Как найти площадь трапеции
Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. В этой статье мы расскажем, как посчитать площадь трапеции. Эту тему подробно изучают в школе в 8-м классе.
Но в классической программе учителя дают далеко не все формулы, с помощью которых можно вычислить нужное значение. И ограничиваются, как правило, одной или двумя.
Мы же дадим максимально развернутый ответ на этот вопрос. Ведь трапеция – это весьма примечательная и сложная фигура в геометрии. А соответственно, и формулы для вычисления ее площади отличаются определенной сложностью и громоздкостью.
Тут нет банальных «перемножить длины сторон», как у площади прямоугольника. Все гораздо мудреней.
Что такое трапеция
Но для начала будет нелишним напомнить, что из себя представляет трапеция.
Трапеция – это геометрическая фигура, которая является четырехугольником, и у которой две противоположные стороны параллельны.
Последнее утверждение очень важное. ТОЛЬКО ДВЕ противоположные стороны параллельны у трапеции. Ведь если бы обе пары лежали на параллельных прямых, то это был бы уже параллелограмм.
Вот так выглядит трапеция:
А вот так параллелограмм:
Кстати, именно по этому принципу древний математик Евклид и разделил все четырехугольники на две большие категории.
Именно он впервые описал разные геометрические фигуры, в том числе трапеции и параллелограммы. И все свои соображения подробно изложил в книге «Начала», которая датируется 300 годом до нашей эры.
Что такое площадь
Раз уж мы решили вычислять эту величину, напомним, что она обозначает.
Площадь – это численное значение геометрической фигуры, нарисованной в двухмерном (плоском) пространстве. А проще говоря, это пространство, которое ограничено границами фигуры, и находится как бы внутри нее.
В нашем случае площадь трапеции – это область, закрашенная синим цветом:
Кстати, в древности вместо термина «площадь» говорили «квадратура». Считалось, что любую фигуру можно разбить на равные квадраты со стороной «один». Частично это понятие докатилось и до наших дней.
Ведь именно в «квадратных метрах» мы измеряем площадь комнаты/квартиры/дачи/офиса. И в «квадратных километрах» частенько озвучивают площадь какой-то территории. Например, когда в телевизионных новостях говорят о масштабах лесных пожаров или наводнений.
Главная формула для вычисления площади трапеции
Та формула, которую изучают в школе, основана на вычислении площади трапеции по длине ее оснований и высоте.
Основания трапеции – это стороны, которые лежат на параллельных прямых. Другая пара сторон называется боковыми.
Высота – это отрезок, проведенный из вершины любого угла к противоположному основанию под углом 90 градусов.
То есть мы имеем вот такие исходные данные:
Здесь «a» и «b» являются основаниями трапеции, а «h» — высотой.
И тогда формула для вычисления площади трапеции выглядит вот так:
Например, если длины сторон и высота равны:
то площадь такой трапеции будет равна:
Опять же заметьте, если стороны и высота у трапеции обозначались в сантиметрах, то площадь будет измеряться в квадратных сантиметрах (то самое понятие «квадратуры», о котором мы писали выше).
То же самое – миллиметры/квадратные миллиметры, метры/квадратные метры, километры/квадратные километры и так далее.
Доказательство теоремы о площади трапеции
Любая формула в геометрии требует доказательства. И в нашем случае, формулы вычисления площади трапеции также доказывают во время уроков.
Возьмем для примера трапецию:
В ней AD и BC – основания, BH – высота. Нам надо доказать, что:
Доказательство строится на том, что если провести диагональ BD, то она разделит нашу трапецию на два треугольника. Это будут треугольники ABD и BCD.
И чтобы получить площадь нашей трапеции, нужно посчитать отдельно площади этих треугольников и сложить их.
А как вычислять площадь треугольника, мы уже знаем (или должны знать, согласно школьному курсу). Надо перемножить длину его основания и высоту и поделить на два.
У треугольника ABD высота – это BH. А у треугольника BCD в силу его выпуклости нам пришлось продлить зрительно основание BC, чтобы получить высоту DH1.
Но в случае с трапецией высоты равны, то есть BH = DH1. И тогда формулу площади для второго треугольника можно заменить на:
И наконец, с учетом всего вышесказанного начинаем вычислять площадь нашей трапеции. Она равна:
Как часто говориться на уроках геометрии – что и требовалось доказать!
Извиняемся за столь подробное описание доказательства. Но, во-первых, это требуется в рамках школьной программы. А во-вторых, всегда ведь интересно докопаться до самой сути и понять, как и почему именно так что-то устроено.
Как еще можно найти площадь трапеции (другие формулы)
На этот раз мы уже не будем приводить подробные доказательства каждой из формул. Иначе это займет слишком много времени и места. Просто поверьте, все они правильные и по ним можно вычислить площадь трапеции.
По высоте и средней линии
Средняя линия – это та, которая делит боковые стороны трапеции на две равные части. Формула площади выглядит совсем просто:
По четырем сторонам
Тут формула гораздо сложнее:
Площадь трапеции через диагонали
По основанию и углам при нем
Формулы площади для равнобедренной трапеции
Равнобедренная трапеция – та, у которой боковые стороны равны. А соответственно, они еще и соприкасаются с основаниями под одинаковыми углами.
Это частный случай, и для него верны все перечисленные формулы. Но с учетом равенства сторон и углов формулы заметно упрощаются.
По четырем сторонам
По малому основанию, боковой стороне и углу у большого основания
По большому основанию, углу при нем и боковой стороне
По основаниям и углам
Как видите, формулы громоздкие и весьма сложные сами по себе. Без калькулятора здесь точно не обойтись. С другой стороны, они крайне редко применяются. И служат скорее дополнительными средствами.
Вот и все, что мы хотели рассказать о том, как вычислять площадь трапеции.
Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru
Эта статья относится к рубрикам:
Комментарии и отзывы (1)
Теперь любой школьник сможет блеснуть знаниями перед учителем, продемонстрировав несколько способов нахождения площади трапеции. Я уже далеко не школьник, но тоже было интересно.
Площадь трапеции
Площадь трапеции, формулы расчета, определение,
способы найти площадь, нахождение площади
через величины и примеры площади трапеции.
Все формулы расчета площади трапеции
через основания и угол, периметр, радиус,
синус и две стороны, диагональ,
высоту, среднюю линию.
Площадь трапеции через окружность вписанную можно
найти, зная радиус окружности вписанной в трапецию
и некоторые другие величины.
Формулы площади трапеции
Площадь любых трапеций
Ⅰ. Площадь трапеции через основания и высоту:
\[ S = \frac
a,b — основания трапеции;
h — высота трапеции;
Ⅱ. Площадь трапеции через высоту и среднюю линию:
\[ S = mh \]
m — средняя линия трапеции;
h — высота трапеции;
Ⅲ. Площадь трапеции через диагонали и угол между ними:
\[ S =\frac<1><2>d_1d_2 \cdot \sin \alpha \]
\( d_1, d_2 \) - диагонали трапеции;
sin α — синус угла альфа в трапеции;
Ⅳ. Площадь трапеции через периметр, высоту и боковые стороны:
\[ S = \frac
P — периметр трапеции;
c,d — боковые стороны трапеции;
h — высота трапеции;
Ⅴ. Площадь трапеции через основания и боковые стороны:
\[ S = \frac
a,b — основания трапеции;
с,d — боковые стороны трапеции;
Ⅵ. Площадь трапеции через основания и углы:
a,b — основания трапеции;
α — угол при основании a в трапеции;
β — угол при основании b в трапеции;
sin α — синус угла альфа в трапеции;
sin β — синус угла бетта в трапеции;
Площадь равнобедренной трапеции
Ⅰ. Площадь трапеции через синус угла, среднюю линию и боковую сторону:
l — средняя линия равнобедренной трапеции;
d — боковая сторона равнобедренной трапеции;
α — угол альфа при боковой стороне d равнобедренной трапеции;
sin α — синус угла альфа в равнобедренной трапеции;
Ⅱ. Площадь трапеции через диагонали и синус угла:
\[ S = \frac
d — диагональ равнобедренной трапеции;
α — угол между двумя диагоналями в равнобедренной трапеции;
sin α — синус угла альфа в равнобедренной трапеции;
Ⅲ. Площадь трапеции через радиус вписанной окружности и основания:
r — радиус вписанной окружности равнобедренной трапеции;
a, b — основания равнобедренной трапеции;
Ⅳ. Площадь трапеции через основания:
a, b — основания равнобедренной трапеции;
Ⅴ. Площадь трапеции через основания и среднюю линию:
l — средняя линия равнобедренной трапеции;
a, b — основания равнобедренной трапеции;
Ⅵ. Площадь трапеции через синус угла и стороны:
\[ S = c \cdot \sin α \cdot (a-c \cdot \cos α) \]
a — нижнее основание равнобедренной трапеции;
с — боковая сторона равнобедренной трапеции;
sin α — синус угла альфа в равнобедренной трапеции;
cos α — косинус угла альфа в равнобедренной трапеции;
Ⅶ. Площадь трапеции через угол и радиус вписанной окружности:
r — радиус вписанной окружности равнобедренной трапеции;
sin α — синус угла альфа в равнобедренной трапеции;
Определения трапеции
Трапеция — это четырехугольник, у которого две
стороны параллельны а две другие нет.
Зная углы трапеции, можно определить, к какому виду
она относится. Всего различают три вида трапеций:
Площадь равнобедренной, прямоугольной трапеции,
можно найти через формулы площади обычной трапеции.
Формул, с помощью которых, можно найти площадь трапеции
через описанную окружность около трапеции, не существует.
Элементы трапеции
Любая трапеция является четырехугольником,
поэтому у трапеции 4 угла и 4 стороны.
Основание трапеции — это сторона, противолежащая
сторона которой параллельна.
Боковая сторона трапеции — это сторона, противолежащая
сторона которой не параллельна.
Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий
середины боковых сторон трапеции.
Диагональ трапеции — это отрезок, соединяющий две
вершины, которые лежат в разных концах трапеции.
Высота трапеции — это отрезок, соединяющий меньшее основание с большим,
образуя при этом два угла по 90 градусов на большей стороне.
Основания у трапеции не могут быть никогда равны.
Боковые стороны могут быть равны только,
если трапеция — равнобедренная.
Площадь трапеции — это площадь геометрической фигуры,
у которой четыре стороны и четыре угла, причем только
две стороны параллельны а остальные нет.
Площадь трапеции
Трапеция — геометрическая фигура, представляющая собой выпуклый четырёхугольник, у которого основания параллельны, а боковые стороны – нет. Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Калькуляторы для нахождения площади трапеции находятся внизу страницы.
Формулы нахождения площади
Существует несколько базовых способов нахождения площади трапеции, в зависимости от того, какие исходные данные известны.
Через основания и высоту
Площади трапеции можно определить, если известны значения длин ее оснований и высоты:
где a и b – основания, h – высота.
Через среднюю линию и высоту
где m – средняя линия, h – высота.
Через четыре стороны
Пусть a – верхнее основание, b – нижнее, c и d – боковые стороны трапеции. Тогда формула для нахождения площади:
По диагоналям и углу между ними
где d1 и d2 – диагонали трапеции, α – угол между ними.
Через вписанную в равнобедренную трапецию окружность
где r – радиус окружности, α – угол при основании трапеции.
Расчет площади трапеции через высоту, верхнее и нижнее основание
Расчет площади трапеции через значения ее высоты и средней линии.
Как найти площадь трапеции
Что такое площадь трапеции
Трапеция — четырехугольник, две стороны которого, называемые основаниями, параллельны друг другу, а две другие стороны — нет.
Вычисление площади трапеции входит в раздел геометрии, который называется планиметрия и занимается фигурами на плоскости.
Площадь трапеции, как и любой другой геометрической фигуры — это часть плоскости, ограниченная периметром и измеряемая в квадратных единицах.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
В формулах основания обозначаются буквами a и b, боковые стороны — с и d.
Способы нахождения площади
Существует более двадцати способов вычисления площади трапеции. Выбор способа расчета зависит от известных данных, которые можно подставить в формулу, и от типа самой трапеции: она может быть равнобедренной (равнобокой) или прямоугольной, тогда задача упростится.
Например, если трапеция равнобедренная, вычислить длину ее сторон можно, разбив ее на прямоугольник и два прямоугольных треугольника.
Если трапеция прямоугольная, легко запомнить соотношение ее сторон, пользуясь формулами для усеченного конуса, который образуется при ее вращении вокруг ее боковой стороны, находящейся под прямым углом к основаниям:
Стороны такой трапеции, наглядно видные на схеме, связаны следующим соотношением:
Но большинство формул подходит и для разносторонних трапеций. Если задача практическая и трапеция имеет материальную форму, основания, боковые стороны, высоту и диагонали легко измерить с помощью линейки.
Формулы для вычисления площади равнобедренной и неправильной трапеций
По длине оснований и высоте
Площадь трапеции равна произведению половины суммы оснований на высоту:
Через длины всех сторон (Формула Герона)
Чтобы посчитать площадь через длины сторон, можно воспользоваться следующей формулой:
Существует более простая формула, известная, как формула Герона. Для облегчения ее запоминания вводится р, полусумма всех четырех сторон:
Через диагонали и угол между ними
\(S = \frac<1><2>\times d_ <1>\times d_ <2>\times \sin\alpha.\)
Здесь \(d_<1>\) и \(d_<2>\) — диагонали, а \(\alpha\) — угол, образованный ими.
Через радиус вписанной окружности
Вписать окружность в трапецию можно только тогда, когда сумма ее оснований равна сумме боковых сторон.
Площадь любой трапеции можно найти через радиус вписанной окружности, зная длину оснований:
Площадь равнобокой трапеции также можно найти через круг, вписанный в нее. Для этого нужно знать радиус этого круга, а также угол \(\alpha\) при основании.
Через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании
\(S = m \times c \times \sin\alpha.\)
Примеры решения задач
Найти площадь трапеции, размер одной диагонали которой равен 6 см, второй — 9 см, а угол между ними — \(30^\circ.\)
Подставим известные данные в формулу:
\(S = \frac<1><2>\times d_ <1>\times d_ <2>\times \sin\alpha\)
Получим: \(S = \frac<1><2>\times 6 \times 9 \times \sin30^\circ = 13,5. \)
Параллельные стороны плоской геометрической фигуры равны 9 и 5 см. Расстояние между ними — 7 см. Найти площадь фигуры.
Подставим известные данные в формулу:
\(S = \frac<1> <2>(a+b) \times h\)
\(S = \frac<1> <2>(9+5) \times 7 = 49.\)
Найти площадь трапеции, если известны длины непараллельных сторон — 13 и 15 см, а также разность длин оснований — 14 см. В трапецию вписана окружность.
Одно из основных свойств трапеции — в нее можно вписать окружность, если сумма оснований равна сумме боковых сторон. Следовательно, если представить две проведенные высоты, как на рисунке, АК + МD = АD — BC = 14.
Поскольку углы К и М являются прямыми, воспользуемся теоремой Пифагора:
\(AB^ <2>= AK^ <2>+ BK^<2>.\)
\(BK^ <2>= AB^ <2>— AK^<2>.\)
\(CD^ <2>= CM^ <2>+ MD^<2>.\)
\(CM^ <2>= CD^ <2>— MD^<2>.\)
\(BK = CM.\)
\(AB^ <2>— AK^ <2>= CD^ <2>— MD^<2>.\)
Подставим числовые значения:
\(13^ <2>— (14 — MD)^ <2>= 15^ <2>— MD^<2>.\)
MD = 9 см.
\(CM^ <2>= CD^ <2>— MD^<2>.\)
Теперь, вычислив высоту, мы можем воспользоваться формулой:
\(S = \frac<1> <2>(a+b) \times h\)
Подставим в нее известные значения, получив:
