Что такое плотность теплового потока

Тепловой поток. Плотность теплового потока. Закон Фурье

Тепловой поток

Количество тепла, проходящее через данную поверхность в единицу времени, называется тепловым потоком Q, Вт .

Количество тепла, через единицу поверхности в единицу времени, называется плотностью теплового потока или удельным тепловым потоком и характеризует интенсивность теплообмена.

(9.4)

Плотность теплового потока q, направлена по нормали к изотермической поверхности в сторону, обратную градиенту температуры, т. е. в сторону уменьшения температуры.

Если известно распределение q по поверхности F, то полное количество тепла Q_τ, прошедшее через эту поверхность за время τ, найдется по уравнению:

(9.5)

(9.5′)

Если величина q постоянна по рассматриваемой поверхности, то:

(9.5″)

Закон Фурье

Этот закон устанавливает величину теплового потока при переносе тепла посредством теплопроводности. Французский ученый Ж. Б. Фурье в 1807 году установил, что плотность теплового потока через изотермическую поверхность пропорциональна градиенту температуры:

(9.6)

Знак минус в (9.6) указывает, что тепловой поток направлен в сторону, обратную градиенту температуры (см. рис. 9.1.).

Плотность теплового потока в произвольном направлении l представляет проекцию на это направление теплового потока в направлении нормали:

Коэффициент теплопроводности

Коэффициент λ, Вт/(м·К), в уравнении закона Фурье численно равен плотности теплового потока при падении температуры на один Кельвин (градус) на единицу длины. Коэффициент теплопроводности различных веществ зависит от их физических свойств. Для определённого тела величина коэффициента теплопроводности зависит от структуры тела, его объёмного веса, влажности, химического состава, давления, температуры. В технических расчётах величину λ берут из справочных таблиц, причём надо следить за тем, чтобы условия, для которых приведено в таблице значение коэффициента теплопроводности, соответствовали условиям рассчитываемой задачи.

Особенно сильно зависит коэффициент теплопроводности от температуры. Для большинства материалов, как показывает опыт, эта зависимость может быть выражена линейной формулой:

(9.7)

где λ_o – коэффициент теплопроводности при 0 °С;

β – температурный коэффициент.

Коэффициент теплопроводности газов, а в особенности паров сильно зависит от давления. Численное значение коэффициента теплопроводности для различных веществ меняется в очень широких пределах – от 425 Вт/(м·К) у серебра, до величин порядка 0,01 Вт/(м·К) у газов. Это объясняется тем, что механизм передачи теплоты теплопроводностью в различных физических средах различен.

Металлы имеют наибольшее значение коэффициента теплопроводности. Теплопроводность металлов уменьшается с ростом температуры и резко снижается при наличии в них примесей и легирующих элементов. Так, теплопроводность чистой меди равна 390 Вт/(м·К), а меди со следами мышьяка – 140 Вт/(м·К). Теплопроводность чистого железа 70 Вт/(м·К), стали с 0,5 % углерода – 50 Вт/(м·К), легированной стали с 18 % хрома и 9 % никеля – только 16 Вт/(м·К).

Зависимость теплопроводности некоторых металлов от температуры показана на рис. 9.2.

Газы имеют невысокую теплопроводность (порядка 0,01. 1 Вт/(м·К)), которая сильно возрастает с ростом температуры.

Теплопроводность жидкостей ухудшается с ростом температуры. Исключение составляют вода и глицерин. Вообще коэффициент теплопроводности капельных жидкостей (вода, масло, глицерин) выше, чем у газов, но ниже, чем у твердых тел и лежит в пределах от 0,1 до 0,7 Вт/(м·К).

Рис. 9.2. Влияние температуры на коэффициент теплопроводности металлов

Источник

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3

Температурное поле – совокупность значений температуры во всех точках изучаемого пространства для каждого момента времени.

ционарное – изменяется с течением времени. Стационарное – не изменяется.

Изотермическая поверхность – геометрическое место точек, имеющих в данный момент времени одинаковую температуру. Изотермические поверхности, соответствующие разным температурам, не могут пересекаться между собой. Они могут замыкаться сами на себя либо оканчиваться на поверхности тела.

Градиент температуры – вектор, направленный по нормали к изотермическиой поверхности в сторону возрастания температуры.

Количество теплоты, Вт, проходящей в единицу времени через изотермическую поверхность площадью F, называется тепловым потоком и определяется из выражения: .

Количество теплоты, проходящее в единицу времени через единицу площади изотермической поверхности , Вт/м2, называется плотностью теплового потока: .

Связь между количеством теплоты dQ, Дж, которое за время dt проходит через элементарную площадку dF, расположенную на изотермической поверхности, и градиентом температуры dt/dn устанавливается законом Фурье: .

2. Уравнение теплопроводности, условия однозначности.

Дифференциальное уравнение теплопроводности выведено со следующими допущениями:

— тело однородно и изотропно;

— физические параметры постоянны;

— деформация рассматриваемого объема, связанная с изменением температуры, очень мала по сравнению с самим объемом;

— внутренние источники теплоты в теле, которые в общем случае могут быть заданы как , распределены равномерно.

, или .

Дифференциальное уравнение теплопроводности устанавливает связь между временным и пространственным изменениями температуры в любой точке тела, в которой происходит процесс теплопроводности.

Если принять теплофизические характеристики постоянными, что предполагалось при выводе уравнения, то дифур принимает вид: .

Примем — коэффициент температуропроводности.

и , где — оператор Лапласса в декартовой системе координат.

Тогда .

Условия однозначности или краевые условия включают в себя:

3. Теплопроводность в стенке (граничные условия 1-ого рода).

Теплопроводность однослойной стенки.

Рассмотрим однородную плоскую стенку толщиной d. На наружных поверхностях стенки поддерживаются постоянные во времени температуры tc1 и tc2. Теплопроводность материала стенки постоянна и равна l.

При стационарном режиме , кроме того, температура изменяется только в направлении, перпендикулярном плоскости стеки (ось 0х): . Поэтому уравнение теплопроводности имеет вид: .

Постоянные С1 и С2 в уравнении определим из граничных условий I рода:

при х = 0: t = tc1 и C2 = tc1;

при х = d: t = tc2 и C1 = –(tc1 – tc2)/ d.

Следовательно:

Определим плотность теплового потока через плоскую стенку. В соответствии с законом Фурье с учетом равенства (*) можно написать: .

Следовательно (**).

Разность значений температуры в уравнении (**) называется температурным напором. Из этого уравнения видно, что плотность теплового потока q изменяется прямо пропорционально теплопроводности l и температурному напору Dt и обратно пропорционально толщине стенки d.

Отношение называется тепловой проводимостью стенки, а обратная ему величина – термическим сопротивлением стенки.

Общее количество теплоты, которое передается через поверхность стенки площадью F за промежуток времени t: .

Теплопроводность l следует брать при средней температуре стенки.

Теплопроводность многослойной стенки.

Для каждого слоя :; ; .

Определяем температурные напоры:

Для сравнения теплопроводящих свойств многослойной плоской стенки со свойствами однородных материалов вводят понятие эквивалентной теплопроводности. Это – теплопроводность однослойной стенки, толщина которой равна толщине рассматриваемой многослойной стенки, т. е. при условии, что разности температур на поверхностях однослойной и многослойной стенок и тепловые потоки одинаковы. Эквивалентная теплопроводность определяется из следующего выражения:

.

4. Теплопередача через плоскую стенку (граничные условия 3-его рода).

Передача теплоты от одной подвижной среды (жидкости или газа) к другой через разделяющую их твердую стенку любой формы называется теплопередачей. Особенности протекания процесса на границах стенки при теплопередаче характеризуется граничными условиями III рода, которые задаются значениями температуры жидкости с одной и другой стороны стенки, а также соответствующими значениями коэффициентов теплоотдачи.

Рассмотрим стационарный процесс теплопередачи через бесконечную однородную плоскую стенку толщиной d. Задана теплопроводность стенки l, температуры окружающей среды tж1 и tж2, коэффициенты теплоотдачи a1 и a2. Необходимо найти тепловой поток от горячей жидкости к холодной и температуры на поверхностях стенки tc1 и tc2. Плотность теплового потока от горячей среды к стенке определится уравнением: . Этот же тепловой поток передается путем теплопроводности через твердую стенку: и от второй поверхности стенки к холодной среде: .

Тогда ,

где – коэффициент теплопередачи, числовое значение k выражает количество теплоты, проходящей через единицу поверхности стенки в единицу времени пр разности температур между горячей и холодной средой 1К и имеет туже единицу измерения, что и коэффициент теплоотдачи, Дж/(с*м2К) или Вт/(м2К).

Величина, обратная коэффициенту теплопередачи называется термическим сопротивлением теплопередаче: .

термическое сопротивление теплоотдаче;

термическое сопротивление теплопроводности.

Для многослойной стенки .

Плотность теплового потока через многослойную стенку: .

Тепловой поток Q, Вт, проходящий через плоскую стенку с площадью поверхности F, равен: .

Температура на границе любых двух слоев при граничных условиях III рода может быть определена по уравнению . Также можно определить температуру графическим методом.

5. Теплопроводность в цилиндрической стенке (граничные условия 1-ого рода).

Рассмотрим стационарный процесс теплопроводности через однородную цилиндрическую стенку (трубу) длиной l с внутренним радиусом r1 и наружным r2. Теплопроводность материала стенки l – величина постоянная. На поверхности стенки заданы постоянные температуры tc1 и tc2.

В случае (l>>r) изотермические поверхности будут цилиндрическими, а температурное поле одномерным. Т. е. t=f(r), где r – текущая координата цилиндрической системы, r1£r£r2. Тогда уравнение теплопроводности, которое для плоской стенки имело вид , для цилиндрической примет следующую форму: .

Введение новой переменной позволяет привести уравнение к виду:.

Граничные условия I рода записываются равенствами:

Подставляя эти выражения в равенство , имеем:

;

.

Подставляя значения С1 и С2 в уравнение , получим:

,

.

Это выражение представляет собой уравнение логарифмической кривой. Следовательно, внутри однородной цилиндрической стенки при постоянном значении теплопроводности температура изменяется по логарифмическому закону.

Для нахождения количества теплоты, проходящего через цилиндрическую стенку поверхность площадью F в единицу времени, можно воспользоваться законом Фурье:

.

Подставляя в уравнение закона Фурье значение градиента температуры согласно уравнению получим: (*) ® величина Q зависит не от толщины стенки, а от отношения его внешнего диаметра к внутреннему.

Если отнеси тепловой поток, отнесенный к единице длины цилиндрической стенки, то уравнение (*) можно записать в виде .

Тепловой поток, отнесенный к единице длины трубы, измеряется в Вт/м и называется линейной плотностью теплового потока. Величина есть термическое сопротивление теплопроводности цилиндрической стенки.

Для многослойной цилиндрической стенки.

Температура на границе двух любых слоев равна: .

6. Теплопередача через цилиндрическую стенку (граничные условия 3-его рода).

Рассмотрим однородную цилиндрическую стенку большой длины с внутренним диаметром d1, наружным диаметром d2 и постоянной теплопроводностью. Заданы значения температуры горячей tж1 и холодной tж2 среды и коэффициенты теплоотдачи a1 и a2. для стационарного режима можно записать:

;;

где — линейный коэффициент теплопередачи, характеризует интенсивность передачи теплоты от одной жидкости к другой через разделяющую их стенку; численно равен количеству теплоты, которое проходит от одной среды к ругой через стенку трубы длиной 1м в единицу времени при разности температур между ними в 1К.

Величина, обратная линейному коэффициенту теплопередачи, называется линейным термическим сопротивлением теплопередаче.

Для многослойной стенки линейное термическое сопротивление теплопередаче складывается из линейных сопротивлений теплоотдаче и суммы линейных термических сопротивлений теплопроводности слоев.

Температуры на границе между слоями:

7. Шаровая стенка (граничные условия 1-ого и 3-его рода).

Граничные условия III рода.

Принципы теплопередачи через шаровую стенку те же, что и через цилиндрическую. Пусть внутренний диаметр шара равен d1, внешний – d2, теплопроводность l, температура горячей жидкости внутри шара tж1, температура холодной жидкости снаружи шара tж2, коэффициенты теплоотдачи a1 и a2.

При стационарном режиме количество теплоты, переданное от горячей жидкости к холодной, равно: ;;

где – коэффициент теплопередачи для шаровой стенки.

Величина, обратная коэффициенту теплопередачи шаровой стенки, называется термическим сопротивлением теплопередаче шаровой стенки.

Граничные условия I рода.

Пусть имеется шар с радиусами внутренней и внешней поверхности r1 и r2, постоянной теплопроводностью и с заданными равномерно распределенными температурами поверхностей tc1 и tc2.

При этих условиях температура зависит только от радиуса r. По закону Фурье тепловой поток сквозь шаровую стенку равен: .

Интегрирование уравнения дает следующее распределение температуры в шаровом слое:

Граничные условия.® ;

Распределение температуры: ® при постоянной теплопроводности температура в шаровой стенке изменяется по закону гиперболы.

8. Термические сопротивления.

Однослойная плоская стенка:

Граничные условия 1го рода

Отношение называется тепловой проводимостью стенки, а обратная ему величина – термическим сопротивлением стенки.

Граничные условия 3го рода

Величина, обратная коэффициенту теплопередачи называется термическим сопротивлением теплопередаче: .

Однослойная цилиндрическая стенка:

Граничные условия 1го рода

Величина есть термическое сопротивление теплопроводности цилиндрической стенки. (для многослойной стенки: )

Граничные условия 3го рода

Линейное термическое сопротивление теплопередаче:

Линейное термическое сопротивление теплопередаче:

(многослойная стенка)

9. Критический диаметр изоляции.

Рассмотрим случай когда труба покрыта однослойной тепловой изоляцией с наружным диаметром d3. считая заданными и постоянными коэффициенты теплоотдачи a1 и a2, температуры обеих жидкостей tж1 и tж2, теплопроводности трубы l1 и изоляции l2.

Согласно уравнению , выражение для линейного термического сопротивления теплопередаче через двухслойную цилиндрическую стенку имеет вид: .

При возрастании диаметра изоляции член будет возрастать, а член – уменьшаться. Иными словами, увеличения наружного диаметра изоляции влечет за собой увеличение термического сопротивления теплопроводности изоляции и уменьшение термического сопротивления теплоотдаче на ее наружной поверхности. Последнее обусловлено увеличением площади наружной поверхности.

Экстремум функции Rl – – критический диаметр обозначается как dкр. Служит показателем пригодности материала к использованию его в качестве тепловой изоляции для трубы с заданным наружным диаметром d2 при заданном коэффициенте теплоотдачи a2.

10. Выбор тепловой изоляции по критическому диаметру.

См. вопрос 9. диаметр изоляции должен превышать критический диаметр изоляции.

11. Теплопередача через оребренную стенку. Коэффициент оребрения.

Рассмотрим оребренную стенку с толщиной d и теплопроводностью l. С гладкой стороны площадь поверхности равна F1, а с оребренной – F2. заданы постоянные во времени температуры tж1 и tж2, а также коэффициенты теплоотдачи a1 и a2.

Обозначим температуру гладкой поверхности tc1. Предположим, что температура поверхностей ребер и самой стенки одинакова и равна tc2. Такое предположение, вообще говоря, не соответствует действительности, но упрощает расчеты и им часто пользуются.

При tж1 > tж2 для теплового потока Q можно написать следующие выражения:

;;

где – коэффициент теплопередачи для оребренной стенки.

При расчете плотности теплового потока на единицу неоребренной поверхности стенки получим: . k1 – коэффициент теплопередачи, отнесенный к неоребренной поверхности стенки.

Отношение площади оребренной поверхности к площади гладкой поверхности F2/F1 называется коэффициентом оребрения.

12. Нестационарная теплопроводность. Направляющая точка. Физический смысл Bi, Fo.

Нестационарная теплопроводность – процесс при котором температура в заданной точке твердого тела изменяется во времению совокупность указанных температур образует нестационарное температурное поле, нахождение которого и является основной задачей нестационарной теплопроводности. Процессы нестационарной теплопроводности имеют большое значение для отопления, вентиляции, кондиционирования воздуха, теплоснабжения и теплогенерирующих установок. Ограждения зданий испытывают изменяющиеся во времени тепловые воздействия как со стороны наружного воздуха, так и со стороны помещения таким образом в массиве ограждающей конструкции осуществляется процесс нестационарной теплопроводности. Задачу об отыскании трехмерного температурного поля можно сформулировать в соответствии принципами, изложенными в разделе «математическая формулировка задач теплообмена». Формулировка задачи включает уравнение теплопроводности: , где – коэффициент температуропроводности м2/с, а также условия однозначности, позволяющие выделить единственное решение из множества решений уравнения, различающихся значением констант итегрирования.

Граничные условия сформулируем в форме граничных условий III рода, часто встречающихся на практике. Граничные условия III рода задают для любого момента времени на границах области D коэффициент теплоотдачи и температуру окружающей среды. В общем случае на различных участках поверхности S области D эти величины могут быть различными. Для случая одинакового коэффициента теплоотдачи a на всей поверхности S и всюду одинаковой температуры окружающей среды tж граничные условия III рода при t >0 можно записать в виде: ; ;

где . S – поверхность, ограничивающая область D.

Температура в каждом из трех уравнений берется на соответствующей грани параллелепипеда.

Рассмотрим аналитическое решение сформулированной выше задачи в одномерном варианте, т. е. при условии ly, lz »d. В этом случае требуется найти температурное поле вида t = t(x, t). Запишем формулировку задачи:

уравнение ;

начальное условие: при t = 0 имеем t(x, 0) = t0 = const;

граничное условие: при x = ±d, t > 0 имеем .

В соответствии с этими выражениями имеется бесконечная пластина толщиной 2d, изготовленная из материала с коэффициентом темературопроводности а и обладающая в начальный момент времени температурой t0. пластина резко переносится в среду с температурой tж и коэффициентом теплоотдачи a. С этого момента температура в пластине изменяется так, чтобы удовлетворялось уравнение . Задача состоит в том, чтобы получить конкретную формулу t = t(x, t), позволяющую найти температуру t в любой точке пластины в произвольный момент времени.

Сформулируем задачу в безразмерных переменных, это позволит сократить записи и сделает решение более универсальным. Безразмерная температура равна , безразмерная координата равна Х = х/d. Подставив эти величины в уравнение получим , где — число Фурье (безразмерное время).

Начальное условие запишется в следующем виде: Fo = 0; Q = 1.

Граничное условие запишется как: Fo > 0; Х =1; , где – число Био.

Формулировка задачи в безразмерном виде содержит единственный параметр – число Био, которое в данном случае является критерием, так как составлено только из величин, входящих в условие однозначности. Использование числа Био связано с нахождением температурного поля в твердом теле, поэтому в знаменателе Bi – теплопроводность твердого тела. Bi – наперд заданный параметр и является критерием.

Если рассматривать 2 процесса нестационарной теплопроводности с одинаковыми числами Био, то, согласно третьей теореме подобия, эти процессы подобны. Это значит, что в сходственных точках (т. е. при Х1=Х2; Fo1=Fo2) безразмерные температуры будут численно равны: Q1=Q2. следовательно, произведя один расчет в безразмерном виде, мы получим результат, справедливый для класса подобных явлений, которые могут различаться размерными параметрами a, l, d, t0 и tж.

13. Нестационарная теплопроводность для неограниченной плоской стенки.

17. Уравнение энергии. Условия однозначности.

Уравнение энергии описывает процесс переноса теплоты в материальной среде. При этом ее распространение связано с превращением в другие формы энергии. Закон сохранения энергии применительно к процессам ее превращения формулируется в виде первого закона термодинамики, который и является основой для вывода уравнения энергии. Среда, в которой распространяется теплота, предполагается сплошной; она может быть неподвижной или движущейся. Поскольку случай движущейся среды является более общим, используем выражение первого закона термодинамики для потока: (17.1), где q – подводимая теплота, Дж/кг; h – энтальпия, Дж/кг; w – скорость среды в рассматриваемой точке, м/с; g – ускорение свободного падения; z – высота, на которой расположен рассматриваемый элемент среды, м; lтр – работа против сил внутреннего трения, Дж/кг.

В соответствии с уравнением 17.1 подводимая теплота затрачивается на увеличение энтальпии, кинематической энергии и потенциальной энергии в поле сил тяжести, а также на совершение работы против вязких сил. Работа трения преобразуется в теплоту, представляющую собой часть подводимой теплоты: , где dqто – теплота, подводимая в результате теплообмена со средой, окружающей рассматриваемый элемент жидкости; dqтр – теплота, выделяющаяся при работе сил внутреннего трения.

Следовательно уравнение 17.1 можно представить следующим образом: (17.2).

Т. к. (17.3).

Подсчитаем количество подводимой и отводимой теплоты в единицу времени для элемента среды в виде прямоугольного параллелепипеда, размеры которого достаточно малы для того, чтобы в его пределах можно было бы предположить линейное изменение плотности теплового потока. По оси 0х в левую грань элемента за единицу времени подводится количество теплоты , из правой грани отводится: ; их разность равна .

Проводя аналогичную операцию для осей 0y и 0z, получим соответственно разности: ; . Просуммировав все три разности получим результирующее количество теплоты, подводимое(или отводимое) в элемент за единицу времени.

Источник