Периодические процессы. Гармонические колебания
Периодическими называются процессы, в точности повторяющиеся через равные промежутки времени: смена дня и ночи, движение поршня в цилиндре двигателя, колебание маятника часов, переменный ток и т.д. (рис. 12.1). Минимальное время, спустя которое процесс повторяется вновь — Т, называется периодом. Математически периодичность функции f(t) записывается так f(t) = f(t + T).
Особое место среди периодических процессов занимают гармонические колебания, когда изменение колеблющейся величины происходит по закону синуса или косинуса (рис. 12.2):
Эту гармоническую функцию удобно графически представить следующим образом. Отложим из точки 0 на оси x вектор 
(рис. 12.3). Пусть этот вектор первоначально образует с осью x угол a. Теперь приведем этот вектор во вращение с угловой скоростью w вокруг оси, проходящей через точку 0 перпендикулярно плоскости рисунка. Спустя t секунд угол между вектором и осью x вырастет до значения Ф(t) = (wt + a). Проекция вектора a на ось x окажется при этом функцией времени x(t) = aCos(wt+a) и будет совершать гармонические колебания с частотой w.
В этом уравнении: а — амплитуда; w [рад/с] — циклическая частота гармонического колебания; (wt + a) = Ф(t) — фаза колебания. Фаза меняется во времени.
a — значение фазы в момент запуска часов (t = 0), то есть — начальная фаза.
Процесс повторится вновь спустя Т секунд. За это время фаза должна увеличиться на 2p радиан.
|
wT = 2p;
T = 
. (12.2)
Это важная связь периода с циклической (круговой) частотой колебания.
Число колебаний в единицу времени называется просто частотой — n. Частота n измеряется в герцах [1 Гц = 1 
= 1 с –1 ] и является величиной, обратной периоду n = 
.
Любая система, в которой возможно гармоническое колебание, называется гармоническим осциллятором. Гармонические колебания могут происходить в системе в том случае, если она отвечает двум условиям:
1. Колебательная система должна обладать положением устойчивого равновесия;
2. При выходе из положения равновесия в системе должна возникать возвращающая сила, пропорциональная смещению.
Рассмотрим несколько примеров механических гармонических осцилляторов.
Периодический процесс
Периодичность — это повторяемость явления через определенные промежутки времени. Смену дня и ночи, времён года, фаз Луны мы видим в повседневной жизни. Свет, звук, тепло, радиоволны, переменный электрический ток представляют собой колебательные, периодические процессы. Основой химии является Периодическая система элементов Д. И. Менделеева. Биоритмам посвящены многочисленные монографии и Интернет-проекты (Glass, Хронобиология).
Обнаружены 3—4, 7—11, 20—25, 47—60, 150—300 и 1000-летние периодичности в экономическом развитии общества (Яковец, Анатомия). Описаны волны демократизации и отката от неё в США, российские реформы и контрреформы, начиная с 1801 года и кончая современностью, периодичность во внутренней и внешней политике США (Пантин).
Хорошо известны природные и экологические, демографические, технологические, экономические и социально-политические циклы, периодичности в науке, культуре и образовании (Яковец, Циклические, Атлас, Петухов).
Предложено значительное число математических моделей, описывающих социально-демографические циклы в истории сложных аграрных обществ (с перидичностью порядка 90-100 лет для исламского Ближнего Востока и порядка 150-200 лет для остального мира), т.н. «вековые циклы» (Нефёдов, Турчин, Коротаев, Малков).
Содержание
Терминология и геометрия
Чтобы не делать ошибочных противопоставлений, полезно разобраться в геометрических основах терминов, употребляемых для описания периодичности. Так, циклы (окружности) и волны (синусоиды) являются эквивалентными описаниями, характеризуют одно и то же, просто они даны в разных системах координат. В полярной системе координат независимая переменная (например, время) характеризуется углом и получается окружность, в прямоугольной (Декартовой) системе — независимая переменная задаётся величиной отрезка на горизонтальной оси и получается синусоида (волны одинаковой высоты). Это были описания изменений без развития.
Если имеет место развитие, то окружность превращается в развёртывающуюся спираль, а у синусоиды постоянно увеличивается амплитуда (увеличивается высота волны). Именно эти (эквивалентные) геометрические образы имеются в виду при совремённом употреблении терминов «цикл» и «волна». Принципиальным недостатком обоих отображений является невозможность показать разрывы и скачки (кризисы). Когда они имеют место, становится очевидной необходимость применения функции тангенса или, лучше, дробных функций (см. ниже). Именно такими уравнениями удалось описать Периодический закон Д.И.Менделеева (Имянитов).
Все ранее рассмотренные кривые являются функциями одной переменной и лежат в плоскости. При анализе на качественном уровне часто вместо плоской спирали безосновательно изображается трёхмерная, хотя речь идёт о зависимости от одного или от неопределённого количества параметров.
Составление уравнений
Для описания периодических процессов часто применяются уравнения на основе косинуса (электротехника, радиотехника). Периодическая функция, если она не имеет разрывов, может быть представлена суммой набора разнотипных синусоид (преобразование Фурье). Однако в сложных случаях, в частности, при процессах развития, в соответствии с диалектикой и синергетикой, как правило, происходят разрывы и скачки.
Для описания периодичности особенно полезны дробные функции, которые получаются из любой исходной функции путём отбрасывания целой части от значений зависимого переменного. Так, для простейшего варианта у =
(фигурные скобки означают это отбрасывание),
если x = 0,0 0,1 0,2… 0,5… 1,0 1,1 1,2… 1,5… 2,0 2,1 2,2… 2,5… 3,0, то y = 0,0 0,1 0,2… 0,5… 0,0 0,1 0,2… 0,5… 0,0 0,1 0,2… 0,5… 0,0
Такие функции позволяют с высокой точностью характеризовать самые разные (с разрывами и без них) периодические закономерности. Это достигается благодаря многообразию исходных функций; некоторые примеры приведены на рисунке 1 (Имянитов). Для подбора уравнения годятся обычные компьютерные программы для обработки экспериментальных данных.
Что такое периодические процессы
В рамках естествознания периодические процессы, свойственные как живой, так и неживой природе, обеспечивают внутреннюю целостность сложных систем и их динамичное функционирование.
Периодические процессы, когда состояние того или иного объекта полностью повторяется через определённые промежутки времени: движение космических тел вокруг центра Галактики, движение планет вокруг Солнца, колебание векторов магнитной индукции и электрической напряжённости в электромагнитной волне, распределение электронной плотности вокруг ядра атома и др., широко распространены в природе.
Ритмичная работа органов обусловливает ритмичную деятельность всего организма, его суточный ритм, определяемый в свою очередь периодическим движением Земли вокруг своей оси. Каждому организму свойственна также сезонная периодичность, связанная с движением Земли вокруг Солнца и наклоном оси вращения Земли к плоскости земной орбиты. Протяжённость дня и ночи, зависящая от положения Земли относительно Солнца; весна, лето, осень и зима, наступающие в связи с периодическим движением Земли вокруг Солнца, обусловливают различия в жизнедеятельности представителей флоры и фауны в течение суток и на протяжении года.
И хотя положение Земли по отношению к Солнцу повторяется через каждые 24 часа, в природе никогда не наблюдается полного повторения. Изменяется и вся Земля, повторив свой дневной оборот вокруг Солнца. Новое повторение вместе с тем всегда является и изменением. Однако периодические процессы, происходящие в природе, это повторение не по кругу, а по восходящей спирали.
Открытый Д.И. Менделеевым закон периодичности, оставаясь неизменным в своей сущности, по мере расширения и обновления знаний о природе вещества претерпевает развитие и усовершенствование. Учитывая, что индивидуальность химических элементов определяет заряд ядра, а атомная масса является величиной, зависящей от заряда ядра, изменилась и формулировка закона периодичности: физические и химические свойства простых веществ, а также формы и свойства сложных соединений находятся в периодической зависимости от величины заряда ядер атомов.
Периодически изменяющимися свойствами атома являются первая энергия ионизации атомов химических элементов, радиусы атомов и ионов, температуры плавления и кипения и другие свойства элементов. Периодическое изменение химических свойств элементов обусловлено периодическим изменением строения электронных оболочек атомов.
Д.И. Менделеев совершил великое открытие закона периодичности в то время, когда сколько-нибудь определённые представления о строении атома ещё отсутствовали. Надо было обладать поистине титанической силой предвидения, интуицией гения для того, чтобы в те времена сформулировать закон периодичности. Д.И. Менделеев понимал громадную научную значимость сделанного им открытия, по праву гордился своей причастностью к этому и приоритетом русской науки.
Наиболее представительным классом является класс периодических химических реакций. Периодическое выделение осадка (кольца Лизеганга) наблюдается при протекании реакций осаждения в среде желатины, агара, кремниевой кислоты и других гелей. Схема процесса для самых разнообразных веществ единая: диффузия и реакция обмена, сопровождающаяся выделением осадка в геле. Удивительные по морфологии периодические структуры образуются в организме человека (камни в жёлчном пузыре, мочевом пузыре) и могут быть получены в лабораторных условиях (древовидные образования или так называемый силикатный сад) при сочетании реакций химического взаимодействия с явлениями диффузии и осмоса.
Всеобщий характер периодических процессов в природе открывает безграничные возможности использования их для эффективного решения задачи интеграции естественнонаучных знаний. В рамках педагогического процесса это приведёт к изменению педагогического идеала от социально ориентированной цели образования и воспитания, когда параметры формирования личности задаются конкретными интересами общества к индивидуально ориентированной, конструирование человека для самого себя и только опосредованно для общества.
Тема 4. Основные технологические процессы
Н.А. Галактионова
Промышленная экология
Учебное пособие для студентов заочного отделения / Москва: Международный независимый эколого-политологический университет, 2002
Тема 4. Основные технологические процессы
4.3. Процессы периодические, непрерывные, полупериодические
По организационно-технической структуре процессы делятся на периодические, непрерывные и полупериодические (полунепрерывные).
В периодическом процессе отдельные его стадии (или операции) осуществляются в одном месте (в одном аппарате или машине), но в разное время. Загрузка-выгрузка – единовременная.
В непрерывном процессе отдельные его стадии осуществляются одновременно, но в разных местах (в разных аппаратах или машинах). Загрузка-выгрузка – непрерывная.
Полупериодические процессы являются промежуточным вариантом между периодическими и непрерывными процессами. Загрузка (выгрузка) – единовременная, а выгрузка (загрузка) – непрерывная. Эти процессы получили большое распространение в биохимических технологиях, когда, например, единовременная загрузка всего исходного сырья (субстрата) не возможна в силу специфической особенности утилизации субстрата – субстратному ингибированию роста микроорганизмов.
Для примера рассмотрим процесс, который складывается из стадий загрузки перерабатываемого материала в установку, нагревания его, перемешивания, охлаждения й выгрузки из установки готового продукта. Этот процесс может осуществляться периодически или непрерывно.
При периодическом осуществлении процесса все перечисленные стадии протекают в разное время в одном аппарате, который соответствующим образом приспособлен для этого. Исходный материал загружается (рис. 4.1) внутрь аппарата. После загрузки материал нагревается водяным паром, который подается в рубашку 2. Пар отдает тепло перерабатываемому материалу через стенку корпуса 1 и при этом конденсируется; конденсат отводится через нижний патрубок в рубашке. Стадия перемешивания осуществляется при вращении мешалки 3. После перемешивания следует охлаждение материала водой, которая подается в змеевик 4. Готовый продукт выгружается через патрубок в днище аппарата.
Рис. 4-1. Аппарат для осуществления периодического процесса:
1 — корпус; 2 — паровая рубашка; 3 — мешалка; 4 — змеевик
При непрерывном осуществлении процесса все стадии протекают одновременно в различных аппаратах (рис. 4.2). Материал непрерывно загружается в установку, состоящую из ряда специализированных аппаратов. Нагревание его происходит в теплообменнике 1, промешивание в аппарате с мешалкой 2, охлаждение в холодильнике 3. Готовый продукт непрерывно выводится из холодильника.
Рис. 4.2. Схема установки для осуществления непрерывного процесса:
1 — теплообменник-нагреватель; 2 — аппарат с мешалкой; 3 — теплообменник-холодильник
Для более четкой характеристики периодических и непрерывных процессов используют следующие понятия й обозначения.
Непрерывные процессы имеют значительные преимущества перед периодическими: возможность специализации аппаратуры для каждой операции (стадий) непрерывного процесса, стабилизация процесса во времени, улучшение качества продукта, легкость регулировки и, главное, возможность автоматизации. Этими преимуществами объясняется неизменная тенденция перехода от периодических процессов к непрерывным.
Непрерывно действующие аппараты в зависимости от характера движения и изменения параметров перерабатываемых материалов делят на аппараты полного смешения, аппараты полного вытеснения и аппараты промежуточного типа.
При проведении процессов в любом из перечисленных аппаратов изменяются значения параметров перерабатываемых материалов. Параметрами, характеризующими процесс, являются давление, плотность, скорость потока перерабатываемого материала, концентрация, температура, энтальпия и другие.
Проанализируем характер изменения значений параметра, обусловливающего движущую силу процесса, в непрерывно действующих аппаратах полного смешения, полного вытеснения и промежуточного типа. Рассмотрим в качестве примера процесс нагревания жидкости (от температуры tн до tк) конденсирующимся паром (имеющим температуру ts) через разделяющую их стенку. Определим характер изменения температуры нагреваемой жидкости в непрерывно действующих аппаратах различных типов.
В аппарате полного вытеснения (рис. 4-3, а) температура жидкости плавно меняется по длине (высоте) l аппарата от начальной tн до конечной tк в результате того, что протекающие через аппарат последующие объемы жидкости не смешиваются с предыдущими, полностью вытесняя их.
В аппарате полного смешения (рис. 4.3, б) последующие и предыдущие объемы жидкости идеально смешаны, температура жидкости в аппарате постоянна и равна конечной величине tк.
Рис. 4.3. Характер изменения температуры при нагревании жидкости в аппаратах:
а – полного вытеснения; б — полного смешения; в – промежуточного типа.
Как видно из изложенного, в аппаратах перечисленных типов различен характер изменения температур нагреваемой жидкости.
Движущая сила процессов представляет разность между предельным численным значением параметра и действительным значением его, например, разность между предельной в рассматриваемом процессе температурой и действительной — рабочей. Пусть это предельное значение температуры равно ts, а действительное t, тогда движущая сила процесса может быть выражена разностью t – ts.
На рис. 4.3 показано изменение движущей силы (разности температур) в непрерывно действующих аппаратах различных типов. Среднее для процесса значение движущей силы пропорционально величинам заштрихованных площадей.
Как видно из рисунка, наибольшая величина движущей силы соответствует аппаратам полного вытеснения, наименьшая — аппаратам полного смешения и промежуточная – аппаратам промежуточного типа.
Что такое периодические процессы
Периодические процессы характеризуются последовательностью состояний, через которые проходит система в течение одного периода. Если эта последовательность точно повторяется через равные промежутки времени, то колебания называются незатухающими. При нарастающих или затухающих колебаниях периодически повторяются только определенные состояния системы, например прохождение колеблющегося тела через положение равновесия и т. п.
Среди множества различных незатухающих колебаний простейшим является гармоническое колебательное движение, описываемое функцией синуса или косинуса:
Во всех случаях, когда рассматривается одно колебание, можно выбрать начало отсчета времени так, чтобы 
однако при одновременном существовании нескольких колебаний (например, при сложении колебаний) начальные фазы каждого колебания отличаются друг от друга и лишь в частных случаях эти фазы могут одновременно равняться нулю.
Формула (4.1) описывает гармонические колебательные движения, происходящие вдоль какой-нибудь линии — отрезка прямой или кривой. В этом случае для определения положения колеблющегося тела достаточно задать только расстояние х от тела до положения равновесия. Колебательные системы, в которых возможно только одно
колебательное движение (вдоль одной линии), изображены на рис. 1.37; их называют колебательными системами с одной степенью свободы. Простой маятник (см. рис. 1.36, а) может совершать два независимых друг от друга колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях, поэтому его относят к колебательным системам, обладающим двумя степенями свободы. Пружинный маятник, изображенный на рис. 1.36, б, может колебаться в трех независимых направлениях и поэтому является колебательной системой с тремя степенями свободы.
Для описания колебательного движения сплошного твердого тела (рис. 1.38, а) удобнее измерять углы поворота а от равновесного состояния; углы, отсчитываёмые по одну сторону от 
, принимаются положительными, по другую сторону — отрицательными. Аналогичное правило знаков выбирается и для тел, совершающих так называемые крутильные колебания (рис. 1.38, б). Гармонические колебания для углов поворота имеют вид 
где 
амплитуда угла поворота.
