Что такое переменная функция

Функция. Зависимые и независимые переменные. Область определения и область значений функции.

теория по математике 📈 функции

Определение понятия функции. Переменные.

Зависимость переменной у от переменной х, при которой любому значению переменной х соответствует единственное значение переменной у, называют функцией.

Ключевое слово, которое нужно запомнить в определении функции – это зависимость.

Например, человек идет на деловую встречу, но чувствует, что он опаздывает. Он ускоряет свой шаг, потому что от его скорости зависит время. Чем быстрее он двигается, тем меньше времени уйдет у него на дорогу. То есть время зависит от скорости.

Или, например, спортсмен метает ядро на дальнее расстояние. Чем сильнее будет бросок, тем дальше полетит ядро. Скорость полета зависит от силы толчка. Здесь опять прослеживается зависимость.

Например, функция задана формулой у = – 3х 2 – 7. Равносильная ей запись такая: f(x)= – 3х 2 – 7.

Области определения и значения функции

Все возможные значения независимой переменной (х) называют областью определения функции.

Все значения, которые принимает зависимая переменная (у) называют областью значений функции.

Если какая-либо функция у=f(x) задана формулой, а при этом ее область определения не указана, то считается, что она состоит из любых значений переменной, при которых выражение имеет смысл.

Области определения и значений школьных функций

1. Для линейной функции областью определения будет являться любое число.

Если у такой функции k≠0, то областью ее значений также будет являться любое число.

При k=0 область значений этой функции состоит из единственного числа b.

Например, функция задана формулой у = 7. Тогда ее область значения — это число 7, а область определения – любое число.

2. Гипербола задается формулой вида y = k/x.

Область определения такой функции – любое число, кроме нуля.

Область значений такой функции – аналогичная.

3. Функция, заданная формулой y= |x|, имеет область определения – любое число.

4. У функций у = х 2 и у = х 3 область определения – любое число.

Для того чтобы понимать, как находится область определения функции и рассмотреть примеры заданий на нахождение области определения функции, вспомним правила, при которых существуют ограничения и выражение не имеет смысл: нельзя делить на нуль; нельзя извлекать квадратный корень из отрицательного числа.

Пример 3. Рассмотрим, как находится область определения функций, которые заданы следующими формулами:

В знаменателе этого выражения содержится переменная х, поэтому надо проверить, при каком значении он может быть равным нулю и исключить это значение из области определения, так как на знаменатель делят, а на нуль делить нельзя.

Итак, имеем знаменатель х + 11. Приравниваем его к нулю, получаем х + 11 = 0. Решаем простое уравнение на нахождение неизвестного слагаемого и получаем х= – 11. Это число исключаем из области определения функции.

Ответ: (1) и (2) – множество всех чисел; (3) – любое число, кроме (-11) или х ≠ – 11; (4) х ≥0.

Источник

Число, переменная, функция

Вы будете перенаправлены на Автор24

Множество помогает понять, что такое «число».

Не все понятия в математике вводятся с помощью определений. Некоторые из них считаются основными, первичными и поэтому относятся к неопределяемым. Смысл таких понятий можно только объяснить с помощью примеров и описанием свойств. Общеизвестным из них является «точка». К таким же понятиям относится «множество».

Начальное представление о множестве можно получить, если рассмотреть совокупность произвольных объектов. Объекты в составе совокупности могут быть либо абстрактными (слова, числа, экзаменационные оценки), либо реальными (дома в городе, домашние вещи, товары в магазине, учащиеся в группе).

Первое отличие множества от совокупности. Объекты множества обязательно должны отличаться между собой. В то же время от объектов совокупности этого не требуется. Можно утверждать, что любое множество представляет собой совокупность, но не всякая совокупность может считаться множеством. Например, совокупность оценок, полученных группой студентов во время экзамена, состоит из многих «пятёрок», «четвёрок», «троек» и «двоек». Но ко множеству оценок принадлежат только четыре названных.

Второе отличие множества от совокупности. Объекты множества отличаются не только между собой, но и от объектов, которые в состав множества не входят. Например, все экзаменационные оценки, независимо от того, какими группами студентов они получены, принадлежат одному и тому же множеству. В то же время, оценки, полученные в разных группах, относятся к разным совокупностям.

Готовые работы на аналогичную тему

Существуют следующие варианты сравнения множеств:

Число

В математике используют множества, элементами которых являются числа. К стандартным числовым множествам относятся:

Основное свойство рациональных чисел состоит в том, что их всегда можно представить в виде десятичных дробей (конечных или бесконечных периодических).

Математически доказано, что рациональные числа не обеспечивают потребностей измерения величин. Например, диагональ квадрата со сторонами, равными единице, не может быть выражена рациональним числом. Именно поэтому были введены иррациональные числа.

Иррациональные числа записывают в виде бесконечных, но непериодических десятичных дробей.

Переменная

Общеизвестно, что при изучении явлений природы и при решении технических задач постоянно возникает необходимость рассматривать изменения числовых значених тех или иных величин. Более того, в математике могут изучаться изменения числовых значений неких абстрактных величин, не относящихся непосредственно к реальному миру.

В связи с этим возникла необходимость в использовании понятия «переменная величина».

В общем случае под переменной понимают каждый элемент некоторого числового множества. При этом некоторый фиксированный элемент этого множества называют значением переменной. Само же множество в этом случае называют областью значений переменной.

Чаще всего переменные обозначают буквами латинского или греческого алфавита.

Функция

В научных исследованиях, при решении практических задач всегда рассматривают изменения одних величин в зависимости от изменений других. Например, в электрической цепи величина тока меняется в зависимости от величины сопротивления, объем шара меняется в зависимости от его радиуса и т.д.

При этом в различных физических явлениях те или иные величины могут вести себя по-разному. Например, пр равномерном движении пройденное расстояние меняется в зависимости от времени, а скорость остается постоянной. А вот при равноускоренном движении в зависимости от времени меняется не только расстояние, но и скорость.

Взаимосвязь изменяемых величин в математике описывают с помощью функций.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 24 11 2021

Источник

Что такое функция?

7 класс, 11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Понятие функции

Определение функции можно сформулировать по-разному. Рассмотрим несколько вариантов, чтобы усвоить наверняка.

1. Функция — это взаимосвязь между величинами, то есть зависимость одной переменной величины от другой.

Знакомое обозначение y = f (x) как раз и выражает идею такой зависимости одной величины от другой. Величина у зависит от величины х по определенному закону, или правилу, которое обозначается f.

Вывод: меняя х (независимую переменную, или аргумент) — меняем значение у.

2. Функция — это определенное действие над переменной.

Значит, можно взять величину х, как-то над ней поколдовать — и получить соответствующую величину у.

В технической литературе можно встретить такие определения функции для устройств, в которых на вход подается х — на выходе получается у. Схематично это выглядит так:

В этом значении слово «функция» используют и в далеких от математики областях. Например, так говорят о функциях ноутбука, костей в организме или даже о функциях менеджера в компании. В каждом перечисленном случае речь идет именно о неких действиях.

3. Функция — это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один элемент второго множества. Это самое популярное определение в учебниках по математике.

Например, в функции у = 2х каждому действительному числу х ставит в соответствие число в два раза большее, чем х.

Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.

Например, для функции вида

область определения выглядит так:

И записать это можно так: D (y): х ≠ 0.

Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.

Например, естественная область значений функции y = x2 — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.

Для примера рассмотрим соответствие между двумя множествами — человек-владелец странички в инстаграм и сама страничка, у которой есть владелец. Такое соответствие можно назвать взаимно-однозначным — у человека есть страничка, и это можно проверить. И наоборот — по аккаунту в инстаграм можно проверить, кто им владеет.

В математике тоже есть такие взаимно-однозначные функции. Например, линейная функция у = 3х +2. Каждому значению х соответствует одно и только одно значение у. И наоборот — зная у, можно сразу найти х.

Источник

Тема 1. ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

1.1. Определение функции одной переменной

Определение. Пусть даны два множества X и Y. Если каждому элементу x из множества X по некоторому правилу f соответствует единственный элемент y из множества Y, то говорят, что на множестве X определена функция y = f ( x ) с областью определения X = D( f ) и областью изменения Y = E ( f ). При этом x считают независимой переменной, или аргументом функции, а y – зависимой переменной или функцией.

Частным значением функции y = f ( x ) при фиксированном значении аргумента x = x₀ называют y ₀ = f ( x ₀ ).

1.2. Способы задания функции

1) Аналитический способ – способ задания функции с помощью формулы.

Различают несколько способов аналитического задания функции:

а) Функция задана явно формулой y = f ( x ).

б) Функция задана неявно уравнением, связывающем x и y : F( x ; y ) = 0.

Например: можно задать окружность с помощью параметрических уравнений:

3) Графический способ задания функции, когда зависимость функции от её аргумента задаётся графически.

1.3. Сложная и обратная функции

1.4. Элементарные функции

Основные элементарные функции:

Обратные тригонометрические функции :

Элементарной функцией называется функция, составленная из основных элементарных функций с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и суперпозиции.

Например: – элементарная функция.

Графики обратных тригонометрических функций:

Источник

Что такое функции

Допустим, у нас есть автомобиль. Он может проехать 10 км на одном литре бензина. Значит, если мы хотим посчитать количество километров, которые проедет автомобиль с имеющимся у нас количеством бензина, мы можем составить уравнение:

Если у нас литр бензина, то мы проедем 10 километров, если 5 литров, то 50 км и т.д.

Значит, s всегда будет зависеть от v. Чтобы показать эту зависимость, обычно записывают так:

Мы подставляем в функцию переменную «v» и получаем результат:

Каждая функция должна:

1. Иметь правило, по которому из аргумента получается значение функции.

У нас в примере было простое правило: мы перемножали аргумент на 10 и получали значение функции.

2. Иметь область определения (по сути, ограничения), при которой функция работает. Например, количество бензина в баке не может быть отрицательным и не может превышать объем бака, так как бензин будет выливаться.

Можно строить функции по времени, расстоянию, и любым другим параметрам внешнего мира. С помощью функций можно расписать многие процессы. Так обычно и поступают, когда математически моделируют реальность, например, в играх.

Редактировать этот урок и/или добавить задание Добавить свой урок и/или задание

Добавить интересную новость

Добавить анкету репетитора и получать бесплатно заявки на обучение от учеников

При правильном ответе Вы получите 2 балла

Какая переменная в функции является неопределенной?

Выберите всего один правильный ответ.

Добавление комментариев доступно только зарегистрированным пользователям

Lorem iorLorem ipsum dolor sit amet, sed do eiusmod tempbore et dolore maLorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod tempborgna aliquoLorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod tempbore et dLorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod tempborlore m mollit anim id est laborum.

28.01.17 / 22:14, Иван Иванович Ответить +5

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetu sed do eiusmod qui officia deserunt mollit anim id est laborum.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing sed do eiusmod tempboLorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod temLorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod tempborpborrum.

28.01.17 / 22:14, Иван Иванович Ответить +5

Источник