Что такое подмножество в математике 5 класс петерсон

ГДЗ решебник по математике 5 класс Дорофеев, Петерсон учебник Ювента

Школьный курс математики в пятом классе представляет собой переходную ступень от начальной школы к средней. Ученикам предстоит адаптироваться к новой форме подачи учебного материала и уровню нагрузки. Любой предмет развивает у школьников практические навыки, которые они приобретают при выполнении проверочных заданий. Не секрет, что у многих детей возникают трудности с освоением данного предмета. Выходом из сложных ситуаций могут стать «ГДЗ по математике 5 класс Учебник Дорофеев, Петерсон, Ювента».

Что такое ГДЗ

Готовые домашние задания – это сборник ответов по всем упражнениям учебника. При их создании были учтены требования общеобразовательных стандартов по содержанию и оформлению. Решебник по математике позволяет:

Решебник – это онлайн-ресурс, который способствует быстрому и удобному поиску необходимых сведений. Для работы с ним достаточно использовать возможности своего телефона или компьютера и иметь выход в Интернет.

На какие темы даны ответы

В начале учебного года пятиклассники повторяют пройденный в начальных классах материал. Они вспоминают правила и термины, с которыми познакомились ранее. В дальнейшем они узнают более сложные понятия. На протяжении учебного года школьникам предстоит выполнять задания по следующим темам:

В «ГДЗ по математике 5 класс Учебник Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г., Ювента» ученики найдут правильные ответы по всем типам заданий. С их помощью можно подтянуть свои знания и улучшить успеваемость по предмету.

Может ли навредить использование решебника

Решебник по математике является полезным инструментом для получения качественных знаний. Однако ученики должны уметь правильно с ним работать и понимать, что он был создан не для бездумного списывания. Для того чтобы готовые ответы благоприятно сказались на уровне подготовки школьника необходимо:

Грамотная работа с решебником даст возможность ребенку быстро усвоить учебный материал и в будущем применять его при выполнении домашних и контрольных работ.

Источник

Множество и его элементы. Подмножества

Понятие множества

Что такое «множество», мы понимаем интуитивно. В этом смысле это понятие первично, так же как «точка» или «плоскость».

Создатель теории множеств Г.Кантор описывал множество как «многое, мыслимое нами как единое».

Приведём примеры множеств:

Множество людей в салоне самолёта

Множество деревьев в парке

Множество планет Солнечной системы

Множество электронов в атоме

Множество натуральных чисел

Множество «синих-синих презелёных красных шаров»

Конечное, бесконечное и пустое множества

Людей в салоне самолёта легко посчитать, это множество конечно.

С деревьями в парке, планетами и электронами – сложней. Скорее всего, мы не сможем назвать точное количество элементов этих множеств в данный момент времени. Однако, и эти множества конечны.

Натуральное число – это идеальный объект, абстракция. Множество натуральных чисел бесконечно. Как оказалось, человек может оперировать и абстракциями, и бесконечностями.

Можно себе представить даже то, «чего на свете вообще не может быть». Поскольку таких объектов нет, их множество будет пустым. Пустое множество является частью любого другого множества.

Помидоры на грядке

Числа (натуральные, рациональные, действительные и т.д.)

Количество рациональных чисел на отрезке [0;1]

Полосатые летающие слоны

Все точки пересечения двух параллельных прямых на плоскости

Способы задания множеств

1) Перечисление – в списке задаются все элементы множества.

Множество всех континентов Земли:

Множество букв слова «математика»:

Множество натуральных чисел меньших 5:

2) Характеристическое свойство – указывается особенность элементов множества.

D = – множество всех материков планеты Земля

3) Графическое изображение – визуальное моделирование с помощью различных диаграмм (круги Эйлера, интервалы, графики и т.п.)

Подмножества

Говорят, что B содержит A, или B покрывает A.

Пустое множество является подмножеством любого множества.

Множество людей является подмножеством приматов, живущих на Земле.

Множество квадратов является подмножеством прямоугольников.

Множество всех подмножеств данного множества A называют булеаном или степенью множества A.

Примеры

Пример 1. Запишите данное множество с помощью перечисления элементов:

Задано множество целых чисел, квадрат которых меньше 5. Перечисляем:

Задано множество целых чисел, модуль которых не больше 3. Перечисляем:

Задано множество рациональных чисел, являющихся корнями уравнения

(x-1)(2x+5) = 0. Перечисляем:

Пример 2. Запишите данное множество с помощью характеристического свойства:

а) Множество всех натуральных чисел меньше 10

б) Множество всех действительных чисел, кроме 0

в) Множество всех точек с целыми координатами, принадлежащих прямой y = 2x+1

Пример 3. Изобразите на графике в координатной плоскости данное множество:

Задано конечное множество точек, которое можно представить перечислением:

Пример 4. Укажите и запишите с помощью перечисления одно из непустых конечных подмножеств для данного множества:

Источник

Что такое множество в математике и как оно обозначается

Множество – это количество предметов или чисел, обладающих общими свойствами.

Данное определение подходит к любой совокупности с одинаковыми признаками, независимо оттого, сколько предметов в нее входит: толпа людей, стог сена, звезды в небе.

В математике изучаемое понятие обозначается заглавными латинскими буквами, например: А, С, Z, N, Q, A₁, A₂ и т. д.

Объекты, составляющие группу, называются элементами множества и записываются строчными латинскими буквами: a, b, c, d, x, y, a₁, a₂ и т. д.

Границы совокупности обозначаются фигурными скобками < >.

А = <а, в, с, у>– А состоит из четырех элементов.

Записать совокупность Z согласных букв в слове «калькулятор»:

Z = <к, л, т, р>, повторяющиеся согласные записываются один раз. Z состоит из четырех элементов.

Принадлежность элементов множеству обозначается знаком – Є.

Пример: N = , а Є N – элемент «а» принадлежит N.

Выделяют три вида множеств:

пустые (обозначаются Ø) – не имеющие элементов.

Пример: А = <а, в, с, у>и В = <а, в, с, е, к>– все элементы А являются элементами совокупности В, следовательно А ⊆ В.

Если множества состоят из одинаковых элементов, их называют равными.

Пример: А = <23, 29, 48>и В = <23, 29, 48>, тогда А = В.

В математике выделяют несколько числовых совокупностей. Рассмотрим их подробнее.

Множество натуральных чисел

Относится ли ноль к натуральным числам? Это до сих пор открытый вопрос для математиков всего мира.

Множество целых чисел

Совокупность целых чисел (Z) включает в себя положительные натуральные и отрицательные числа, а также ноль:

Множество рациональных чисел

Совокупность рациональных чисел (Q) состоит из дробей (обыкновенных и десятичных), целых и смешанных чисел:

Любое рациональное число можно представить в виде дроби, у которой числителем служит любое целое число, а знаменателем – натуральное:

Следовательно, N и Z являются подмножествами Q.

Операции над множествами

Точно так же, как и все математические объекты, множества можно складывать и вычитать, то есть совершать операции.

Если две группы образуют третью, содержащую элементы исходных совокупностей – это называется суммой (объединением) множеств и обозначается знаком ∪.

Если две группы совокупностей образуют третью, состоящую только из общих элементов заданных составляющих, это называется произведением (пересечением) множеств, обозначается значком ∩.

Если две совокупности образуют третью, включающую элементы одной из заданных групп и не содержащую элементы второй, получается разность (дополнение) совокупностей, обозначается значком /.

В случае, когда В / С = С / В, получается симметричная разность и обозначается значком Δ.

Для «чайников» или кому трудно даётся данная тема операции с совокупностями можно отобразить с помощью диаграмм Венна:

Объединение

Пересечение

Дополнение

С помощью данных диаграмм можно разобраться с законами де Моргана по поводу логической интерпретации операций над множествами.

Свойства операций над множествами

Операции над множествами обладают свойствами, аналогичными правилу свойств сложения, умножения и вычитания чисел:

Коммутативность – переместительные законы:

умножения S ∩ D = D ∩ S;

сложения S ∪ D = D ∪ S.

Ассоциативность – сочетательные законы:

умножения (S ∩ F) ∩ G = S ∩ (F ∩ G);

сложения (S ∪ F) ∪ G = S ∪ (F ∪ G).

Дистрибутивность – законы распределения:

умножения относительно вычитания S ∩ (F – G) = (S ∩ F) – (S ∩ G);

умножения относительно сложения G ∩ (S ∪ F) = (G ∩ S) ∪ (G ∩ F);

сложения относительно умножения G ∪ (S ∩ F) = (G ∪ S) ∩ (G ∪ F).

если S ⊆ Fи F ⊆ J, то S ⊆ J;

если S ⊆ F и F ⊆ S, то S = F.

Идемпотентность объединения и пересечения:

О других свойствах операций можно узнать из картинки:

Счетные и несчетные множества

Если между элементами двух групп можно установить взаимное немногозначное соответствие, то эти группы чисел равномощны, при условии равного количества элементов.

Мощность данной математической единицы равна количеству элементов в ней. Например, множество всех нечетных положительных чисел равномощно группе всех четных чисел больше ста.

Но не все группы действительных чисел счетные. Примером несчетной группы предметов является бесконечная десятичная дробь.

Источник

Презентация урока в 5 классе на тему: «Множества и подмножества».

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Урок: Множества. Подмножества. Операции над множествами.

Цель урока : 1)повторить основные понятия множества, подмножества,

операции над множествами;

2)развитие логического мышления через решение

нестандартных задач, систематизацию и обобщение,

развитие математической речи

3)воспитание внимательности, интереса к предмету,

Тип урока : повторительно-обобщающий.

Метод обучения : дидактическая игра – соревнование.

Способ организации деятельности : частично-поисковый.

Оборудование : 1)интерактивная доска;

2)карточки с заданиями для самостоятельной работы

3)карточки с индивидуальными заданиями;

1й слайд : Число, тема, эпиграф.

«Множество есть многое мыслимое как единое целое»

Сообщить тему урока, эпиграф, план урока.

Конкурс теоретиков (самостоятельно 3 человека по карточкам на доске).

Самостоятельная работа с взаимопроверкой.

Решение задачи (коллективно).

Класс разбивается на две группы (по вариантам)

Условия игры: 1) Четкие и точные ответы;

Реплика учителя: «И пусть в этой борьбе победит умнейший!»

1.Что означает слово «множество»?

Множество – это набор или совокупность предметов одинаковой природы.

2.Какие названия применяются для обозначения множеств?

Стадо, табун, коллектив, семья, оркестр, библиотека.

3.Как различаются множества по числу элементов?

Множества бывают конечные, бесконечные и пустое множество.

4.Какими способами можно задать множество?

Множество можно задать перечислением или с помощью характеристического свойства.

5.Какое свойство называется характеристическим свойством?

Характеристическим свойством называется такое свойство, которым обладают все элементы данного множества и не обладают никакие другие объекты.

6. 2йслайд :

В данном множестве все элементы, кроме одного, обладают некоторыми свойствами.

Опишите его и найдите лишний элемент.

Что называется подмножеством множества А?

-Множество В называется подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является элементом множества А.

9.Что называется пересечением множеств А и В?

Пересечением множеств А и В называется множество, в которое входят те и только те элементы, которые содержатся в А и В одновременно.

10.Что называется объединением множеств А и В?

Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из тех элементов, которые входят хотя бы в одно из множеств А или В.

11. 5й слайд : Найти пересечение геометрических фигур

12. 6й слайд :

III . Конкурс теоретиков

Вызываются 3 человека и работают по карточкам.

Винни-Пух и Пятачок пришли в гости к Кролику. Кролик угостил их вареньем. Винни-Пух и Пятачок вместе съели 32 ложки варенья, а Винни-Пух и Кролик – 23 ложки варенья.

Сколько ложек варенья съели все три героя?

Карточка№2

А= х│хє N ; 2≤х≤7

Задайте множества перечислением. Найдите А U В ; А В; А\ В; В\А. Изобразите решение на числовой прямой.

На сцене висели 5 лампочек. Сколько существует способов освещения сцены?

IV . Конкурс «Кто быстрее». Самостоятельная работа

Самостоятельная работа по карточкам.

Файлы с заданиями в двух вариантах находятся на каждой парте.

Через 7 минут ребята обмениваются тетрадями и сверяют ответы с решениями на интерактивной доске.

Решение:

Обозначим стоимость коровы – n (А), овцы – n (В), козы – n (С)свиньи – n ( D )

n (А U В U С U D )=1325рублей

n (В U C U D )= 425 рублей

n(A U D U B)= 1225 рублей

n (С U D )=275 рублей

Ответ: корова стоит 900р., коза- 100р., овца-150р., свинья-17

9й слайд:

В заключении подводятся итоги.

Домашнее задание заранее написано на доске:

Составить задачи на 1)пересечение и объединение геометрических фигур, 2)распиливание; 3)задание множеств и подмножеств с помощью характеристического свойства.

И все-таки победила дружба.

Спасибо за урок, дети!

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Номер материала: ДБ-495602

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Минпросвещения рассказали о формате обучения школьников после праздников

Время чтения: 1 минута

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Минпросвещения создает цифровую психологическую службу для школьников

Время чтения: 1 минута

Названы главные риски для детей на зимних каникулах

Время чтения: 3 минуты

Минздрав включил вакцинацию подростков от ковида в календарь прививок

Время чтения: 1 минута

Рособрнадзор не намерен упрощать ЕГЭ в 2022 году из-за пандемии

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

Конспект урока математики: Подмножество.

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Тема урока: Подмножество.

Тип урока: Урок изучения нового материала

Понятия: множества, подмножества, знаки и ;

Оперировать понятиями, применять правила подмножества, применять знаки и ;

Способность принимать и сохранять цели и задачи учебной деятельности, искать средства её осуществления;

Овладение логическими действиями сравнения, анализа, обобщения;

Мотивы учебной деятельности и формирование личностного смысла учения;

Навыки сотрудничества со сверстниками ;

Умения не создавать конфликтов и находить выходы из спорных ситуаций;

Элементарные навыки самооценки результатов своей учебной деятельности;

Предметные картинки (Шары, смайлы)

Презентация к уроку, интерактивная доска.

-Здравствуйте ребята! Я рада всех вас видеть, присаживайтесь.

-Математика – гимнастика ума.

Логично мыслить учит нас она.

Из всех наук важнейшая,

— Как вы считаете, почему?

Приветствие учителя стоя

Ответы 2-3 учеников

Актуализация знаний (13 мин)

— На доске у нас множество разноцветных шаров, а в шарах интересные знаки и записи, назовите их?

, , А=В

— Что такое множество? Приведите примеры множества.

-Как мы называем объекты, входящие в то или иное множество?

-Какие способы задания множеств вы знаете?

-Приведите примеры задания множеств.

-Что значит выражение пустое множество? Приведите примеры пустого множества.

-Что помогает нам графически изобразить любое множество?

— Посмотрите на доску, определите, какие элементы входят в множества В, а какие в множество А?

-Есть ли у этих множеств одинаковые элементы?

— Запишите в своих тетрадях число и классная работа, сегодня 11 сентября.

-Изобразите с помощью диаграммы Эйлера-Венна в своих тетрадях множество российских легковых автомобилей: «Жигули», «Волга», «Ока», «Нива», «Чайка», «Победа», «Москвич».

-Попадут ли в диаграмму марки автомобилей «Тойота», «Джип», «Мерседес»?

— А теперь попробуйте на одной диаграмме Венна изобразить множество жителей города Рязань (А) и множество жителей России (В).

-Как вы думаете, все ли граждане России являются жителями Рязани?

-А все ли рязанцы являются жителями России?

-Как же это показать на диаграмме Эйлера-Венна?

-Покажите на диаграмме множество всех жителей России (множество А).

-А чем является множество жителей Рязани?

-Покажите на диаграмме (множество В).

— Часть множества называют подмножеством. Обозначается это так:

В А.

— Знаки «принадлежит», «не принадлежит», пустое множество, А равно В.

-Перечислением его элементов или общим свойством его элементов.

— Множество зайцев, которые умеют летать.

— Нет, это не российские автомобили.

-Нет, только те, которые живут в Рязани.

-Частью всех россиян.

Постановка целей и задач

— О чем мы поговорим на уроке?

— Что будем развивать?

Основной этап (19 мин)

— Прочитаем в учебнике правило на странице 16.

— Применим данное правило и попробуем выполнить задание № 1 в учебнике.

— Каждый ли заяц является животным?

— Всякое ли животное является зайцем?

— Какое из этих множеств является частью другого?

— Какое множество является подмножеством другого?

— Молодцы, переходим к заданию № 2. Прочитаем задание.

— Как расположены относительно друг друга диаграммы множества и подмножества?

— Нам предстоит решить интереснейшее задание, но сначала самостоятельно в учебнике, а 4 человека у доски.

— У всех так получилось. Проверка. Объяснение.

— Придумайте 3 примера множества и его подмножества и зарисуйте к нему диаграмму Эйлера – Венна.

— Кто хочет задать классу свой пример множества и его подмножества.

— Читает ученик правило вслух.

— Все зайцы являются животными.

-Не все животные являются зайцами.

-Множество А является частью множества В.

— Множество А является подмножеством В.

-а) М – множество грибов, С – множество съедобных грибов, значит С является подмножеством М.

С М.

в) Р – множество четырехугольников, К – множество квадратов, значит К является подмножеством Р.

К Р.

г) Е – множество геометрических фигур, F – множество фигур оранжевого цвета, значит F является подмножеством Е.

F Е.

— Диаграмма подмножества находится внутри диаграммы множества.

— а) В С

б) D E

в) О К

г) м N

— Задают, проверка у доски.

В А

Заключительный этап (рефлексия)

-Что нового вы узнали сегодня на уроке?

-Что интересного было на уроке?

Раздаем детям смайлики

-Если вы считаете, что хорошо работали на уроке, вам было интересно, то раскрасьте смайлик зеленым цветом

-Если вы считаете, что работали хорошо, но были незначительные затруднения, то раскрасьте смайлик синим цветом

-Если вы не поняли сегодняшнюю тему и работали не так хорошо, то закрасьте смайлик красным цветом

-Покажите смайлики, подняв их над собой

-Вы сегодня были очень старательны и усердны, активны. Мне очень понравилось с вами работать. Спасибо вам большое за урок!

-Дети раскрашивают смайлики

-Учащиеся поднимают тихо смайлики над собой

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Номер материала: ДБ-1026716

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Минпросвещения рассказали о формате обучения школьников после праздников

Время чтения: 1 минута

Названы главные риски для детей на зимних каникулах

Время чтения: 3 минуты

В Липецкой области начинающие педагоги получат 120 тысяч рублей

Время чтения: 0 минут

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Минпросвещения создает цифровую психологическую службу для школьников

Время чтения: 1 минута

В Думу внесли законопроект об обязательном образовании для находящихся в СИЗО подростков

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник