Множества
Множество — это совокупность любых объектов. Множества обозначают большими буквами латинского алфавита — от A до Z.
Основные числовые множества: множество натуральных чисел и множество целых чисел, всегда обозначаются одними и теми же буквами:
N — множество натуральных чисел,
Z — множество целых чисел.
Множества делятся на конечные и бесконечные. Конечное множество — множество, содержащее определённое (конечное) количество элементов. Бесконечное множество — множество, содержащее бесконечно много элементов. К бесконечным множествам можно отнести множества натуральных и целых чисел.
Для определения множества используются фигурные скобки, в которых через запятую перечисляются элементы. Например, запись
означает, что множество L состоит из четырёх чётных чисел.
Термин множество употребляется независимо от того, сколько элементов оно содержит. Множества не содержащие ни одного элемента называются пустыми.
Подмножество
Подмножество — это множество, все элементы которого, являются частью другого множества.
Визуально продемонстрировать отношение множества и входящего в него подмножества можно с помощью кругов Эйлера. Круги Эйлера — это геометрические схемы, помогающие визуализировать отношения различных объектов, в нашем случае, множеств.
Рассмотрим два множества:
Каждый элемент множества L принадлежит и множеству M, значит, множество L является подмножеством множества M. Такое соотношение множеств обозначают знаком ⊂ :
Рассмотрим два множества:
Так как оба множества состоят из одних и тех же элементов, то L = M.
Пересечение и объединение множеств
Из данного примера следует, что пересечением множеств называется множество, которое содержит только те элементы, которые встречаются во всех пересекающихся множествах.
При объединении равных множеств объединение будет равно любому из данных множеств:
Урок «Подмножество»
Краткое описание документа:
Как известно, множество является одним из важнейших элементов алгебры, а точнее – теории множеств. Это понятие не имеет строгого определения в силу своей аксиоматичности и фундаментальности, и передается на словах, как некий набор математических реальных чисел. Множества могут быть разными, включать большой спектр различных постоянных и переменных элементов, либо же вообще быть пустыми. Множество всех существующих определяемых чисел является бесконечным математическим множеством. А эфемерное множество, не содержащее никаких значимых объектов, именуется пустым.
В зависимости от свойств объектов, допускается выделение особых групп внутри множества. Например, рассмотрим бесконечное множество натуральных целых чисел, обозначенное как N. Выделим из него такие элементы, которые будут отвечать заданным свойствам – четность, и расположение в интервале от 1 до 11. Это числа 2, 4, 6, 8, 10. Эти пять элементов формируют особую группу, отвечающую общим свойствам, заданным в условии. При этом все члены группы принадлежат множеству натуральных чисел. Такие внутренние объединения именуются подмножествами.
Подмножество – это внутренняя группа элементов множества, все члены которой строго принадлежат данному множеству. Этот набор также принято обозначать большими латинскими группами – например, вышеуказанный пример из пяти элементов можно обозначить, как подмножество S. Стоит сразу отметить, что любое подмножество само по себе является независимым множеством. Приставка под- обозначает только факт принадлежности всех членов данной группы к более широкому набору элементов, относящихся к большому множеству. С другой стороны, такое объединяющее множество именуют надмножеством. Из нашего примера следует, что множество N натуральных чисел включает подмножество S чисел, отвечающих условиям четности, и расположения в интервале (1, 11). Иначе можно сказать, что множество S, состоящее из пяти натуральных чисел, относится к надмножеству N, содержащему все натуральные числа.
Взаимоотношения между различными группами элементов могут быть самыми разнообразными. То же множество натуральных чисел может включать практически бесконечное количество различных группировок – подмножеств. В фундаментальном определении теории множеств чисел существует два основных базиса: само множество, как набор элементов, и свойства, задающие этот набор, или описывающие его. Собственно говоря, эти свойства позволяют не только ограничить набор чисел во множестве, но и включить его в состав какого-либо надмножества либо же выделить из него подмножество.
В нашем видеоуроке мы также рассмотрим взаимосвязь между двумя различными независимыми множествами. Например, рассмотрим следующие множества произвольных чисел:
Все элементы множества D встречаются среди членов множеств и S и F. Можно сказать, что D является подмножеством множества S, и подмножеством множества F.
С другой стороны, все элементы множества S совпадают с элементами множества F. Соответственно, и наоборот. Можно обозначить, что S является подмножеством для F, а F, в свою очередь, является подмножеством для S. Но чаще всего говорят, что множества просто равны между собой.
Если любое подмножество А не равно пустому множеству (т.е. содержит хотя бы один элемент), и при этом не равно другому множеству В, то считается, что подмножество А является собственным подмножеством для В. Пустое множество является собственным подмножеством для любого множества, кроме самого себя. С другой стороны, практически все реальные множества являются подмножествами бесконечного множества действительных чисел.
На геометрии подмножества отображаются двумя способами. Собственно геометрический представляет собой линейно-интервальный метод отображения наборов чисел на горизонтальной прямой. Чертится прямая (теоретически бесконечная – как отображение бесконечного надмножества чисел), на ней откладываются заданные числовые отрезки. Например, множество целых чисел от 2 до 10 образуют отрезок АС. Множество четных чисел, состоящих, например, из 2, 4, 6 являются подмножеством для АС, и задаются более коротким отрезком АВ, лежащим на той же прямой, на некотором участке АС.
Но более удобным изображением подмножества являются круги Эйлера. В данном случае, каждое множество представлено правильным кругом. Подмножества выделяются меньшими кругами, вложенными в большой круг. Если подмножество равно самому множеству, то круги совпадают между собой. Если группа элементов не соотносится с каким-либо множеством, то круг группы выходит за пределы этого множества.
6.1.6. Множество и его элементы
I. Множество представляет собой совокупность некоторых предметов или чисел, составленных по каким-либо общим свойствам или законам (множество букв на странице, множество правильных дробей со знаменателем 5, множество звезд на небе и т.д.).
Для записи множества используют фигурные скобки: « <»- множество открывается; «>» — множество закрывается. А само множество называют заглавными латинскими буквами: А, В, С и так далее.
Примеры.
1. Записать множество А, состоящее из всех гласных букв в слове «математика».
Решение. А=<а, е, и>. Вы видите: несмотря на то,что в слове «математика» имеется три буквы «а» — в записи множества повторений не допускается, и буква «а» записывается только один раз. Множество А состоит из трех элементов.
2. Записать множество всех правильных дробей со знаменателем 5.
Решение. Вспоминаем: правильной называют обыкновенную дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Обозначим через В искомое множество. Тогда:
Множество В состоит из четырех элементов.
II. Множества состоят из элементов и бывают конечными или бесконечными. Множество, которое не содержит ни одного элемента, называют пустым множеством и обозначают Ø.
III. Множество В называют подмножеством множества А, если все элементы множества В являются элементами множества А.
3. Какое из двух данных множеств В и С является подмножеством множества К,
Решение. Все элементы множества С являются также элементами множества К, поэтому, множество С является подмножеством множества К. Записывают:
IV. Пересечением множеств А и В называется множество, элементы которого принадлежат и множеству А и множеству В.
4. Показать пересечение двух множеств М и F с помощью кругов Эйлера.
Решение.
V. Объединением множеств А и В называется множество, элементы которого принадлежат хотя бы одному из данных множеств А и В.
5. Показать с помощью кругов Эйлера объединение множеств Т и Р.
Множество и его элементы. Подмножества
Понятие множества
Что такое «множество», мы понимаем интуитивно. В этом смысле это понятие первично, так же как «точка» или «плоскость».
Создатель теории множеств Г.Кантор описывал множество как «многое, мыслимое нами как единое».
Приведём примеры множеств:
Множество людей в салоне самолёта
Множество деревьев в парке
Множество планет Солнечной системы
Множество электронов в атоме
Множество натуральных чисел
Множество «синих-синих презелёных красных шаров»
Конечное, бесконечное и пустое множества
Людей в салоне самолёта легко посчитать, это множество конечно.
С деревьями в парке, планетами и электронами – сложней. Скорее всего, мы не сможем назвать точное количество элементов этих множеств в данный момент времени. Однако, и эти множества конечны.
Натуральное число – это идеальный объект, абстракция. Множество натуральных чисел бесконечно. Как оказалось, человек может оперировать и абстракциями, и бесконечностями.
Можно себе представить даже то, «чего на свете вообще не может быть». Поскольку таких объектов нет, их множество будет пустым. Пустое множество является частью любого другого множества.
Помидоры на грядке
Числа (натуральные, рациональные, действительные и т.д.)
Количество рациональных чисел на отрезке [0;1]
Полосатые летающие слоны
Все точки пересечения двух параллельных прямых на плоскости
Способы задания множеств
1) Перечисление – в списке задаются все элементы множества.
Множество всех континентов Земли:
Множество букв слова «математика»:
Множество натуральных чисел меньших 5:
2) Характеристическое свойство – указывается особенность элементов множества.
D =
3) Графическое изображение – визуальное моделирование с помощью различных диаграмм (круги Эйлера, интервалы, графики и т.п.)
Подмножества
Говорят, что B содержит A, или B покрывает A.
Пустое множество является подмножеством любого множества.
Множество людей является подмножеством приматов, живущих на Земле.
Множество квадратов является подмножеством прямоугольников.
Множество всех подмножеств данного множества A называют булеаном или степенью множества A.
Примеры
Пример 1. Запишите данное множество с помощью перечисления элементов:
Задано множество целых чисел, квадрат которых меньше 5. Перечисляем:
Задано множество целых чисел, модуль которых не больше 3. Перечисляем:
Задано множество рациональных чисел, являющихся корнями уравнения
(x-1)(2x+5) = 0. Перечисляем:
Пример 2. Запишите данное множество с помощью характеристического свойства:
а) Множество всех натуральных чисел меньше 10
б) Множество всех действительных чисел, кроме 0
в) Множество всех точек с целыми координатами, принадлежащих прямой y = 2x+1
Пример 3. Изобразите на графике в координатной плоскости данное множество:
Задано конечное множество точек, которое можно представить перечислением:
Пример 4. Укажите и запишите с помощью перечисления одно из непустых конечных подмножеств для данного множества:
Значение слова «подмножество»
подмно́жество
1. + род. п. матем. книжн. множество, являющееся частью другого множества
2. матем. множество, любой элемент которого принадлежит надмножеству
Делаем Карту слов лучше вместе
Привет! Меня зовут Лампобот, я компьютерная программа, которая помогает делать Карту слов. Я отлично умею считать, но пока плохо понимаю, как устроен ваш мир. Помоги мне разобраться!
Спасибо! Я стал чуточку лучше понимать мир эмоций.
Вопрос: поелозить — это что-то нейтральное, положительное или отрицательное?
Ассоциации к слову «подмножество»
Синонимы к слову «подмножество»
Предложения со словом «подмножество»
Понятия, связанные со словом «подмножество»
Отправить комментарий
Дополнительно
Предложения со словом «подмножество»
Несмотря на то что математика используется для формулирования физических теорий и понимания их следствий, вся наука не является подмножеством математики, и нет способа выводить научные теории из голой математики.
Кто кого конкретно наймёт, определяется случайно, но купец может ограничить свой выбор подмножеством незанятых агентов, о которых купец знает, что ранее они предпринимали определённые действия.
Другими словами, получают более богатое разными качествами подмножество, чем исходное.
