Что такое подгруппа в алгебре

Подгруппы и их свойства. Критерий подгруппы. Примеры

Определение и критерий подгруппы

Определение 1. 3. 1.Непустое подмножество H группы А называется подгруппой группы А, если H само является группой относительно групповой операции в А.

Замечание.Содержащееся в определении подгруппы требование к подмножеству группы А, быть группой относительно групповой операции, определённой в А, нельзя заменить определением, по которому подгруппой группы А называлось бы всякое подмножество группы А, само являющееся группой. Так множество положительных рациональных чисел является группой относительно умножения и содержится, как подмножество, в аддитивной группе всех рациональных чисел, но не будет, конечно, подгруппой этой группы.

При доказательстве того, что некоторое подмножество Н группы А является подгруппой, удобнее всего бывает пользоваться следующей теоремой:

Теорема 1. 3. 2.(Критерий подгруппы). Для того, чтобы непустое подмножество Н группы А являлось подгруппой группы А необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись 2 условия:

1) Н должно быть замкнуто относительно групповой операции в А:

( а, b Н ) а · b Н;

Доказательство. Необходимость следует из определения группы. Достаточность. Из справедливости закона ассоциативности в группе А следует его справедливость для элементов из Н, а из того, что множество Н ¢ из свойств 1) и 2) следует принадлежность к Н единицы группы А.

Замечание.Если группа — конечная, то проверка свойства 2) является излишней. Для того чтобы показать, что Н является подгруппой данной группы достаточно построить таблицу Кэли и убедиться, что результаты операции принадлежат Н.

мультипликативной группы так как Н , H Q* и выполняются два условия критерия подгруппы:

1) a · b = 2 k+t H;

2. Несобственные подгруппы. Каждая группа имеет единичную подгруппу <1>и сама является своей подгруппой.

3. Циклические подгруппы. Зафиксируем элемент а в группе А. Подмножество (а) = <а k | k Z> группы А, состоящее из всевозможных целых степеней элемента а, является подгруппой в А, называемой циклической подгруппой группы А, порождённой элементом а. Сам элемент а называется образующим (порождающим) циклической подгруппы (а).

7. Подгруппы группы симметрий правильного треугольника G :

<е>, <е, b>, <е, а · b>, <е, а 2 · b>, <е, а, a 2 >, G .

8. Подгруппы симметрической группы подстановок S₃:

<е>, <е >, <е >,<е >, <е , >, S₃.

Замечание.Легко проверить, что пересечение любых двух подгрупп группы G является подгруппой группы G.

Источник

ПОДГРУППА

Теоретико-множественное пересечение любых двух (и любого множества) П. группы G является П. группы G. Пересечение всех П. группы G, содержащих все элементы нек-рого непустого множества М, наз. подгруппой, порожденной множеством М, и обозначается символом <М>. Если Мсостоит из одного элемента а, то <а>наз. циклической П. элемента а. Группа, совпадающая с одной из своих циклических П., наз. циклической группой.

Гомоморфный образ П.- подгруппа. Если группа G 1 изоморфна нек-рой подгруппе H группы G, то говорят, что группа G 1 может быть вложена в группу G. Если даны две группы и каждая из них изоморфна нек-рой истинной П. другой, то отсюда еще не следует изоморфизм самих этих групп. О. А. Иванова.

Полезное

Смотреть что такое «ПОДГРУППА» в других словарях:

подгруппа — подблок, субблок; субгруппа, группа Словарь русских синонимов. подгруппа сущ., кол во синонимов: 2 • группа (98) • … Словарь синонимов

ПОДГРУППА — ПОДГРУППА, подгруппы, жен. Подразделение группы, часть группы. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова

ПОДГРУППА — ПОДГРУППА, ы, жен. Подразделение внутри группы. | прил. подгрупповой, ая, ое. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова

ПОДГРУППА — англ. sub group; нем. Subgruppe. Часть группы, выполняющая либо свои собственные функции, либо функции группы в целом. П. может способствовать функционированию и поддерживанию группы либо ее дезорганизации и разрушению. Antinazi. Энциклопедия… … Энциклопедия социологии

подгруппа — — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] Тематики электросвязь, основные понятия EN subgroup … Справочник технического переводчика

подгруппа — 3.14. подгруппа: Одно или более наблюденных значений признака, используемых для анализа возможностей процесса. Примечания 1. Подгруппу, собранную таким образом, чтобы обеспечить максимальное подобие данных в каждой подгруппе и максимальное… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Подгруппа — Группа (математика) Теория групп … Википедия

подгруппа — pogrupis statusas T sritis chemija apibrėžtis Periodinės elementų sistemos grupės dalis, susidedanti iš elementų, kurių valentinių elektronų šalutiniai kvantiniai skaičiai vienodi. atitikmenys: angl. subgroup rus. подгруппа … Chemijos terminų aiškinamasis žodynas

подгруппа — pogrupis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. subgroup vok. Untergruppe, f rus. подгруппа, f pranc. sous groupe, m … Fizikos terminų žodynas

подгруппа — pogrupis statusas T sritis Kūno kultūra ir sportas apibrėžtis Smulkesnis už grupę vienetas, pvz., grupės dalis, daranti kurį nors fizinį pratimą pratybose. atitikmenys: angl. subgroup vok. Gruppe, f; Vorrunde, f rus. подгруппа … Sporto terminų žodynas

Источник

ПОДГРУППА

Найдено 3 изображения:

подгруппа ж. Подразделение группы, часть группы.

3.14. подгруппа: Одно или более наблюденных значений признака, используемых для анализа возможностей процесса.

1. Подгруппу, собранную таким образом, чтобы обеспечить максимальное подобие данных в каждой подгруппе и максимальное отличие подгрупп между собой называют рациональной подгруппой.

3. Рациональные подгруппы обычно отбирают из последовательных серий значений, иногда применяют случайные выборки.

Смотри также родственные термины:

1.3.9 подгруппа (единиц)

Один из наборов единиц продукции или количество материала, полученные разделением большей группы единиц продукции или большего количества материала

1.3.10 подгруппа (измерений)

Один из наборов групп наблюдений, полученных разделением большей группы наблюдений

3.11 подгруппа испытаний: Совокупность видов испытаний (или одно испытание), проводимых по одному плану испытаний, по результатам которых принимают единую (общую) оценку.

3.48. Подгруппа нефтепродуктов

Совокупность нефтепродуктов, входящих в одну группу и имеющих сходные показатели качества и область применения (бензин автомобильный, дизельное топливо для быстроходных дизелей и судовых газовых турбин, дизельное топливо для автотранспортных тепловозных и судовых дизелей, топливо для реактивных двигателей с дозвуковой скоростью, топливо для реактивных двигателей со сверхзвуковой скоростью и т.д.).

Совокупность нефтепродуктов, входящих в одну группу и имеющих сходные показатели качества и условия применения (бензин автомобильный, бензин авиационный, дизельное топливо для быстроходных дизелей и судовых газовых турбин, дизельное топливо для автотракторных тепловозных и судовых дизелей, топливо печное, топливо газотурбинное, керосин осветительный, топливо для реактивных двигателей с дозвуковой скоростью, топливо для реактивных двигателей со сверхзвуковой скоростью и т. д.)

Теоретико-множественное пересечение любых двух (и любого множества) П. группы G является П. группы G. Пересечение всех П. группы G, содержащих все элементы нек-рого непустого множества М, наз. подгруппой, порожденной множеством М, и обозначается символом <М>. Если Мсостоит из одного элемента а, то <а>наз. циклической П. элемента а. Группа, совпадающая с одной из своих циклических П., наз. циклической группой.

Гомоморфный образ П.- подгруппа. Если группа G₁ изоморфна нек-рой подгруппе H группы G, то говорят, что группа G₁ может быть вложена в группу G. Если даны две группы и каждая из них изоморфна нек-рой истинной П. другой, то отсюда еще не следует изоморфизм самих этих групп. О. А. Иванова.

Источник

Подгруппа

Подгруппа ― подмножество группы , само являющееся группой относительно операции, определяющей .

Подмножество группы является её подгруппой тогда и только тогда, когда:

В случае конечных и, вообще, периодических групп проверка условия 2 является излишней.

Примеры

Связанные определения

Свойства

Полезное

Смотреть что такое «Подгруппа» в других словарях:

подгруппа — подблок, субблок; субгруппа, группа Словарь русских синонимов. подгруппа сущ., кол во синонимов: 2 • группа (98) • … Словарь синонимов

ПОДГРУППА — ПОДГРУППА, подгруппы, жен. Подразделение группы, часть группы. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова

ПОДГРУППА — ПОДГРУППА, ы, жен. Подразделение внутри группы. | прил. подгрупповой, ая, ое. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова

ПОДГРУППА — англ. sub group; нем. Subgruppe. Часть группы, выполняющая либо свои собственные функции, либо функции группы в целом. П. может способствовать функционированию и поддерживанию группы либо ее дезорганизации и разрушению. Antinazi. Энциклопедия… … Энциклопедия социологии

подгруппа — — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] Тематики электросвязь, основные понятия EN subgroup … Справочник технического переводчика

подгруппа — 3.14. подгруппа: Одно или более наблюденных значений признака, используемых для анализа возможностей процесса. Примечания 1. Подгруппу, собранную таким образом, чтобы обеспечить максимальное подобие данных в каждой подгруппе и максимальное… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

ПОДГРУППА — подмножество Н группы G, само являющееся группой относительно операции, определяющей G. Подмножество Нгруппы Gявляется ее подгруппой тогда и только тогда, когда: (1) H содержит произведение любых двух элементов из H, (2) H содержит вместе со… … Математическая энциклопедия

подгруппа — pogrupis statusas T sritis chemija apibrėžtis Periodinės elementų sistemos grupės dalis, susidedanti iš elementų, kurių valentinių elektronų šalutiniai kvantiniai skaičiai vienodi. atitikmenys: angl. subgroup rus. подгруппа … Chemijos terminų aiškinamasis žodynas

подгруппа — pogrupis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. subgroup vok. Untergruppe, f rus. подгруппа, f pranc. sous groupe, m … Fizikos terminų žodynas

подгруппа — pogrupis statusas T sritis Kūno kultūra ir sportas apibrėžtis Smulkesnis už grupę vienetas, pvz., grupės dalis, daranti kurį nors fizinį pratimą pratybose. atitikmenys: angl. subgroup vok. Gruppe, f; Vorrunde, f rus. подгруппа … Sporto terminų žodynas

Источник

Инструменты сайта

Основное

Навигация

Информация

Действия

Содержание

Некоторые алгебраические структуры

Существует два подхода к изложению основ теории групп в учебном курсе высшей алгебры. Первый — чисто формальный, «сверху-вниз»: этот объект, его обобщения и обеспечивающая их терминология излагаются в начале курса, а впоследствии на формально введенном языке формулируются результаты из конкретных разделов алгебры. Я придерживаюсь противоположного подхода: теория групп — это «надстройка над несколькими блоками фундамента», и построение курса алгебры надо начинать именно с закладки отдельных блоков — изложением конкретных разделов (целые числа, полиномы, матрицы). И только потом устанавливать связи между ними, «перебрасывать мостики» и «навешивать узоры». Не собираясь обосновывать здесь правильность выбранной методологии (см. ☞ Правила пользования настоящим ресурсом ), я сейчас просто проясняю причину по которой, например, в разделе ПОЛИНОМ говорится о «полиноме над множеством», а не о «полиноме над полем».

А в завершение этого комментария привожу ☞ ЦИТАТУ.

Бинарная операция

Пример. Приведем несколько случаев некоммутативности:

Определение группы

Пример. На множестве четных чисел не существует нейтрального элемента относительно умножения.

Примеры групп

Аддитивная группа целых чисел

Является ли это множество полугруппой?

Классы вычетов

Корни из единицы

Образует ли множество матриц

Монотонные функции

Отображения плоских фигур

Перестановки

Образующие элементы группы

Простейший случай — это группа с одной образующей.

Доказать, что циклическая группа всегда абелева.

Разумеется, подгруппа может порождаться и не одним образующим.

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Порядок любого элемента конечной группы является делителем порядка группы.

Образует ли группу относительно умножения множество матриц

Факторгруппа

Таблица умножения

Какая информация необходима для полного задания группы как математического объекта?

Для абелевой группы таблица умножения будет симметричной относительно главной диагонали, т.е. диагонали, идущей из левого верхнего в правый нижний угол таблицы.

Перечислим теперь некоторые свойства таблицы умножения.

Остальные свойства будем нумеровать

2. Каждая строка таблицы образована какой-то перестановкой элементов нулевой строки (и аналогичное утверждение справедливо относительно столбцов).

Для второго множества из теоремы доказательство аналогично. ♦

4. Аксиома об обратном элементе переформулируется следующим образом: если в таблице сложилась конфигурация

5. Рассмотрим следующую конфигурацию, сложившуюся в таблице умножения:

Доказательство. Пусть конфигурация соответствует следующему расположению элементов группы в нулевых строке и столбце:

Изоморфизм групп

Может ли группа быть изоморфна собственной подгруппе?

Доказать, что любые две циклические группы одинакового порядка (конечного или бесконечного) изоморфны.

Кольцо

В предыдущих пунктах мы анализировали множества с точки зрения одной определенной бинарной операции. Однако, часть рассмотренных примеров составляли множества, в которых были определены и другие операции.

Идеал

В этом обозначении случилась коллизия с обозначением циклической группы; однако альтернативные варианты, принятые в литературе, приводят к другим коллизиям.

В отличие от линейных пространств, на базисные элементы не накладывается ограничений типа линейной независимости.

Поле из полиномов

Алгебра

Источник