Что такое площадь поверхности многогранника
Многогранники
Многогранники
Многогранник – это поверхность, составленная из многоугольников, ограничивающая некоторое геометрическое тело.
В данной теме мы рассмотрим составные многогранники (многогранники, состоящие обычно из нескольких параллелепипедов).
Объемы различных многогранников:
Задачи на нахождение объема составного многогранника:
Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).
1. Достроим составной многогранник до параллелепипеда.
Найдем его объем. Для этого перемножим все три измерения параллелепипеда:
2. Найдем объем лишнего маленького параллелепипеда:
3. Вычтем из объема параллелепипеда объем лишней части и получим объем заданной фигуры:
Задачи на нахождение площади поверхности составного многогранника.
— Если можно составной многогранник представить в виде прямой призмы, то находим площадь поверхности по формуле:
Чтобы найти площадь основания призмы, надо разделить его на прямоугольники и найти площадь каждого.
Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).
Чтобы найти площадь основания, разделим его на два прямоугольника и найдем площадь каждого:
Далее подставим все данные в формулу и найдем площадь поверхности многогранника
— Если составной многогранник нельзя представить в виде призмы, то площадь полной поверхности можно найти как сумму площадей всех граней, ограничивающих поверхность.
Задачи на нахождение расстояния между точками составного многогранника.
В данных задачах приведены составные многогранники, у которых двугранные углы прямые. Надо соединить расстояние между заданными точками и достроить его до прямоугольного треугольника. Далее остается воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения нужной стороны.
Теорема Пифагора
В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
Задачи на нахождение угла или значения одной из тригонометрических функций обозначенного в условии угла составного многогранника.
Так как в данных задачах приведены составные многогранники, у которых все двугранные углы прямые, то достроим угол до прямоугольного треугольника и найдем его значение по тригонометрическим значениям.
Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:
Значения тригонометрических функций некоторых углов:
| $α$ | $30$ | $45$ | $60$ |
| $sinα$ | $<1>/<2>$ | $<√2>/<2>$ | $<√3>/<2>$ |
| $cosα$ | $<√3>/<2>$ | $<√2>/<2>$ | $<1>/<2>$ |
| $tgα$ | $<√3>/<3>$ | $1$ | $√3$ |
| $ctgα$ | $√3$ | $1$ | $<√3>/<3>$ |
Задачи на рассмотрение подобия фигур.
Что такое площадь поверхности многогранника
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Площадь поверхности заданного многогранника равна разности площади поверхности прямоугольного параллелепипеда с ребрами 2, 3, 1 и двух площадей прямоугольников со сторонами 2, 1:
Почему вы вычитаете только 2 площади прямоугольников? их же там 4,верхняя и боковая еще. Поэтому площадь многогранника будет 15
Обратите внимание, что верхняя и боковая «достраиваются» до целого параллелепипеда из исходной фигуры.
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Площадь поверхности заданного многогранника равна разности площади поверхности прямоугольного параллелепипеда с ребрами 3, 3, 5 и двух площадей квадратов со стороной 1:
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Площадь поверхности заданного многогранника равна разности площади поверхности прямоугольного параллелепипеда с ребрами 3, 4, 5 и площади двух квадратов со стороной 1:
От площади параллелепипеда следует отнять площадь маленького параллелепипеда (5*2+2*1)
Александра, так надо поступать с объемами. С площадями иначе.
Боковая поверхность не изменилась по площади, она просто поменяла форму. А вот от оснований по маленькому квадрату «оттяпали»
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Площадь поверхности заданного многогранника равна площади поверхности прямоугольного параллелепипеда с ребрами 3, 5, 5:
Приведем другое решение.
Найдем площадь поверхности многогранника как сумму площадей его граней: горизонтальных, боковых и фронтальных (расположенных спереди и сзади). Рассмотрим горизонтальные грани. Площадь нижней грани равна 5 · 5 = 25. Есть также две верхние грани. Если посмотреть на многогранник сверху, то эти две верхние грани сольются в одну, равную нижней грани. Таким образом, сумма их площадей равна площади нижней грани, то есть 25.
Рассмотрим боковые грани. Площадь левой грани равна 5 · 3 = 15. Есть также две грани справа. Если посмотреть на многогранник справа, то эти две грани сольются в одну, равную левой грани. Таким образом, сумма их площадей равна площади левой грани, то есть 15.
Рассмотрим фронтальные грани. Площадь задней грани равна 5 · 3 = 15. Две передние грани в сумме равны задней грани, таким образом, сумма их площадей тоже равна 15.
Следовательно, площадь поверхности многогранника равна
2 · 25 (горизонтальные грани) + 2 · 15 (боковые грани) + 2 · 15 (фронтальные грани) = 110.
Заметим, что площадь поверхности данного многогранника равна площади поверхности прямоугольного параллелепипеда с ребрами 3, 5, 5. Именно так решена эта задача первым способом.
Формулы объёма и площади поверхности. Многогранники.
Изучение стереометрии начинается со знания формул. Для решения задач ЕГЭ по стереометрии нужны всего две вещи:
Все формулы объёма и формулы площади поверхности многогранников есть в нашей таблице.
Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!
Проще всего найти объём куба — это куб его стороны. Вот, оказывается, откуда берётся выражение «возвести в куб».
Объём параллелепипеда тоже легко найти. Надо просто перемножить длину, ширину и высоту.
Объём призмы — это произведение площади её основания на высоту. Если в основании треугольник — находите площадь треугольника. Если квадрат — ищите площадь квадрата. Напомним, что высота — это перпендикуляр к основаниям призмы.
Объём пирамиды — это треть произведения площади основания на высоту. Высота пирамиды — это перпендикуляр, проведенный из её вершины к основанию.
Некоторые задачи по стереометрии решаются вообще без формул! Например, эта.
Обойдёмся без формул! Просто посчитайте, сколько нужно таких четырёхугольных пирамидок, чтобы сложить из них этот куб 🙂
Очевидно, их 6, поскольку у куба 6 граней.
Иногда в задаче надо посчитать площадь поверхности куба или призмы.
Напомним, что площадь поверхности многогранника — это сумма площадей всех его граней.
В некоторых задачах каждое ребро многогранника увеличили, например, в три раза. Очевидно, что при этом площадь поверхности увеличится в девять раз, а объём — в раз.
Площадь поверхности многогранника
Площадь поверхности многогранника. В данной рубрике в опубликованных статьях » Общий обзор. Формулы стереометрии » и » Что ещё необходимо знать для решения по стереометрии » мы уже рассмотрели теоретические моменты, которые необходимы для решения.
В составе ЕГЭ по математике имеется целый ряд задач на определение площади поверхности и объема составных многогранников. Это, наверное, одни из самых простых задач по стереометрии. НО! Имеется нюанс. Не смотря на то, что сами вычисления просты, ошибку при решении такой задачи допустить очень легко.
В чём же дело? Далеко не все обладают хорошим пространственным мышлением, чтобы сразу увидеть все грани и параллелепипеды из которых «состоят» многогранники. Даже если вы умеете делать это очень хорошо, можете мысленно сделать такую разбивку, всё-таки следует не торопиться и воспользоваться рекомендациями из этой статьи.
Кстати, пока работал над данным материалом, нашёл ошибку в одной из задач на сайте. Нужна внимательность и ещё раз внимательность, вот так.
Итак, если стоит вопрос о площади поверхности, то на листе в клетку постройте все грани многогранника, обозначьте размеры. Далее внимательно вычисляйте сумму площадей всех полученных граней. Если будете предельно внимательны при построении и вычислении, то ошибка будет исключена.
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Используем оговоренный способ. Он нагляден. На листе в клетку строим все элементы (грани) в масштабе. Если длины рёбер будут большими, то просто подпишите их.
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Если требуется найти объём составного многогранника. Разбиваем многогранник на составляющие его параллелепипеды, записываем внимательно длины их рёбер и вычисляем.
Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).
Объем многогранника, изображенного на рисунке равен сумме объёмов двух многогранников с рёбрами 6,2,4 и 4,2,2
Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).
Найдите объем пространственного креста, изображенного на рисунке и составленного из единичных кубов.
Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Казалось бы, данные задачи можно вообще не рассматривать, они же просты и понятны. Но в их решении важна практика. Повторюсь, что ошибиться очень легко, попрактикуйтесь с подобными задачами и вы убедитесь.
В отк рытом банке задач много примеров аналогичных задач (смотрите здесь и здесь ). Договоритесь с одноклассниками решить одни и те же задачи, затем сверьтесь.
Мы продолжим рассматривать задачи данной части, не пропустите! Успехов вам.
Что такое площадь поверхности многогранника
Обозначения:
V — объем;
S полн — площадь полной поверхности;
S бок — площадь боковой поверхности;
S о — площадь основания;
P о — периметр основания;
P о — периметр перпендикулярного сечения;
l — длина ребра;
h — высота.
Формула Эйлера
Призма — многранник, две грани которого — равные многоугольники, расположенные в параллельных плоскостях, а остальные — параллелограммы.
Параллелепипед — призма, основание которой — параллелограмм.
Параллелепипед имеет шесть граней и все они — параллелограммы.
где k — апофема
Если в пирамиде провести сечение параллельное основанию, то тело, ограниченное этим сечением, основанием, и заключенной между ними боковой поверхностью пирамиды, называется усеченной пирамидой.
где S 1 и S 2 — площади оснований
где α — двугранный угол при ребре нижнего основания.
Правильные многогранники
Многогранник называется правильным, если все его грани — равные правильные многоугольники, а все многогранные углы имеют одинаковое число граней.
Все ребра правильного многогранника — равные отрезки, все плоские углы правильного многогранника также равны.
Существует пять различных правильных многогранников (выпуклых): правильный четырехгранник (правильный тетраэдр), правильный шестигранник (куб), правильный восьмигранник (правильный октаэдр), правильный двенадцатигранник (правильный додекаэдр), правильный двадцатигранник (правильный икосаэдр).
Обозначения:
а — длина ребра;
V — объем;
S бок — площадь боковой поверхности;
S полн — площадь полной поверхности;
R — радиус описанной сферы;
r — радиус вписанной сферы;
h — высота.
Тетраэдр — четыре грани — равносторонние равные треугольники. Тетраэдр имеет четыре вершины и шесть ребер
Куб — шесть граней — равные квадраты. Куб имеет восемь вершин и двенадцать ребер.
Октаэдр — восемь граней — равносторонние равные треугольники. Октаэдр имеет шесть вершин и двенадцать ребер
Додекаэдр — двенадцать граней — правильные равные пятиугольники. Додекаэдр имеет двадцать вершин и тридцать ребер.
Икосаэдр — двадцать граней — равносторонние равные треугольники. Икосаэдр имеет двенадцать вершин и тридцать ребер.