Что такое перпендикуляр в математике

Перпендикуляр

Содержание

Перпендикулярность прямых на плоскости

Две прямые на плоскости называются перпендикулярными, если при пересечении образуют 4 прямых угла.

В аналитическом выражении прямые, заданные линейными функциями и будут перпендикулярны, если выполнено условие . (Здесь α₁,α₂ — углы наклона прямой к горизонтали)

Перпендикулярность прямых в пространстве

Две прямые в пространстве перпендикулярны друг другу, если они соответственно параллельны некоторым двум другим прямым, лежащим в одной плоскости и перпендикулярным в ней.

Построение перпендикуляра на плоскости

Шаг 1: (красный) С помощью циркуля проведём полуокружность с центром в точке P, получив точки А и В.

Шаг 2: (зелёный) Не меняя радиуса, построим две полуокружности с центром в точках A’ и В’ соответственно, проходящими через точку Р. Кроме точки Р есть ещё одна точка пересечения этих полуокружностей, назовём её Q.

Шаг 3: (синий) Соединяем точки Р и Q. PQ и есть перпендикуляр к прямой АВ.

Перпендикулярность прямой и плоскости

Определение: Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой из этой плоскости.

Признак: Если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Плоскость, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой. Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

Перпендикулярность плоскостей в 3-мерном пространстве

Две плоскости называются перпендикулярными, если двугранный угол между ними равен 90 градусам.

Перпендикулярность плоскостей в 4-мерном пространстве

Перпендикулярность плоскостей в четырёхмерном пространстве имеет два смысла: плоскости могут быть перпендикулярны в 3-мерном смысле, если они пересекаются по прямой (а следовательно, лежат в одной гиперплоскости), и двугранный угол между ними равен 90°.

Плоскости могут быть также перпендикулярны в 4-мерном смысле, если они пересекаются в точке (а следовательно, не лежат в одной гиперплоскости), и любые 2 прямые, проведённые в этих плоскостях через точку их пересечения (каждая прямая в своей плоскости), перпендикулярны.

В 4-мерном пространстве через данную точку можно провести ровно 2 взаимно перпендикулярные плоскости в 4-мерном смысле (поэтому 4-мерное евклидово пространство можно представить как декартово произведение двух плоскостей). Если же объединить оба вида перпендикулярности, то через данную точку можно провести 6 взаимно перпендикулярных плоскостей (перпендикулярных в любом из двух вышеупомянутых значений).

Существование шести взаимно перпендикулярных плоскостей можно пояснить таким примером. Пусть дана система декартовых координат x y z t. Для каждой пары координатных прямых существует плоскость, включающая эти две прямые. Таких пар 6 (): xy, xz, xt, yz, yt, zt, и им соответствуют 6 плоскостей. Те из этих плоскостей, которые включают одноимённую ось, перпендикулярны в 3-мерном смысле и пересекаются по прямой (например, xy и xz, yz и zt), а те, которые не включают одноимённых осей, перпендикулярны в 4-мерном смысле и пересекаются в точке (например, xy и zt, yz и xt).

Перпендикулярность прямой и гиперплоскости

Источник

Основные свойства

При рассмотрении того, какие прямые называют перпендикулярными, нужно уделить внимание свойствам. Они выглядят следующим образом:

Для обозначения перпендикуляра применяется знак «⊥». В подобном случае угол составляет 90°. На чертеже пересечение обозначается своеобразным квадратом, которые рисуется от двух пересекающихся линий.

Доказательство взаимного расположения

Рассматриваемый термин получил широкое распространение, он фигурирует практически в каждой геометрической задаче. В некоторых случаях о взаимном расположении известно, в других это нужно доказать. Задача доказательства заключается в определении прямого угла между двумя прямыми или плоскостями. Необходимое и достаточное условие перпендикулярности заключается в теореме:

Для определения расположения плоскостей или отрезков относительно друг друга следует провести геометрическое построение. Проходить отрезки должны в одной точке.

Определение перпендикулярности прямой и плоскости

Рассматривая определение перпендикулярных прямых следует учитывать, что подобное свойство применимо к плоскости. Основной признак заключается в перпендикулярности отрезка к любому другому, который находится в плоскости. Перпендикулярность прямых в пространстве указывается определенным знаком.

Доказать перпендикулярность можно проведя геометрические построения. Признаки расположения плоскости и прямой под углом 90° заключаются в следующем:

Отрезки могут быть также параллельными. В этом случае нет точки, в которой будут они пересекаться.

Построение перпендикуляра

Выдержать угловой коэффициент можно различным образом. В большинстве случаев для этого нужно иметь при себе циркуль. Построить перпендикуляр можно следующим образом:

Существенно упростить задачу можно путем применения специального чертежного инструмента, к примеру, любого прямоугольного треугольника. Он может называться угольником, основной его признак заключается в наличии двух перпендикулярных плоскостей. Построение проводится следующим образом:

В геометрии чаще всего применяется именно второй способ. Однако первый урок позволяет начертить два взаимно перпендикулярных отрезка с высокой точностью. Недостаток применения циркуля заключается в наличии вспомогательных линий, которые стереть сложно. Написать о взаимном расположении линий можно в описательной записке.

Трехмерное пространство

В начертательной геометрии линии всегда находятся в двухмерном пространстве. В специальных программах можно начертить отрезки в трехмерном пространстве. Подобное взаимное расположение может выглядеть следующим образом:

В жизни подобное расположение прямых встречается крайне часто. Проверить угол можно при применении специальных инструментов.

Четырехмерная система координат и лемма

Некоторые программы работают с четырехмерным пространством. Взаимное расположение плоскостей под прямым углом в этом случае имеет два смысла: они могут быть перпендикулярны в трехмерном смысле при образовании двугранного угла 90°.

Рассматриваться взаимное расположение плоскостей может и в 4-мерном смысле. Условия выглядят следующим образом:

Условия четырехмерного пространства определяют то, что через одну точку можно провести 6 взаимно перпендикулярных плоскостей. Определять их взаимное расположение можно несколькими различными способами.

Лемма, касающаяся перпендикулярности, связана с определением параллельности. Если одна из параллельных линий расположена под прямым углом относительно плоскости или отрезка, то вторая также перпендикулярна. Ответ на многие задачи связан с доказательством леммы:

При соблюдении условий полученный угол будет являться прямым. С учетом проведенных построений можно сформулировать определение перпендикулярности параллельных отрезков.

Применение термина

Как ранее было отмечено, встречается большое количество примеров применения рассматриваемого термина. На основе теоремы и доказательства были созданы различные формулы, позволяющие определить протяженность одного из сторон геометрической фигуры.

В средних и старших классах встречается большое количество задач, связанных с определением угла и протяженности сторон построенной фигуры. В некоторых случаях проводится построение диагонали, которая делит 90° на две равные части.

В жизни взаимное перпендикулярное расположение плоскостей встречается крайне часто. Примером служат несущие элементы различных сооружений. Подобное расположение позволяет правильно распределить оказываемую нагрузку. Править наклон можно путем применения специальных измерительных инструментов.

Многие геометрические фигуры построены на основе перпендикулярного расположения отрезков. Наиболее распространен параллелограмм или квадрат, треугольник. За счет выдерживания правильного угла обеспечивается также взаимное параллельное расположение сторон.

Приведенная выше информация указывает на то, что определение угла, под которым расположены плоскости, проводится в самых различных сферах. Инженеры и строители должны с высокой точностью контролировать этот показатель.

Источник

ПЕРПЕНДИКУЛЯР

Смотреть что такое ПЕРПЕНДИКУЛЯР в других словарях:

ПЕРПЕНДИКУЛЯР

П., восстановленный из какой-либо точки прямой линии или плоскости, — прямая линия, составляющая прямой угол с данной прямой или составляющая прямые уг. смотреть

ПЕРПЕНДИКУЛЯР

(лат. perpendicularis — отвесный, от perpendiculum — отвес) к данной прямой (плоскости), прямая, пересекающая данную прямую (плоскость) под прям. смотреть

ПЕРПЕНДИКУЛЯР

перпендикуляр м. Прямая линия, пересекающая данную прямую под прямым углом (в 90 градусов).

ПЕРПЕНДИКУЛЯР

перпендикуляр м. мат.perpendicular опускать перпендикуляр (на вн.) — drop a perpendicular (on) восставить перпендикуляр (к) — raise a perpendicular (to. смотреть

ПЕРПЕНДИКУЛЯР

Перпендикуляр П., восстановленный из какой-либо точки прямой линии или плоскости, — прямая линия, составляющая прямой угол с данной прямой или составляющая прямые углы со всякой прямой, проведенной в плоскости через ту точку, из которой П. восстановлен. Опустить П. через данную точку на данную прямую или плоскость значит провести через данную точку прямую по кратчайшему расстоянию от точки до прямой или плоскости.

ПЕРПЕНДИКУЛЯР

ПЕРПЕНДИКУЛЯ́Р, а, м. Геом.Линия или плоскость, расположенная к другой линии или плоскости под прямым углом.Единым циркила отворением возставляти перпе. смотреть

ПЕРПЕНДИКУЛЯР

1) Орфографическая запись слова: перпендикуляр2) Ударение в слове: перпендикул`яр3) Деление слова на слоги (перенос слова): перпендикуляр4) Фонетическа. смотреть

ПЕРПЕНДИКУЛЯР

perpendicular* * *перпендикуля́р м.perpendicularвосста́вить перпендикуля́р — construct [erect] a perpendicular (to)опуска́ть перпендикуля́р — drop [l. смотреть

ПЕРПЕНДИКУЛЯР

м мат.Senkrechte sub fопустить перпендикуляр — das Lot fällenвосставить перпендикуляр — eine Senkrechte errichtenСинонимы: апотема, апофема, медиатрис. смотреть

ПЕРПЕНДИКУЛЯР

ПЕРПЕНДИКУЛЯ́Р, а, ч.Пряма, що перетинає дану пряму або площину під прямим кутом.З усякої точки, яка лежить поза прямою, можна опустити на цю пряму пер. смотреть

ПЕРПЕНДИКУЛЯР

1) normal2) perpendicular3) vertical– восставить перпендикуляр– восставливать перпендикуляр– кормовой перпендикуляр– носовой перпендикуляр– опускать пе. смотреть

ПЕРПЕНДИКУЛЯР

-а, м. мат. Прямая линия, пересекающая другую линию или плоскость под прямым углом.Опустить перпендикуляр на плоскость.[От лат. perpendicularis — отве. смотреть

ПЕРПЕНДИКУЛЯР

м. геом. perpendiculaire f опустить перпендикуляр — abaisser une perpendiculaire восставить перпендикуляр — élever une perpendiculaire

ПЕРПЕНДИКУЛЯР

Ударение в слове: перпендикул`ярУдарение падает на букву: яБезударные гласные в слове: перпендикул`яр

ПЕРПЕНДИКУЛЯР

Пряма, яка перетинає іншу пряму під прямим кутом (90º).

ПЕРПЕНДИКУЛЯР

Rzeczownik перпендикуляр m Matematyczny prostopadła f

ПЕРПЕНДИКУЛЯР

(2 м); мн. перпендикуля/ры, Р. перпендикуля/ровСинонимы: апотема, апофема, медиатриса, нормаль

ПЕРПЕНДИКУЛЯР

мdikmeопусти́ть перпендикуля́р — dikme indirmekСинонимы: апотема, апофема, медиатриса, нормаль

ПЕРПЕНДИКУЛЯР

м.perpendicular fопустить, восставить перпендикуляр — bajar, levantar una perpendicular

ПЕРПЕНДИКУЛЯР

Заимств. в XVIII в. из лат. яз., в котором perpendicularis — суф. образование от perpendiculum «отвес», производного от perpendere «отвешивать».Синоним. смотреть

ПЕРПЕНДИКУЛЯР

м мат perpendicular fСинонимы: апотема, апофема, медиатриса, нормаль

ПЕРПЕНДИКУЛЯР

перпендикулярאֲנָך ז’; נִיצָב ז’* * *אנכיזקוףניצבСинонимы: апотема, апофема, медиатриса, нормаль

ПЕРПЕНДИКУЛЯР

Заимствовано из латинского языка, где perpendicularis произведено от существительного perpendiculum – «отвес», образованного от глагола perpendere – «отвешивать», к которому восходит и такое, например, существительное, как пенсия. смотреть

ПЕРПЕНДИКУЛЯР

1. perpendikulaar2. ristjoon3. ristlood4. ristlõik5. ristsirge

ПЕРПЕНДИКУЛЯР

перпендикуля́р (від лат. perpendicularis – прямовисний) пряма лінія, що утворює прямий кут з даною прямою або площиною. П. називають ще відрізок цієї прямої між даною точкою і точкою перетину прямих або прямої з площиною. смотреть

ПЕРПЕНДИКУЛЯР

перпендикуляр м мат. Senkrechte sub f опустить перпендикуляр das Lot fällen восставить перпендикуляр eine Senkrechte errichtenСинонимы: апотема, апофе. смотреть

ПЕРПЕНДИКУЛЯР

перпендикуля’р, перпендикуля’ры, перпендикуля’ра, перпендикуля’ров, перпендикуля’ру, перпендикуля’рам, перпендикуля’р, перпендикуля’ры, перпендикуля’ром, перпендикуля’рами, перпендикуля’ре, перпендикуля’рах. смотреть

ПЕРПЕНДИКУЛЯР

Перпендикуля́р. Заимств. в XVIII в. из лат. яз., в котором perpendicularis — суф. образование от perpendiculum «отвес», производного от perpendere «отв. смотреть

ПЕРПЕНДИКУЛЯР

перпендикуляр; ч. (лат., прямовисний) пряма лінія, що утворює прямий кут з даною прямою або площиною. П. називають ще відрізок цієї прямої між даною точкою і точкою перетину прямих або прямої з площиною. смотреть

ПЕРПЕНДИКУЛЯР

m.perpendicularСинонимы: апотема, апофема, медиатриса, нормаль

ПЕРПЕНДИКУЛЯР

м. perpendicolo, perpendicolare f опустить / восстановить перпендикуляр мат. — calare / tirare una perpendicolare Итальяно-русский словарь.2003. Синонимы: апотема, апофема, медиатриса, нормаль. смотреть

ПЕРПЕНДИКУЛЯР

перпендикуляр перпендикуля́рначиная с Петра I (Смирнов 224). Через нем. Реrреndiсulаr (ХVI в.; см. Шульц–Баслер 2, 467 и сл.) от лат. perpendiculāris (. смотреть

Источник

Перпендикулярные прямые

Всего получено оценок: 668.

Перпендикулярные прямые образуют собой целый пласт фигур, построений и вычислений в геометрии. Без понимания перпендикулярных прямых не получится решать такие фигуры, как прямоугольный треугольник, прямоугольник, квадрат или прямоугольная трапеция. Поэтому стоит особенное внимание уделить этим понятиям.

Что такое перпендикулярные прямые

При пересечении двух прямых образуется 4 угла. Определение перпендикулярных прямых звучит так: это прямые, угол между которыми равен 90 градусам. Углов всего 4, полный угол это 360 градусов. Если один из углов равен 90 градусам, то и 3 других будут по 90.

Чтобы отрезки назывались перпендикулярными, должно выполняться условие: отрезки могут пересекаться или не пересекаться, но угол пересечения между прямыми, на которых они лежат, должен равняться 90 градусам.

Свойства

У перпендикулярных прямых не так много свойств. Все они не требуют доказательств, так как исходят из определения перпендикулярности.

Фигуры с перпендикулярными прямыми

Одной из первых фигур, с которыми знакомится человек, являются квадрат и прямоугольник.

Прямые углы приятны человеческому взгляду, поэтому очень часто квадрат или прямоугольник используют как форму для столешниц, стульев, тумбочек и других предметов. Весь окружающий человека мир составлен из параллельных и перпендикулярных линий.

Еще со времен Древней Греции известен прямоугольный треугольник. Форму прямоугольного треугольника принимали различные приборы для навигации, кроме того, много времени изучению свойств прямоугольного треугольника уделил Пифагор. Именно его авторству принадлежит Теорема Пифагора, которая часто востребована в решениях задач.

Существует прямоугольная трапеция, у которой одна из сторон перпендикулярна обоим основанием. А стереометрия и вовсе пестрит перпендикулярами в пространстве: правильная призма, прямоугольная пирамида и самый обычный куб.

К тому же, в любом треугольнике можно провести высоту, что необходимо для нахождения площади фигуры. Перпендикуляр для нахождения площади пригодится и в параллелограмме, а прямоугольный треугольник и квадрат имеют высоту в составе своих сторон, из-за чего площадь этих фигур гораздо проще найти.

Рис. 3. Высота.

Что мы узнали?

Мы разобрали, что такое перпендикулярные прямые, поговорили о свойствах перпендикуляров и описали фигуры, для построения которых необходимы перпендикулярные прямые. Разобрались в теме для полного понимания при первой встрече с данным вопросом в 6 классе.

Источник

Что такое перпендикуляр в математике

Углы бывают острые, прямые и тупые.

Угол с градусной мерой 90° называется прямым. Если угол меньше 90°, его называют острым, а если больше 90° — тупым. Угол, равный 180° (то есть образующий прямую линию), называют развёрнутым.

Два угла с одной общей стороной называются смежными.

На рисунке луч ОС делит развёрнутый ∡AOB =180° на две части, образуя тупой ∡1 и острый ∡2.

Поэтому если один из смежных углов прямой, то второй также оказывается прямым: 180° – 90° = 90°

При пересечении двух прямых образуются четыре угла:

Обе стороны ∡1 также являются сторонами ∡3, а стороны ∡2 продолжают стороны ∡4. Такие углы называют вертикальными.

∡1 и ∡2 — смежные, как и ∡1 и ∡4. Следовательно:
∡1 + ∡2 = 180°
∡1 + ∡4 = 180°
∡2 = ∡4

То же справедливо и для ∡1 и ∡3.

Прямые, пересекающиеся под прямым углом, называются перпендикулярными.

∡1 равен 90°, остальные углы оказываются для него либо смежными, либо вертикальными, а значит, тоже равными 90°.

Перпендикулярность прямых принято обозначать так: a⟂b

Изучайте математику вместе с преподавателями домашней онлайн-школы «Фоксфорда»! По промокоду GEOM72021 вы получите неделю бесплатного доступа к курсу геометрии 7 класса, в котором изучаются перпендикулярные прямые!

Теорема о перпендикулярных прямых

Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, притом только одну.

Построим доказательство теоремы о перпендикулярных прямых «от противного», то есть для начала предположим, что утверждение неверно.

Возьмём прямую a, отметим на ней точки О и B. От луча OB отложим ∡BOA = 90°. Таким образом, отрезок OA будет находиться на прямой, перпендикулярной а.

Теперь предположим, что в той же полуплоскости существует другой перпендикуляр к а, проходящий через О. Назовём его OK. ∡BOK и ∡BOA, равны 90° и лежат в одной полуплоскости относительно луча OB. Но от луча OB в данной полуплоскости можно отложить только один прямой угол. Поэтому другой прямой, проходящей через О и перпендикулярной a, не существует. Теорема доказана.

Свойство перпендикулярных прямых

Две прямые, перпендикулярные третьей, не пересекаются.

Пусть a⟂b и a⟂c. b и с не пересекаются, ведь если бы существовала точка их пересечения, значит, через неё проходили бы две прямые, перпендикулярные a, что невозможно согласно теореме о перпендикулярных прямых. Следовательно, b||с.