Что такое перпендикуляр и наклонная
Перпендикуляр и наклонная
Перпендикуляр короче любой наклонной, проведенной к плоскости из той же точки
У равных наклонных, проведенных к плоскости из одной точки, проекции равны. Верно и обратное. Если равны проекции наклонных к плоскости, проведенных из одной точки, то равны и наклонные.
Из двух наклонных, проведенных к плоскости из одной точки, больше та, у которой проекция больше.
Теорема о трех перпендикулярах 
Если прямая, лежащая в плоскости и проходящая через основание наклонной, перпендикулярна проекции наклонной, то она перпендикулярна и самой наклонной.
Если прямая, лежащая в плоскости и проходящая через основание наклонной, перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.
Заметим, что, вообще говоря, теорема о трех перпендикулярах верна и в более общем случае:
Если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна проекции наклонной, то она перпендикулярна и самой наклонной. И наоборот.
Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:
Определение перпендикуляра и наклонной
1) Определение перпендикуляра и наклонной.
Пусть дана плоскость и не лежащая на ней точка.
· Отрезок прямой, перпендикулярной плоскости, соединяющий данную точку с точкой на плоскости называется перпендикуляром из данной точки к данной плоскости.
· Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра.
· Любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой на плоскости и не являющийся перпендикуляром к плоскости, называется наклонной.
· Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной.
2) Доказательство того, что перпендикуляр корочек наклонной
На рисунке 2 изображена плоскость α, перпендикуляр к ней AO, наклонная AB, а также показан отрезок BO, соединяющий основания наклонной и перпендикуляра. Отрезки AO, BO и AB образуют ΔAOB.
Рассмотрим ΔAOB, из определения перпендикуляра следует, что он прямоугольный. Перпендикуляр AO является катетом этого треугольника, а наклонная AB – его гипотенузой. Катет прямоугольного треугольника всегда меньше его гипотенузы (по теореме Пифагора), следовательно, перпендикуляр всегда короче наклонной.
3) Определение проекции
Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.
Отрезок BO на рисунке 2 – является проекцией наклонной AB.
4) Теорема о сравнительной длине наклонных и их проекций
А) Любая наклонная больше своей проекции.
Вновь рассмотрим ΔAOB, изображенный на рис. 2, из определения перпендикуляра следует, что он прямоугольный. Проекция BO является катетом этого треугольника, а наклонная AB – его гипотенузой, т. к. катет прямоугольного треугольника всегда меньше его гипотенузы, следовательно, проекция наклонной на плоскость всегда короче самой наклонной.
Б) Равные наклонные имеют равные проекции
Доказательство: Рассмотрим треугольники AOB и AOD, они равны, т. к. равны их гипотенузы AB и AD, и углы AOB и AOD (они прямые), а сторона AO у них общая. Из равенства треугольников следует и равенство их сторон BO = OD, что и требовалось доказать.
В) Если проекции наклонных равны, то и наклонные равны. Доказывается аналогично утверждению Б.
Г) Большей наклонной соответствует большая проекция.
Рассмотрим прямоугольные треугольники AOB и AOD, AB > AD.
= 
= 
Но так как AB > AD => AB2 > AD2 => > =>
=> BO > DO. Что и требовалось доказать.
Д) Из двух наклонных больше та, у которой проекция больше. Доказывается аналогично Г.
Геометрия. 10 класс
Конспект урока
Геометрия, 10 класс
Урок №10. Перпендикуляр и наклонные
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме.
Теорема о трех перпендикулярах: прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.
Обратная теорема: прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.
Определение: углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.
Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф. Кадомцев С. Б. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10–11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни. – 4-е изд. – М.: Просвещение, 2017. – 255 с.
Глазков Ю. А., Юдина И. И., Бутузов В. Ф. Рабочая тетрадь по геометрии для 10 класса. Базовый и профильный уровень. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Рассмотрим плоскость α и точку А, не лежащую в этой плоскости (рис. 1). Проведем через точку А прямую, перпендикулярную к плоскости α, и обозначим буквой Н точку пересечения этой прямой с плоскостью α. Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к плоскости α, а точка Н — основанием перпендикуляра. Отметим в плоскости α какую-нибудь точку М, отличную от Н, и проведем отрезок AM. Он называется наклонной, проведенной из точки А к плоскости α, а точка М – основанием наклонной. Отрезок НМ называется проекцией наклонной на плоскость α.
Геометрия. 10 класс
Конспект урока
Геометрия, 10 класс
Урок №10. Перпендикуляр и наклонные
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме.
Теорема о трех перпендикулярах: прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.
Обратная теорема: прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.
Определение: углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.
Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф. Кадомцев С. Б. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10–11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни. – 4-е изд. – М.: Просвещение, 2017. – 255 с.
Глазков Ю. А., Юдина И. И., Бутузов В. Ф. Рабочая тетрадь по геометрии для 10 класса. Базовый и профильный уровень. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Рассмотрим плоскость α и точку А, не лежащую в этой плоскости (рис. 1). Проведем через точку А прямую, перпендикулярную к плоскости α, и обозначим буквой Н точку пересечения этой прямой с плоскостью α. Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к плоскости α, а точка Н — основанием перпендикуляра. Отметим в плоскости α какую-нибудь точку М, отличную от Н, и проведем отрезок AM. Он называется наклонной, проведенной из точки А к плоскости α, а точка М – основанием наклонной. Отрезок НМ называется проекцией наклонной на плоскость α.
Перпендикуляр и наклонная
Определение. Перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости.
Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра.
Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.
Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, не являющийся перпендикуляром к плоскости, с одним концом в данной точке, а с другим – на плоскости.
Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной.
Отрезок, соединяющий основание перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной (рис.24)
СВ – проекция наклонной
С – основание наклонной,
В – основание перпендикуляра
Определение. Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен девяноста градусам (рис.26)
Для обозначения перпендикулярности используют символ вида « 
». То есть, если плоскости α и β перпендикулярны, то можно кратко записать 
Определение. Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым (рис.27)
Если плоскости α и β перпендикулярны, то можно также сказать, что плоскость α перпендикулярна к плоскости β или плоскость β перпендикулярна к плоскости α. Поэтому перпендикулярные плоскости α и β часто называют взаимно перпендикулярными.
В качестве примера перпендикулярных плоскостей можно привести плоскости стены и пола в комнате.
Также существует признак перпендикулярности двух плоскостей, который часто используется для доказательства перпендикулярности двух плоскостей. В его формулировке участвуют перпендикулярные прямая и плоскость.