Планиметрия (от лат. planum — «плоскость», др.-греч. μετρεω — «измеряю») — раздел евклидовой геометрии, изучающий двумерные (одноплоскостные) фигуры, то есть фигуры, которые можно расположить в пределах одной плоскости.
Первое систематическое изложение планиметрии впервые было дано Евклидом в его труде «Начала».
Содержание
Изучение в школьном курсе
При систематическом изучении школьного курса геометрии обычно начинают с изучения планиметрии, а затем приступают к изучению стереометрии, изучающей пространственные фигуры. Основными понятиями школьного курса планиметрии являются точка, прямая, плоскость и расстояние (между двумя точками или от точки до точки), а также некоторые общематематические понятия, такие, как множество, отображение множества на множество и некоторые другие.
Содержание школьного курса из года в год несколько меняется, однако его ядро остаётся в целом неизменным. Планиметрия содержит:
Были попытки излагать обе части геометрии (планиметрию и стереометрию) вместе, слитно, изучая плоские и пространственные фигуры одновременно.
ПЛАНИМЕТРИЯ — (от лат. planus плоский, и греч. metreo меряю). Часть геометрии, занимающаяся исследованием и измерением фигур на плоскости. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ПЛАНИМЕТРИЯ от лат. planus, плоский, и… … Словарь иностранных слов русского языка
ПЛАНИМЕТРИЯ — ПЛАНИМЕТРИЯ, планировать и пр. см. план. Толковый словарь Даля. В.И. Даль. 1863 1866 … Толковый словарь Даля
ПЛАНИМЕТРИЯ — ПЛАНИМЕТРИЯ, подраздел ГЕОМЕТРИИ, в которой линии, углы и фигуры представлены в двухмерной форме, т.е. на плоскости. В планиметрии действуют аксиомы ЕВКЛИДА … Научно-технический энциклопедический словарь
ПЛАНИМЕТРИЯ — ПЛАНИМЕТРИЯ, планиметрии, мн. нет, жен. (от лат. planum плоскость и греч. metreo мерю) (мат.). Отдел элементарной геометрии, изучающий фигуры на плоскости. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова
ПЛАНИМЕТРИЯ — ПЛАНИМЕТРИЯ, и, жен. Часть геометрии, изучающая фигуры на плоскости. | прил. планиметрический, ая, ое. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова
планиметрия — сущ., кол во синонимов: 2 • геометрия (9) • математика (29) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 … Словарь синонимов
ПЛАНИМЕТРИЯ — ПЛАНИМЕТРИЯ, измерение площадей плоскостных фигур, очень часто применяемое в мед. физиол. исследовательских работах, преиму i щественно по отношению к площадям кривых, записанных на кимографе. Такое измерение можно производить или с помощью… … Большая медицинская энциклопедия
Главная > Учебные материалы > Математика: Планиметрия. Страница 1
1.Основные фигуры планиметрии
Прямые a и b параллельны, прямые а и с пересекаются в точке С, прямые b и с пересекаются в точке Е.
Углы обозначаются так:
∠SOP или ∠О или ∠(hk) или ∠α
Рис.1 Пример обозначения точек и прямых на плоскости.
1. Для любой прямой на плоскости существуют точки принадлежащие ей и не принадлежащие ей. Через любые две точки можно провести только одну прямую.
2. Из трех точек, лежащих на прямой, только одна лежит между двумя другими.
3. Любой отрезок имеет длину больше нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой точкой, лежащей на этом отрезке.
4. Любая прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.
5. Любой угол имеет определенную градусную меру. Градусная мера любого угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучем, проходящим между его сторонами. Развернутый угол =180˚.
6. На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить только один отрезок определенной длины.
7. От любой полупрямой от ее начальной точки в заданную полуплоскость можно отложить только один угол определенной градусной меры, меньше 180˚.
8. Для любого треугольника, существует треугольник равный данному, относительно заданной полупрямой в заданном расположении.
9. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.
Даны три прямые: а,b,c. Прямая a не параллельна b, а не параллельна с, прямая b не параллельна c. Доказать, что либо 3 прямые пересекаются в одной точке либо в 3-х точках.
Доказательство
Допустим 3 прямые имеют две точки пересесения. Пусть прямые а и b пересекаются в точке А. Рис.3
А прямая с пересекает прямую b в точке В.
Тогда прямая с пересекает прямую а либо в точке А, либо в точке В. Если прямая с пересекает прямую а в точке А, тогда точки А,В ∈с и прямая с совпадет с b. Т.е. две точки принадлежат одновременно двум прямым b и с. Согласно аксиоме 1 это невозможно, т.к. через две точки можно провести только одну прямую. Если прямая с пересекает прямую а в точке В, тогда т.А,В ∈а и прямая а совпадет с b. Следовательно через две точки проходят две прямые а и b, что тоже невозможно согласно аксиоме 1.
Рис.3 Пересечение 3-х прямых.
Отсюда следует, что прямая с может пересекать прямую а в третьей точке, так что:
3.Смежные углы
Два угла называются смежными, если одна сторона у них общая, а другие их стороны являются дополнительными полупрямыми. (Рис.4)
Сумма смежных углов равна 180°.
4.Вертикальные углы
Если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого угла, то такие углы называются вертикальными. (Рис.6)
Теорема: Вертикальные углы равны.
Точно так же можно доказать, что β1 = β2.
Рис.6 Вертикальные углы.
5.Перпендикулярные прямые
Если две прямые пересекаются под прямым углом, то такие прямые называются перпендикурярными. (Рис.7)
Теорема: Через каждую точку прямой можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной.
Доказательство.
Рис.7 Перпендикулярные прямые.
6.Признаки равенства треугольников
Первый признак равенства треугольников
Теорема: Если две стороны и угол между этими сторонами одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между этими сторонами другого треугольника, то такие треугольники равны. (Рис.8)
Доказательство.
Рис.8 Первый признак равенства треугольников.
Второй признак равенства треугольников
Теорема: Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. (Рис.9)
Доказательство.
Рис.9 Второй признак равенства треугольников.
Третий признак равенства треугольников
Теорема: Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. (Рис.10)
Доказательство.
Рис.10 Третий признак равенства треугольников.
Пример 1
Даны три луча a,b,c. Точка О их общая начальная точка. Углы ab, ac, bc = 120°. Может ли прямая пересекать все три луча?
Доказательство:
Пусть даны три луча a,b,c с общей точкой О (Рис.11). Углы между ними составляют 120° (по условию задачи). И прямая е, пересекающая лучи а и b в точках А и В. Необходимо доказать, что прямая е не может пересечь все три луча а,b и с одновременно. Проведем прямую d через луч с. И отложим на прямой d луч с1 в противоположную сторону от луча с. Таким образом, на прямой d лежат два луча с и с1 с общей начальной точкой О, которые являются дополнительными полупрямыми, и лежащих в разных областях угла, образованного лучами a и b: внутренней области α и внешней β. Так как луч с1 проходит между сторонами угла, образованного лучами а и b, то он пересекает прямую е в точке Р. Так как любой луч, проходящий между сторонами угла из его вершины, пересекает отрезок, концы которого лежат на сторонах данного угла. Следовательно прямая d пересекает прямую е в точке Р полупрямой (лучем) с1. Но две прямые d и e могут пересекаться только в одной точке (точка Р), поэтому луч с не может пересекать прямую е, так как он лежит на прямой d. А следовательно прямая е не может перескать все три луча одновременно.
Рис.11 Задача. Даны три луча a,b,c.
Пример 2
Через точку О середину отрезка АВ проведена прямая а, перпендикулярная прямой АВ (рис.12). Доказать, что каждая точка Х на этой прямой удалена от точек А и В на равное расстояние.
Доказательство:
Рис.12 Задача на признак равенства треугольников.
Пример 3
Периметр равнобедренного треугольника равен 2 метра, а основание равно 0,6 метра. Найдите длину боковой стороны.
Решение:
Периметр треугольника равен 2 метра (Рис.13). Следовательно:
Но так как АВ = ВС (по условию задачи), то
Ответ: АВ = ВС = 0,7 метра.
Рис.13 Задача. Нахождение боковой стороны.
Пример 4
Периметр равнобедренного треугольника АВС с основанием АС равен 40 метров, Найдите длину медианы ВD, если периметр треугольника АВD составляет 30 метров.
Решение:
Так как треугольник АВС с основанием АС равнобедренный, то АВ = ВС. А так как BD медиана, то AD = DC (Рис. 14). Обозначим стороны треугольников как:
РABC = 2 x + 2 y = 40
Ответ: ВD = 10 метров.
Рис.14 Задача. Нахождение медианы BD.
Пример 5
Точки A, B, C и D лежат на одной прямой. Треугольники ABU1 и ABU2 равны. Докажите, что треугольники CDU1 и CDU2 тоже равны.
Доказательство:
По условию задачи треугольники ABU1 и ABU2 равны (Рис.15). Следовательно, BU1 = BU2. Угол ABU1 равен углу ABU2. Отсюда можно сделать вывод, что угол СBU1 равен углу СBU2, так как эти углы являются смежными с углами ABU1 и ABU2.
Таким образом, треугольники СBU1 и СBU2 равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними: BU1 = BU2, а сторона ВС у них общая и углы между ними равны). Следовательно, угол BСU1 равен углу BСU2 и СU1 = СU2. И следовательно, угол DСU1 равен углу DСU2, как смежные с углами BСU1 и BCU2.
А отсюда делается заключительный вывод, что треугольники СDU1 и СDU2 равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними: СU1 = СU2, а сторона СD у них общая и углы между ними равны).
Рис.15 Задача. На признаки равенства треугольников.
1. Геометрия – наука, занимающаяся изучением геометрических фигур (в переводе с греческого слово «геометрия» означает «землемерие»). 2.В планиметрии изучаются свойства фигур на плоскости. В стереометрии изучаются свойства фигур в пространстве. 3. Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называются концами отрезка. 4. Угол — это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Лучи называются сторонами угла, а точка — вершиной угла. 5. Угол называется развёрнутым, если обе его стороны лежат на одной прямой. ( Развёрнутый угол равен 180°). 6. Две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением. 7. Середина отрезка — это точка отрезка, делящая его пополам, т.е. на два равных отрезка. 8. Биссектриса угла — это луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла. 9.Угол называется прямым, если он равен 90°. 10. Угол называется острым, если он меньше 90° (т.е. меньше прямого угла). 11. Угол называется тупым, если он больше 90°, но меньше 180°. (т.е. больше прямого, но меньше развёрнутого). 12. Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными. Сумма смежных углов равна 180°. 13. Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. Вертикальные углы равны. 14. Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными, если они образуют четыре прямых угла. 15 Треугольник — это геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой и трех отрезков, соединяющих эти точки. Точки называются вершинами, а отрезки — сторонами треугольника. 16. Если два треугольника равны, то элементы (т.е. стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника. 17. Теорема – утверждение, справедливость которого устанавливается путём рассуждений. Сами рассуждения называются доказательством теоремы. 18.Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием равнобедренного треугольника. 19.Треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны. 20.Аксиомы – это утверждения о свойствах геометрических фигур, которые принимаются в качестве исходных положений, на основе которых доказываются теоремы и строится вся геометрия. 21.(Аксиома) Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна. 22. Если все три угла треугольника острые, то треугольник называется остроугольным. 23. Если один из углов треугольника тупой, то треугольник называется тупоугольным. 24. Если один из углов треугольника прямой, то треугольник называется прямоугольным.
Теоремы
Теорема 2 Первый признак равенства треугольников ( по двум сторонам и углу между ними)
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. Доказательство:
Так как ∠A=∠A1, то можно треугольник A1B1C1 наложить на треугольник ABC так, чтобы точка A1 совместилась с точкой A, луч A1C1 наложился на луч AC, луч A1B1 — на луч AB. Так как AB=A1B1, то при таком наложении сторона A1B1 совместится со стороной AB, а значит, точка B1 совместится с точкой B. Аналогично, сторона A1C1 совместится со стороной AC, а точка C1 — с точкой C. Следовательно, сторона B1C1 совместится со стороной BC. Значит, при наложении треугольники полностью совместятся, поэтому ΔABC= ΔA1B1C1 (по определению). Что и требовалось доказать.
Теорема 3 Теорема единственности перпендикуляра, проведенного из произвольной точки к заданной прямой Из любой точки А, не лежащей на данной прямой, можно провести перпендикуляр к прямой. К тому же этот перпендикуляр единственный.
Дано: точка А не принадлежит прямой a.
Доказать: существует единственный отрезок АН, где АН- перпендикуляр к a из точки A.
2. Равные углы можно совместить наложением. При этом точка А перейдет в точку A1. ВА = ВA1(перегибание по прямой ВС).
3. Соединим точки А и A1. Получим точку Н. Углы ∠ВНА = ∠3, ∠ВНA1 = ∠4.
4. Так как ∠1 = ∠2,ВА = ВA1, BC- общая,то треугольники ВНА = ВНA1 по первому признаку равенства треугольников, то есть по углу и двум прилежащим сторонам. Из равенства треугольников следует равенство всех элементов. А значит, ∠3 = ∠4. Эти углы лежат против равных сторон. Два смежных равны только в случае, если каждый из них равен по 90°. А значит, АН ⊥ ВС. Мы доказали, что из точки А можно провести перпендикуляр к прямой a.
Единственность перпендикуляра, проведенного из точки А к прямой, докажем методом «от противного».
5. Предположим, что из точки А можно провести к прямой a два разных перпендикуляра.
Это невозможно, поскольку из разных точек прямой a проведены 2 перпендикуляра, которые имеют общую точку А. Мы получили противоречие, значит, наше предположение неверно. Из точки А можно провести лишь один перпендикуляр к прямой a. Теорема доказана.
Трапеция. Частные случаи трапеции. Средняя линия трапеции. Дополнительные построения для трапеции
17. Окружность, хорды и дуги
Окружность, хорды и дуги. Свойства
18. Окружность. Касательные и секущие.
Окружность. Касательные и секущие.
19. Взаимное расположение прямой и окружности. Взаимное расположение двух окружностей.
Взаимное расположение прямой и окружности. Взаимное расположение двух окружностей.
20. Общие касательные двух окружностей.
Общие касательные двух окружностей.
21. Углы в окружности.
22. Длина окружности и её частей. Площадь круга и его частей
Длина окружности и её частей. Площадь круга и его частей
23. Вписанный и описанный многоугольники. Вписанный и описанный четырехугольники. Прямоугольник. Трапеция и ромб. Квадрат.
Вписанный и описанный многоугольники. Вписанный и описанный четырехугольники. Прямоугольник. Трапеция и ромб. Квадрат.
24. Окружность, описанная около треугольника, и окружность, вписанная в треугольник.
Окружность, описанная около треугольника, и окружность, вписанная в треугольник.
25. Окружности, описанные и вписанные в правильные многоугольники
Окружности, описанные и вписанные в правильные многоугольники
26. Площади треугольников.
27. Площади четырехугольников.
Площади четырехугольников. Площадь описанного многоугольника
Вы смотрели справочник по геометрии для 7-11 классов «Теоремы и определения по Планиметрии».
2 Комментарии
Огромное спасибо за такую обширную базу по планиметрии. Конечно, сюда можно добавить ещё пару формул, но это самая полная шпаргалка по планиметрии, которую я знаю.
Отличный справочник по планиметрии! Благодарю!
Добавить комментарий Отменить ответ
Конспекты по геометрии:
7 класс
8 класс
9 класс
Найти конспект:
О проекте
Сайт «УчительPRO» — некоммерческий школьный проект учеников, их родителей и учителей. Продолжая использовать наш сайт, вы даете согласие на обработку файлов cookie и других пользовательских данных в целях функционирования сайта, проведения статистических исследований и обзоров. Если вы не хотите, чтобы ваши данные обрабатывались, покиньте сайт.
Возрастная категория: 12+
(с) 2021 Учитель.PRO — Копирование информации с сайта только при указании активной ссылки на сайт!
