Что такое первый признак равенства треугольников
Признаки равенства треугольников
Первый признак равенства треугольников
Конечно, равенство треугольников всегда можно доказать наложением одного треугольника на другой. Но, согласитесь, — это несерьезно. Какое может быть наложение, когда есть три теоремы и можно их доказать.
Давайте рассмотрим три признака равенства треугольников.
Теорема 1. Равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними.
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
При наложении △A1B1C1 на △ABC вершина A1 совмещается с вершиной A, и сторона A1B1 накладывается на сторону AB, AC — на сторону A1C1.
Сторона A1B1 совмещается со стороной AB, вершина B совпадает с вершиной B1, сторона A1С1 совмещается со стороной AС, вершина C совпадает с вершиной C1.
Значит, происходит совмещение вершин В и В1, С и С1.
Второй признак равенства треугольников
Теорема 2. Равенство треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Путем наложения △ABC на △A1B1C1, совмещаем вершину А с вершиной A1, вершины В и В1 лежат по одну сторону от А1С1.
Тогда АС совмещается с A1C1, вершина C совпадает с C1, поскольку мы знаем, что АС = A1C1.
AB накладывается на A1B1, поскольку мы знаем, что ∠A = ∠A1.
CB накладывается на C1B1, поскольку мы знаем, что ∠C = ∠C1.
Вершина B совпадает с вершиной B1.
Третий признак равенства треугольников
Теорема 3. Равенство треугольников по трем сторонам.
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство 3 признака равенства треугольников:
Приложим △ABC к △A1B1C1 таким образом, чтобы вершина A совпала с вершиной A1, вершина B — с вершиной B1, вершина C и вершина C1 лежат по разные стороны от прямой А1В1.
Кроме трех основных теорем, запомните еще несколько признаков равенства треугольников.
Равны ли треугольники, можно определить не только по сторонам и углам, но и по высоте, медиане и биссектрисе.
Как видите, доказать равенство треугольников можно по множеству признаков и десятком способов. Три признака равенства треугольников — основные. Все остальные способы также стоит запомнить, ведь треугольник — только с виду простая фигура.
Геометрия. 7 класс
Конспект урока
Первый признак равенства треугольников
Перечень рассматриваемых вопросов:
Стороны треугольника– отрезки, соединяющие вершины треугольника
Равные треугольники – треугольники,которые можно совместить наложением.
1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.
2. Погорелов А. В. Геометрия: 7–9 класс. // Погорелов А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 224 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
Мы уже познакомились со способом сравнения треугольников путем наложения. Например, поворачивая треугольники, построенные Фалесом, на 180°, мы совмещали стороны и углы.
Но бывают ситуации, в которых этот способ неприменим. Например, если возникает необходимость сравнивать земельные участки треугольной формы.
Сегодня мы узнаем, как можно установить равенство треугольников без наложения их друг на друга.
Мы познакомились со способом определения расстояния до недоступной точки, предложенным Фалесом. Этот способ примечателен не только своей новизной по меркам древней Греции, но и тем, что Фалес впервые в истории науки понял необходимость доказательства.
Сравнить треугольники можно используя, так называемые, признаки равенства треугольников.
Чтобы убедиться в равенстве треугольников способом наложения, необходимо проверить равенство 6 соответственных элементов: 3 сторон и 3 углов треугольников.
Оказывается, что все 6 проверять нет необходимости. Мы сегодня докажем, что достаточно проверить только 3 пары элементов.
Будем утверждать, что достаточно сравнить только 3 пары элементов – 2 стороны и угол между ними.
В математике любое утверждение, справедливость которого устанавливается путем рассуждений, называется теоремой.
А сами рассуждения называются доказательством теоремы.
Рассмотрим теорему о равенстве треугольников: если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Формулировка теоремы состоит из двух частей. Первая часть начинается словом «если». В ней говорится о том, что дано. Это часть называется условием теоремы.
Вторая часть теоремы начинается словом «то». В ней говорится о том, что надо доказать. Вторая часть формулировки теоремы называется её заключением.
Дано: ∆ ABC, ∆А1В1С1, АВ = А1В1, АС = А1С1, 
А =
А1.
вершина А совместится с вершиной А1, стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А1В1 и А1С1.
В частности, совместятся точки В и В1, С и С1. Сторона ВС совпадет со стороной В1С1.
Доказанная теорема позволит нам сделать вывод о равенстве треугольников, сравнивая 3 пары элементов – по 2 сторонам и углу между ними каждого треугольника.
Такая теорема называется признаком.
В частности, первым признаком равенства треугольников.
Разбор заданий тренировочного модуля.
Доказать, что треугольники АВD и АСD равны.
Рассмотрим ∆ROS и ∆РОТ:
Из равенства треугольников следует, что ∠Т =∠R (как соответствующие элементы равных треугольников). Значит, ∠Т = 30°.
Докажите, что центрально симметричные отрезки равны.
Добавим еще одну пару центрально симметричных точек относительно точки О – точки С и D.
Соединим отрезками точки А и С, В и D. Получим отрезки АС и ВD, которые являются центрально симметричными относительно точки О.
Докажем, что отрезки АС и ВD равны.
Рассмотрим треугольники АОС и ВОD:
Из равенства треугольников следует равенство соответственных элементов, т.е. АС = ВD.
Таким образом, мы доказали равенство центрально симметричных отрезков.
Первый признак равенства треугольников:
Докажем первый признак равенства треугольников.
Теорема (первый признак равенства треугольников). Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Пусть ABC и A1B1C1 — треугольники, у которых AB =A1B1, AC = A1C1 и 
Пример:
Отрезки АD и СB пересекаются в точке О. Известно, что АО = СО и ВО = DО. Докажите, что треугольник АОВ равен треугольнику СОD.
Для доказательства равенства треугольников АОВ и СОD воспользуемся первым признаком равенства треугольников. По условию задачи АО = СО и ВО = ВО (рис. 62, а, б). Кроме того, АОВ = СОD, 
так как они являются вертикальными. Таким образом, две стороны АО, ВО и угол между ними АОВ треугольника АОВ соответственно равны двум сторонам СО, DO и углу COD между ними треугольника COD. Следовательно, по первому признаку равенства треугольников 
АОВ = COD.
Что и требовалось доказать.
Первый признак равенства треугольников можно применять при решении задач практического характера. Рассмотрим пример решения такой задачи.
Пример:
Пусть нам необходимо измерить расстояние между точками А и В на берегах озера, между которыми нельзя пройти по прямой (рис. 62, в).
Для этого выберем какую-нибудь точку С, для которой можно измерить расстояния АС и СВ. Затем отметим еще две точки D и F так, чтобы точка С оказалась общей серединой отрезков AF и BD. Тогда расстояние между точками F и D равно искомому расстоянию. Действительно, треугольники АСВ и FCD равны, так как AC = CF и BC = CD по построению, а ACB = FCD, так как они являются вертикальными. Следовательно, DF = АВ.
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
Первый признак равенства треугольников: доказательство
С далеких времен и по сей день поиск признаков равенства фигур считается базовой задачей, которая является основой основ геометрии, сотни теорем доказываются с использованием признаков равенства. Умение доказывать равенство и подобие фигур важная задача во всех сферах строительства….
Применение навыка на практике
Предположим, что у нас есть фигура, начерченная на листе бумаги. При этом у нас есть линейка и транспортир, с помощью которых мы можем замерять длины отрезков и углы между ними. Как перенести на второй лист бумаги фигуру таких же размеров или увеличить ее масштаб в два раза.
Мы знаем, что треугольник это фигура, состоящая из трех отрезков, называемых сторонами, образующими углы. Таким образом, существует шесть параметров три стороны и три угла, которые определяют эту фигуру.
Однако, замерив величину всех трех сторон и углов, перенести данную фигуру на другую поверхность окажется непростой задачей. Кроме того, есть смысл задать вопрос: а не достаточно ли будет знания параметров двух сторон и одного угла, или всего лишь трех сторон.
Замерив длину двух сторон и угол между ними, затем отложим этот угол на новом листке бумаги, так мы сможем полностью воссоздать треугольник. Давайте разберемся, как это сделать, научимся доказывать признаки, по которым их можно считать одинаковыми, и определимся с тем, какое минимальное число параметров достаточно знать, чтобы получить уверенность в том, что треугольники одинаковы.
Какие существуют признаки равенства треугольников, дадим их определение:
Как доказать, что треугольники равны. Приведем доказательство равенства треугольников.
Доказательство 1 признака
Долгое время среди первых математиков данный признак считался аксиомой, однако, как оказалось, его можно геометрически доказать, опираясь на более базовые аксиомы.
Рассмотрим два треугольника KMN и K1M1N1. Сторона КМ имеет такую же длину как и K1M1, а KN = K1N1. А угол MKN равен углам KMN и M1K1N1.
Если рассматривать KM и K1M1, KN и K1N1 как два луча, которые выходят из одной точки, то можно сказать, что между этими парами лучей одинаковые углы (это задано условием теоремы). Произведем параллельный перенос лучей K1M1 и K1N1 из точки K1 в точку К. Вследствие этого переноса лучи K1M1 и K1N1 полностью совпадут. Отложим на луче K1M1 отрезок длиной КМ, берущий свое начало в точке К. Поскольку по условию полученный отрезок и будет равен отрезку K1M1 то точки М и M1 совпадают. Аналогично и с отрезками KN и K1N1. Таким образом, перенося K1M1N1 так, что точки K1 и К совпадают, а две стороны накладываются, получаем полное совпадение и самих фигур.
Важно! В интернете встречаются доказательства равенства треугольников по двум сторонам и углу при помощи алгебраических и тригонометрических тождеств с численными значениями сторон и углов. Однако исторически и математически данная теорема была сформулирована задолго до алгебры и раньше, чем тригонометрия. Для доказательства этого признака теоремы использовать что-либо, кроме базовых аксиом, некорректно.
Доказательство 2 признака
Докажем второй признак равенства по двум углам и стороне, основываясь на первом.
Доказательство 2 признака
Рассмотрим KMN и PRS. К равен Р, N равен S. Сторона КN имеет такую же длину, как и РS. Необходимо доказать, что KMN и PRS одинаковы.
Отразим точку М относительно луча КN. Полученную точку назовем L. При этом длина стороны КМ = КL. NKL равен PRS. KNL равен RSP.
Поскольку сумма углов равна 180 градусов, то KLN равен PRS, а значит PRS и KLN- одинаковые (подобные) по обеим сторонам и углу, согласно первому признаку.
Но, так как KNL равен KMN, то KMN и PRS две одинаковые фигуры.
Это интересно! Чему равна и как найти площадь равностороннего треугольника
Доказательство 3 признака
Как установить, что треугольники равны. Это прямо вытекает из доказательства второго признака.
Длина KN = PS. Поскольку К = Р, N = S, KL=KM, при этом КN = KS, MN=ML, то:
Это означает, что обе фигуры являются подобными друг другу. Но так как их стороны одинаковы, то и они также равны.
Из признаков равенства и подобия вытекает множество следствий. Одно из них заключается в том, что для того, чтобы определить, равны два треугольника или нет, необходимо знать их свойства, одинаковы ли:
Использование признака равенства треугольников для решения задач
Это интересно! Изучаем математику в игровой форме: как ребенку быстро выучить таблицу умножения
Следствия первого признака
В ходе доказательства можно прийти к ряду интересных и полезных следствий.
Докажем эту простую теорему.
Есть два прямоугольных треугольника. У одного стороны a, b, c, где с гипотенуза, a, b катеты. У второго стороны n, m, l, где l гипотенуза, m, n катеты.
По теореме Пифагора один из катетов равен:
,
.
Таким образом, если n = a, l = с (равенство катетов и гипотенуз), соответственно и вторые катеты будут равны. Фигуры, соответственно, будут равны по третьему признаку (по трем сторонам).
Первый признак равенства треугольников. Видеоурок по геометрии 7 класс
Геометрия 7 Первый признак равенства треугольников
Вывод
Рассмотренная нами тема поможет любому ученику лучше разобраться в базовых геометрических понятиях и повысить свои навыки в интереснейшем мире математики.
Что такое первый признак равенства треугольников
Треугольник — фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами, а отрезки — сторонами.
Треугoльник — жесткая фигура. Это свойство используют при строительстве мостовых арок, конструировании подъемных кранов и т.д. Свойства треугольника системно изложены в «Началах» Эвклида. Знак для обозначения треугольника еще в I в. н.э. применил древнегреческий учений Герон, а знак Δ применяется с IV в. н.э.
Медиана, биссектриса и высота треугольника
Равные треугольники
Аксиома существования треугольника, равного данному.
Каким бы ни был треугольник, существует треугольник, равный ему в заданном расположении относительно данной полупрямой.
Свойства равных треугольников
1. В равных треугольниках соответствующие стороны равны.
2. В равных треугольниках соответствующие углы равны.
3. Периметры равных треугольников равны.
4. Площади равных треугольников равны.
5. Против равных сторон лежат равные углы.
6. Против равных углов лежат равные стороны.
Признаки равенства треугольников
Дополнительные признаки равенства
• Если две стороны и медиана, проведенная к третьей стороне треугольника, соответственно равны двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне другого треугольника, такие треугольники равны.
• Если два угла и высота,проведенная к стороне, к которой прилегают эти углы, одного треугольника, соответственно равны двум углам и высоте, проведенной к стороне, к которой прилегают эти углы, другого треугольника, то такие треугольники равны.
• Если сторона, высота и медиана, проведенные к стороне одного треугольника, соответственно равны стороне, высоте и медиане, проведенным к этой стороне другого треугольника, то эти треугольники равны.
• Если медиана и углы, на которые она делит угол, одного треугольника, соответственно равны медиане и углам,на которые она делит угол, другого треугольника, эти треугольники равны.
Это конспект по теме «Треугoльник. Равенство треугольников». Выберите дальнейшие действия: