Что такое плоскость в математике 5 класс определение примеры
Плоскость
Понятие плоскости
поверхность школьной доски:
Эти поверхности ограничены, у них есть края. Но представление о плоскости мы имеем с их помощью.
Только плоскость простирается безгранично (в любом направлении, заданном на этой плоскости).
Понятие плоскость принадлежит к числу основных понятий геометрии.
Обозначение плоскости
Конечно, нарисовать плоскость, у которой нет краев, невозможно. Поэтому, при изображении плоскости, рисуют только ее часть:
Обозначается плоскость строчными буквами греческого алфавита – α (альфа), β (бета), γ (гамма) и т.д.:
Буквы пишут либо рядом с плоскостью, либо на плоскости.
Определение плоскости
Плоскость — поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые её точки. ( то есть, любая прямая, соединяющая две ее точки, целиком принадлежит ей).
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Плоскость
Всего получено оценок: 107.
Всего получено оценок: 107.
Плоскость – это основная единица планиметрии. Для правильного восприятия сложных фигур, таких как, пирамида, конус или призма, необходимо понимать и, главное, представлять себе, что такое плоскость.
Определение плоскости
Плоскость представляет поверхность, содержащую прямые, соединяющие две любые ее точки. Это определение звучит достаточно запутанно, поэтому лучше его запомнить. А для понимания стоит запомнить, что плоскость это прямая поверхность. Любая грань пирамиды это плоскость, так же как стена, поверхность стола или лист бумаги.
Стена является частью плоскости, так как любой другой пример плоскости из реальной жизни это ограниченное пространство, а плоскость безгранична, так же как и линия.
Из плоскостей в планиметрии составляются фигуры, как в стереометрии из линий. Яркий пример: четырехугольная пирамида, которая состоит из пяти граней, каждая из которых является частью отдельной плоскости.
Геометрия состоит из двух разделов: планиметрия и стереометрия. Фигуры на плоскости, состоящие из линий и точек это раздел стереометрии. Планиметрия изучает фигуры из плоскостей, прямых и точек. Проще говоря, планиметрия – это геометрия объемных фигур.
Способы задания плоскостей
Плоскость может быть задана тремя точками, нележащими на одной прямой. Из этого утверждения следуют еще два варианта задания плоскостей. При этом специального знака плоскостей не существует.
Плоскость можно задать двумя пересекающимися прямыми, тогда одной точкой будет служить точка пересечения прямых, а двумя другими произвольные точки на одной и второй прямой.
Еще один вид это задание прямой и точкой, нележащей на этой прямой. По аналогии со вторым вариантам: одна точка уже есть и не лежит на прямой, а две других это произвольные точки имеющейся линии.
Рис. 1. Способы задания плоскостей.
Взаимное расположение прямой и плоскости
Прямая в пространстве может быть параллельной плоскости, лежать в плоскости и пересекать ее. Рассмотрим каждый вариант более подробно.
Прямая параллельная плоскости, если она не имеет общих точек с ней. Признак параллельности прямой и плоскости крайне прост: прямая параллельна плоскости, если параллельна любой прямой лежащей в этой плоскости.
Прямая в пространстве может пересекать плоскость, если имеет с ней одну общую точку. Обратите внимание, что тогда прямая и плоскость образуют угол. Чтобы его увидеть, необходимо провести прямую в плоскости через точку пересечения. Тогда угол между этими прямыми и будет углом между прямой и плоскостью. Кроме того, прямая может быть перпендикулярна плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости звучит так: прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых в этой плоскости и пересекает плоскость в месте пересечения этих прямых.
Прямая в пространстве может лежать в плоскости, если две любые точки этой прямой принадлежат этой плоскости.
Рис. 2. Взаимное расположение прямой и плоскости.
Взаимное расположение плоскостей
Плоскости в пространстве могут совпадать, пересекаться или быть параллельными.
Плоскости параллельны, если попарно параллельны две пересекающиеся прямые в каждой из плоскостей.
Пересекаться плоскости могут только по прямой. В этом случае плоскости образуют угол. Чтобы найти его численные значения нужно в каждой из плоскостей провести прямую перпендикулярную прямой пересечения плоскостей. Эти две прямые и образуют угол плоскостей. Эти свойства иногда называют правилами плоскостей.
Рис. 3. Расположение плоскостей.
Что мы узнали?
Мы дали определение и привели примеры плоскости. Выделили варианты пересечения прямой и плоскости и пересечения плоскостей. Привели несколько признаков, относящихся с плоскостям и разобрали все случаи существования плоскостей в пространстве.
Урок 4 Бесплатно Плоскость. Прямая. Луч
В этом уроке мы продолжим разговор про геометрию, начатый в прошлых уроках.
Мы рассмотрим такие понятия, как плоскость, прямая, луч, поговорим еще раз про отрезки. Также обсудим, как все эти объекты могут располагаться друг относительно друга. Начнем же.
Плоскость
Важно отметить, что в начале разбора приходится некоторые понятия принимать как нечто, что не требует определения, к таким понятиям относятся понятия прямой и точки.
Немецкий учений Гильберт как-то сказал на эту тему, что “точкой можно назвать хоть стул”, тем самым говоря, что вся наша модель строится на некоторых условностях.
С этим пониманием приступим к первой теме урока.
Для начала нам нужно понять, что такое поверхность.
Есть много строгих математических формулировок, но они уместны скорее в высших учебных заведениях, пока будет достаточно обиходного понятия поверхности.
Будем понимать под поверхностью непрерывное множество точек, границу, отделяющую геометрическое тело от внешнего пространства.
Представьте себе поверхность рабочего стола, футбольного мяча или любого другого предмета.
Также известно, что некоторые поверхности, например, рабочего стола, плоские.
Плоская в данном случае обозначает, что если через любые две точки, принадлежащие этой плоскости, провести прямую, то она будет лежать в этой плоскости.
В самом деле, если нарисовать две точки на поверхности стола и соединить их прямой, то эта прямая будет лежать в плоскости стола.
Если же отметить две точки на шаре, то (тут нужен некоторый мысленный эксперимент) прямая, соединяющая их, будет проходить внутри шара, а не по его поверхности. Таким образом, поверхность шара не плоская, не является плоскостью.
Обычно на рисунках плоскость обозначается конечной, в крайнем случае лист бумаги или экран компьютера конечен.
Но это лишь обозначения, сама плоскость бесконечна.
Поверхности и плоскости принято обозначать двумя способами: с помощью трех латинских букв, соответствующих трем точкам плоскости, или одной греческой.
Выше изображена четырехугольная пирамида. В ней можно насчитать 5 плоскостей:
Согласись, две точки слишком мало, чтобы обозначить плоскость: на данном рисунке, например, есть две плоскости, проходящие через точки A и E, а четыре точки уже несут избыточную информацию, поэтому плоскости обозначают тремя точками.
Иногда плоскость обозначают одной строчной греческой буквой, например, так:
Точка может принадлежать плоскости (лежать в ней) или не принадлежать плоскости.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Прямая
Проведем отрезок, назовем его AB.
А теперь продолжим его по линейке за концы в обе стороны:
Так мы получим прямую. Прямая, как и плоскость, бесконечна.
Если плоскость простирается во все стороны, то прямая в конкретные два направления.
Как и в случае с плоскостью, невозможно изобразить нечто бесконечное в тетрадях или на мониторах, так как эти объекты имеют границы, поэтому любое изображение будет лишь обозначать прямую.
Для обозначения прямой используются две заглавные латинские буквы, так выше приведенную прямую можно назвать “прямая АВ” или “прямая ВА”.
Также иногда прямые обозначают строчными латинскими буквами:
Вот, например, прямая а.
Через любые две точки проходит единственная прямая.
То есть ситуация, при которой между двумя точками нет ни одной прямой или, напротив, более одной, невозможна.
Так на рисунке выше точки А и В принадлежат прямой АВ.
Рассмотрим другой рисунок:
В данном случае точки С и D не принадлежат прямой АВ.
Мы можем представить себе прямую, нарисованную на плоском листе бумаги.
Так и в математике прямые могут принадлежать плоскостям.
Можно изобразить это так:
На рисунке прямая а, принадлежит плоскости \(\mathbf<\alpha>\)
Обычно такие рисунки сопровождают текстовым описанием для того, чтобы их понимали однозначно.
Также мы можем видеть прямые и на других рисунках.
Мы знаем, что через любые две точки проходит прямая.
Так что смотря на рисунок выше мы можем говорить про прямые AE, ED, DC, AC, AB, EB, DB, CB
Точно также можно видеть прямые не только на объемных рисунках, но и на плоских.
Так на этом рисунке можно говорить про прямые AB, BC и AC
Также отношение “принадлежит” обладает в данном случае таким свойством: если точка принадлежит прямой, а прямая принадлежит плоскости, то верно, что эта точка принадлежит плоскости.
Посмотрим на рисунок:
Если нам известно, что точка А принадлежит прямой а и прямая а принадлежит плоскости \(\mathbf<\alpha>\), то очевидно, что и сама точка А принадлежит прямой \(\mathbf<\alpha>\)
Про прямые надо знать такое определение:
Если две прямые имеют общую точку, то говорят, что они пересекаются в этой точке.
В данном случае это точка О.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Любая точка на прямой делит ее на две части.
Каждую из этих частей называют лучом.
Сама такая точка будет называться началом луча.
Точка М является началом обоих лучей.
Лучи МА и МВ называются дополнительными друг другу. Это такие лучи, на которые точка разбивает прямую.
Давая лучам название, первой буквой пишут вершину луча, вторая определяет направление.
Это может быть как точка на соответствующей прямой, так и просто буква, подписанная возле соответствующей части прямой, как на рисунке выше.
Как и в случае с прямой, точки могут лежать и не лежать на луче.
Посмотрим, как лежат точки относительно луча MB.
Точки Р и К не лежат на прямой АВ, значит и на луче, как на части прямой, лежат не могут.
Точка С не лежит на луче МВ, так как находится с другой стороны от точки М, луч уходит в сторону В.
Научимся видеть лучи еще в некоторых ситуациях.
Например, сколько лучей образуются при пересечении прямых?
Обозначим прямые как АВ и CD, точку пересечения назовем точкой О.
Имеем одну точку, которая может стать началом луча, от нее отходят четыре половины прямых.
А полупрямая это и есть луч. Значит, при пересечении двух прямых от точки их пересечения будет отходить 4 луча.
Посмотрим еще раз на картинку с треугольником АВС.
В случае с лучом принципиально, где у него начало, а где продолжение (конца не бывает).
Тогда у нас есть 3 точки-кандидата на начало луча. От каждой точки отходит по два отрезка, но чтобы обозначить луч нам нужна любая точка с продолжения, так что получается, что от каждой вершины отходят по 2 луча и всего на рисунке можно увидеть 6 лучей, если не ставить дополнительных точек.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Дополнительная информация
Геометрия, про которую мы сегодня говорили, называется Евклидовой.
Как уже было сказано, часть понятий является фундаментальными. В данном случае первоначальные понятия Евклидовой геометрии предложил, как следует из названия, Евклид, живший в Древней Греции.
Если быть более точным, жил он в Александрии и являлся первым математиком Александрийской школы.
О самом Евклиде, к сожалению, известно крайне мало информации.
Самая его известная книга “Начала” содержала в себе факты о геометрии, а также об арифметике.
Иногда книга издавалась с комментариями. Из одного из таких изданий с комментариями от Прокла мы знаем что-то про Евклида, хотя Прокл жил примерно на 800 лет позже Евклида.
Также существуют скульптуры и портреты, посвященные Евклиду, но есть сомнения в их достоверности.
По сути единственное, что известно более-менее точно, так это то, что ученые занимались вопросами геометрии еще в те времена.
Сохранились и другие работы Евклида, например, ему приписывают “Деление канона” (трактат о теории музыки), но им уделяется меньше внимания.
Заключительный тест
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Плоскость (математика)
Плоскость (математика)
Пло́скость — одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии понятие плоскости обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии. Уравнение плоскости впервые встречается у А. К. Клеро (1731), уравнение плоскости в отрезках, по-видимому, впервые встречается у Г.Ламе (1816—1818), нормальное уравнение ввёл Л. О. Гессе (1861).
Содержание
Некоторые характеристические свойства плоскости
Аналогично отрезку и интервалу, плоскость не включающую крайние точки можно назвать интервальной плоскостью или открытой плоскостью.
Уравнения плоскоcти
Плоскость — алгебраическая поверхность первого порядка: в декартовой системе координат плоскость может быть задана уравнением первой степени.
где A,B,C и D — постоянные, причём A,B и C одновременно не равны нулю; в векторной форме:
(смешанное произведение векторов), иначе
где 
— единичный вектор, p — расстояние П. от начала координат. Уравнение (2) может быть получено из уравнения (1) умножением на нормирующий множитель
(знаки μ и D противоположны).
Расстояние от точки до плоскости
Расстояние от точки до плоскости — это наименьшее из расстояний между этой точкой и точками плоскости. Известно, что расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.
Расстояние между параллельными плоскостями
Связанные понятия
Если в векторной форме, то
где α и β — любые числа, не равные одновременно нулю.
Плоскости в четырёхмерном пространстве
Если в четырёхмерном пространстве две плоскости лежат в одной гиперплоскости, то они могут либо быть параллельными (в частности, совпадать), либо пересекаться по линии.
Если же две плоскости не лежат в одной гиперплоскости, то они либо не пересекаются (скрещиваются, подобно тому как в трёхмерном пространстве скрещиваются прямые), либо имеют ровно одну общую точку.
Пересечение двух плоскостей в точке (а не по линии, как в трёхмерном пространстве) можно проиллюстрировать следующим примером. Пусть дана система декартовых координат x y z t. Пусть две плоскости α и β проходят через начало координат, причём плоскость α содержит координатные прямые x и y, а плоскость β содержит координатные прямые z и t. Соответственно у всех точек плоскости α координаты z и t равны 0, а у всех точек плоскости β координаты x и y равны 0. Тогда очевидно, что единственная точка, которая может принадлежать обеим плоскостям — это точка (0,0,0,0).
Литература
Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 240 с.
Плоскость (в математике)
Пло́скость — одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии понятие плоскости обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии. Уравнение плоскости впервые встречается у А. К. Клеро (1731), уравнение плоскости в отрезках, по-видимому, впервые встречается у Г.Ламе (1816—1818), нормальное уравнение ввёл Л. О. Гессе (1861).
Содержание
Некоторые характеристические свойства плоскости
Аналогично отрезку и интервалу, плоскость не включающую крайние точки можно назвать интервальной плоскостью или открытой плоскостью.
Уравнения плоскоcти
Плоскость — алгебраическая поверхность первого порядка: в декартовой системе координат плоскость может быть задана уравнением первой степени.
где A,B,C и D — постоянные, причём A,B и C одновременно не равны нулю; в векторной форме:
(смешанное произведение векторов), иначе
где — единичный вектор, p — расстояние П. от начала координат. Уравнение (2) может быть получено из уравнения (1) умножением на нормирующий множитель
(знаки μ и D противоположны).
Расстояние от точки до плоскости
Расстояние от точки до плоскости — это наименьшее из расстояний между этой точкой и точками плоскости. Известно, что расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.
Расстояние между параллельными плоскостями
Связанные понятия
Если в векторной форме, то
где α и β — любые числа, не равные одновременно нулю.
Плоскости в четырёхмерном пространстве
Если в четырёхмерном пространстве две плоскости лежат в одной гиперплоскости, то они могут либо быть параллельными (в частности, совпадать), либо пересекаться по линии.
Если же две плоскости не лежат в одной гиперплоскости, то они либо не пересекаются (скрещиваются, подобно тому как в трёхмерном пространстве скрещиваются прямые), либо имеют ровно одну общую точку.
Пересечение двух плоскостей в точке (а не по линии, как в трёхмерном пространстве) можно проиллюстрировать следующим примером. Пусть дана система декартовых координат x y z t. Пусть две плоскости α и β проходят через начало координат, причём плоскость α содержит координатные прямые x и y, а плоскость β содержит координатные прямые z и t. Соответственно у всех точек плоскости α координаты z и t равны 0, а у всех точек плоскости β координаты x и y равны 0. Тогда очевидно, что единственная точка, которая может принадлежать обеим плоскостям — это точка (0,0,0,0).
Литература
Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 240 с.
Полезное
Смотреть что такое «Плоскость (в математике)» в других словарях:
ПЛОСКОСТЬ — ПЛОСКОСТЬ, в математике плоская поверхность, такая, что любая прямая, соединяющая две ее точки, целиком принадлежит этой поверхности. Общее уравнение плоскости в трехмерной декартовой системе координат выглядит как ах+by+cz=d, где а, b, с и d… … Научно-технический энциклопедический словарь
Плоскость Минковского — В математике, плоскость Минковскогоe двумерное аффинное пространство снабжённое метрикой которая инвариантна относительно параллельных переносов. Названа в честь Минковского. Часто данное аффинное пространство ототожествляют с плоскостью R2.… … Википедия
Плоскость Лобачевского — Геометрия Лобачевского (гиперболическая геометрия) одна из неевклидовых геометрий, геометрическая теория, основанная на тех же основных посылках, что и обычная евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных, которая заменяется на… … Википедия
Фокус (в математике) — Конические сечения: окружность, эллипс, парабола (плоскость сечения параллельна образующей конуса), гипербола. Коническое сечение или коника есть пересечение плоскости с круговым конусом. Существует три главных типа конических сечений: эллипс,… … Википедия
соприкасающаяся плоскость — в точке M кривой l, плоскость, имеющая с l в точке М касание порядка п≥2. См. Соприкосновение,Кручение. * * * СОПРИКАСАЮЩАЯСЯ ПЛОСКОСТЬ СОПРИКАСАЮЩАЯСЯ ПЛОСКОСТЬ в точке M кривой l, плоскость, имеющая с l в точке M касание порядка nі2. См.… … Энциклопедический словарь
Симметрия (в математике) — Симметрия (от греч. symmetria ‒ соразмерность) в математике, 1) симметрия (в узком смысле), или отражение (зеркальное) относительно плоскости a в пространстве (относительно прямой а на плоскости), ‒ преобразование пространства (плоскости), при… … Большая советская энциклопедия
Расстояние в математике — Метрическим пространством называется множество, в котором определено расстояние между любой парой элементов. Содержание 1 Формальное определение 2 Обозначения 3 Примеры … Википедия
Координаты в математике — величины, определяющие положение точки. В Декартовых прямоугольных К. положение точки определяется тремя расстояниями ее от трех взаимно перпендикулярных плоскостей; пересечения этих плоскостей представляют собой три прямые, выходящие из одной… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
Координаты, в математике — величины, определяющие положение точки. В Декартовых прямоугольных К. положение точки определяется тремя расстояниями ее от трех взаимно перпендикулярных плоскостей; пересечения этих плоскостей представляют собой три прямые, выходящие из одной… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона