждая из которых состоит из пяти одинаковых квадратов, соединённых между собой сторонами («ходом ладьи»). Этим же словом иногда называют головоломку, в которой такие фигуры требуется укладывать в прямоугольник или другие формы.
Содержание
Виды и количество фигур
Всего существуют 12 различных фигур (элементов) пентамино, обозначаемых латинскими буквами, форму которых они напоминают (см. рисунок). Считается, что зеркальная симметрия и вращательная симметрия не создают новых фигур. Но если считать и зеркально отражённые фигуры, то их число увеличится до 18. Такое различие имеет значение, например, в компьютерной игре, вариации «Тетриса» — «Пентиксе».
Если рассматривать вращения фигур на 90°, то существуют следующие категории симметрии:
Отсюда число фиксированных пентамино равно 5 × 8 + (1 + 4) × 4 + 2 + 1 = 63.
Например, вот восемь возможных способов ориентации пентамино L, F, P, N и Y:
Составление фигур из пентамино
Укладка прямоугольников
Самая распространённая задача о пентамино — сложить из всех фигурок, без перекрытий и зазоров, прямоугольник. Поскольку каждая из 12 фигур включает в себя 5 квадратов, то прямоугольник должен быть площадью 60 единичных квадратов. Возможны прямоугольники 6×10, 5×12, 4×15 и 3×20. Каждую из этих головоломок можно решить вручную, но более сложной задачей является подсчёт общего числа возможных решений в каждом случае. (Очевидно, прямоугольники 2×30 и 1×60 составить из пентамино невозможно, поскольку многие фигуры в них просто не помещаются по ширине.)
Для прямоугольника 5×12 существует 1010 решений, 4×15 — 368 решений, 3×20 — всего 2 решения (отличающихся вышеописанным поворотом). В частности, существует 16 способов сложить два прямоугольника 5×6, из которых можно составить как прямоугольник 6×10, так и 5×12.
Укладка прямоугольников из односторонних пентамино
Если дополнить набор пентамино зеркальными копиями фигур, не совпадающих со своими отражениями (F, L, P, N, Y и Z), то из полного набора в 18 односторонних пентамино можно сложить прямоугольники площадью 90 единичных квадратов (при этом фигуры не разрешается переворачивать). Задача о составлении прямоугольника 3×30 имеет 46 решений, 5×18 — более 600 тыс. решений, 6×15 — более 2 млн. решений и 9×10 — более 10 млн. решений [2]
Укладка фигур с отверстиями
В какой-то степени более простую (более симметричную) задачу, для квадрата 8×8 с отверстием в центре 2×2, решил еще в 1958 году Дана Скотт [3] (аспирант-математик Принстона). Для этого случая существует 65 решений. Алгоритм Скотта был одним из первых применений компьютерной программы поиска с возвратом.
Другой вариант этой головоломки — выкладывание квадрата 8×8 с 4 отверстиями в произвольно заданных местах. Большинство таких задач имеют решение. Исключением являются случаи с размещением двух пар отверстий вблизи двух углов доски так, чтобы в каждый угол можно было поместить только P-пентамино, или всех четырёх отверстий вблизи одного угла так, что при любом возможном заполнении угловой клетки (с помощью U- или T-пентамино) от доски отсекается ещё одна клетка (см. рисунок).
Задача об утроении фигур пентамино
Эта задача была предложена профессором Калифорнийского университета Р.М.Робинсоном. Выбрав одну из 12 фигур пентамино, необходимо построить из каких-либо 9 из 11 оставшихся пентамино фигуру, подобную выбранной, но в 3 раза бо́льшей длины и ширины. Решение существует для любого из 12 пентамино, причём не единственное (от 15 решений для Х до 497 для Р). [2] Существует вариант этой задачи, в котором для построения утроенной фигуры разрешается использовать также и саму исходную фигуру. В этом случае число решений от 20 для Х до 9144 для Р-пентамино. [5]
Настольная игра
Пентамино может использоваться также как настольная игра для двух игроков. [7] Для игры необходима шахматная доска 8×8 и набор фигур пентамино, клетки которых имеют одинаковый размер с клетками доски. В начале игры доска пуста. Игроки поочерёдно выставляют на доску по одной фигуре, закрывая 5 свободных клеток доски. Все выставленные фигуры остаются на месте до конца партии (не снимаются с доски и не передвигаются). Проигравшим считается игрок, который первым не сможет сделать хода (либо из-за того, что ни одна из оставшихся фигур не умещается на свободных участках доски, либо потому, что все 12 фигур уже выставлены на доску).
Анализ игры достаточно сложен (так, в начале имеется даже больше возможных первых ходов, чем в шахматах). Голомб предложил следующую стратегию: стремиться разбить свободное место на доске на два равновеликих участка (и помешать сопернику сделать это). После этого на каждый ход соперника на одном из участков следует отвечать ходом на другом.
Пример партии в пентамино показан на рисунке. Нумерация ходов сквозная (нечётные номера ходов принадлежат первому игроку, чётные — второму). Первоначально игроки делают ходы в центре доски (ходы 1–3), не позволяя друг другу разбить доску на равновеликие участки. Но затем второй игрок делает неудачный ход (4), позволяющий сопернику разбить свободное место на два участка по 16 клеток (ход 5). (В этом примере свободные участки не только равны по площади, но и совпадают по форме — симметричны относительно диагонали доски, но для стратегии это, разумеется, не обязательно.) Далее на ход второго игрока (6) на одном из этих участков первый игрок отвечает ходом на другом (7) и выигрывает. Хотя на доске ещё есть три свободных участка в пять и более клеток, но все подходящие фигуры (I, P, U) уже использованы.
Варианты настольной игры
Пентамино с заранее выбранными фигурами
В этом варианте игры игроки сначала по очереди выбирают по одной фигуре, пока все фигуры не будут распределены между ними. Далее игра проходит по правилам обычного пентамино, с той разницей, что каждому из игроков разрешается ходить только теми фигурами, которые он выбрал. Взявший последнюю фигуру делает первый ход.
Стратегия этого варианта игры, предложенная Голомбом, существенно отличается от стратегии обычного пентамино. Вместо того, чтобы разбить доску на равновеликие участки, игрок стремится создать на доске участки, которые можно заполнить лишь его фигурами, но не фигурами соперника. (Голомб называет такие участки «убежищами».)
Пример партии в пентамино с заранее выбранными фигурами показан на рисунке. Фигуры, выбранные первым и вторым игроками, перечислены слева и справа от доски соответственно. Зачёркнутая буква обозначает, что фигура использована для хода. Сначала игроки избавляются от самых «неудобных» фигур X и W (ходы 1 и 2). Затем первый игрок создаёт «убежище» для фигуры Y (ход 3), второй — для фигур U и P (ходы 4 и 6). В конце партии (ходы 8—10) происходит заполнение этих «убежищ» и партия заканчивается победой второго игрока — у первого остаётся Т-образное пентамино, для которого на оставшейся части доски нет подходящего места.
Другие варианты
Компьютерные игры
С конца 1980-х годов неоднократно выходили различные компьютерные игры, основанные на пентамино. Наиболее известная — основанная на идее тетриса игра пентикс (Pentix). Один из новейших примеров — игра Dwice, которую разработал в 2006 году изобретатель Тетриса Алексей Пажитнов.
Примечания
См. также
Ссылки
Алексей Пажитнов • Tetris effect • Тетрамино • The Tetris Company
Tetris: The Soviet Mind Game • Tetris Plus • Tetris Plus 2 • Tetris: The Grand Master • Magical Tetris Challenge • Tetris 64 • The New Tetris • Tetris Worlds • Tetris Splash • Tetris Party
Tetris (Game Boy) • Tetris (iOS) • V-Tetris • 3D Tetris • Tetris DS • Tetris 3DS
Blockout • Welltris • Hatris • Wordtris • Tetris Attack • TetriNET • Tetrisphere • KDE Games KBlocks/KSirtet • Quadrapassel