Что такое почленное умножение

Что такое почленное умножение

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА I

§ 12 Почленное умножение неравенств

Теорема. Неравенства одинакового смысла с положительными частями можно почленно умножать.

Доказательство. Пусть а > b и с > d, причем числа а, b, с и d положительны. Докажем, что aс > bd.

Умножив неравенство а > b почленно на положительное число с, получим ас > bc. Умножив затем неравенство с > d почленно на положительное число b, получим bc > bd. Теперь имеем: ас > bc, a bc > bd. Но тогда по второму основному свойству неравенств (§ 10) должно быть ас > bd.

Аналогично может быть рассмотрен случай, когда a b, причем числа а и b положительны, то для любого натурального п

Следствие 2. Если числа а и b положительны и

Возвысим оба числа в квадрат:

(√ 5 + √ 6 ) 2 = 5 + 2√ 30 + 6 = 11 + 2√ 30 ;
(√ 3 + √ 8 ) 2 = 3 + 2√ 24 + 8 = 11 + 2√ 24

Квадрат первого числа больше квадрата второго числа. Так как эти числа положительны, то по следствию 2

93. Любые ли два неравенства одинакового смысла можно почленно умножить? (Рассмотрите пример: 3 > — 10 и — 2 > — 7.)

98. √ 8 — √15 и 1 /₂(√ 30 — √ 2 ) 102. (√ 5 —√ 3 ) 51 и (√ 6 —√ 2 ) 51

Источник

Сложение и умножение числовых неравенств

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Сложение и умножение числовых неравенств

Все разобранные выше свойства объединяет то, что сначала дано верное числовое неравенство, и из него посредствам некоторых манипуляций с частями неравенства и знаком получается другое верное числовое неравенство. Сейчас мы приведём блок свойств, в которых изначально дано не одно, а несколько верных числовых неравенств, а новый результат получается из их совместного использования после сложения или умножения их частей.

Указанное свойство справедливо и для умножения любого конечного числа верных числовых неравенств с положительными частями.

Заметим, что если в записи числовых неравенств содержатся неположительные числа, то их почленное умножение может приводить к неверным числовым неравенствам.

Следствие . Почленное умножение одинаковых верных неравенств вида с положительными a и b даёт верное числовое неравенство

В заключение, соберём все изученные свойства в таблицу свойств числовых неравенств:

если и – любое число, то

если – положительные числа,

Пусть и – положительные числа. Верно ли, что

Пусть и – отрицательные числа. Верно ли, что

Из данных неравенств выпишите те, которые верны при любом значении :

Сложите почленно неравенства:

Пусть – произвольное число. Сравнить с нулём значение выражения:

Докажите, что при любом а дробь принимает значение, большее или равное 2.

Докажите, что правильная дробь ( a и b – натуральные числа, ) увеличится при прибавлении к её числителю и знаменателю одного и того же положительного числа.

Докажите, что неправильная дробь ( a и b – натуральные числа, ) уменьшится при прибавлении к её числителю и знаменателю одного и того же положительного числа.

Первый велосипедист проехал из посёлка в город и возвратился обратно, двигаясь с постоянной скоростью. Второй велосипедист ехал в город со скоростью, на 2 км/ч большей скорости первого, а возвращался в посёлок со скоростью, на 2 км/ч меньшей, чем скорость первого велосипедиста. Кто из них затратил на весь путь больше времени?

Расстояние от турбазы до станции равно 18 км. Чтобы попасть на поезд, туристы должны были пройти это расстояние с определённой скоростью. Однако, половину пути они шли со скоростью на 1 км/ч меньше намеченной, а вторую половину пути – со скоростью на 1 км/ч больше намеченной. Успеют ли туристы попасть на поезд?

Оцените значение выражения:

Источник

Содержание:

Неравенства

Существует много задач, при решении которых нужно сравнить некоторые числа или величины, найти значения переменной, удовлетворяющие некоторому неравенству.

В этом параграфе мы выясним свойства числовых неравенств, как доказывать неравенства, что такое неравенство с переменной и система неравенств с переменной, как решать неравенства и их системы.

Числовые неравенства

Вы знаете, что записи

являются примерами числовых неравенств. Вы научились сравнивать натуральные числа, дроби, рациональные и действительные числа.

Известно, что 25 > 17. Найдем разность левой и правой частей этого неравенства:

Найдем разность левой и правой частей неравенства 7 10:

Из равенства 15=15 имеем:

15-15 = 0 — разность равна нулю.

Следовательно, существует зависимость между соотношениями «>», «», «=» и значением разности левой и правой частей соответствующего неравенства (равенства). Эту зависимость выражает определение.

Определение:

Так как разность чисел а и b может быть либо положительной, либо отрицательной, либо равна нулю, то для любых чисел а и b выполняется одно и только одно из трех соотношений: а > b, a b или а = b.

Используя данное определение, сравним числа и . Для этого найдем их разность:

Разность данных чисел — число положительное, поэтому > .

На координатной прямой большее число изображают точкой, которая лежит правее точки, изображающей меньшее число (см. рис. 1).

Рис. 1

В неравенствах используют знаки: «>» — меньше, «>» — больше, «≤ »— меньше или равно (не больше), «≥» — больше или равно (не меньше).

Неравенства, образованные при помощи знаков «» или «>», называют строгими неравенствами, а неравенства, образованные при помощи знаков «≤» или «≥», называют нестрогими.

Числовые неравенства могут быть верными и неверными. Например, 5 8; 1,2 ≥ -1 — верные неравенства, 21 > 30 — неверное неравенство.

Доказательство неравенств

Докажем, что при любом значении а справедливо неравенство

Для этого образуем разность левой и правой частей неравенства и преобразуем ее:

Пример:

Доказать неравенство, если .

Решение:

Образуем разность левой и правой частей неравенства и преобразуем ее:

Разность мы представили в виде дроби, числитель которой неотрицателен, так как он является квадратом некоторого числа, а знаменатель положителен как произведение положительных чисел. Поэтому эта дробь, а значит и разность, неотрицательны: . Следовательно, неравенство справедливо при любых положительных числах а и b.

Если в доказанном неравенстве принять, что b = 1, то получим верное неравенство:

Итак, сумма двух положительных взаимно обратных чисел не меньше 2.

Пример:

Доказать неравенство

Решение:

Образуем разность левой и правой частей неравенства и преобразуем ее:

Следовательно,

Для положительных чисел а и b число называют их средним геометрическим (или средним пропорциональным). Неравенство

справедливо и при любых положительных числах а и b. 11оэтому среднее арифметическое двух положительных чисел не меньше их среднего геометрического.

Пример:

Решение:

Примечание. При доказательстве неравенства при помощи определения соотношений «больше», «меньше» или «равно» разность левой и правой части неравенства нужно преобразовать так, чтобы можно было определить знак разности.

Выражение, полученное после преобразований, принимает неотрицательные значения, если оно является, например, суммой, произведением или частным неотрицательных чисел, четной степенью некоторого выражения и т. п.

Выражение принимает отрицательные значения, если оно является суммой отрицательных чисел, произведением или частным чисел разных знаков и т. п.

Свойства числовых неравенств

Свойство 1 | Если а > b, то b а.

Свойство 2 | Если а b и b с, то а с.

Геометрическая иллюстрация свойства 2 представлена на рисунке 3.

Рис.3

Аналогично можно доказать утверждение: если а > b и b > с, то а > с.

Свойство 3 | Если к обеим частям верною неравенства прибавить одно и то же число, то получим верное неравенство.

Аналогично проводится доказательство для случая а > b и любого числа с.

Следствие. Если некоторое слагаемое перенести из одной части верного неравенства в другую, изменив при этом знак слагаемого на противоположный. то получим верное неравенство.

Свойство 4 | Если обе части верною неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получим верное неравенство. Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получим верное неравенство.

Доказательство: Пусть а b. Докажем, что ас bc, если с — положительное число, и ас > bc. если с — отрицательное число. Рассмотрим разность:

Аналогично проводится доказательство, если имеем неравенство а > b.

Справедливой является и часть свойства, касающаяся деления обеих частей неравенства на некоторое число, так как деление можно заменить умножением на число, обратное делителю.

Следствие. Если a и b — положительные числа и а b, то •

Доказательство: Разделим обе части неравенства а b на положительное число ab. Получим:

Это следствие можно использовать при сравнении чисел, обратных данным. Например, поскольку .

Замечание. Двойное неравенство а b с можно записать в виде двух неравенств: а b и b с. Если а b и b с, то для любого числа m справедливы неравенства: а + m b + m и b + m с + m, откуда а + m b + m с + m.

Итак, если ко всем частям верного двойною неравенства прибавить одно и то же число, то получим верное двойное неравенство.

Аналогично можно обосновать утверждения:

Пример:

Известно, что —1 x 3. Оцените значение выражения:

Решение:

Пример:

Решение:

Образуем разность левой и правой частей неравенства и преобразуем её:

Сложение и умножение числовых неравенств. Оценка значений выражений

Рассмотрим действия, которые можно выполнять над верными числовыми неравенствами.

Сложение числовых неравенств

Свойство 5 | Если почленно сложить верные неравенства одного знака, сохранив их общий знак, то получим верное неравенство.

Доказательство: Пусть а b и с d. Нужно доказать, что а + с b + d. Чтобы получить сумму а + с, прибавим к обеим частям первого неравенства число с, а чтобы получить сумму b + d, прибавим к обеим частям второго неравенства число b. Получим верные неравенства: а + с b + с, b + с b + d. По свойству 2 из последних двух неравенств следует, что а + с b + d.

Аналогично можно доказать, что если а > b и с > d, то а + с > b + d.

Умножение числовых неравенств

Возьмем верные неравенства: 7 > 2 и 5 > 3. Почленно перемножим их. Получим верное неравенство 7 • 5 > 2 • 3 или 35 > 6.

В первом случае все числа данных неравенств были положительными, во втором — положительными и отрицательными. Докажем следующее свойство.

Свойство 4 | Если почленно перемножить верные неравенства одного знака, левые и правые части которых — положительные числа, сохранив при этом их общий знак, то получим верное неравенство.

Доказательство: Пусть а b и с d, где a, b, c и d — положительные числа. Нужно доказать, что ас bd. Умножим обе части неравенства а b на положительное число с, а обе части неравенства c d — на положительное число b. Получим верные неравенства: ас be, be bd. По свойству 2 из последних двух неравенств следует, что ас bd.

Аналогично можно доказать, что если а > b и с > d, где а, b, с и d — положительные числа, то ас > bd.

Следствие. Если а b, а и b — положительные числа, n — натуральное число, то

При доказательстве следствия достаточно взять н неравенств а b и почленно их перемножить.

Оценка значений выражений

Пример:

Решение:

а) Оценим сумму х + у.

Применим к неравенствам 11 х и 1 у свойство о почленном сложении неравенств. Получим: 12 х + у. Применим это же свойство к неравенствам х 14 и у 2. Получим: х + у 16. Результат запишем в виде двойного неравенства 12 х + у 16.

Сокращенно эти преобразования записывают так:

Общая схема оценки суммы имеет такой вид:

Общая схема оценки разности имеет такой вид:

в) Оценим произведение ху.

Поскольку 11 х 14 и 1 у 2, то х и у — положительные числа. Применим к неравенству 11 х и 1 у свойство о почленном умножении неравенств. Получим: 11 ху. Применим это же свойство к неравенствам х 14 и y 2. Получим: ху 28. Результат запишем в виде двойного неравенства 11 ху 28.

Сокращенно эти преобразования записывают гак:

Общая схема оценки произведения имеет такой вид:

г) Оценим частное .

Представим частное в виде произведения . Поскольку 1 у 2,

то или . Согласно свойству о почленном умножении неравенств получим:

то есть .

Общая схема оценки частного имеет такой вид:

Пример:

Доказать неравенство (m + n)(mn + l) ≥ 4mn, где m ≥ 0, n ≥ 0.

Решение:

Используем известное неравенство , где а ≥ 0, b ≥ 0.

Запишем это неравенство для чисел m и n, а потом — для чисел mn и 1. Получим два верных неравенства:

Умножим обе части каждого неравенства на 2:

Почленно перемножив эти неравенства, получим:

Примечание. При доказательстве неравенства из примера 1 мы использовали известное неравенство, доказанное ранее. Особенность использованного способа доказательства неравенств состоит в том, что:

Неравенства с одной переменной. Числовые промежутки

Понятие о неравенстве с одной переменной и его решении

Рассмотрим неравенство 2х + 5 > 11. При одних значениях x данное неравенство превращается в верное числовое неравенство, при других — в неверное. Например, при х = 5 получим верное числовое неравенство 2 • 5 + 5 > 11; 15 > 11, а при х = 1 получим неверное числовое неравенство 2 • 1 + 5 > 11; 7 > 11.

Если нужно найти все значения х, при которых неравенство 2х + 5 > 11 является верным, то говорят, что нужно решить неравенство 2х + 5 > 11, содержащее одну переменную х.

При х = 5 неравенство 2х + 5 > 11 является верным. Говорят, что число 5 является решением данного неравенства или удовлетворяет данному неравенству.

Определение: Решением неравенства с одной переменной называют значение переменной, превращающее его в верное числовое неравенство.

Решить неравенство значит найти все его решения или доказать, что решений нет.

Неравенство с одной переменной преимущественно имеет бесконечное множество решений. Так, решениями неравенства 2х + 5 > 11 являются числа

и т. п. Множества решений неравенства иногда можно записывать в виде числовых промежутков.

Числовые промежутки

Рассмотрим несколько примеров.

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

Рис. 7 а Рис. 7 б

4) Неравенству х >4 удовлетворяют все действительные числа больше 4. На координатной прямой чти числа изображают точками, лежащими справа от точки с координатой 4. Множество чисел, удовлетворяющих неравенству х > 4, изображают полупрямой, находящейся справа от точки с координатой 4 без этой точки (см. рис. 8). Такое множество называют промежутком от 4 до плюс бесконечности и обозначают (4; ).

*Рис. 8

Множество чисел, удовлетворяющих неравенству х ≥ 4, изображают полупрямой (см. рис. 9). Это множество обозначают [4; ) (читают: «промежуток от 4 до плюс бесконечности, включая 4»),

Рис. 9

5) Множество чисел, удовлетворяющих неравенству х 8, записывают (; 8) и читают «промежуток от минус бесконечности до 8». Множество чисел, удовлетворяющих неравенству х ≤ 8, записывают (; 8] и читают: «промежуток от минус бесконечности до 8, включая 8». На координатной прямой эти числовые промежутки изображают гак:

Рис. 10 а

Рис. 10 б

6) Множество всех действительных чисел изображают всей координатной прямой и обозначают так:

Объединение и пересечение числовых промежутков

Рассмотрим два промежутка: [-1; 4) и (2; 7).

Рис. 11

Промежуток [-1; 7) образуют все числа, принадлежащие промежутку [-1; 4) или промежутку (2: 7). Говорят, что промежуток [-1; 7) является объединением промежутков [-1;4) и (2; 7). Записывают: , где — знак объединения.

Определение: Объединением числовых промежутков называют множество всех чисел, принадлежащих хотя бы одному из этих промежутков.

Промежуток (2; 4) образуют все общие числа из промежутков [-1; 4) и (2; 7), то есть все числа, принадлежащие каждому из промежутков [-1; 4) и (2; 7). Говорят, что промежуток (2; 4) является пересечением промежутков [-1; 4) и (2; 7). Записывают:, где — знак пересечения.

Определение: Пересечением числовых промежутков называют множество всех чисел, принадлежащих каждому из этих промежутков.

Для тех, кто хочет знать больше.

Объединением и пересечением двух числовых промежутков могут быть не числовые промежутки. Рассмотрим, например, промежутки [-2; 1] и (3;4). Чисел, принадлежащих обоим этим промежуткам, пет (см. рис. 12). Поэтому говорят, что пересечением этих промежутков является пустое множество. Его обозначают символом. Записывают: . Объединением промежутков [-2; 1] и (3; 4) является множество , не являющееся числовым промежутком (оно «состоит» из двух промежутков).

Для промежутков множество общих чисел содержит только одно число — число 1 (см. рис. 13). Такое множество обозначают так: <1>. Записывают: . Легко найти, что .

Рис. 13

Пример:

Указать наименьшее и наибольшее действительные числа, принадлежащие промежутку:

Решение: а) ;

в) наименьшего числа нет; 4,8;

г) ни наименьшего, ни наибольшего чисел нет.

Пример:

Отметить на координатной прямой множество чисел, удовлетворяющих неравенству, и записать это множество в виде промежутка или объединения промежутков: а) ; б) .

Решение:

а) Модулем числа х является расстояние от начала отсчета до точки, изображающей число х на координатной прямой. Поэтому решениями данного неравенства являются числа, соответствующие тем точкам координатной прямой, которые лежат от начала отсчета на расстоянии не больше 5.

Следовательно, решениями неравенства являются все числа, принадлежащие промежутку [-5; 5].

б) Решениями неравенства являются числа, которым соответствуют те точки координатной прямой, которые лежат от начала отсчета на расстоянии не меньше 5 (больше 5 или равном 5), то есть значения х, удовлетворяющие неравенству или неравенству .

Следовательно, множеством решений неравенства является объединение промежутков, то есть

Решение неравенств с одной переменной. Равносильные неравенства

Пример:

Одна сторона участка прямоугольной формы на 5 м длиннее другой. Какими могут быть стороны участка, чтобы для его ограждения хватило сетки длиной 46 м?

Решение:

Пусть длина меньшей стороны участка равна х м, тогда длина большей —

(х + 5 )м, а периметр участка — 2(х + х + 5) = (4х + 10) (м). По условию периметр не превышает 46 м. поэтому 4х + 10 ≤ 46.

Чтобы найти стороны участка, нужно решить неравенство 4х + 10 ≤ 46 с одной переменной х.

При решении неравенства его преобразуют, заменяя более простыми неравенствами с теми же решениями.

Неравенства, имеющие одни и тс же решения, называют равносильными. Неравенства, не имеющие решений, также называют равносильными.

Замену неравенства равносильным» ему неравенствами выполняют на основании таких свойств:

Используя эти и свойства, решим неравенство:

Перенесем слагаемое 10 из левой части неравенства в правую с противоположным знаком, получим неравенство

равносильное заданному неравенству.

Разделив обе части последнего неравенства на 4, получим неравенство

Следовательно, неравенство 4х + 10 ≤ 46 равносильно неравенству х ≤ 9, и ему удовлетворяют все числа не больше 9 (см. рис. 16). Множество решений данного неравенства можно записать в виде числового промежутка .

Рис. 16

Вернемся к задаче. Длину меньшей стороны участка мы обозначили через х м. Поскольку длина стороны выражается положительным числом, то х может принимать значения из промежутка (0; 9|. Итак, меньшая сторона участка не должна превышать 9 м, большая же сторона на 5 м длиннее нее.

Для тех, кто хочет знать больше.

мы перенесли слагаемое 10 из левой части неравенства в правую с противоположным знаком и получили неравенство

Докажем, что неравенства (1) и (2) равносильны.

Пусть х = а — любое решение неравенства (1), тогда 4а + 10 ≤ 46 — верное числовое неравенство. Перенесем слагаемое 10 из левой части неравенства в правую, изменив его знак на противоположный, получим верное числовое неравенство 4а ≤ 46- 10. Из того, что последнее неравенство является верным, следует, что число а является решением неравенства (2).

Мы показали, что любое решение неравенства (1) является решением неравенства (2) и любое решение неравенства (2) является решением неравенства (1). Поэтому эти неравенства имеют одни и те же решения, то есть являются равносильными.

Пример:

Решение:

перенесем слагаемые, содержащие переменную, в левую часть неравенства, а остальные — в правую часть:

приведем подобные слагаемые:

разделим обе части неравенства на 3:

Ответ.

Пример:

Решить неравенство , отметить на координатной прямой множество его решений и записать это множество в виде числового промежутка.

Решение:

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель дробей, входящих в неравенство, то есть на 18. Получим:

Ответ, (; 4,2].

Пример:

Решить неравенство .

Решение:

Разделим все части неравенства на 3, получим: .

Ответ. .

Пример:

Решить неравенство:

Решение:

а) Решениями неравенства |2х-3| ≤ 5 являются числа, удовлетворяющие двойному неравенству

Прибавим ко всем частям неравенства число 3, получим:

Разделим все части неравенства на 2:

Решая каждое неравенство совокупности, получим:

Решениями совокупности являются значения х, удовлетворяющие неравенству х -2 или неравенству х > 3.

Ответ. х -2 или х > 3. (Ответ можно записать и в виде объединения промежутков:

Линейные неравенства с одной переменной

Рассмотрим несколько примеров.

Пример:

Решить неравенство .

Решение:

Множеством решений неравенства является числовой промежуток

Ответ.

Пример:

Решить неравенство

Решение:

Ответ.

Пример:

Решить неравенство .

Решение:

Неравенство 0 • х — 5 не имеет решений, так как при любом х значение

Неравенства вида ах > b, ax>b, ах b, ах b, где а и b — некоторые известные числа, а х — переменная, называют линейными неравенствами с одной переменной.

Если ,то для решения линейного неравенства с одной переменной нужно разделить обе части неравенства на а. Если то или решением неравенства является любое число, или неравенство не имеет решений. Выделим следующие основные шаги решения неравенств:

Пример:

Найти область определения функции .

Решение:

Областью определения функции является промежуток .

Ответ.

Пример:

Решить неравенство (а + 3)х 5 с параметром а.

Решение:

Рассмотрим три случая: 1) а + 3 0; 2) а + 3 = 0; 3) а + 3 > 0.

1) Если а + 3 0, то есть а -3, то, разделив обе части неравенства на отрицательное число а + 3, получим:

3) Если а + 3 > 0. то есть а > —3, то

Системы линейных неравенств с одной переменной

Понятие системы неравенств с одной переменной и ее решения

Пример:

Одна хозяйка купила на рынке 10 кг помидоров и заплатила за них больше 18 руб. Вторая хозяйка купила такие же помидоры и заплатила за 5 кг меньше 14 руб. По какой цене покупали помидоры хозяйки?

Решение:

Пусть цена 1 кг помидоров х руб., тогда 10 кг стоят 10х руб., что по условию задачи больше 18 руб., то есть 10х > 18.

5 кг помидоров стоят 5х руб., что по условию задачи меньше 14 руб., то есть 5х 14.

Чтобы решить задачу, нужно найти те значения х, при которых верным будет как неравенство 10х > 18, так и неравенство 5х 14.

Если нужно найти те значения переменной, которые удовлетворяют двум неравенствам, то говорят, что нужно решить систему неравенств. Для нашей задачи систему записывают так:

Решив каждое из неравенств системы, получим:

Следовательно, значения х должны удовлетворять условию 1,8 х 2.8, то есть цена 1 кг помидоров больше 1 руб. 80 к., но меньше 2 руб. 80 к.

Значение х = 2 является решением обоих неравенств системы

поскольку каждое из числовых неравенств 10 • 2 > 18 и 5 • 2 14 является

верным. Такое значение х называют решением системы неравенств.

Определение: Решением системы неравенств с одной переменной называют значение переменной, при котором выполняется каждое из неравенств системы.

Решить систему неравенств значит найти все ее решения или доказать, что их нет.

Решение систем линейных неравенств с одной переменной

Пример:

Решить систему неравенств

Решение:

Решим каждое из неравенств системы:

Отметим на координатной прямой множество чисел, удовлетворяющих первому неравенству последней системы, — промежуток , и множество чисел, удовлетворяющих второму неравенству, — промежуток .

Общими решениями неравенств являются значения х, принадлежащие обеим промежуткам, то есть их пересечению:

Пример:

Решить систему неравенств

Решение:

На координатной прямой отметим множество чисел, удовлетворяющих неравенству , и множество чисел, удовлетворяющих неравенству .

Общими решениями неравенств являются значения х, принадлежащие промежутку

Ответ.

Пример:

Решить систему неравенств

Решение:

На координатной прямой отметим множество чисел, удовлетворяющих неравенству х > 2, и множество чисел, удовлетворяющих неравенству х -3.

Общих решений неравенства не имеют.

Следовательно, систему линейных неравенств с одной переменной можно решить, используя следующую схему:

Примечание.

Пример:

Решить неравенство .

Решение:

Найдем значения х, при которых значения выражений, стоящих под знаком модуля, равны нулю:

Раскроем модули на каждом из промежутков и решим соответствующие неравенство.

Решим полученное неравенство:

Кроме того, значения х должны удовлетворять неравенству х -1, а значит, и

Значения х должны удовлетворять двум неравенствам: и х 3,5, то есть

системе множеством решений которой является промежуток [2; 3,5).

Пример:

При каких значениях х имеет смысл выражение

Решение:

Данное выражение имеет смысл при тех значениях х, при которых каждое из выражений 2х + 9 и 5 + х принимает неотрицательные значения. Поэтому искомые значения л должны удовлетворять систему неравенств

Решим полученную систему:

Пример:

Решить неравенство

Решение:

Дробь положительна только тогда, когда ее числитель и знаменатель положительны или когда они оба отрицательны. Поэтому решение данного неравенства сводится к решению двух систем неравенств:

Решениями первой системы являются значения х, удовлетворяющие неравенству х > 2, а второй — неравенству х — 1.

Ответ, х -1 или х > 2. (Множество решений можно записать в виде объединения промежутков:

Пример:

Решить двойное неравенство .

Решение:

Данное двойное неравенство можно записать в виде системы

Заметим, что двойное неравенство в упражнении 3 можно решать и на основании свойств равносильности неравенств (см. пункт 5, упражнение 3).

Как известно, возникновение чисел обусловлено потребностями практической деятельности человека. Применение чисел требовало умения их сравнивать. Делать это люди научились много тысячелетий назад.

Где в «Началах» Евклида сугубо геометрически было обосновано неравенство , где а и b рассматривались как длины отрезков.

Рассмотрим геометрическую иллюстрацию неравенства

, где а > 0, b > 0.

Отрезок РО — радиус полуокружности, поэтому .

Поскольку .

Это известное неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим двух положительных чисел, которое можно распространить па случай большего количества чисел, называют еще неравенством Коши.

Огюстен Луи Коши — известный французский математик. Он является автором более 800 работ по арифметике и теории чисел, алгебре, математическому анализу, теоретической и небесной механике, математической физике и т. п. Были периоды, когда Коши каждую неделю подавал в Парижскую Академию наук новую математическую работу. Скорость, с какой Коши переходил от одного предмета к другому, позволила ему проложить в математике немало новых путей. Многие теоремы, определения, признаки носят его имя.

Приведем еще два известных неравенства, которые, как и неравенство Коши, используют для доказательства многих математических утверждений, в частности, для доказательства других неравенств.

Неравенство Коши — Буняковского:

где — любые действительные числа.

О В. Я. Буняковском читайте в рубрике «Отечественные математики».

где — натуральное число.

Якоб Бернулли — швейцарский математик, профессор Базельского университета. Основные его работы посвящены математическому анализу, но особое внимание ученый уделял теории вероятностей. Немало теорем названы его именем. Бернулли положил начало одному из разделов прикладной математики — математической статистике.

Неравенства

На практике вам часто приходится сравнивать величи­ны. Например, площадь России (603,7 тыс. км2) больше площади Франции (551 тыс. км2), высота горы Роман-Кош (1545 м) меньше высоты горы Говерлы (2061 м), расстояние от Киева до Харькова (450 км) равно 0,011 длины эква­тора.

Когда мы сравниваем величины, нам приходится срав­нивать числа. Результаты этих сравнений записывают в виде числовых равенств и неравенств, используя знаки =, >, b; если число а меньше числа b, то пишут а b и b > с, то а > с.

Аналогично доказывают свойство: если а b и с — любое число, то а + с > b + с.

Аналогично доказывают свойство: если а b + с вер­но. Вычтем из обеих его частей число с. Получим:

Поскольку деление можно заменить умножением то, учитывая теорему 2.3, можно сделать такой вывод.

Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получим верное неравенство.

Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и из­менить знак неравенства на противоположный, то получим верное неравенство.

Следствие:

Доказательство: Разделим обе части неравенства а > b на положительное число ab. Получим правильное неравенство , то есть Отсюда

В теоремах этого пункта шла речь о строгих неравен­ствах. Нестрогие неравенства также обладают аналогичны­ми свойствами. Например, если — любое число, то

Сложение и умножение числовых неравенств. Оценивание значения выражения

Выводы из этих примеров интуитивно очевидны. Их справедливость подтверждают следующие теоремы.

Теорема: (о почленном сложении неравенств).

Аналогично доказывается свойство: если а b и с > d (или а b и с d) — неравенствами противоположных знаков.

Говорят, что неравенство а + с > b + d получено из не­равенств а > b и с > d путем почленного сложения.

Теорема: означает, что при почленном сложении верных неравенств одного знака результатом является верное неравенство того же знака.

Отметим, что теорема 3.1 справедлива и в случае по­членного сложения трех и более неравенств. Например, если

Теорема: (о почленном умножении нера­венств). Если а > Ь, с > d и а, и, с, d — положительные числа, то ас > bd.

Аналогично доказывается свойство: если а bd получено из неравенств а > b и с > d путем почленного умножения.

Теорема: означает, что при почленном умножении верных неравенств одного знака, у которых левые и пра­вые части — положительные числа, результатом явля­ется верное неравенство того же самого знака.

Заметим, что теорема 3.2 справедлива и в случае почлен­ного умножения трех и более неравенств. Например, если — положительные числа, причем то

Следствие: Если — положительные чис­ла, то , где — натурально число.

Доказательство: Запишем верных неравенств а > b :

неравенств

Так как а и b — положительные числа, то можем перемно­жить почленно записанных неравенств. Получим

Заметим, что все рассмотренные свойства неравенств справедливы и в случае нестрогих неравенств:

Часто значения величин, являющихся результатами из­мерений, не точны. Измерительные приборы, как правило, позволяют лишь установить границы, между которыми находится точное значение.

Пусть, например, в результате измерения ширины х и длины у прямоугольника было установлено, что 2,5 см 44 является математической моделью задачи о периметре па­раллелограмма.

Если в это неравенство вместо переменной х подставить, например, число 16, то получим верное числовое неравен­ство 14 + 32 > 44. В таком случае говорят, что число 16 является решением неравенства 14 + 2х > 44.

Определение: Решением неравенства с одной переменной называют значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.

Так, каждое из чисел является решением неравенства 14 + 2х > 44, а число 10, например, не явля­ется его решением.

Замечание. Определение решения неравенства анало­гично определению корня уравнения. Однако не принято говорить «корень неравенства».

Решить неравенство означает найти все его решения или доказать, что решений не существует.

Все решения неравенства образуют множество решений неравенства. Если неравенство решений не имеет, то гово­рят, что множеством его решений является пустое множе­ство. Пустое множество обозначают символом

Например, в задаче «решите неравенство ответ будет таким: «все действительные числа, кроме числа 0».

Очевидно, что неравенство решений не имеет, т. е. множеством его решений является пустое множество.

Определение: Неравенства называют равносильны­ми, если они имеют одно и то же множество решений.

Приведем несколько примеров.

Неравенства равносильны. Действитель­но, каждое из них имеет единственное решение х = 0.

Неравенства равносильны, так как множеством решений каждого из них является множество действительных чисел.

Так как каждое из неравенств решений не имеет, то они также являются равносильными.

Решение линейных неравенств с одной переменной

Свойства числовых равенств помогали нам решать урав­нения. Точно так же свойства числовых неравенств помогут решать неравенства.

Решая уравнение, мы заменяли его другим, более прос­тым уравнением, но равносильным данному. По аналогич­ной схеме решают и неравенства.

При замене уравнения на равносильное ему уравнение используют теоремы о перенесении слагаемых из одной части уравнения в другую и об умножении обеих частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число.

Аналогичные правила применяют и при решении не­равенств.

С помощью этих правил решим неравенство, полученное в задаче о периметре параллелограмма (см. п. 4).

Разделим обе части неравенства на 2:

Заметим, что полученное неравенство равносильно ис­ходному неравенству. Множество его решений состоит из всех чисел, которые больше 15. Это множество называют числовым промежутком и обозначают (15; +) (читают: «промежуток от 15 до плюс бесконечности»).

Точки координатной прямой, изображающие решения неравенства х > 15, расположены справа от точки, изобра­жающей число 15, и образуют луч, у которого «выколото» начало (рис. 5).

Ответ может быть записан одним из способов: (15 ; + ; либо х > 15.

Заметим, что для изображения на рисунке числового промежутка используют два способа: с помощью либо штриховки (рис. 5, а), либо дуги (рис. 5, б). Мы будем использовать второй способ.

Пример:

Решите неравенство

Решение:

Перенесем слагаемое х из правой части неравенства в ле­вую, а слагаемое 3 — из левой части в правую и приведем подобные члены:

Ответ можно записать одним из способов: либо

Пример:

Решите неравенство

Решение:

Запишем цепочку равносильных неравенств:

Неравенства

В этом разделе вы научитесь:

Это интересно!

Великий Азербайджанский мыслитель, философ, математик, астроном Насреддин Туси создал научные труды, которые внесли большой вклад в историю человечества. В письменных источниках его называют «Отецом тригонометрии». В своём труде «Об измерении круга» он впервые доказал теорему синусов и применил их для астрономических расчетов.

Неравенства:

Неравенства записываются при помощи знаков Неравенства могут быть записаны словами или математическими символами, а также изображены на числовой оси.

Для сравнения чисел и выражений применяются различные методы. Одним из них является метод оценки разности.

Пример:

Сравним выражения . Для этого рассмотрим разность . Значит, при любых значениях переменой значение выражения не меньше (больше или равно) значения выражения .

Свойства неравенств

Доказательство 3-го свойства: если , то ; если , то Тогда , отсюда следует, что

Исследование

Рассмотрим неравенство

При значении переменной меньше 7, значение суммы меньше 10.

При значении переменной равной 7, значение суммы равно 10.

При значении переменной больше 7, значение суммы больше 10.

Неравенство верно для всех чисел меньше 7.

Свойства неравенств

Теорема. Если неравенство верное, то прибавив или отняв от обеих частей данного неравенства одно и то же число, получим верное неравенство.

Если , то для любого числа

Если , то для любого числа .

Пример:

Масса морского тюленя может достигать максимально 650 кг. В настоящее время тюлень весит 398 кг. Как при помощи неравенства можно записать массу, которую еще сможет набрать тюлень?

Свойства неравенств

Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получим верное неравенство.

Для любых чисел при получим:

Если обе части верного неравенства разделить или умножить на одно и то же отрицательное число и поменять знак неравенства на противоположный, то получим верное неравенство.

Для любых чисел при получим:

Сложение и вычитание неравенств

Теорема. Если

Если к обеим частям неравенства прибавить , то

Если к обеим частям неравенства прибавить , то

Из получим, что

Данная теорема верна при сложении двух и более неравенств. Если почленно сложить верные неравенства одного знака, то получится верное неравенство.

Если положительные числа, и , тогда .

Если в неравенстве обе части умножим на , а в неравенстве обе части умножим на , то получим и

Отсюда следует что, .

Следствие. Если положительные числа и , тогда . (я-натуральное число).

Числовые промежутки

При множество всех действительных чисел, удовлетворяющих соотношению называется интервалом

.

Если в множество точек интервала добавить точки , то полученный промежуток будет называться отрезком .

Множество всех чисел , удовлетворяющих двойному неравенству и , соответственно записывается как .

Множество всех точек, удовлетворяющих условию и расположенных справа от точки с координатой , записывается как и читается так: промежуток от до плюс бесконечности.

Если точка принадлежит множеству чисел, удовлетворяющих условию , то это записывается как и графически изображается так:

Множество всех чисел, удовлетворяющих условию , записывается как и графически изображается так:

Если точка принадлежит множеству чисел, удовлетворяющих условию , то это записывается как и графически изображается так:

Решение линейных неравенств с одной переменной

Определение. Решением линейною неравенства с одной переменной называется множество всех значений переменной превращающих данное неравенство в верное.

Решить неравенство, значит найти все его решения или докатать, что решений нет. Неравенства, имеющие одинаковые множества решений, называются равносильными. Неравенства, не имеющие решения, также называются равносильными. При решении неравенств используются следующие следствия, полученные из свойств числовых неравенств:

1) Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство.

2) Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство. Например, неравенство равносильно неравенству , а неравенство равносильно неравенству .

3) Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Неравенства вида (где некоторые числа) называются линейными неравенствами, зависящими от одной переменной.

Решение неравенства

Решение неравенства

Пример:

решением неравенства является промежуток

Графическое представление решения:

Решение двойных неравенств

Двойные неравенства

Пример 1. Запишем неравенство в виде двух неравенств

Надо найти такие значения , которые будут удовлетворять неравенствам .

Пример 2.

Надо найти такие значения х, которые будут удовлетворять неравенствам

Решаем каждое неравенство и находим объединение множеств.

Пример 3. Двойное неравенство можно решить используя свойства неравенств.

Простые неравенства с переменной, входящей под знаком модуля

Геометрически решением неравенства является множество всех точек, расположенных на расстоянии меньше 3-х единиц от числа 0. Это все действительные числа, которые расположены между числами 3 и 3, т.е. .

При неравенство геометрически выражает расстояние от точки 0 до точек , при котором это расстояние будет меньше . Оно состоит из множества точек , размещённых на интервале .

Поэтому неравенство равносильно двойному неравенству Аналогично, неравенство равносильно двойному неравенству

При неравенство геометрически выражает расстояние от точки 0 до точек , при котором это расстояние будет больше . Для любого , взятого из промежутков расстояние от начала отсчета до точки больше . Поэтому, множеством решений неравенства является , т.е. объединение промежутков, удовлетворяющее неравенствам .

Множество решений неравенства будет .

Неравенства

Числовые неравенства

Для любых двух чисел и имеет место одно и только одно из соотношений: или . Ранее в зависимости от вида чисел (натуральные числа, десятичные дроби, обычные дроби с одинаковыми или разными знаменателями) мы использовали то или иное правило сравнения чисел. Удобнее было бы иметь универсальное правило сравнения.

Известно, что . Рассмотрим разность левой и правой частей этого неравенства: , разность положительна. Рассматривая разность левой и правой частей неравенства , получаем: , разность отрицательна. Рассматривая в равенстве разность левой и правой частей, получим, что разность равна нулю: .

Приходим к определению сравнения чисел:

Пример №285

Сравнить и .

Решение:

Рассмотрим разность чисел и :

Разность отрицательна, значит .

Ответ.

Напомним, что на координатной прямой точка, соответствующая меньшему числу, лежит левее точки, соответствующей большему числу. На рисунке 1 точка, соответствующая числу , лежит левее точки, соответствующей числу , поэтому .

Числовые неравенства бывают верные и неверные.

Например, — верные числовые неравенства, — неверные числовые неравенства.

Кроме знаков , называемых знаками строгого неравенства, в математике также используют знаки (читают: «меньше или равно» или «не больше») и («больше или равно» или «не меньше»). Знаки и называют знаками нестрогого неравенства. Неравенства, которые содержат знак , называют строгими неравенствами, а те, которые содержат знак или — нестрогими неравенствами.

Из определения соотношений «больше», «меньше» и «равно» получаем, что , если , и , если .

Рассмотрим, как с помощью определения сравнения чисел можно доказывать неравенства.

Пример №286

Доказать, что при любом значении имеет место неравенство .

Доказательство: Рассмотрим разность левой и правой частей неравенства и упростим ее:

.

Так как при любом значении , то при любом значении имеет место неравенство , что и требовалось доказать.

Условие для примера 2 можно было сформулировать проще, например: доказать неравенство .

Пример №287

Доказать неравенство .

Доказательство: Рассмотрим разность левой и правой частей неравенства и упростим ее:

.

Так как при любом значении , . Следовательно, по определению, неравенство верно при любом , что и требовалось доказать.

Пример №288

Доказать неравенство .

Доказательство: В левой части неравенства выделим квадраты двучленов:

.

При любых значениях и : .

А значит, .

Следовательно, , что и требовалось доказать.

Напомним, что число называют средним арифметическим чисел и . Для неотрицательных чисел и число называют их средним геометрическим.

Пример №289

Доказать, что среднее арифметическое двух неотрицательных чисел и не меньше их среднего геометрического (неравенство Коши):

.

Доказательство: Рассмотрим разность левой и правой частей неравенства и преобразуем ее, учитывая, что для . Получим:

для любых и . Следовательно, при любых , , что и требовалось доказать. Отметим, что знак равенства в неравенстве Коши возможен тогда и только тогда, когда . Если .

Понятия «больше» и «меньше» появились одновременно с понятием «равно».Еще с древних времен в практической деятельности человека возникла потребность сравнивать количество предметов, длины отрезков, площади участков и т. п. Так, например, несколько неравенств присутствует в выдающемся труде «Начала» древнегреческого математика Евклида (ок. 356-300 до н. э.). В частности, там он доказывает неравенство геометрическим методом для положительных чисел и .

Чтобы оценить отношение длины круга к его диаметру (позже названное числом ), другой древнегреческий физик и математик Архимед (ок. 287-212 до н. э.) использовал неравенство:.

Привычные нам символы для записи неравенств появились лишь в XVII—XVIII в. Знаки и впервые использовал английский математик Томас Харриот (1560-1621) в работе «Практика аналитического искусства», опубликованной в 1631 году, а знаки и — в 1734 году французский математик и астроном Пьер Бугер (1698-1758).

Кроме неравенства Коши отметим еще и такие известные неравенства:

1) Неравенство Бернулли.

, где — 1, — целое число.

2) Неравенство Чебышёва.

, где — положительные числа, причем .

3) Неравенство Коши-Буняковского.

, где — любые числа.

Основные свойства числовых неравенств

Рассмотрим свойства числовых неравенств.

Свойство 1.

Доказательство: Поскольку , то . Тогда , но , поэтому . Следовательно, .

Аналогично будем рассуждать и в случае, когда .

Свойство 2.

Доказательство: По условию . Поэтому и , т. е. числа и — положительны. Рассмотрим разность . Имеем:

(так как числа и — положительны). Поэтому .

Аналогично рассуждаем, когда и .

Геометрическая иллюстрация свойства 2 представлена на рисунках 2 и 3.

Свойство 3.

Доказательство: По условию , значит, . Рассмотрим разность и преобразуем ее:

, следовательно, .

Следствие: .

Доказательство: Так как , то , т.е. . Но , поэтому . Следовательно, .

Из этого следствия имеем:

если некоторое слагаемое перенести из одной части верного неравенства в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то получим верное неравенство.

Свойство 4.

Доказательство: Пусть , тогда . Рассмотрим разность и преобразуем ее: .

Если , то , а значит, ; если , то , а значит .

Так как , то, обозначив , получим, что аналогичное свойство имеет место и в случае деления обеих частей неравенства на отличное от нуля число .

Следствие:

Доказательство: Разделим обе части неравенства на положительное число ; тогда , т. е. .

Пример №290

Дано: . Сравнить:

Решение:

1) Если к обеим частям верного неравенства прибавим число 1, то по свойству 3 получим: .

3) Если обе части верного неравенства умножим на положительное число 1,7, то по свойству 4 получим верное неравенство .

Решение таких упражнений можно записать короче:

6) Если обе части верного неравенства разделим на положительное число 8, то по свойству 4 получим верное неравенство .

Напомним, что в математике есть и двойные числовые неравенства: . Например, двойное неравенство означает, что одновременно имеют место неравенства и . Так как и , то для любого числа по свойству 3 имеют место неравенства и .

Таким образом, если ко всем частям верного двойного неравенства прибавить одно и то же число, то получим верное двойное неравенство.

Рассуждая аналогично, получаем:

Рассмотренные нами свойства числовых неравенств можно использовать для оценивания значении выражении.

Пример №291

Оценить периметр квадрата со стороной см, если

Решение:

Так как периметр квадрата находят по формуле , то все части неравенства нужно умножить на 4. Получим:

, тогда .

Следовательно, периметр квадрата больше чем 12,8 см, но меньше чем 15,6 см.

Ответ. .

Пример №292

Дано: . Оценить значение выражения:

Решение:

Используя форму записи, предложенную в задании 5 примера, получим:

Почленное сложение и умножение неравенств

Продолжим рассмотрение свойств неравенств.

Допустим, имеем два верных неравенства одного знака: и . Сложим их левые части, их правые части и между результатами запишем такой же знак: . Получим верное числовое неравенство, ведь, действительно, . Действие, которое мы выполнили, называют почленным сложением неравенств. Заметим, что почленно складывать можно лишь неравенства одного знака.

Свойство 5 (почленное сложение неравенств). Если и , то .

Доказательство: К обеим частям неравенства прибавим число , а к обеим частям неравенства — число , получим два верных неравенства: и , следовательно, , что и требовалось доказать.

Аналогично доказываем, что если и , то .

Свойство 5 справедливо и в случае почленного сложения более чем двух неравенств.

Пример №293

Стороны некоторого треугольника равны см, см и см. Оценить периметр треугольника (в см), если .

Решение:

Приведем сокращенную запись решения:

Таким образом, .

Ответ. .

Свойство 6 (почленное умножение неравенств). Если и , где — положительные числа, то .

Доказательство: Умножим обе части неравенства на положительное число , а обе части неравенства — на положительное число получим два верных неравенства: и , следовательно, (по свойству 2). Доказано.

Аналогично можно доказать, что если и , где — положительные числа, то .

Отметим, что свойство 6 справедливо и для более чем двух неравенств.

Следствие: Если — положительные числа, причем , то , где — натуральное число.

Доказательство: Перемножив почленно верных неравенств , где и , получим .

С помощью рассмотренных нами свойств можно оценивать сумму, разность, произведение и частное чисел.

Пример №294

Дано: . Оцените значение выражения:

Решение:

1)

2) Чтобы оценить разность , представим ее в виде суммы: , но сначала оценим выражение .

Умножив все части неравенства на число и изменив знаки неравенства на противоположные, получим: , т. е. . Таким образом,

3)

4) Чтобы оценить частное , представим его в виде произведения:. Оценим выражение . Если , то . Таким образом, .

Ответ.

С помощью рассмотренных свойств можно также доказывать неравенства.

Пример №295

Доказать, что , если ,

Решение:

К каждому множителю левой части неравенства применим неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим (неравенство Коши), получим:

Используя свойство 4, обе части каждого из этих неравенств умножим на 2, получим:

.

Перемножим эти неравенства почленно:

Таким образом,, что и требовалось доказать.

Неравенства с переменными. решение неравенства

Также решениями неравенства являются, например, числа т. д.

Решением неравенства с одной переменной называют такое значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.

Решить неравенство — означает найти все его решения или доказать, что решений нет.

Пример №296

Решить неравенство: 1)

Решение:

1) при всех , причем тогда и только тогда, когда . Значит, решением неравенства является любое положительное число.

2) при любом значении , поэтому при

любом . Следовательно, значение выражения также будет положительным при любом . А значит, при любом значении неравенство является неверным, т. е. не имеет решений.

Ответ. 1) Любое число, большее нуля; 2) нет решений.

Числовые промежутки. пересечение и объединение множеств

Множество решений неравенств удобно записывать с помощью числовых промежутков.

Пример №297

Пример №298

Пример №299

Пример №300

Пример №301

Неравенству удовлетворяют все числа, большие, чем 2, то есть числа, лежащие на координатной прямой справа от числа 2. Множество этих чисел обозначают (читают: «промежуток от 2 до плюс бесконечности») и изображают лучом, выходящим из «пустой» точки с координатой 2 (рис. 9).

Пример №302

Неравенству удовлетворяют все числа, большие, чем 2, и само число 2. Множество этих чисел обозначают: (читают: «промежуток от 2 до плюс бесконечности, включая 2») и изображают лучом, лежащим справа от точки с координатой 2, включая эту точку (рис. 10).

Пример №303

Множество чисел, удовлетворяющих условию , записывают так: (читают: «промежуток от минус бесконечности до 4»). Это множество изображено на рисунке 11.

Пример №304

Множество чисел, удовлетворяющих условию , записывают так: (читают: «промежуток от минус бесконечности до 4, включая 4»). Изображено оно на рисунке 12.

Таким образом, если конец промежутка принадлежит промежутку (например, для нестрогого неравенства), то этот конец заключают в квадратную скобку, во всех остальных случаях конец заключают в круглую скобку.

Множество всех чисел изображает вся координатная прямая и его записывают в виде . Множество, не содержащее ни одного числа, обозначают символом и называют пустым множеством.

Над множествами можно выполнять некоторые действия (операции). Рассмотрим два из них: пересечение и объединение.

Пересечением множеств и называют множество, которое состоит из элементов, принадлежащих как множеству , так и множеству .

Пересечение множеств записывают с помощью символа . Изображать пересечение множеств удобно в виде диаграмм Эйлера-Венна (рис. 13).

Пример №305

Если даны множества , и , то ; .

Пересечением числовых промежутков называют множество, которое содержит все числа, принадлежащие как одному промежутку, так и другому.

Пример №306

(рис. 14).

Пример №307

Промежутки и не имеют общих точек (рис. 15), поэтому их пересечением является пустое множество. Записать это можно так: .

Объединением множеств и называют множество, которое состоит из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств или .

Для записи объединения множеств используют символ . Изображать объединение множеств также удобно в виде диаграмм Эйлера-Венна (рис. 16).

Пример №308

Если даны множества , и , то .

Объединением числовых промежутков называют множество, которое состоит из всех чисел, принадлежащих хотя бы одному из этих промежутков.

Пример №309

. Отметим, что объединение промежутков не всегда является промежутком. Например, множество не является промежутком (рис. 15).

Линейные неравенства с одной переменной. Равносильные неравенства

Неравенства вида , где -переменная, — некоторые числа, называют линейными неравенствами с одной переменной. Если , то обе части неравенства можно разделить на , учитывая при этом свойство числовых неравенств, то есть если а , то знак неравенства оставляем без изменении; если же , то знак неравенства изменяем на противоположный.

Пример №310

Решить неравенство: 1) .

Решение:

1) Разделив обе части неравенства на 2, получим: . Таким образом, решением неравенства является промежуток .

Ответ. 1) ; 2) .

Отметим, что ответ можно было записать и так:

1) ; 2) .

Неравенства, имеющие одни и те же решения, называют равносильными. Неравенства, не имеющие решений, также являются равносильными.

Для неравенств с переменными имеют место свойства, подобные тем, которые справедливы и для уравнений:

Чтобы решить уравнение, мы приводим его к равносильному ему, но более простому уравнению. Аналогично, пользуясь свойствами неравенств, можно решать и неравенства, приводя их к более простым неравенствам, им равносильным.

Пример №311

Решить неравенство

Решение:

Получили неравенство, равносильное исходному. Оно не имеет решений, так как при любом значении левая часть неравенства будет равна нулю, а неравенство является неверным.

Пример №312

Решить неравенство .

Решение:

Раскрыв скобки, получим:

.

Решая далее, имеем: ; то есть .

Последнее неравенство равносильно исходному и является верным при любом значении , так как при любом значении его левая часть будет равна нулю, а неравенство является верным. Таким образом, решением неравенства будет любое число, а значит, множеством решений является промежуток .

Ответ: .

Из примеров 2 и 3 можно сделать вывод, что

неравенства вида или не имеют решений, или их решение — любое число.

Пример №313

Для каждого значения решить неравенство , где — переменная.

Решение:

Значение выражения для разных значений может быть положительным, отрицательным или нулевым, поэтому рассмотрим отдельно каждый из этих случаев:

1) Если , т. е. , то, разделив левую и правую части неравенства на положительное число , получим:

2) Если , т. е. , получим не имеющее решений неравенство.

3) Если , т. е. , то, разделив левую и правую части неравенства на отрицательное число и изменив знак неравенства на противоположный, получим:

Ответ. Если , то ; если , то решений нет; если ,то .

Системы линейных неравенств с одной переменной, их решение

Нам нужно найти такие значения , при которых верным будет как неравенство , так и неравенство , то есть нужно найти общие решения обоих неравенств. В таком случае объединяют неравенства в систему и говорят, что нужно решить систему неравенств:

Решив каждое из неравенств системы, имеем систему:

Значит, значение должно удовлетворять условию: .

Следовательно, скорость велосипедиста больше чем 12 км/ч, но меньше чем 13 км/ч.

Число 12,6 удовлетворяет каждому из неравенств системы

Решением системы неравенств с одной переменной называют значение переменной, при котором верным является каждое из неравенств системы.

При решении системы неравенств целесообразно придерживаться следующей последовательности действий:

Пример №314

Решить систему неравенств:

Решение:

Постепенно заменяя каждое из неравенств системы ему равносильным, но более простым, получим:

Отметим на координатной прямой множество чисел, удовлетворяющих неравенству , и множество чисел, удовлетворяющих неравенству (рис. 26). Множеством решений системы является пересечение этих множеств, то есть промежуток .

Ответ. .

Ответ в примере 1 можно записать и так: .

Пример №315

Найти все целые решения системы неравенств:

Решение:

Найдем сначала все решения системы:

Пример №316

Решить систему неравенств:

Решение:

Отметив полученные решения неравенств системы на координатной прямой (рис. 28), видим, что общих точек у них нет, а значит, пересечением промежутков является пустое множество. Следовательно, система решений не имеет.

Пример №317

Решить неравенство .

Решение:

Перепишем данное двойное неравенство в виде системы неравенств:

Решим эту систему:

Таким образом, , то есть .

Ответ. .

Решение можно записать и так:

А ответ можно также представить в виде: .

Неравенства: равносильные преобразования неравенств и общий метод интервалов

Понятия неравенства с одной переменной и его решений

Определение:

Если два выражения с переменной соединить одним из знаков то получим неравенство с переменной. В общем виде неравенство с одной переменной (например, для случая «больше») записывают так:

Пример:

— линейное неравенство;

— квадратное неравенство;

— дробное неравенство

Определение:

Решением неравенства с переменной называется значение переменной, которое обращает заданное неравенство в верное числовое неравенство. Решить неравенство — значит найти все его решения или доказать, что их нет

Пример:

— одно из решений неравенства , так как при получаем верное неравенство: , то есть

2. Область допустимых значений (ОДЗ)

Определение:

Областью допустимых значений (или областью определения) неравенства называется общая область определения для функций и , которые стоят в левой и правой частях неравенства

Пример:

Для неравенства ОДЗ: , то есть , так как область определения функции определяется условием: , а областью определения функции является множество всех действительных чисел

3. Равносильные неравенства

Определение:

Два неравенства называются равносильными на некотором множестве, если на этом множестве они имеют одни и те же решения

то есть каждое решение первого неравенства является решением второго и наоборот, каждое решение второго неравенства является решением первого

1. Если из одной части неравенства перенести в другую часть слагаемые с противоположным знаком, то получим неравенство, равносильное заданному (на любом множестве)

2. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число (или на одну и ту же функцию, которая определена и положительна на ОДЗ заданного неравенства), не меняя знак неравенства, то получим неравенство, равносильное заданному (на ОДЗ заданного неравенства)

3. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число (или на одну и ту же функцию, которая определена и отрицательна на ОДЗ заданного неравенства) и изменить знак неравенства на противоположный, то получим неравенство, равносильное заданному (на ОДЗ заданного неравенства)

4. Метод интервалов (решения неравенств вида )

2. Найти нули функции

3. Отметить нули на ОДЗ и найти знак функции на каждом промежутке, на которые разбивается ОДЗ.

4. Записать ответ, учитывая знак заданного неравенства

Пример:

Решите неравенство

► Пусть

1. ОДЗ: , то есть, .

2. Нули функции:

(входят в ОДЗ)

3.

Ответ:

5. Схема поиска решения неравенств

— исходное неравенство;

— неравенство, полученное в результате преобразования исходного;

— символическое изображение выполненных преобразований (с указанием направления их выполнения)

Объяснение и обоснование:

Понятия неравенства с переменной и его решений

Если два выражения с переменной соединить одним из знаков то получаем неравенство с переменной.

Аналогично уравнению, неравенство с переменной (например, со знаком ) чаще всего понимают как аналитическую запись задачи о нахождении тех значений аргументов, при которых значение одной из заданных функций больше, чем значение другой заданной функции. Поэтому в общем виде неравенство с одной переменной (например, для случаев «больше») записывают так:

Напомним, что решением неравенства называется значение переменной, которое обращает это неравенство в верное числовое неравенство.

Решить неравенство — значит найти все его решения или доказать, что их нет.

Например, решениями неравенства являются все значения , для неравенства решениями являются все действительные числа (), а неравенство не имеет решений, поскольку значение не может быть отрицательным числом, меньшим .

Область допустимых значений (ОДЗ) неравенств

Область допустимых значений (ОДЗ) неравенства определяется аналогично ОДЗ уравнения. Если задано неравенство , то общая область определения функций и называется областью допустимых значений этого неравенства (иногда используются также термины «область определения неравенства» или «множество допустимых значений неравенства»). Например, для неравенства областью допустимых значений являются все действительные числа (это можно записать, например, так: ОДЗ: ), поскольку функции и имеют области определения .

Понятно, что каждое решение заданного неравенства входит как в область определения функции , так и в область определения функции (иначе мы не сможем получить верное числовое неравенство). Таким образом, каждое решение неравенства обязательно входит в ОДЗ этого неравенства. Это позволяет в некоторых случаях применить анализ ОДЗ неравенства для его решения.

Например, в неравенстве функция определена при всех действительных значениях , а функция — только при условии, что под знаком квадратного корня будут стоять неотрицательные выражения. Таким образом, ОДЗ этого неравенства задается системой из которой получаем систему не имеющую решений. Таким образом, ОДЗ заданного неравенства не содержит ни одного числа, поэтому это неравенство не имеет решений.

В основном при решении неравенств различных видов приходится применять один из двух методов решения: равносильные преобразования неравенств или так называемый метод интервалов.

Равносильные неравенства

С понятием равносильности неравенств вы знакомы еще из курса алгебры 9 класса. Как и для случая равносильных уравнений, равносильность неравенств мы будем рассматривать на определенном множестве.

Два неравенства называются равносильными на некотором множестве, если на этом множестве они имеют одни и те же решения, то есть каждое решение первого неравенства является решением второго, и наоборот, каждое решение второго неравенства является решением первого.

Договоримся, что в дальнейшем все равносильные преобразования неравенств будем выполнять на ОДЗ заданного неравенства. В случае когда ОДЗ заданного неравенства является множество всех действительных чисел, мы не всегда будем его записывать (как не записывали ОДЗ при решении линейных или квадратных неравенств). И в других случаях главное — не записать ОДЗ при решении неравенства, а действительно учесть ее при выполнении равносильных преобразований заданного неравенства.

Общие ориентиры выполнения равносильных преобразований неравенств аналогичны соответствующим ориентирам выполнения равносильных преобразований уравнений.

Как указывалось выше, выполняя равносильные преобразования неравенств, необходимо учитывать ОДЗ заданного неравенства — это и есть первый ориентир для выполнения равносильных преобразований неравенств.

По определению равносильности неравенств необходимо обеспечить, чтобы каждое решение первого неравенства было решением второго, и наоборот, каждое решение второго неравенства было решением первого. Для этого достаточно обеспечить сохранение верного неравенства на каждом шаге решения не только при прямых, но и при обратных преобразованиях. Это и есть второй ориентир для решения неравенств с помощью равносильных преобразований. Действительно, каждое решение неравенства обращает его в верное числовое неравенство, и если верное неравенство сохраняется, то решение каждого из неравенств будет также и решением другого, таким образом, неравенства будут равносильны (соответствующие ориентиры схематически представлены в пункте 5 табл. 11).

Например, чтобы решить с помощью равносильных преобразований неравенство

достаточно учесть его ОДЗ: и условие положительности дроби (дробь будет положительной тогда и только тогда, когда числитель и знаменатель дроби имеют одинаковые знаки), а также учесть, что на ОДЗ все необходимые преобразования можно выполнить как в прямом, так и в обратном направлении с сохранением верного неравенства.

► Данное неравенство равносильно

совокупности двух систем:

или (2)

Тогда получаем или

Таким образом, или .

Ответ: .

Заметим, что при записи условия положительности дроби — совокупности систем (2) — мы неявно учли ОДЗ неравенства (1). Действительно, если или , то , поэтому в явном виде ОДЗ заданного неравенства не записано при оформлении решения.

Кроме выделенных общих ориентиров, для выполнения равносильных преобразований неравенств можно также пользоваться специальными теоремами о равносильности. В связи с уточнением определения равносильности неравенств обобщим также формулировки простейших теорем о равносильности неравенств, известных из курса алгебры 9 класса.

1. Если из одной части неравенства перенести в другую часть слагаемые с противоположным знаком, то получим неравенство, равносильное заданному (на любом множестве).

2. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число (или на одну и ту же функцию, которая определена и положительна на ОДЗ заданного неравенства), не изменяя знак неравенства, то получим неравенство, равносильное заданному (на ОДЗ заданного).

3. Если обе части неравенства у множить или разделить на одно и то же отрицательное число (или на одну и ту же функцию, которая определена и отрицательна на ОДЗ заданного неравенства ) и изменить знак неравенства на противоположный, то получим неравенство,равносильное заданному (на ОДЗ заданного).

Обоснование этих теорем полностью аналогично обоснованию ориентиров для равносильных преобразований заданного неравенства.

Замечание. Для обозначения перехода от заданного неравенства к неравенству, равносильному ему, можно применять специальный значок , но его использование при оформлении решений не является обязательным (хотя иногда мы будем его использовать, чтобы подчеркнуть, что было выполнено именно равносильное преобразование).

Метод интервалов

Решение неравенств методом интервалов опирается на свойства функций, связанные с изменением знаков функции. Объясним эти свойства, используя графики известных нам функций, например функций и (рис. 54).

Рассматривая эти графики, замечаем, что функция может изменить свой знак только в двух случаях:

1) если график разрывается (как в случае функции (рис. 54, а) — график разрывается в точке 0 и знак функции изменяется в точке 0);

2) если график без разрыва переходит из нижней полуплоскости в верхнюю (или наоборот). Но тогда график пересекает ось (как в случае функции ) (рис. 54, б). На оси значения функции равны нулю. (Напомним, что значения аргумента, при которых функция равна нулю, называют нулями функции.) Таким образом, любая функция может поменять свой знак только в нулях или в точках, где разрывается график функции (в так называемых точках разрыва функции). Точки, в которых разрывается график функции , мы выделяем, как правило, когда находим область определения этой функции. Например, если , то ее область определения , и именно в точке 0 график этой функции разрывается (рис. 54, а). Если же на каком-нибудь промежутке области определения график функции не разрывается и функция не равна нулю, то по приведенному выше выводу она не может на этом промежутке поменять свой знак. Таким образом, если отметить нули функции на ее области определения, то область определения разобьется на промежутки, внутри которых знак функции измениться не может (и поэтому этот знак можно определить в любой точке из этого промежутка).

Подробнее это понятие будет рассмотрено в 11 классе.

В 11 классе мы уточним формулировку этого свойства (так называемых непрерывных функций). Для всех известных вам функций (линейных, квадратичных, степенных, дробно-рациональных) это свойство имеет место.

В таблице 12 приведено решение дробно-рационального неравенства методом интервалов; комментарий, объясняющий каждый этап решения; план решения неравенств вида методом интервалов.

Пример:

Решение:

►

1. ОДЗ: , то есть

2. Нули

тогда .

3.

4. Ответ: .

1. Рассмотрим функцию, стоящую в левой части этого неравенства, и обозначим ее через .

Решением неравенства могут быть только числа, которые входят в область определения функции , то есть числа, входящие в ОДЗ неравенства. Поэтому первым этапом решения неравенства методом интервалов будет нахождение его ОДЗ

2. Нас интересуют те промежутки области определения функции , на которых эта функция положительна. Как было отмечено выше, элементарная функция может поменять знак в своих нулях, поэтому вторым этапом решения неравенства будет нахождение нулей функции (для этого приравниваем функцию к нулю и решаем полученное уравнение)

3. Если теперь отметить нули на области определения функции , то область определения разбивается на промежутки, внутри каждого из которых функция не меняет свой знак. Поэтому знак функции на каждом промежутке можно определить в любой точке этого промежутка. Это и является третьим этапом решения

4. Из рисунка видно, что решением неравенства является объединение промежутков

1. Найти ОДЗ неравенства

2. Найти нули

3. Отметить нули на ОДЗ и найти знак функции в каждом промежутке, на которые разбивается ОДЗ

4. Записать ответ, учитывая знак неравенства

Приведем пример решения более сложного дробно-рационального неравенства методом интервалов и с помощью равносильных преобразований.

Пример:

Решите неравенство

I способ (метод интервалов)

Решение:

►Пусть

1. ОДЗ:

2. Нули

(принадлежат ОДЗ).

3. Отмечаем нули функции на ОДЗ и находим знак в каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ.

4. Ответ:

Данное неравенство имеет вид , и для его решения можно применить метод интервалов. Для этого используем план, приведенный выше и в таблице 11.

При нахождении нулей следим за тем, чтобы найденные значения принадлежали ОДЗ (или выполняем проверку найденных корней уравнения ).

Записывая ответ к нестрогому неравенству, следует учесть, что все нули функции должны войти в ответ (в данном случае — числа ).

II способ (с помощью равносильных преобразований)

Выберем для решения метод равносильных преобразований неравенства. При выполнении равносильных преобразований мы должны учесть ОДЗ данного неравенства, то есть учесть ограничение .

Но если , и тогда в данной дроби знаменатель положителен. Если выполняется данное неравенство, то числитель дроби (и наоборот, если выполняется последнее неравенство, то на ОДЗ дробь ), то есть данное неравенство равносильно на ОДЗ неравенству .

Чтобы решить полученное квадратное неравенство, найдем корни квадратного трехчлена и построим эскиз графика функции . Решение квадратного неравенства: .

Поскольку все преобразования были равносильными только на ОДЗ, то мы должны выбрать те решения квадратного неравенства, которые удовлетворяют ограничению ОДЗ.

Решение:

► ОДЗ: то есть .

Тогда и данное неравенство на его ОДЗ равносильно неравенству . Поскольку при (эти значения принадлежат ОДЗ), получаем (см. рисунок).

Учитывая ОДЗ, получаем ответ.

Ответ: .

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник